1、考研数学一（概率论与数理统计）-试卷 18及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A、B 为两个随机事件，且 B （分数：2.00）A.P(A+B)=P(A)。B.P(AB)=P(A)。C.P(BA)=P(B)。D.P(B-A)=P(B)-P(A)。3.设随机事件 A，B，C 两两独立，且 P(A)，P(B)，P(C)(0，1)，则必有( )（分数：2.00）A.C与 A-B独立。B.C与 A-B不独立。C.AC 与 BD.AC 与 B4.在最简单的
2、全概率公式 P(B)=P(A)P(BA)+ （分数：2.00）A.0P(A)1，B 为任意随机事件。B.A与 B为互不相容事件。C.A与 B为对立事件。D.A与 B为相互独立事件。5.设随机变量 X的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）A.与 a无关，随 的增大而增大。B.与 a无关，随 的增大而减小。C.与 无关，随 a的增大而增大。D.与 无关，随 a的增大而减小。6.设随机变量 X服从正态分布 N(， 2 )，其分布函数为 F(x)，则有( )（分数：2.00）A.F(g+x)+F(-x)=1。B.F(x+)+F(x-)=1。C.F(+x)+F(-x)=0。D.F(x+)+F(x-
3、)=0。7.设随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 X与 Y不相关 f X (x)，f Y (y)分别表示 X，Y 的概率密度，则在 Y=y条件下，X 的条件概率密度 f XY (xy)为( )（分数：2.00）A.f X (x)。B.f Y (y)。C.f X (x)f Y (y)。D.8.设随机变量 X和 Y都服从正态分布，则( )（分数：2.00）A.X+Y一定服从正态分布。B.X和 Y不相关与独立等价。C.(X，Y)一定服从正态分布。D.(X，-Y)未必服从正态分布。9.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n (n1)独立同分布，且其方差 2 0，令 Y= 则( ) （分数：2.00
4、）A.B.C.D.10.已知随机变量 X与 Y的相关系数为 且 0，Z=aX+b，则 Y与 Z的相关系数仍为 的充要条件是( )（分数：2.00）A.a=1，b 为任意实数。B.a0，b 为任意实数。C.a0，b 为任意实数。D.a0，b 为任意实数。11.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 N(0，1)的简单随机样本，记 （分数：2.00）A.0。B.1。C.2。D.4。二、填空题(总题数：9，分数：18.00)12.甲、乙两人轮流投篮，游戏规则规定为甲先开始，且甲每轮只投一次，而乙每轮连续投两次，先投中者为胜，设甲、乙每次投篮的命中率分别是 p与 05，则 p= 1时，甲、乙胜负概
5、率相同。（分数：2.00）填空项 1:_13.设随机变量 X服从几何分布 G()，其中 01，若 PX2= （分数：2.00）填空项 1:_14.设随机变量 XN(， 2 )，且二次方程 y 2 +4y+X=0无实根的概率为 05，则 = 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.设随机变量 X与 Y独立同分布，且都服从 p= （分数：2.00）填空项 1:_16.已知(X，Y)在以点(0，0)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，对(X，Y)作 4次独立重复观察，观察值 X+Y不超过 1出现的次数为 Z，则 E(Z 2 )= 1。（分数：2.00）填空项 1:_17.设随
6、机变量 X和 Y均服从 （分数：2.00）填空项 1:_18.D(x)=2，则根据切比雪夫不等式有 PX-E(X)2 1。（分数：2.00）填空项 1:_19.假设总体 X服从标准正态分布，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，则统计量 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_20.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，X 的概率密度函数为 f(x)= ，-x+，则 的最大似然估计量 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_2
7、2.袋中有 a个白球与 b个黑球。每次从袋中任取一个球，取出的球不再放回去，求第二次取出的球与第一次取出的球颜色相同的概率。（分数：2.00）_23.从学校乘汽车到火车站的途中有 3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 （分数：2.00）_24.已知随机变量 X与 Y相互独立且都服从参数为 的 0-1分布，即 PX=0=PX=1= （分数：2.00）_25.已知(X，Y)在以点(0，0)，(1，-1)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布。 ()求(X，Y)的联合密度函数 f(x，y)； ()求边缘密度函数 f X (x)，f Y (y)及条件密度函数 f
8、X (xy)，f YX (yx)；并问 X与 Y是否独立； ()计算概率 PX0，Y0 （分数：2.00）_26.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5的指数分布。首先开动其中一台，当其发生故障时停用，而另一台自行开动，试求两台记录仪无故障工作的总时间 T的概率密度。（分数：2.00）_27.假设二维随机变量(X，Y)在矩形区域 G=(x，y)0x2，0yl上服从均匀分布，记 （分数：2.00）_28.设随机变量 X与 Y相互独立且分别服从正态分布 N(， 2 )与 N(，2 2 )，其中 是未知参数且 0，设 Z=X-Y。 ()求 Z的概率密度 f(z； 2 )； ()设
9、Z 1 ，Z 2 ，Z n 为取自总体 Z的简单随机样本，求 2 的最大似然估计量 （分数：2.00）_29.设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取 36位考生的成绩，算得平均成绩为 665 分，标准差为 15分。问在显著性水平 005 下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70分?并给出检验过程。 附：t 分布表 Pt(n)t p (n)=p （分数：2.00）_考研数学一（概率论与数理统计）-试卷 18答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00
10、）_解析：2.设 A、B 为两个随机事件，且 B （分数：2.00）A.P(A+B)=P(A)。 B.P(AB)=P(A)。C.P(BA)=P(B)。D.P(B-A)=P(B)-P(A)。解析：解析：如图 3-1-1所示，可见 A+B=AB=A， AB=AB=B， B-A= ， 于是 P(A+B)=P(A)，P(AB)=P(B)，P(B-A)= =0， 故选项 A正确。C 选项只有当 P(A)=1时才成立。3.设随机事件 A，B，C 两两独立，且 P(A)，P(B)，P(C)(0，1)，则必有( )（分数：2.00）A.C与 A-B独立。B.C与 A-B不独立。C.AC 与 BD.AC 与 B
11、 解析：解析：对于选项 A、B： P(C(A-B)= =P(AC)-P(ABC)=P(A)P(C)-P(ABC)， P(C)P(A-B)=P(C)P(A)-P(AB)=P(A)P(C)-P(A)P(B)P(C)。 尽管 A，B，C 两两独立，但未知 A，B，C 是否相互独立，从而不能判定 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)是否成立，故选项 A、B 均不正确。4.在最简单的全概率公式 P(B)=P(A)P(BA)+ （分数：2.00）A.0P(A)1，B 为任意随机事件。 B.A与 B为互不相容事件。C.A与 B为对立事件。D.A与 B为相互独立事件。解析：解析：5.设随机变量 X的密度函数
12、为 f(x)= （分数：2.00）A.与 a无关，随 的增大而增大。B.与 a无关，随 的增大而减小。C.与 无关，随 a的增大而增大。 D.与 无关，随 a的增大而减小。解析：解析：概率 PX+a(a0)，显然与 a有关，固定 随 a的增大而增大，因而选 C。 事实上，由于 ，概率 PX+a= 6.设随机变量 X服从正态分布 N(， 2 )，其分布函数为 F(x)，则有( )（分数：2.00）A.F(g+x)+F(-x)=1。 B.F(x+)+F(x-)=1。C.F(+x)+F(-x)=0。D.F(x+)+F(x-)=0。解析：解析：7.设随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 X与 Y不相
13、关 f X (x)，f Y (y)分别表示 X，Y 的概率密度，则在 Y=y条件下，X 的条件概率密度 f XY (xy)为( )（分数：2.00）A.f X (x)。 B.f Y (y)。C.f X (x)f Y (y)。D.解析：解析：因为(X，Y)服从二维正态分布，且 X与 Y不相关，那么 X与 Y独立，且 f(x，y)=f X (x)f Y (y)。 则 8.设随机变量 X和 Y都服从正态分布，则( )（分数：2.00）A.X+Y一定服从正态分布。B.X和 Y不相关与独立等价。C.(X，Y)一定服从正态分布。D.(X，-Y)未必服从正态分布。 解析：解析：选项 A不成立，例如，若 Y=
14、-X，则 X+Y=0不服从正态分布。选项 C不成立，(X，Y)不一定服从正态分布，因为边缘分布一般不能决定联合分布。选项 B也不成立，因为只有当 X和 Y的联合分布是二维正态分布时“x 和 Y独立”与“X 和 Y不相关”二者等价。故应选 D。虽然随机变量 X和-Y 都服从正态分布，但是因为边缘分布一般不能决定联合分布，故(X，-Y)未必服从正态分布。9.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n (n1)独立同分布，且其方差 2 0，令 Y= 则( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：因为 Cov(X 1 ，Y)= 而由 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，可得 Cov(X 1
15、，X i )=0，i=2，3，n。 所以 Cov(X 1 ，Y)= 10.已知随机变量 X与 Y的相关系数为 且 0，Z=aX+b，则 Y与 Z的相关系数仍为 的充要条件是( )（分数：2.00）A.a=1，b 为任意实数。B.a0，b 为任意实数。 C.a0，b 为任意实数。D.a0，b 为任意实数。解析：解析：直接计算 Y与 Z的相关系数来确定正确选项。由于 Cov(Y，Z)=cov(Y，aX+b)=aCov(X，Y)，D(Z)=D(aX+b)=a 2 D(X)，所以 11.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 N(0，1)的简单随机样本，记 （分数：2.00）A.0。B.1。C.2
16、。 D.4。解析：解析： =0，E(S 2 )=1，且 和 S 2 相互独立。故 E(T)= 二、填空题(总题数：9，分数：18.00)12.甲、乙两人轮流投篮，游戏规则规定为甲先开始，且甲每轮只投一次，而乙每轮连续投两次，先投中者为胜，设甲、乙每次投篮的命中率分别是 p与 05，则 p= 1时，甲、乙胜负概率相同。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据题意，如果要使得甲、乙的取胜概率相同，则必定有 p=(1-p)05+(1-p)0505 解得 p= 。所以只有当 p=13.设随机变量 X服从几何分布 G()，其中 01，若 PX2= （分数：2.00）填
17、空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：PX2=PX=1+PX=2=(1-) 1-1 +(1-) 2-1 =2- 2 = 解得 = (舍)，故 PX=3=(1-) 2 = 14.设随机变量 XN(， 2 )，且二次方程 y 2 +4y+X=0无实根的概率为 05，则 = 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：设事件 A表示“二次方程 y 2 +4y+X=0无实根”，则 A=16-4X0=X4，依题意，有P(A)=PX4= 而 15.设随机变量 X与 Y独立同分布，且都服从 p= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：
18、解析：根据题意显然 Z也是离散型随机变量，只取 0，1 两个值，且 PZ=0=Pmax(X，Y)=0=PX=0，Y=0=PX=0PY=0= PZ=1=1-PZ=0= 所以 Z的分布律为16.已知(X，Y)在以点(0，0)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，对(X，Y)作 4次独立重复观察，观察值 X+Y不超过 1出现的次数为 Z，则 E(Z 2 )= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：根据题干可知(X，Y)的联合概率密度函数为 令事件 A=“X+Y1”，则 Z是 4次独立重复试验事件 A发生的次数，故 ZB(4，p)，其中如图 3
19、-4-1所示 p=P(A)=PX+Y117.设随机变量 X和 Y均服从 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：根据题意可知 D(X)=D(Y)= ，且 1=D(X+Y)=D(X)+D(y)+2Cov(X，Y)= +2Cov(X，Y)，解得 Cov(X，Y)= 。故相关系数18.D(x)=2，则根据切比雪夫不等式有 PX-E(X)2 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据切比雪夫不等式，有 PX-E(X) 于是可得 PX-E(X)219.假设总体 X服从标准正态分布，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样
20、本，则统计量 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：t）填空项 1:_ （正确答案：2）填空项 1:_ （正确答案：n1）解析：解析：根据简单随机样本的性质，X 1 ，X 2 ，X n 是相互独立且同服从分布 N(0，1)，所以 X 1 -X 2 与 相互独立，X 1 与 也相互独立，且有 X 1 -X 2 N(0，2)， 20.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X的简单随机样本，X 的概率密度函数为 f(x)= ，-x+，则 的最大似然估计量 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：似然函数 两端取对数，可得三、解答题(总题数：9，
21、分数：18.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：22.袋中有 a个白球与 b个黑球。每次从袋中任取一个球，取出的球不再放回去，求第二次取出的球与第一次取出的球颜色相同的概率。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设事件 A 1 表示第一次取出的是白球，事件 A 2 表示第二次取出的也是白球，事件 B 1 表示第一次取出的是黑球，事件 B 2 表示第二次取出的也是黑球。如果两次取出的球颜色相同，则用 A 1 A 2 +B 1 ，B 2 表示。 不放回抽取属于条件概率， 即 P(A 1 A 2 )=P(A 1 )P(A 2 A 1 )=即 P(B
22、 1 B 2 )=P(B 1 )P(B 2 B 1 )= 根据概率运算的加法原理，有 P(A 1 A 2 +B 1 B 2 )=P(A 1 A 2 )+P(B 1 B 2 ) )解析：23.从学校乘汽车到火车站的途中有 3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意 X服从二项分布 ，因此 X的分布律为 因此，X 的分布函数为X的数学期望是 E(X)= )解析：24.已知随机变量 X与 Y相互独立且都服从参数为 的 0-1分布，即 PX=0=PX=1= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于(X，Y)是二维离散随
23、机变量，故由边缘分布及相互独立可求得联合分布；应用解题一般模式，即可求得 Z及(X，Z)的分布，进而判断 X、Z 是否独立。 由题设知 将其改写成矩阵形式，求 Z、(X，Z)的分布： 由此可得 Z服从参数 p= 的 0-1分布；所以(X，Z)的联合概率分布为 因 PX=i，Z=j= )解析：25.已知(X，Y)在以点(0，0)，(1，-1)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布。 ()求(X，Y)的联合密度函数 f(x，y)； ()求边缘密度函数 f X (x)，f Y (y)及条件密度函数 f X (xy)，f YX (yx)；并问 X与 Y是否独立； ()计算概率 PX0，Y0 （分
24、数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由于以(0，0)，(1，-1)，(1，1)为顶点的三角形面积为 1，如图 3-3-2所示，故 由于 f X (x)f Y (y)f(x，y)，所以 X与 Y不独立。 )解析：26.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5的指数分布。首先开动其中一台，当其发生故障时停用，而另一台自行开动，试求两台记录仪无故障工作的总时间 T的概率密度。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设先后开动的两台自动记录仪无故障工作的时间分别为 X 1 与 X 2 ，则 T=X 1 +X 2 ，X 1 ，X 2 的密度函数均为 直接根据两个独立的连续型随机变
25、量之和的卷积公式，可得 从而其概率密度为 )解析：27.假设二维随机变量(X，Y)在矩形区域 G=(x，y)0x2，0yl上服从均匀分布，记 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()已知(U，V)是二维离散型随机变量，只取(0，0)，(1，0)，(1，1)各值，且 PU=0，V=0=PXY，X2Y=PXY= PU=1，V=0=PXY，X2Y=PYX2Y= PU=1，V=1=PXY，X2Y=PX2Y= 于是(U，V)的联合分布为 ()从()中分布表看出 )解析：28.设随机变量 X与 Y相互独立且分别服从正态分布 N(， 2 )与 N(，2 2 )，其中 是未知参数且 0，设 Z=X-Y。
26、 ()求 Z的概率密度 f(z； 2 )； ()设 Z 1 ，Z 2 ，Z n 为取自总体 Z的简单随机样本，求 2 的最大似然估计量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因为 XN(， 2 )，YN(，2 2 )，且 X与 Y相互独立，故 Z=X-YN(0，3 2 )，所以，Z 的概率密度为 F(z； 2 )= (-z+)。 ()似然函数 解得最大似然估计值为 )解析：29.设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取 36位考生的成绩，算得平均成绩为 665 分，标准差为 15分。问在显著性水平 005 下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70分?并给出检验过程。 附：t 分布表 Pt(n)t p (n)=p （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：假设该次考试的考生成绩为 X，XN(， 2 )，把从 X中抽取的容量为 n的样本均值记为 ，样本标准差为 S，则本题是在显著性水平 =005 的条件下检验假设 H 0 ：=70，H 1 ：70， 其拒绝域为 因为 n=36， =665，S=15，t 0.975 (36-1)=20301，计算可得 )解析：
