1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 107 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B 为两个 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.|A+B|=|A|+|B|B.若|AB|=0，则 A=0 或 B=0C.|AB|=|A|B|D.|AB|=|A|B|3.设 A 为 n 阶矩阵，k 为常数，则(kA) * 等于( )（分数：2.00）A.kA *B.k n A *C.k n1 A *D.k n(n1) A *4.设 P= （分数：2.0
2、0）A.当 t=6 时，r(Q)=1B.当 t=6 时，r(Q)=2C.当 t6 时，r(Q)=1D.当 t6 时，r(Q)=25.若向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，且向量 4 不可由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 线性无关B. 1 ， 2 ， 3 线性相关C. 1 ， 2 ， 4 线性无关D. 1 ， 2 ， 4 线性相关6.设 A 是 mn 矩阵，且 mn，下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.A 的行向量组一定线性无关B.非齐次线性方程组 AX=b 一定有无穷多组解C.A T A 一定可逆D.A
3、TA 可逆的充分必要条件是 r(A)=n7.若 AX=0 的解都是 BX=0 的解，则 r(A)r(B)(2)若 r(A)r(B)，则 AX=0 的解都是 BX=0 的解(3)若 AX=0与 BX=0 同解，则 r(A)=r(B)(14)若 r(A)=r(B)，则 AX=0 与 BX=0 同解以上命题正确的是( )（分数：2.00）A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(4)D.(3)(4)8.设三阶矩阵 A 的特征值为1，1，2，其对应的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 P=(3 2 ， 3 ，2 1 )，则 P 1 AP 等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.设 A，B
4、 为 n 阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.存在可逆矩阵 P，使得 P 1 AP=BB.存在正交矩阵 Q，使得 Q T AQ=BC.A，B 与同一个对角矩阵相似D.存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B二、填空题(总题数：3，分数：6.00)10.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_11.设 1 ， 2 ， 3 是三阶矩阵 A 的三个不同特征值， 1 ， 2 ， 3 分别是属于特征值 1 ， 2 ， 3 的特征向量，若 1 ，A( 1 + 2 )，A 2 ( 1 + 2 + 3 )线性无关，则 1 ， 2 ， 3 满足 1（分数：2.00）填空项 1:_12.f(x 1 ，x 2
5、 ，x 3 ，x 4 )=X T AX 的正惯性指数是 2，且 A 2 2A=O，该二次型的规范形为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：34.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_14.计算 （分数：2.00）_15.设 A 为 n 阶矩阵，证明：r(A)=1 的充分必要条件是存在 n 维非零列向量 ，使得 A= T （分数：2.00）_16.设 1 ， 2 ， n 为 n 个 n 维列向量，证明： 1 ， 2 ， n 线性无关的充分必要条件是 （分数：2.00）_17.设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素为 a，b，c 且不全为零，又 B
6、= （分数：2.00）_18.问 a，b，c 取何值时，()，()为同解方程组? （分数：2.00）_19.证明线性方程组 有解的充分必要条件是方程组 （分数：2.00）_20.讨论方程组 （分数：2.00）_设 A= （分数：4.00）(1).a 及可逆阵 P，使得 P 1 AP=A，其中 A 为对角阵；（分数：2.00）_(2).A 100 （分数：2.00）_21.设 A= （分数：2.00）_设 A= 的一个特征值为 1 =2，其对应的特征向量为 1 = （分数：4.00）(1).求常数 a，b，c；（分数：2.00）_(2).判断 A 是否可对角化，若可对角化，求可逆矩阵 P，使得
7、P 1 AP 为对角矩阵若不可对角化，说明理由（分数：2.00）_设 A 为三阶实对称矩阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 有非零解且 1 =2 是 A 的特征值，对应特征向量为(1，0，1) T （分数：4.00）(1).求 A 的其他特征值与特征向量；（分数：2.00）_(2).求 A（分数：2.00）_22.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 r(A)+r(B)n证明：A，B 有公共的特征向量（分数：2.00）_23.设 P 为可逆矩阵，A=P T P证明：A 是正定矩阵（分数：2.00）_24.设 A 为实对称矩阵，且 A 的特征值都大于零证明：A 为正定矩阵（分数：2.00）_考研数
8、学一（线性代数）模拟试卷 107 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B 为两个 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.|A+B|=|A|+|B|B.若|AB|=0，则 A=0 或 B=0C.|AB|=|A|B|D.|AB|=|A|B| 解析：解析：(A)、(C)显然不对，设 A=3.设 A 为 n 阶矩阵，k 为常数，则(kA) * 等于( )（分数：2.00）A.kA *B.k n A *C.k n1 A * D.k
9、n(n1) A *解析：解析：因为(kA) * 的每个元素都是 kA 的代数余子式，而余子式为 n1 阶子式，所以(kA) * =k n1 A * ，选(C)4.设 P= （分数：2.00）A.当 t=6 时，r(Q)=1B.当 t=6 时，r(Q)=2C.当 t6 时，r(Q)=1 D.当 t6 时，r(Q)=2解析：解析：因为 QO，所以 r(Q)1，又由 PQ=O 得 r(P)+r(Q)3，当 t6 时，r(P)2，则 r(Q)1，于是 r(Q)=1，选(C)5.若向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，且向量 4 不可由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示，则下列结论正确的是(
10、)（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 线性无关B. 1 ， 2 ， 3 线性相关 C. 1 ， 2 ， 4 线性无关D. 1 ， 2 ， 4 线性相关解析：解析：若 1 ， 2 ， 3 线性无关，因为 4 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，所以 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，矛盾，故 1 ， 2 ， 3 线性相关，选(B)6.设 A 是 mn 矩阵，且 mn，下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.A 的行向量组一定线性无关B.非齐次线性方程组 AX=b 一定有无穷多组解C.A T A 一定可逆D.ATA 可逆的充分必要条件是 r(A)=n 解析：解析：若 A T A
11、可逆，则 r(A T A)=n，因为 r(A T A)=r(A)，所以 r(A)=n；反之，若 r(A)=n，因为r(A T A)=r(A)，所以 A T A 可逆，选(D)7.若 AX=0 的解都是 BX=0 的解，则 r(A)r(B)(2)若 r(A)r(B)，则 AX=0 的解都是 BX=0 的解(3)若 AX=0与 BX=0 同解，则 r(A)=r(B)(14)若 r(A)=r(B)，则 AX=0 与 BX=0 同解以上命题正确的是( )（分数：2.00）A.(1)(2)B.(1)(3) C.(2)(4)D.(3)(4)解析：解析：若方程组 AX=0 的解都是方程组 BX=0 的解，则
12、 nr(A)nr(B)，从而 r(A)r(B)，(1)为正确的命题；显然(2)不正确；因为同解方程组系数矩阵的秩相等，但反之不对，所以(3)是正确的，(4)是错误的，选(B)8.设三阶矩阵 A 的特征值为1，1，2，其对应的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 P=(3 2 ， 3 ，2 1 )，则 P 1 AP 等于( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：显然 3 2 ， 3 ，2 1 也是特征值 1，2，1 的特征向量，所以 P 1 AP 9.设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.存在可逆矩阵 P，使得 P 1 AP=BB.存在正交矩阵 Q，使得 Q
13、 T AQ=BC.A，B 与同一个对角矩阵相似D.存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B 解析：解析：因为 A，B 都是可逆矩阵，所以 A，B 等价，即存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B，选(D)二、填空题(总题数：3，分数：6.00)10.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6）解析：解析：因为 r(B * )=1，所以 r(B)=2，又因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)3，从而 r(A)1，又 r(A)1，r(A)=1，于是 t=611.设 1 ， 2 ， 3 是三阶矩阵 A 的三个不同特征值， 1 ， 2 ， 3 分别是属于特征值 1 ， 2 ，
14、3 的特征向量，若 1 ，A( 1 + 2 )，A 2 ( 1 + 2 + 3 )线性无关，则 1 ， 2 ， 3 满足 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 2 3 0）解析：解析：令 x 1 1 +x 2 A( 1 + 2 )+x 3 A 2 ( 1 + 2 + 3 )=0，即 (x 1 + 1 x 2 x 2 + 1 2 x 3 ) 1 +( 2 x 2 + 2 2 x 3 ) 2 + 3 2 x 3 3 =0，则有 x 1 + 1 x 2 + 1 2 x 3 =0， 2 x 2 + 2 2 x 3 =0， 3 2 x 3 =0因为 x 1 ，x 2 ，x 3 只能
15、全为零，所以 12.f(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 )=X T AX 的正惯性指数是 2，且 A 2 2A=O，该二次型的规范形为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y 1 2 +y 2 2）解析：解析：A 2 2A=O r(A)+r(2EA)=4 三、解答题(总题数：15，分数：34.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：14.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =a 1 a 2 a n1 +a n D n1 =a 1 a 2 a n1 +a n (a 1 a 2 a n2 +a n1 D n2 ) =a 1 a 2
16、 a n1 +a 1 a 2 a n2 a n +a n a n1 D n2 )解析：15.设 A 为 n 阶矩阵，证明：r(A)=1 的充分必要条件是存在 n 维非零列向量 ，使得 A= T （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 r(A)=1，则 A 为非零矩阵且 A 的每行元素都成比例， )解析：16.设 1 ， 2 ， n 为 n 个 n 维列向量，证明： 1 ， 2 ， n 线性无关的充分必要条件是 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A=( 1 ， 2 ， n )，A T A r(A)=r(A T A)，向量组 1 ， 2 ， n 线性无关的充分必要条件是 r(A)
17、=n，即 r(A T A)=n 或|A T A|0，从而 1 ， 2 ， n 线性无关的充分必要条件是 )解析：17.设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素为 a，b，c 且不全为零，又 B= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AB=O 得 r(A)+r(B)3 且 r(A)1 (1)当 k9 时，因为 r(B)=2，所以 r(A)=1，方程组 AX=0 的基础解系含有两个线性无关的解向量，显然基础解系可取 B 的第 1、3 两列，故通解为 (k 1 ，k 2 为任意常数)； (2)当 k=9 时，r(B)=1，1r(A)2， 当 r(A)=2 时，方程组 AX=0 的通解为 当 r
18、(A)=1 时，A 的任意两行都成比例，不妨设 a0， )解析：18.问 a，b，c 取何值时，()，()为同解方程组? （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一 把()的通解代入()，得 方法二 因为()，()同解，所以它们的增广矩阵有等价的行向量组，()的增广矩阵为阶梯阵，其行向量组线性无关， 1 可由 1 ， 2 ， 3 唯一线性表出， 1 =2 1 + 2 +a 3 a=1， 2 可由 1 ， 2 ， 3 唯一线性表出， 2 = 1 + 2 3 b=2， 3 可由 1 ， 2 ， 3 唯一线性表出， 3 =3 1 + 2 + 3 )解析：19.证明线性方程组 有解的充分必要条件
19、是方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =( 1 ， 2 ， n )， 方程组()可写为 AX=b，方程组()、()可分别写为 A T Y=0 及 Y=0 若方程组()有解，则 r(A)=r(A b)，从而 r(A T )=r ，又因为()的解一定为()的解，所以()与()同解； 反之，若()与()同解，则 r(A T )=r ，从而 r(A)=r(A )解析：20.讨论方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =(a+1)(b+2) (1)当 a1，b2 时，因为 D0，所以方程组有唯一解，由克拉默法则得 (2)当 a=1，b2 时， 当 b1 时，方程组无解 当 b
20、=1 时，方程组的通解为 (3)当 a1，b=2 时， 方程组的通解为 当 a1 时，显然 r(A)=2r( )解析：设 A= （分数：4.00）(1).a 及可逆阵 P，使得 P 1 AP=A，其中 A 为对角阵；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：|EA|=0 1 = 2 =1， 3 =1 因为 A 相似于对角阵，所以r(EA)=1 )解析：(2).A 100 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P 1 A 100 P=E )解析：21.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 为上三角矩阵，所以 A 的特征值为 1 = 2 =1， 3 = 4 =1因为A
21、有四个线性无关的特征向量，即 A 可以对角化，所以有 于是 a=0，b=0 当 =1 时，由(EA)X=0 得 1 当 =1 时，由(EA)X=0 得 3 )解析：设 A= 的一个特征值为 1 =2，其对应的特征向量为 1 = （分数：4.00）(1).求常数 a，b，c；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 1 =2 2 ， )解析：(2).判断 A 是否可对角化，若可对角化，求可逆矩阵 P，使得 P 1 AP 为对角矩阵若不可对角化，说明理由（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由|EA| =0，得 1 = 2 =2， 3 =1 由(2EA)X=0，得 1 由(EA)X=0
22、，得 3 = 显然 A 可对角化，令 )解析：设 A 为三阶实对称矩阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 有非零解且 1 =2 是 A 的特征值，对应特征向量为(1，0，1) T （分数：4.00）(1).求 A 的其他特征值与特征向量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 的每行元素之和为 5，所以有 即 A 有特征值 2 =5，对应的特征向量为 又因为 AX=0 有非零解，所以 r(A)3，从而 A 有特征值 0，设特征值 0 对应的特征向量为 根据不同特征值对应的特征向量正交得 解得特征值 0 对应的特征向量为 )解析：(2).求 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答
23、案： )解析：22.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 r(A)+r(B)n证明：A，B 有公共的特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(A)+r(B)n，所以 r(A)n，r(B)n，于是 =0 为 A，B 公共的特征值。A 的属于特征值 =0 的特征向量即为方程组 AX=0 的非零解； B 的属于特征值 =0 的特征向量即为方程组 BX=0 的非零解， )解析：23.设 P 为可逆矩阵，A=P T P证明：A 是正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 A T =A，对任意的 X0，X T AX=(PX) T (以)，因为 X0 且 P 可逆，所以PX0，于是 X T AX=(PX) T (PX)=PX 2 0，即 X T AX 为正定二次型，故 A 为正定矩阵)解析：24.设 A 为实对称矩阵，且 A 的特征值都大于零证明：A 为正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 所对应的二次型为 f=X T AX， 因为 A 是实对称矩阵，所以存在正交变换 X=QY，使得 f=X T AX )解析：
