1、考研数学一（线性代数）-试卷 26 及答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.与矩阵 D= 相似的矩阵是 （分数：2.00）A.B.C.D.3.n 阶方阵 A 有 n 个两两不同特征值是 A 与对角矩阵相似的( )（分数：2.00）A.充分必要条件B.充分而非必要的条件C.必要而非充分条件D.既非充分也非必要条件4.设 A、B 为同阶方阵，则 A 与 B 相似的充分条件是( )（分数：2.00）A.秩(A)=秩(B)B.A=BC.A、B 有相同的特征多项式D
2、.A、B 有相同的特征值 1 ， 2 ， n ，且 1 ， 2 ， n 两两不同5.设 n 阶矩阵 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则( )（分数：2.00）A.E 一 A=E 一 BB.A 和 B 有相同的特征值和特征向量C.A 和 B 都相似于同一个对角矩阵D.对任意常数 t，tEA 与 tE 一 B 都相似6.设 为 n 阶可逆矩阵 A 的一个特征根，则 A 的伴随矩阵 A * 的特征根之一是( )（分数：2.00）A. 1 A n B. 一AC.AD.A n 二、填空题(总题数：4，分数：8.00)7.设 1 、 n 为 n 阶实对称矩阵 A 的两个不同特征值，X 1 为对应
3、于 1 的一个单位特征向量，则矩阵 B=A 1 X 1 X 1 T 有两个特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_8.设 4 阶矩阵 A 与 B 相似，矩阵 A 的特征值为 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 3 阶矩阵 A 的特征值为 （分数：2.00）填空项 1:_10.设向量 =(1，0，一 1) T ，矩阵 A= T ，a 为常数，n 为正整数，则行列式aEA n = 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：24，分数：48.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_12.设 3 阶矩阵 A 满足 A i =i i (i=1，2
4、，3)，其中 1 =(1，2，2) T ， 2 =(2，一 2，1) T ， 3 =(一 2，一 1，2) T ，求矩阵 A（分数：2.00）_13.设 1 ， 2 是 n 阶方阵 A 的两个不同特征值，X 1 、X 2 分别为属于 1 、 2 的特征向量证明：X 1 +X 2 是 A 的特征向量（分数：2.00）_14.设 （分数：2.00）_15.设 （分数：2.00）_16.设 4 阶方阵 A 满足条件 （分数：2.00）_17.设 （分数：2.00）_18.设 （分数：2.00）_19.设 （分数：2.00）_20.设 （分数：2.00）_21.设向量 =(a 1 ，a 2 ，a n
5、) T ，=(b 1 ，b 2 ，b n ) T 都是非零向量，且满足条件 T =0记 n 阶矩阵 A= T ，求：(1)A 2 ；(2)矩阵 A 的特征值和特征向量（分数：2.00）_22.设 A= （分数：2.00）_23.已知 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 6，3，3，=(1，1，1) T 是属于特征值 =6 的特征向量，求矩阵A（分数：2.00）_24.已知矩阵 A=(a ij ) mn (n2)的秩为 n 一 1，求 A 的伴随矩阵 A * 的特征值和特征向量（分数：2.00）_25.设 n 阶方阵 A、B 可交换，即 AB=BA，且 A 有 n 个互不相同的特征值证明：(1)A
6、 的特征向量都是 B 的特征向量；(2)B 相似于对角矩阵（分数：2.00）_26.若矩阵 A= （分数：2.00）_27.设矩阵 A= （分数：2.00）_28.设 =(a 1 ，a 2 ，a n ) T 为 R n 中的非零向量，方阵 A= T (1)证明：对于正整数 m，存在常数 t，使 A m =t m1 A，并求出 t； (2)求可逆矩阵 P，使 P 1 AP 为对角阵 A（分数：2.00）_29.设 n 阶矩阵 （分数：2.00）_30.设三阶实对称矩阵的秩为 2， 1 = 2 =6 是 A 的二重特征值，若 1 =(1，1，0) T ， 2 =(2，1，1) T ， 3 =(一
7、1，2，一 3) T 都是 A 的属于特征值 6 的特征向量 (1)求 A 的另一特征值和对应的特征向量； (2)求矩阵 A（分数：2.00）_31.设 A 为 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的 3 维列向量，且满足 A 1 = 1 + 2 + 3 ，A 2 =2 2 + 3 ，A 3 =2 2 +3 3 (1)求矩阵 B，使 A 1 ， 2 ， 3 = 1 ， 2 ， 3 B； (2)求 A 的特征值； (3)求一个可逆矩阵 P，使得 P 1 AP 为对角矩阵（分数：2.00）_32.设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 1 =(一 1，2，一 1) T ，
8、2 =(0，一 1，1) T 是线性方程组 Ax=0 的两个解求出矩阵 A 及(A 一 （分数：2.00）_33.设 A 为 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 为 A 的分别属于特征值一 1，1 的特征向量，向量 3 满足A 3 =2 2 +3 3 (I)证明 1 ， 2 ， 3 线性无关； ()令 P= 1 ， 2 ， 3 ，求P -1 AP（分数：2.00）_34.设 A= ，正交矩阵 Q 使得 QTAQ 为对角矩阵若 Q 的第 1 列为 （分数：2.00）_考研数学一（线性代数）-试卷 26 答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.
9、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.与矩阵 D= 相似的矩阵是 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：A 与对角矩阵 D 相似 3.n 阶方阵 A 有 n 个两两不同特征值是 A 与对角矩阵相似的( )（分数：2.00）A.充分必要条件B.充分而非必要的条件 C.必要而非充分条件D.既非充分也非必要条件解析：4.设 A、B 为同阶方阵，则 A 与 B 相似的充分条件是( )（分数：2.00）A.秩(A)=秩(B)B.A=BC.A、B 有相同的特征多项式D.A、B 有相同的特征值 1 ， 2 ， n ，且 1 ， 2 ， n 两两不同
10、 解析：解析：当 n 阶方阵有 n 个互不相同特征值时它也相似于对角矩阵故在选项(D)的条件下，存在适当的可逆矩阵 P、Q，使 P 1 AP=D，Q 1 BQ=D，其中 D=diag( 1 ， 2 =1， n )为对角矩阵故有 P 1 AP=Q 1 BQ，QP 1 APQ 1 =B，(PQ 1 ) 1 A(PQ 1 )=B，记矩阵 M=PQ 1 ，则 M可逆，且使 M 1 AM=B，所以在选项(D)的条件下，A 与 B 必相似5.设 n 阶矩阵 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则( )（分数：2.00）A.E 一 A=E 一 BB.A 和 B 有相同的特征值和特征向量C.A 和 B
11、都相似于同一个对角矩阵D.对任意常数 t，tEA 与 tE 一 B 都相似 解析：解析：当 A 与 B 相似时，有可逆矩阵 P，使 P 1 AP=B，故 P 1 (tE 一 A)P=P 1 tEPP 1 AP=tEB，即 tEA 与 tE 一 B 相似，故选项(D)正确实际上，若 A 与 B 相似，则对任何多项式 f，f(A)与 f(B)必相似6.设 为 n 阶可逆矩阵 A 的一个特征根，则 A 的伴随矩阵 A * 的特征根之一是( )（分数：2.00）A. 1 A n B. 一A C.AD.A n 解析：解析：由条件，存在非零列向量 x，使 Ax=x，两端左乘 A * 并利用 A * A=A
12、E，得Ax=A x x，因 A 可逆，故 A 的特征值 0，两端乘 二、填空题(总题数：4，分数：8.00)7.设 1 、 n 为 n 阶实对称矩阵 A 的两个不同特征值，X 1 为对应于 1 的一个单位特征向量，则矩阵 B=A 1 X 1 X 1 T 有两个特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析： 2 设 X 2 是 A 的属于 2 的一个特征向量，则 BX 1 =AX 1 1 X 1 (X 1 T X 1 )= 1 X 1 一 1 X 1 =0=0X 1 ，BX 2 =AX 2 一 1 X 1 (X 1 T X 2 )=AX 2 一 1 X 1
13、0=AX 1 = 2 X 2 故 B 有特征值 0 和 2 8.设 4 阶矩阵 A 与 B 相似，矩阵 A 的特征值为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：24）解析：解析：B 的特征值为 9.设 3 阶矩阵 A 的特征值为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1 620）解析：解析：A= 10.设向量 =(1，0，一 1) T ，矩阵 A= T ，a 为常数，n 为正整数，则行列式aEA n = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a(a 一 2 n )）解析：解析：实对称矩阵 A 的特征值为 0，0，2，故存在可逆矩阵 P，使
14、P 1 AP= ，P 1 (aE一 A n )P=aE 一 P 1 A n P=aE 一(P 1 AP) n =aE 一 三、解答题(总题数：24，分数：48.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：12.设 3 阶矩阵 A 满足 A i =i i (i=1，2，3)，其中 1 =(1，2，2) T ， 2 =(2，一 2，1) T ， 3 =(一 2，一 1，2) T ，求矩阵 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由条件知 1 ， 2 ， 3 分别是 A 的对应于特征值 1，2，3 的特征向量，因此 A 可相似对角化，令矩阵 )解析：13.
15、设 1 ， 2 是 n 阶方阵 A 的两个不同特征值，X 1 、X 2 分别为属于 1 、 2 的特征向量证明：X 1 +X 2 是 A 的特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：可用反证法：若 X 1 +X 2 是 A 的属于特征值 0 的特征向量，则有 A(X 1 +X 2 )= 0 (X 1 +X 2 )得 AX 1 +AX 2 = 0 (X 1 +X 2 )， 1 X 1 + 2 X )解析：14.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 的特征值为 1 = 2 =1， 3 =一 1，A 有 3 个线性无关特征向量 A 的属于 1 = 2 =1 的线性无关特征向量有
16、2 个 )解析：15.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)求3EA=8(2 一 y)=0，y=2(2)A T =A，可知(AP) T (AP)=P T A T AP=P T A 2 P，由配方法：X T A 2 X=(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 )A 2 (x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 ) T =x 1 2 +x 2 2 +5(x 3 + x 4 2 ，令 )解析：16.设 4 阶方阵 A 满足条件 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 ，由 AA T =2I，A 2 =2 4 =16，及A0，得A=一 4，由特征值的性质知 A * 有一个特征值为 )
17、解析：17.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 解得 a=5，b=6，计算可得对应于特征值 2，26 的线性无关特征向量分别可取为 1 =(1，一 1，0) T ， 2 =(1，0，1) T ， 1 =(1，一 2，3) T ，于是可取 P= 1 2 3 = )解析：18.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由E 一 A= =(A+1) 2 (一 1)=0，得 A 的全部特征值为 1 = 2 =一1， 3 =1故 A 可对角化 A 的属于 2 重特征值 1 = 2 =1 的线性无关特征向量有 2 个 方程组(一 EA)x=0 的基础解系含 2 个向量 k=0当 k=0
18、时，可求出 A 的对应于特征值一 1，一 1；1 的线性无关特征向量分别可取为 1 =(一 1，2，0) T ， 2 =(1，0，2) T ； 3 =(1，0，1) T ，故令 P= 1 2 3 = )解析：19.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由条件知方程组(2EA)x=0 的基础解系含 2 个向量，故 2EA 的秩为 1，得x=2，y=一 2， )解析：20.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由条件知 r(A)=rA |3，a=一 2，Q= )解析：21.设向量 =(a 1 ，a 2 ，a n ) T ，=(b 1 ，b 2 ，b n ) T 都是非零向量，且满足
19、条件 T =0记 n 阶矩阵 A= T ，求：(1)A 2 ；(2)矩阵 A 的特征值和特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由于 T = T =0，故 A 2 = T T =( T ) T =(0) T =0(2)因 A 2 =O，故 A 的特征值全为零因 0，0，不妨设 a 1 0，b 2 0，则由 )解析：22.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：易求得实对称矩阵 A 的特征值为 2，2，0，故存在可逆矩阵 P，使 P 1 AP= ，故 P 1 BP=P 1 (kE+A) 2 P=P 1 (kE+a)P 2 =(kE+P 1 AP) 2 = D，即 B
20、与对角矩阵 D相似；且由 D 知 B 的特征值为(2+k) 2 ，(2+k) 2 ，k 2 ，因为实对称矩阵正定当且仅当它的特征值都大于零，故 B 正定 )解析：23.已知 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 6，3，3，=(1，1，1) T 是属于特征值 =6 的特征向量，求矩阵A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A 的属于特征值 2 = 3 =3 的特征向量为 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，则由实对称矩阵的性质，有 0=x 1 +x 2 +x 3 ，解这个齐次线性方程得其基础解系为 2 =(一1，1，0) T ， 3 =(1，1，一 2) T ，则 2 ， 3 就是属
21、于 2 = 3 =3 的线性无关特征向量 1 ， 2 ， 3 已是正交向量组，将它们单位化，得 A 的标准正交的特征向量为 l 1 = ，于是得正交矩阵 )解析：24.已知矩阵 A=(a ij ) mn (n2)的秩为 n 一 1，求 A 的伴随矩阵 A * 的特征值和特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A * A=AE=O，知 A 的 n 一 1 个线性无关的列向量都是方程组 A * X=0 的解向量，即 =0 至少是 A * 的 n 一 1 重特征值，而上述 n 一 1 个列向量即为对应的线性无关的特征向量又由全部特征值之和等于 A 11 +A 22 +A nn (A i
22、j 为 a ij 的代数余子式)，故 A * 的第 n 个特征值为 ，由 r(A * )=1，故 A * 的列成比例，不妨设 A 11 0，则有常数 k 2 ，k n ，使 可推知(A 11 +A 22 +A 1n ) T 为 A * 的对应于特征值 )解析：25.设 n 阶方阵 A、B 可交换，即 AB=BA，且 A 有 n 个互不相同的特征值证明：(1)A 的特征向量都是 B 的特征向量；(2)B 相似于对角矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 A 有 n 个互不相同特征值，故 A 有 n 个线性无关的特征向量，因此，如果(1)成立，则(2)必成立，故只需证明(1)设 为 A
23、 之特征向量，则有数 ，使 A=，两端左乘 B，并利用 BA=AB，得 A(B)=(B)，若砌0，则砌亦为 A 的属于特征值 的特征向量，因(E 一 A)x=0的解空间为 1 维的，故有数 ，使 B=，故 亦为 B 之特征向量；若 B=0，则 B=0，即 为 B 的属于特征值 0 的特征向量总之， 必为 B 之特征向量，由于 的任意性，说明 A 的特征向量都是 B 的特征向量)解析：26.若矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 的特征值为 1 = 2 =6， 3 =一 2，由 A 相似于对角阵知矩阵 6E 一 A 的秩为 1，a=0P= )解析：27.设矩阵 A= （分数：
24、2.00）_正确答案：(正确答案：设 A * 的属于特征值 的特征向量为 ，则由 A 可逆知 A * 可逆，有 0，A * =，A= ，比较两端对应分量得方程组 3+b= ，解之得 b=1 或 b=一 2，a=2，再由A=3a 一 2=4，= )解析：28.设 =(a 1 ，a 2 ，a n ) T 为 R n 中的非零向量，方阵 A= T (1)证明：对于正整数 m，存在常数 t，使 A m =t m1 A，并求出 t； (2)求可逆矩阵 P，使 P 1 AP 为对角阵 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)A m =( T )( T )( T )=( T ) m1 T =( T
25、 ) m1 ( T )=( ) m1 A=t m1 A，其中 t= (2)AO，A=A，1r(A)：r( T )r()=1，r(A)=1，由于实对称矩阵的非零特征值的个数等于它的秩，故矩阵 A 只有一个非零特征值，而有 n一 1 重特征值 1 = 2 = n1 =0A 的属于特征值 0 的线性无关特征向量可取为(设 a 1 0)： 1 = 的特征值为 ，令矩阵 P= 1 2 n1 ，则有 PAP=diag(0，0，0， 对角阵其中， n 的求法可利用特征值的性质： 1 + 2 + n1 + n =(A 的主对角线元素之和) )解析：29.设 n 阶矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案
26、：(1)1 当 b0 时，E 一 A= = 一 1 一(n 一 1)b 一(1b) n1 ，故 A 的特征值为 1 =1+(n 一 1)6， 2 = n =1b 对于 1 =1+(n 一 1)b，设对应的一个特征向量为 1 ，则 1 =1+(n 一 1) 1 解得 1 =(1，1，1) T ，所以，属于 1 的全部特征向量为 k 1 =k(1，1，1) T ，其中 k 为任意非零常数 对于 2 = n =1b，解齐次线性方程组(1b)E 一 Ax=0由 )解析：30.设三阶实对称矩阵的秩为 2， 1 = 2 =6 是 A 的二重特征值，若 1 =(1，1，0) T ， 2 =(2，1，1) T
27、 ， 3 =(一 1，2，一 3) T 都是 A 的属于特征值 6 的特征向量 (1)求 A 的另一特征值和对应的特征向量； (2)求矩阵 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 1 = 2 =6 是 A 的二重特征值，故 A 的属于特征值 6 的线性无关的特征向量有 2 个，有题设可得 1 ， 2 ， 3 的一个极大无关组为 1 ， 2 ，故 1 ， 2 为 A的属于特征值 6 的线性无关的特征向量 由 r(A)=2 知A=0，所以 A 的另一特征值为 3 =0 设 3 =0 对应的特征向量为 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，则有 2 T =0(i=1，2)，即 解
28、得此方程组的基础解系为 =(一 1，1，1) T ，即 A 的属于特征值 3 =0 的特征向量为 k=k(一 1，1，I) T (k 为任意非零常数) (2)令矩阵 P= 1 2 3 ，则有 )解析：31.设 A 为 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的 3 维列向量，且满足 A 1 = 1 + 2 + 3 ，A 2 =2 2 + 3 ，A 3 =2 2 +3 3 (1)求矩阵 B，使 A 1 ， 2 ， 3 = 1 ， 2 ， 3 B； (2)求 A 的特征值； (3)求一个可逆矩阵 P，使得 P 1 AP 为对角矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由题设条件，有
29、A 1 ， 2 ， 3 =A 1 ，A 2 ，A 3 = 1 + 2 + 3 ，2 2 + 3 ，2 2 + 3 (2)记矩阵 C= 1 ， 2 ， 3 ，则由(1)知AC=CB，又因 1 ， 2 ， 3 是线性无关的 3 维列向量，知 C 为 3 阶可逆方阵，故得 C 1 AC=B，计算可得丑特征值为 1 = 2 =1， 3 =4，因相似矩阵有相同特征值，得 A 的特征值为 1 = 2 =1， 3 =4 (3)对于 1 = 2 =1，解方程组(E 一 B)x=0，得基础解系 1 =(一 1，1，0) T ， 2 =(一 2，0，1) T ；对应于 3 =4，解方程组(4EB)x=0，得基础解
30、系 3 =(0，1，1) T 令矩阵 )解析：32.设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 1 =(一 1，2，一 1) T ， 2 =(0，一 1，1) T 是线性方程组 Ax=0 的两个解求出矩阵 A 及(A 一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由本题()的解得，A=QAQ T = )解析：33.设 A 为 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 为 A 的分别属于特征值一 1，1 的特征向量，向量 3 满足A 3 =2 2 +3 3 (I)证明 1 ， 2 ， 3 线性无关； ()令 P= 1 ， 2 ， 3 ，求P -1 AP（分数：2.00）_正确答案：(正确答案
31、：(I)设存在一组常数 k 1 ，k 2 ，k 3 ，使得 k 1 1 +k 2 2 +k 3 3 =0 用 A 左乘式两端，并利用胁 A 1 =一 1 ，A 2 = 2 ， 一 k 1 1 +(k 2 +k 3 ) 2 +k 3 3 =0 一，得 2k 1 1 一 k 3 2 =0 因为 1 ， 2 是 A 的属于不同特征值的特征向量，所以 1 ， 2 线性无关，从而由式知 k 1 =k 3 =0，代入式得 k 2 2 =0，又由于 2 0，所以 k 2 =0，故 1 ， 2 ， 3 线性无关 ()由题设条件可得 AP=A 1 ， 2 ， 3 =A 1 ，A 2 ，A 3 =一 1 ， 2 ， 2 + 3 = 1 ， 2 ， 3 由(I)知矩阵 P 可逆，用 P -1 左乘上式两端，得 P -1 AP= )解析：34.设 A= ，正交矩阵 Q 使得 QTAQ 为对角矩阵若 Q 的第 1 列为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：=(1，2，1) T 为 A 的属于特征值 的特征向量，由 A=，比较两端对应分量，解得 a=一 1， 1 =2由 A 的特征方程解得 A 的特征值为 2，5，一 4正交矩阵 Q= )解析：
