1、考研数学一（概率统计）-试卷 5 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 X 为随机变量，E(X)=，D(X)= 2 ，则对任意常数 C 有( )（分数：2.00）A.E(XC) 2 =EE(X 一 ) 2B.E(XC) 2 E(X) 2C.EE(XC) 2 =E(X 2 )一 C 2D.E(XC) 2 E(X 一 ) 2 3.设 X，Y 为两个随机变量，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则( )（分数：2.00）A.D(XY)=D(X)D(Y)B.D
2、(X+Y)=D(X)+D(Y)C.X，Y 独立D.X，Y 不独立4.设 X，Y 为两个随机变量，若对任意非零常数 a，b 有 D(aX+bY)=D(aX 一 bY)，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.D(XY)=D(X)D(Y)B.X，Y 不相关C.X，Y 独立D.X，Y 不独立5.设 X，Y 为随机变量，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则( )（分数：2.00）A.X，Y 独立B.X，Y 不独立C.X，Y 相关D.X，Y 不相关6.若 E(XY)=E(X)E(Y)，则( )（分数：2.00）A.X 和 Y 相互独立B.X 2 与 Y 2 相互独立C.D(XY)=D(X)D(Y)D
3、.D(X+Y)=D(X)+D(Y)7.设随机变量 XU0，2，Y=X 2 ，则 X，Y( )（分数：2.00）A.相关且相互独立B.不相互独立但不相关C.不相关且相互独立D.相关但不相互独立二、填空题(总题数：18，分数：36.00)8.随机变量 X 的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_9.从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且遇到红灯的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_10.设随机变量 XB(n，p)，且 E(X)=5，E(X 2 )= （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_11.随机变量 X 的密度函数为
4、f(x)=ke |x| (一x+)，则 E(X 2 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 X 表示 12 次独立重复射击击中目标的次数，每次击中目标的概率为 05，则 E(X 2 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则 PX （分数：2.00）填空项 1:_14.设随机变量 X 在一 1，2上服从均匀分布，随机变量 Y= （分数：2.00）填空项 1:_15.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，且 X 1 U0，6，X 2 N(0，2 2 )，X 3 P(3)，记 Y=X 2 2X 2 +3X 3 ，则 D(Y)= 1
5、（分数：2.00）填空项 1:_16.设随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，令 Y=4X 一 3，则 E(Y)= 1，D(Y)= 2。（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_17.若随机变量 XN(2， 2 )，且 P(2X4)=03，则 P(X0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_18.设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 XU一 1，3，YB(10， （分数：2.00）填空项 1:_19.设常数 a0，1，随机变量 XU0，1，Y=|X 一 a|，则 E(XY)= 1（分数：2.00）填空项 1:_20.设随机变量 X，Y 相互独立，D(X)=4D(Y)，令 U=3X+2Y
6、，V=3X 一 2Y，则 UV = 1（分数：2.00）填空项 1:_21.设 X，Y 为两个随机变量，且 D(X)=9，Y=2X+3，则 X，Y 的相关系数为 1（分数：2.00）填空项 1:_22.设 X，Y 为两个随机变量，DCX)=4，D(Y)=9，相关系数为 （分数：2.00）填空项 1:_23.设 X，Y 为两个随机变量，E(X)=E(Y)=1，D(X)=9，D(Y)=1，且 XY = （分数：2.00）填空项 1:_24.设 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布，则 E|XY|= 1，D|XY|= 2（分数：2.00）填空项 1:_25.设 D(X)=1，p(Y)=9， XY =
7、一 03，则 Cov(X，Y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：7，分数：14.00)26.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_27.一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率分别为 01，02，03，假设各部件的状态相互独立，以 X 表示同时需要调整的部件数，求 E(X)，D(X)（分数：2.00）_28.设随机变量 x 服从参数为 （分数：2.00）_29.设随机变量 X，Y 同分布，X 的密度为 f(x)= 设 A=Xa与 B=Ya相互独立，且 P(A+B)=（分数：2.00）_30.某流水线上产品不合格的概率为 p
8、= （分数：2.00）_31.设试验成功的概率为 （分数：2.00）_32.游客乘电梯从底层到顶层观光，电梯于每个整点的 5 分、25 分、55 分从底层上行，设一游客早上 8点 X 分到达底层，且 X 在0，60上服从均匀分布，求游客等待时间的数学期望（分数：2.00）_考研数学一（概率统计）-试卷 5 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 X 为随机变量，E(X)=，D(X)= 2 ，则对任意常数 C 有( )（分数：2.00）A.E(XC)
9、 2 =EE(X 一 ) 2B.E(XC) 2 E(X) 2 C.EE(XC) 2 =E(X 2 )一 C 2D.E(XC) 2 E(X 一 ) 2 解析：解析：E(XC) 2 一 E(X 一 ) 2 =E(X 2 )一 2CE(X)+C 2 一E(X 2 )一 2E(X)+ 2 =C 2 +2E(X)E(X)一 C一E(X) 2 =CE(X) 2 0，选(B)3.设 X，Y 为两个随机变量，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则( )（分数：2.00）A.D(XY)=D(X)D(Y)B.D(X+Y)=D(X)+D(Y) C.X，Y 独立D.X，Y 不独立解析：解析：因为 E(XY)=E(X)E
10、(Y)，所以 Cov(X，Y)=0， 又 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)，所以 D(X+Y)=D(X)+D(Y)，选(B)4.设 X，Y 为两个随机变量，若对任意非零常数 a，b 有 D(aX+bY)=D(aX 一 bY)，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.D(XY)=D(X)D(Y)B.X，Y 不相关 C.X，Y 独立D.X，Y 不独立解析：解析：D(aX+bY)=a 2 D(X)+b 2 D(y)+2abCov(X，Y)， D(aX 一 bY)=a 2 D(X)+b 2 D(Y)一2abCoy(X，Y)， 因为 D(aX+bY)=D(aX 一 bY)，所以
11、Cov(X，Y)=0，即 X，Y 不相关，选(B)5.设 X，Y 为随机变量，若 E(XY)=E(X)E(Y)，则( )（分数：2.00）A.X，Y 独立B.X，Y 不独立C.X，Y 相关D.X，Y 不相关 解析：解析：因为 Cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)，所以若 E(XY)=E(X)E(Y)，则有 Cov(X，Y)=0，于是X，Y 不相关，选(D)6.若 E(XY)=E(X)E(Y)，则( )（分数：2.00）A.X 和 Y 相互独立B.X 2 与 Y 2 相互独立C.D(XY)=D(X)D(Y)D.D(X+Y)=D(X)+D(Y) 解析：解析：因为 E(XY)=E(X)E
12、(Y)，所以 Coy(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)=0，而 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)，所以 D(X+Y)=D(X)+D(Y)，正确答案为(D)7.设随机变量 XU0，2，Y=X 2 ，则 X，Y( )（分数：2.00）A.相关且相互独立B.不相互独立但不相关C.不相关且相互独立D.相关但不相互独立 解析：解析：二、填空题(总题数：18，分数：36.00)8.随机变量 X 的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：E(X)= + xf(x)dx= 1 0 x(1+x)dx+ 0 1 x(1 一 x)d
13、x=0， 9.从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且遇到红灯的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：显然 XB10.设随机变量 XB(n，p)，且 E(X)=5，E(X 2 )= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：15）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析：因为 E(X)=np，D(X)=np(1 一 p)，E(X 2 )=D(X)+E(X) 2 =np(1 一 p)+n 2 p 2 ，所以np=5，np(1 一 p)+n 2 p 2 = 11.随机变量 X 的密度函数为 f(
14、x)=ke |x| (一x+)，则 E(X 2 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：12.设 X 表示 12 次独立重复射击击中目标的次数，每次击中目标的概率为 05，则 E(X 2 )= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：39）解析：解析：XB(12，05)， E(X)=6，D(X)=3，E(X 2 )=D(X)+E(X) 2 =3+36=3913.设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则 PX （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 1）解析：解析：14.设随机变量 X 在一 1，2上服从均匀分布，随
15、机变量 Y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：15.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，且 X 1 U0，6，X 2 N(0，2 2 )，X 3 P(3)，记 Y=X 2 2X 2 +3X 3 ，则 D(Y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：46）解析：解析：由 D(X 1 )= 16.设随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，令 Y=4X 一 3，则 E(Y)= 1，D(Y)= 2。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）填空项 1:_ （正确答案：32）解析：解析：因为 XP(2)，所以
16、 E(X)=D(X)=2， 于是 E(Y)=4E(X)一 3=5，D(Y)=16D(X)=3217.若随机变量 XN(2， 2 )，且 P(2X4)=03，则 P(X0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：02）解析：解析：18.设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 XU一 1，3，YB(10， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：19.设常数 a0，1，随机变量 XU0，1，Y=|X 一 a|，则 E(XY)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：E(XY)=EX|Xa|= 0 1 x|xa|
17、f(x)dx = 0 1 x|xa|dx= 20.设随机变量 X，Y 相互独立，D(X)=4D(Y)，令 U=3X+2Y，V=3X 一 2Y，则 UV = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：Cov(U，V)=CoV(3X+2Y，3X2Y) =9CoV(X，X)4CoV(Y，Y)=9D(X)+4D(Y)=40D(Y)， 由X，Y 独立，得 D(U)=D(3X+2Y)= 9D(X)+4D(Y)=40D(Y) D(V)=D(3X2Y)= 9D(X)+4D(Y)=40D(Y)21.设 X，Y 为两个随机变量，且 D(X)=9，Y=2X+3，则 X，Y 的相关系数
18、为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：D(Y)=4D(X)=36， CoV(X，Y)=CoV(X，2X+3)=2CoV(X，X)+CoV(X，3)=2D(X)+CoV(X，3) 因为CoV(X，3)=E(3X)E(3)E(X)=3E(X) 3E(X)=0，所以 CoV(X，Y)=2D(X)=18， 于是22.设 X，Y 为两个随机变量，DCX)=4，D(Y)=9，相关系数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：36）解析：解析：Cov(X，Y)=23.设 X，Y 为两个随机变量，E(X)=E(Y)=1，D(X)=9，D(Y)=1，且
19、XY = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：25）解析：解析：E(X2Y+3)=E(X)2E(Y)+3=2 D(X2Y+3)=D(X2Y)=D(X)+4D(Y)4CoV(X，Y) 由CoV(X，Y)= 24.设 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布，则 E|XY|= 1，D|XY|= 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2 ）解析：解析：25.设 D(X)=1，p(Y)=9， XY =一 03，则 Cov(X，Y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：09）解析：解析：CoV(X，Y)=三、解答题(总题数：7，分数：14.00
20、)26.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：27.一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率分别为 01，02，03，假设各部件的状态相互独立，以 X 表示同时需要调整的部件数，求 E(X)，D(X)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A i =第 i 个部件需要调整)(i=1，2，3)，X 的可能取值为 0，1，2，3， P(X=3)=P(A 1 A 2 A 3 )=0006， P(X=2)=1050403980006=0092， 所以 X 的分布律为 )解析：28.设随机变量 x 服从参数为 （分数：2.00）_正确答案：(正
21、确答案：显然 YB(4，p)，其中 p=P(X3)=1 一 P(X3)， 因为 )解析：29.设随机变量 X，Y 同分布，X 的密度为 f(x)= 设 A=Xa与 B=Ya相互独立，且 P(A+B)=（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 P(A)=P(B)且 P(AB)=P(A)P(B)，所以令 P(A)=p， )解析：30.某流水线上产品不合格的概率为 p= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 的分布律为 P(X=k)=(1 一 p) k1 p(k=1，2，) )解析：31.设试验成功的概率为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设试验的次数为 X，则 X 的分布律为 )解析：32.游客乘电梯从底层到顶层观光，电梯于每个整点的 5 分、25 分、55 分从底层上行，设一游客早上 8点 X 分到达底层，且 X 在0，60上服从均匀分布，求游客等待时间的数学期望（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
