1、考研数学一（线性代数）-试卷 11 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.下列矩阵中不能相似于对角阵的矩阵是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.A 是 n 阶矩阵，则 A 相似于对角阵的充分必要条件是 ( )（分数：2.00）A.A 有 n 个不同的特征值B.A 有 n 个不同的特征向量C.A 的每个 r i 重特征值 i ，r( i E-A)=n-r iD.A 是实对称矩阵4.设 （分数：2.00）A.A，B，CB.B，DC.A，C，DD
2、.A，C5.设 A，B 均为 n 阶矩阵，A 可逆且 AB，则下列命题中： ABBA； A 2 B 2 ； A T B T ； A -1 B -1 正确命题的个数为 ( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.46.已知 （分数：2.00）A. 1 ，- 2 ， 3 B. 1 ， 2 + 3 ， 2 -2 3 C. 1 ， 2 ， 3 D. 1 + 2 ， 1 - 2 ， 3 7.设 A 是 n 阶实矩阵，将 A 的第 i 列与 j 列对换，然后再将第 i 行和第 j 行对换，得到 B，则 A，B 有 ( )（分数：2.00）A.AB，但 ABB.AB，但 ABC.AB，AB，但 ABD.A
3、B，AB，且 AB8.下列矩阵中与 合同的矩阵是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.实二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )的秩为 r，符号差为 s，且 f 和-f 合同，则必有 ( )（分数：2.00）A.r 是偶数，s=1B.r 是奇数，s=1C.r 是偶数，s=0D.r 是奇数，s=010.设 A=E-2XX T ，其中 X=x 1 ，x 2 ，x n T ，且 X T X=1，则 A 不是 ( )（分数：2.00）A.对称阵B.可逆阵C.正交阵D.正定阵二、填空题(总题数：5，分数：10.00)11.已知 =a，1，1 T 是矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_
4、12.已知 =1，3，2 T ，=1，-1，-2 T ，A=E- T ，则 A 的最大特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_13.已知 A （分数：2.00）填空项 1:_14.设 A 是 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是三个线性无关的 3 维列向量，满足 A i = i ，i=1，2，3，则 A= 1（分数：2.00）填空项 1:_15.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：30.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.已知二次曲面方程 x 2 +ay 2 +z
5、2 +2bxy+2xz+2yz=4 可以经过正交变换 （分数：2.00）_18.已知 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= （分数：2.00）_19.已知 A 是 mn 矩阵，mn证明：AA T 是对称阵，并且 AA T 正定的充要条件是 r(A)=m（分数：2.00）_20.设矩阵 A= （分数：2.00）_21.设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，B 为 mn 实矩阵，B T 为 B 的转置矩阵证明：A T AB 为正定矩阵的充分必要条件是 B 的秩 r(B)=n（分数：2.00）_22.设 A 为 mn 实矩阵，E 为 n 阶单位矩阵已知矩阵 B=E+A T A，试证：当 0 时，矩阵
6、B 为正定矩阵（分数：2.00）_23.证明：实对称矩阵 A 可逆的充分必要条件为存在实矩阵 B，使得 AB+B T A 正定（分数：2.00）_24.设 A 与 B 均为正交矩阵，并且A+B=0证明：A+B 不可逆（分数：2.00）_25.已知 f(x，y)=x 2 +4y+y 2 ，求正交变换 P， ，使得 （分数：2.00）_26.已知三元二次型 X T AX 经正交变换化为 ，又知矩阵 B 满足矩阵方程 （分数：2.00）_27.设 A 为 n 阶正定矩阵，证明：存在唯一正定矩阵 H，使得 A=H 2 （分数：2.00）_28.设方阵 A 1 与 B 1 合同，A 2 与 B 2 合同
7、，证明： （分数：2.00）_29.已知 R 3 的两个基分别为 （分数：2.00）_30.设 B 是秩为 2 的 54 矩阵， 1 =1，1，2，3 T ， 2 =-1，1，4，-1 T ， 3 =5，-1，-8，9 T 是齐次线性方程组 Bx=0 的解向量，求 Bx=0 的解空间的一个标准正交基（分数：2.00）_考研数学一（线性代数）-试卷 11 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.下列矩阵中不能相似于对角阵的矩阵是 ( ) （分数：2.0
8、0）A. B.C.D.解析：解析：因(D)是对称阵，必相似于对角阵，(C)有三个不同的特征值，能相似于对角阵(A)，(B)的特征值均为 =1(二重)，=2(单根)，当 =1 时，r(E-A)= =2，只对应一个线性无关的特征向量，故 A 不能相似于对角阵 而 =1 时，r(E-B)=3.A 是 n 阶矩阵，则 A 相似于对角阵的充分必要条件是 ( )（分数：2.00）A.A 有 n 个不同的特征值B.A 有 n 个不同的特征向量C.A 的每个 r i 重特征值 i ，r( i E-A)=n-r i D.A 是实对称矩阵解析：解析：A 相似于对角阵 有 n 个线性无关特征向量 4.设 （分数：2
9、.00）A.A，B，CB.B，DC.A，C，D D.A，C解析：解析：矩阵 A 的特征值是 1，3，5，因为矩阵 A 有 3 个不同的特征值，所以 A 可相似对角化 矩阵 B 的特征值是 2，2，5，由于秩 所以，=2 只有一个线性无关的特征向量，因而矩阵 B 不能相似对角化 矩阵 C 是实对称矩阵，故必有 C 可相似对角化 矩阵 D 的特征值也是 2，2，5，由于秩5.设 A，B 均为 n 阶矩阵，A 可逆且 AB，则下列命题中： ABBA； A 2 B 2 ； A T B T ； A -1 B -1 正确命题的个数为 ( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.4 解析：解析：由 AB
10、可知：存在可逆矩阵 P，使得 P -1 AP=B故 P -1 A 2 P=B 2 ， P T A T (P T )=B T ， P -1 A -1 P=B -1 ， 所以 A 2 B 2 ，A T B T ，A -1 B -1 又由于 A 可逆，可知 A -1 (AB)A=BA，故 ABBA故正确的命题有 4 个，选(D)6.已知 （分数：2.00）A. 1 ，- 2 ， 3 B. 1 ， 2 + 3 ， 2 -2 3 C. 1 ， 2 ， 3 D. 1 + 2 ， 1 - 2 ， 3 解析：解析：若 P -1 AP=A= ，P= 1 ， 2 ， 3 ，则有 AP=PA，即 A 1 ， 2 ，
11、 3 = 1 ， 2 ， 3 7.设 A 是 n 阶实矩阵，将 A 的第 i 列与 j 列对换，然后再将第 i 行和第 j 行对换，得到 B，则 A，B 有 ( )（分数：2.00）A.AB，但 ABB.AB，但 ABC.AB，AB，但 ABD.AB，AB，且 AB 解析：解析：由题意，E ij AE ij =B其中 因 E ij 是可逆阵，E ij AE ij =B，故 AB； E ij 可逆，且 E ij = ，故 AB； E ij 是对称阵， 8.下列矩阵中与 合同的矩阵是 ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因9.实二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )的秩为
12、r，符号差为 s，且 f 和-f 合同，则必有 ( )（分数：2.00）A.r 是偶数，s=1B.r 是奇数，s=1C.r 是偶数，s=0 D.r 是奇数，s=0解析：解析：f 的正惯性指数为 p，负惯性指数为 q，-f 的正惯性指数为 p 1 ，负惯性指数为 q 1 ，则有p=q 1 ，q=p 1 ，又 10.设 A=E-2XX T ，其中 X=x 1 ，x 2 ，x n T ，且 X T X=1，则 A 不是 ( )（分数：2.00）A.对称阵B.可逆阵C.正交阵D.正定阵 解析：解析：A T =(E-2XX T ) T =E-2XX T =A，A 是对称阵； A 2 =(E-2XX T
13、) 2 =E-4XX T +4XX T XX T =E，A 是可逆阵； A 可逆，A 对称，且 A 2 =AA T =E，A 是正交阵； AX=(E-2XX T )X=-X，X0，=-1是 A 的特征值，故 A 不是正定阵二、填空题(总题数：5，分数：10.00)11.已知 =a，1，1 T 是矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-1）解析：解析：a 是矩阵 A -1 属于特征值 0 的特征向量，由定义 A -1 = 0 ，于是 = 0 A，即 12.已知 =1，3，2 T ，=1，-1，-2 T ，A=E- T ，则 A 的最大特征值为 1（分数：2.00）填
14、空项 1:_ （正确答案：正确答案：7）解析：解析：由于矩阵 T 的秩为 1，故 T 的特征值为 0，0，tr( T )，其中 tr( T )= T =-6 故 A=E- T 的特征值为 1，1，7，故 A 的最大特征值为 713.已知 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：A ，存在可逆阵 P，使得 r(A-E)=r(PAP -1 -E)=r(P(A-E)P -1 )=r(A-E)= r(A+2E)=r(P(A+2E)P -1 )=r(A+2E)= 14.设 A 是 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是三个线性无关的 3 维列向量，满足 A i = i
15、，i=1，2，3，则 A= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：E）解析：解析：因 A 1 = 1 ，A 2 = 2 ，A 3 = 3 ，合并成矩阵形式有 A 1 ，A 2 ，A 3 =A 1 ， 2 ， 3 = 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 ， 2 ， 3 是可逆阵，故 A= 1 ， 2 ， 3 1 ， 2 ， 3 -1 =E15.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：f 的对应矩阵 A= 取公共部分，知 t 的取值范围是三、解答题(总题数：15，分数：30
16、.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.已知二次曲面方程 x 2 +ay 2 +z 2 +2bxy+2xz+2yz=4 可以经过正交变换 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型的矩阵 A= ，其特征值 1 =0， 2 =1， 3 =4 由 属于 1 =0 的正交单位化特征向量 p 1 = 属于 2 =1 的正交单位化特征向量 p 2 = 属于 3 =4 的正交单位化特征向量 p 3 = )解析：18.已知 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A= ，r(A)=2，A=0，解得 c=3 又E
17、-A= =(-4)(-9)=0， 得 1 =0， 2 =4， 3 =9存在正交阵 Q，令 X=QY，则 )解析：19.已知 A 是 mn 矩阵，mn证明：AA T 是对称阵，并且 AA T 正定的充要条件是 r(A)=m（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(AA T ) T =(A T ) T A T =AA T ，所以 AA T 是对称阵 必要性 若 AA T 正定，r(AA T )=mr(A)，又 r(A mn )m，故 r(A)=m 充分性 若 r(A)=m，则齐次方程组 A T X=0 只有零解，故对任意 X0，均有 A T X0，故 X T AA T X=(A T X) T
18、(A T X)0， 即 AA T 正定)解析：20.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E-A= =(-2) 2 ，A 是实对称阵，故存在正交阵 Q，使得 Q T AQ=A 1 = ，A=QA 1 Q T ， B=(kE+A) 2 =(kE+QA 1 Q T ) 2 =(Q(kE+A 1 )Q T ) 2 =Q(kE+A 1 ) 2 Q T = 故 BA= )解析：21.设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，B 为 mn 实矩阵，B T 为 B 的转置矩阵证明：A T AB 为正定矩阵的充分必要条件是 B 的秩 r(B)=n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 B
19、T AB 为对称矩阵 B T AB 为正定矩阵 )解析：22.设 A 为 mn 实矩阵，E 为 n 阶单位矩阵已知矩阵 B=E+A T A，试证：当 0 时，矩阵 B 为正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用定义证明显然 B 为对称矩阵对 )解析：23.证明：实对称矩阵 A 可逆的充分必要条件为存在实矩阵 B，使得 AB+B T A 正定（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性 取 B=A -1 ，则 AB+B T A=E+(A -1 ) T A=2E，所以 AB+B T A 是正定矩阵 充分性用反证法若 A 不是可逆矩阵，则 r(A)n，于是存在实向量 x 0 0 使得
20、 Ax 0 =0因为 A 是实对称矩阵，B 是实矩阵，于是有 )解析：24.设 A 与 B 均为正交矩阵，并且A+B=0证明：A+B 不可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AA 4 =E 有A 2 =1，因此，正交矩阵的行列式为 1 或-1由A+B=0有AB=-1，也有A T .B T =-1 再考虑到A T (A+B)B T =A T +B T =A+B，所以-A+B=A+B，A+B=0 故 A+B 不可逆)解析：25.已知 f(x，y)=x 2 +4y+y 2 ，求正交变换 P， ，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 实对称矩阵 A 与 B 有相同的特征值，因此
21、 A 与 B 合同 A 的特征向量是令 )解析：26.已知三元二次型 X T AX 经正交变换化为 ，又知矩阵 B 满足矩阵方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由条件知 A 的特征值为 2，-1，-1，则A=2，因为 A * 的特征值为 ，所以 A * 的特征值为 1，-2，-2，由已知， 是 A * 关于 =1 的特征向量，也就是 a 是 A 关于 =2 的特征向量 由 得 2ABA -1 =2AB+4E B=2(E-A) -1 ，则 B 的特征值为-2，1，1，且B=-2设 B 关于 =1 的特征向量为 =x 1 ，x 2 ，x 3 T ，又 B 是实对称阵， 与 正交，故 x
22、 1 +x 2 -x 3 =0，解出 1 =1，-1，0 T ， 2 =1，0，1 T ，令 )解析：27.设 A 为 n 阶正定矩阵，证明：存在唯一正定矩阵 H，使得 A=H 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 A 为 n 阶正定矩阵，故存在正交矩阵 U，使得 这里，0 1 2 n 为 A 的全部特征值 并且 H 仍为正定矩阵 如果存在另一个正定矩阵 H 1 ，使得 A= ，对于 H 1 ，存在正交矩阵 U 1 ，使得 令 则 i p ij = j p ij (i，j=1，2，n)，当 i j 时，p ij =0，这时 (i，j=1，2，n)；当 i = j 时，当然有 (i
23、，j=1，2，n)故 )解析：28.设方阵 A 1 与 B 1 合同，A 2 与 B 2 合同，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 1 与 B 1 合同，所以存在可逆矩阵 C 1 ，使 因为 A 2 与 B 2 合同，所以存在可逆矩阵 C 2 ，使 令 )解析：29.已知 R 3 的两个基分别为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 1 ， 2 ， 3 = 1 ， 2 ， 3 P，可得 P= 1 ， 2 ， 3 -1 1 ， 2 ， 3 = )解析：30.设 B 是秩为 2 的 54 矩阵， 1 =1，1，2，3 T ， 2 =-1，1，4，-1 T ， 3 =5，-1，-8，9 T 是齐次线性方程组 Bx=0 的解向量，求 Bx=0 的解空间的一个标准正交基（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求 Bx=0 的基础解系由 r(B 54 )=2，有 Bx=0 的基础解系含 4-r(b)=2 个线性无关的解向量显然 1 ， 2 线性无关，则 1 ， 2 为 Bx=0 的一个基础解系 将 1 ， 2 正交单位化得 Bx=0 的解空间的一个标准正交基： )解析：
