1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 103 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 都是四维列向量，且|A|=| 1 ， 2 ， 3 ， 1 |=m，=| 1 ， 2 ， 2 ， 3 |=n，则| 3 ， 2 ， 1 ， 1 + 2 |为( )（分数：2.00）A.m+nB.mnC.(m+n)D.nm3.设 A 为 n 阶矩阵，A 2 =A，则下列成立的是( )（分数：2.00）A.A=0B.A=EC.若 A 不可逆，则
2、 A=0D.若 A 可逆，则 A=E4.设矩阵 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )经行初等变换为矩阵 B=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，且 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，则( )（分数：2.00）A. 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示B. 4 能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，但表示法不唯一C. 4 能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，且表示法唯一D. 4 能否由 1 ， 2 ， 3 线性表示不能确定5.设 A，B 是满足 AB=O 的任意两个非零阵，则必有( )（分数：2.00）A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关B.
3、A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关D.A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关6.设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵，则( )（分数：2.00）A.当 mn 时，线性齐次方程组 ABX=0 有非零解B.当 mn 时，线性齐次方程组 ABX=0 只有零解C.当 nm 时，线性齐次方程组 ABX=0 有非零解D.当 nm 时，线性齐次方程组 ABX=0 只有零解7.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A，B 的特征值相同，则( )（分数：2.00）A.A，B 相似于同一个对角矩阵B.存在正交阵 Q，使得 Q T AQ=BC
4、.r(A)=r(B)D.以上都不对8.设 A= （分数：2.00）A.合同且相似B.相似但不合同C.合同但不相似D.既不相似又不合同二、填空题(总题数：4，分数：8.00)9.设 D= （分数：2.00）填空项 1:_10.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_11.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_12.若 1 ， 2 ， 3 是三维线性无关的列向量，A 是三阶方阵，且 A 1 = 1 + 2 ，A 2 = 2 + 3 ，A 3 = 3 + 1 ，则|A|= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：36.00)13.解答题解答应写出文字说明
5、、证明过程或演算步骤。_14.设 D= （分数：2.00）_设 A=E T ，其中 为 n 维非零列向量证明：（分数：4.00）(1).A 2 =A 的充分必要条件是 为单位向量；（分数：2.00）_(2).当 是单位向量时 A 为不可逆矩阵（分数：2.00）_15.设矩阵 A 满足(2EC 1 B)A T =C 1 ，且 （分数：2.00）_16.设 A 为 n 阶矩阵且 r(A)=n1证明：存在常数 k，使得(A * ) 2 =kA * （分数：2.00）_17.a，b 取何值时，方程组 （分数：2.00）_18.的通解并说明理由 （分数：2.00）_19.设 A 为 n 阶矩阵，A 11
6、 0证明：非齐次线性方程组 AX=b 有无穷多个解的充分必要条件是 A * b=0（分数：2.00）_20.问 a，b，c 为何值时，矩阵方程 AX=B 有解?有解时求出全部解 （分数：2.00）_设 A= （分数：6.00）(1).求 a；（分数：2.00）_(2).求可逆矩阵 P，使得 P 1 AP 为对角阵；（分数：2.00）_(3).求正交阵 Q，使得 Q T AQ 为对角阵（分数：2.00）_21.设 A 为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵 B=(A * ) 2 4E 的特征值为 0，5，32求 A 1 的特征值并判断 A 1 是否可对角化（分数：2.00）_设 A 是 n
7、 阶矩阵， 1 ， 2 ， n 是 n 维列向量，且 n 0，若 A 1 = 2 ，A 2 = 3 ，A n1 = n ，A n =0（分数：4.00）(1).证明： 1 ， 2 ， n 线性无关；（分数：2.00）_(2).求 A 的特征值与特征向量（分数：2.00）_22.设 A 为三阶方阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 的通解为 （分数：2.00）_23.设 A，B 为 n 阶正定矩阵证明：A+B 为正定矩阵（分数：2.00）_24.设 A 为 m 阶正定矩阵，B 为 mn 阶实矩阵证明：B T AB 正定的充分必要条件是 r(B)=n（分数：2.00）_考研数学一（线性代数）模拟
8、试卷 103 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 都是四维列向量，且|A|=| 1 ， 2 ， 3 ， 1 |=m，=| 1 ， 2 ， 2 ， 3 |=n，则| 3 ， 2 ， 1 ， 1 + 2 |为( )（分数：2.00）A.m+nB.mnC.(m+n)D.nm 解析：解析：| 3 ， 2 ， 1 ， 1 + 2 |=| 3 ， 2 ， 1 ， 1 |+| 3 ， 2 ， 1 ， 2 | =| 1 ，
9、2 ， 3 ， 1 | 1 ， 2 ， 3 ， 2 | =| 1 ， 2 ， 3 ， 1 |+| 1 ， 2 ， 2 ， 3 |=nm， 选(D)3.设 A 为 n 阶矩阵，A 2 =A，则下列成立的是( )（分数：2.00）A.A=0B.A=EC.若 A 不可逆，则 A=0D.若 A 可逆，则 A=E 解析：解析：因为 A 2 =A，所以 A(EA)=O，由矩阵秩的性质得 r(A)+r(EA)=n，若 A 可逆，则 r(A)=n，所以 r(EA)=0，A=E，选(D)4.设矩阵 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )经行初等变换为矩阵 B=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，且 1 ， 2
10、， 3 线性无关， 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，则( )（分数：2.00）A. 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表示B. 4 能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，但表示法不唯一C. 4 能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，且表示法唯一 D. 4 能否由 1 ， 2 ， 3 线性表示不能确定解析：解析：因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，而 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，所以 4 可由 1 ， 2 ， 3 唯一线性表示，又 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )经过有限次初等行变换化为B=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，所以方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3
11、 = 4 与 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 4 是同解方程组，因为方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 4 有唯一解，所以方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 4 有唯一解，即 4 可由 1 ， 2 ， 3 唯一线性表示，选(C)5.设 A，B 是满足 AB=O 的任意两个非零阵，则必有( )（分数：2.00）A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关D.A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关解析：解析：设 A，B 分别为 mn 及 n
12、S 矩阵，因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)n，因为 A，B 为非零矩阵，所以 r(A)1，r(B)1，从而 r(A)n，r(B)n，故 A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关，选(A)6.设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵，则( )（分数：2.00）A.当 mn 时，线性齐次方程组 ABX=0 有非零解 B.当 mn 时，线性齐次方程组 ABX=0 只有零解C.当 nm 时，线性齐次方程组 ABX=0 有非零解D.当 nm 时，线性齐次方程组 ABX=0 只有零解解析：解析：AB 为 m 阶方阵，当 mn 时，因为 r(A)n，r(B)n 且 r(AB)minr(A
13、)，r(B)，所以r(AB)m，于是方程组 ABX=0 有非零解，选(A)7.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A，B 的特征值相同，则( )（分数：2.00）A.A，B 相似于同一个对角矩阵B.存在正交阵 Q，使得 Q T AQ=BC.r(A)=r(B)D.以上都不对 解析：解析：8.设 A= （分数：2.00）A.合同且相似B.相似但不合同C.合同但不相似 D.既不相似又不合同解析：解析：显然 A，B 都是实对称矩阵，由|EA|=0，得 A 的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =9，由|EB|=0得 B 的特征值为 1 =1， 2 = 3 =3，因为 A，B 惯性指数相等，但特征值不相同
14、，所以 A，B 合同但不相似，选(C)二、填空题(总题数：4，分数：8.00)9.设 D= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：A 31 +A 32 +A 33 =A 31 +A 32 +A 33 +0A 34 +0A 35 10.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：BA=O11.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析：12.若 1 ， 2 ， 3 是三维线性无关的列向量，A 是三阶方阵，且 A 1 = 1 + 2 ，A 2 = 2 + 3
15、 ，A 3 = 3 + 1 ，则|A|= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：令 P=( 1 ， 2 ， 3 )，因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以 P 可逆， 由AP=(A 1 ，A 2 ，A 3 ) 三、解答题(总题数：15，分数：36.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：14.设 D= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： |A|=(1) n+1 n!， 得 A * =|A|A 1 =(1) n+1 n!A 1 ，所以 A k1 +A k2 +A kn )解析：设 A=E T ，其中 为 n 维非零列向量证明
16、：（分数：4.00）(1).A 2 =A 的充分必要条件是 为单位向量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 T =k，则 A 2 =(E T )(E T )=E2 T +k T ，因为 为非零向量，所以 T O，于是 A 2 =A 的充分必要条件是 k=1，而 T = 2 ，所以 A 2 =A 的充要条件是 为单位向量)解析：(2).当 是单位向量时 A 为不可逆矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 是单位向量时，由 A 2 =A 得 r(A)+r(EA)=n，因为 EA= T O，所以 r(EA)1，于是 r(A)n1n，故 A 是不可逆矩阵)解析：15.设矩阵 A 满
17、足(2EC 1 B)A T =C 1 ，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(2EC 1 B)A T =C 1 ，得 A T =(2EC 1 B 1 ) 1 C 1 =C(2EC 1 B) 1 =(2CB) 1 ， A T =(2CB) 1 )解析：16.设 A 为 n 阶矩阵且 r(A)=n1证明：存在常数 k，使得(A * ) 2 =kA * （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(A)=n1，所以 r(A * )=1，于是 A * = (b 1 b n )， 其中 为非零向量，故 (A * ) 2 (b 1 b n )=kA * ，其中 k= )解析：17.a，b
18、 取何值时，方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (1)a1 时，r(A)=r( )=4，唯一解为 x 1 = ，x 4 =0； (2)a=1，b1 时，r(A)r( )解析：18.的通解并说明理由 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 则()可写为 AX=0， 则()可写为 BY=0，因为 1 ， 2 ， n 为()的基础解系，因此 r(A)=n， 1 ， 2 ， n 线性无关，A 1 =A 2 =A n =0 A( 1 ， 2 ， n )=0 AB T =0 BA T =0 )解析：19.设 A 为 n 阶矩阵，A 11 0证明：非齐次线性方程组 AX=b 有无穷多个解
19、的充分必要条件是 A * b=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设非齐次线性方程组 AX=b 有无穷多个解，则 r(A)n，从而|A|=0， 于是 A * b=A * AX=|A|X=0 反之，设 A * b=0，因为 b0，所以方程组 A * X=0 有非零解，从而 r(A * )n，又A 11 0，所以 r(A * )1，且 r(A)=n1 因为 r(A * )=1，所以方程组 A * X=0 的基础解系含有 n1个线性无关的解向量，而 A * A=0，所以 A 的列向量组 1 ， 2 ， n 为方程组 A * X=0 的一组解向量 由 A 11 0，得 2 ， n 线性无关，所
20、以 2 ， n 是方程组 A * X=0 的基础解系 因为 A * b=0，所以 b 可由 2 ， n 线性表示，也可由 1 ， 2 ， n 线性表示，故 r(A)=r( )解析：20.问 a，b，c 为何值时，矩阵方程 AX=B 有解?有解时求出全部解 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 X=(X 1 ，X 2 ，X 3 )，B=( 1 ， 2 ， 3 )，方程组 AX=B 等价于 则 AX=B 有解的充分必要条件是 r(A)=r(A B)， 由 r(A)=r(A B)得a=1，b=2，c=2，此时 AX 1 = 1 的通解为 X 1 AX 2 = 2 的通解为 X 2 AX 3
21、= 3 的通解为 X 3 则 X=(X 1 ，X 2 ，X 3 ) )解析：设 A= （分数：6.00）(1).求 a；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为方程组 AX=B 有解但不唯一，所以|A|=0，从而 a=2 或 a=1 当 a=2 时=23，方程组有无穷多解； 当 a=1 时 )解析：(2).求可逆矩阵 P，使得 P 1 AP 为对角阵；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由|EA|=(+3)(3)=0 得 1 =0， 2 =3， 3 =3 由(0EA)X=0 得 1 =0 对应的线性无关的特征向量为 1 = 由(3EA)x=0 得 2 =3 对应的线性无关的特征向量
22、为 2 = 由(3EA)X=0 得 3 =3 对应的线性无关的特征向量为 3 = )解析：(3).求正交阵 Q，使得 Q T AQ 为对角阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 则 Q T AQ )解析：21.设 A 为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵 B=(A * ) 2 4E 的特征值为 0，5，32求 A 1 的特征值并判断 A 1 是否可对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A 的三个特征值为 1 ， 2 ， 3 ，因为 B=(A * ) 2 4E 的三个特征值为 0，5，32，所以(A * ) 2 的三个特征值为 4，9，36，于是 A * 的三个特征值
23、为 2，3，6 又因为|A * |=36=|A| 31 ，所以|A|=6 由|A| 1 =2，|A| 2 =3，|A| 3 =6，得 1 =3， 2 =2， 3 =1， 由于一对逆矩阵的特征值互为倒数，所以 A 1 的特征值为 1，12，13 因为 A 1 的特征值都是单值，所以 A 1 可以相似对角化)解析：设 A 是 n 阶矩阵， 1 ， 2 ， n 是 n 维列向量，且 n 0，若 A 1 = 2 ，A 2 = 3 ，A n1 = n ，A n =0（分数：4.00）(1).证明： 1 ， 2 ， n 线性无关；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x 1 1 +x 2 2 +x
24、 n n =0，则 x 1 A 1 +x 2 A 2 +x n A n =0 x 1 2 +x 2 3 +x n1 n =0 x 1 A 2 +x 2 A 3 +x n1 A n =0 )解析：(2).求 A 的特征值与特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A( 1 ， 2 ， n ) 令 P=( 1 ， 2 ， n )，则 P 1 AP =B，则 A 与 B 相似，由|EB|=0 )解析：22.设 A 为三阶方阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 的通解为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 的每行元素之和为 5，所以有 即 A 有一个特征值为 1 =5，其对应
25、的特征向量 1 = ，A 1 =5 1 又 AX=0 的通解为 则 r(A)=1 2 = 3 =0，其对应的特征向量为 2 A 2 =0，A 3 =0 令 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =，解得 x 1 =8，x 2 =1，x 3 =2， 则 A=8A 1 A 2 2A 3 =8A 1 =40 )解析：23.设 A，B 为 n 阶正定矩阵证明：A+B 为正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A，B 正定，所以 A T =A，B T =B，从而(A+B) T =A+B，即 A+B 为对称矩阵对任意的 X0，X T (A+B)X=X T AX+X T BX，因为 A，B
26、 为正定矩阵，所以 X T AX0，X T BX0，因此 X T (A+B)X0，于是 A+B 为正定矩阵)解析：24.设 A 为 m 阶正定矩阵，B 为 mn 阶实矩阵证明：B T AB 正定的充分必要条件是 r(B)=n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性：设 B T AB 是正定矩阵，则对任意的 X0，X T B T ABX=(BX) T A(BX)0，所以 BX0，即对任意的 X0 有 BX0，或方程组 BX=0 只有零解，所以 r(B)=n 充分性：反之，设 r(B)=n，则对任意的 X0，有 BX0， 因为 A 为正定矩阵，所以 X T (B T AB)X=(BX) T A(BX)0， 因为(B T AB) T =B T A T (B T ) T =B T AB，所以 B T AB 为对称矩阵， 所以 B T AB 为正定矩阵)解析：
