1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 110 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.若 A，B 可逆，则 A+B 可逆B.若 A，B 可逆，则 AB 可逆C.若 A+B 可逆，则 AB 可逆D.若 A+B 可逆，则 A，B 都可逆3.设 A，B 都是 n 阶矩阵，其中 B 是非零矩阵，且 AB=0，则( )（分数：2.00）A.rB.=nC.rD.n4.向量组 1 ， 2 ， m 线性无
2、关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.向量组 1 ， 2 ， m ， 线性无关B.存在一组不全为零的常数是 k 1 ，k 2 ，k m ，使得是 k 1 1 +k 2 2 +k m m 0C.向量组 1 ， 2 ， m 的维数大于其个数D.向量组 1 ， 2 ， m 中任一向量均不能由其余 m 一 1 个向量线性表示5.设 A 为 n 阶矩阵，且A=0，则 A( )（分数：2.00）A.必有一列元素全为零B.必有两行元素对应成比例C.必有一列是其余列向量的线性组合D.任一列都是其余列向量的线性组合6.设 A 为三阶矩阵，方程组 AX=0 的基础解系为 1 ， 2 ，又 =一 2 为 A
3、 的一个特征值，其对应的特征向量为 3 ，下列向量中是 A 的特征向量的是( )（分数：2.00）A. 1 + 3B.3 3 一 1C. 1 2 2 3 3D.2 1 3 27.设 A 为可逆的实对称矩阵则二次型 X T AX 与 X T A 1 X( )（分数：2.00）A.规范形与标准形都不一定相同B.规范形相同仉标准形不一定相同C.标准形相同但规范形不一定相同D.规范形和标准形都相同二、填空题(总题数：7，分数：14.00)8.设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且A=a，B=b，则 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 A 为四阶矩阵，A * =8，则( （分数：2.00）填
4、空项 1:_10.设 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_12.设方程组 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 A 为三阶实对称矩阵，且 （分数：2.00）填空项 1:_14.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 一 2x 2 ) 2 4x 2 x 3 的矩阵为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：30.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_16.证明：D= （分数：2.00）_17.设 A，B 满足 A * BA=2BA 一 8E，且 A= （分数：2.00）_18.设 A 是
5、 mn 阶矩阵，若 A T A=O，证明：A=O（分数：2.00）_19.设向量组 1 ， n 为两两正交的非零向量组，证明： 1 ， n 线性无关，举例说明逆命题不成立（分数：2.00）_20.参数 a 取何值时，线性方程组 （分数：2.00）_21.设 （分数：2.00）_设 （分数：4.00）(1).若 a i a j (ij)，求 A T X=b 的解；（分数：2.00）_(2).若 a 1 =a 3 =a0，a 2 =a 4 =一 a，求 A T X=b 的通解（分数：2.00）_22.设 A T A=E，证明：A 的实特征值的绝对值为 1（分数：2.00）_设矩阵 A= （分数：4
6、.00）(1).求 y；（分数：2.00）_(2).求可逆矩阵 P，使得(AP) T (AP)为对角矩阵（分数：2.00）_23.设 n 阶矩阵 A 满足(aEA)(6E 一 A)=O 且 ab证明：A 可对角化（分数：2.00）_二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +ax 2 2 +x 3 2 一 4x 1 x 2 8x 1 x 3 4x 2 x 3 经过正交变换化为标准形 5y 1 2 by 2 2 一 4y 3 2 ，求：（分数：4.00）(1).常数 a，b；（分数：2.00）_(2).正交变换的矩阵 Q（分数：2.00）_24.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x
7、 3 )=x 1 2 +4x 2 2 +2x 3 2 +2tx 1 x 2 2x 1 x 3 为正定二次型，求 t 的范围（分数：2.00）_考研数学一（线性代数）模拟试卷 110 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.若 A，B 可逆，则 A+B 可逆B.若 A，B 可逆，则 AB 可逆 C.若 A+B 可逆，则 AB 可逆D.若 A+B 可逆，则 A，B 都可逆解析：解析：
8、若 A，B 可逆，则A0，B0，又AB=AB，所以AB0，于是 AB 可逆，选(B)3.设 A，B 都是 n 阶矩阵，其中 B 是非零矩阵，且 AB=0，则( )（分数：2.00）A.rB.=nC.rD.n 解析：解析：因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)n，又因为 B 是非零矩阵，所以 r(B)1，从而 r(A)n，于是A=0，选(D)4.向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.向量组 1 ， 2 ， m ， 线性无关B.存在一组不全为零的常数是 k 1 ，k 2 ，k m ，使得是 k 1 1 +k 2 2 +k m m 0C.向量组 1 ， 2
9、 ， m 的维数大于其个数D.向量组 1 ， 2 ， m 中任一向量均不能由其余 m 一 1 个向量线性表示 解析：解析：(A)不对，因为 1 ， 2 ， m ， 线性无关可以保证 1 ， 2 ， m 线性无关，但 1 ， 2 ， m 线性无关不能保证 1 ， 2 ， m ， 线性无关； (B)不对，因为 1 ， 2 ， m 线性无关可以保证对任意一组非零常数是 k 1 ，k 2 ，k m ，有k 1 1 +k 2 2 +k m m 0，但存在一组不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k m 使得 k 1 1 +k 2 2 +k m m 0 不能保证 1 ， 2 ， m 线性无关； (C)不对，
10、向量组 1 ， 2 ， m 线性无关不能得到其维数大于其个数，如 1 = ， 2 = 5.设 A 为 n 阶矩阵，且A=0，则 A( )（分数：2.00）A.必有一列元素全为零B.必有两行元素对应成比例C.必有一列是其余列向量的线性组合 D.任一列都是其余列向量的线性组合解析：解析：因为A=0，所以 r(A)n，从而 A 的 n 个列向量线性相关，于是其列向量中至少有一个向量可由其余向量线性表示，选(C)6.设 A 为三阶矩阵，方程组 AX=0 的基础解系为 1 ， 2 ，又 =一 2 为 A 的一个特征值，其对应的特征向量为 3 ，下列向量中是 A 的特征向量的是( )（分数：2.00）A.
11、 1 + 3B.3 3 一 1C. 1 2 2 3 3D.2 1 3 2 解析：解析：因为 AX=0 有非零解，所以 r(A)n，故 0 为矩阵 A 的特征值， 1 ， 2 为特征值 0 所对应的线性无关的特征向量，显然特征值 0 为二重特征值，若 1 + 3 为属于特征值 0 的特征向量，则有 A( 1 + 3 )= 0 ( 1 + 3 )，注意到 A( 1 + 3 )=0 1 2 3 =一 2 3 ，故一 2 3 = 0 ( 1 + 3 )或 0 1 +( 0 +2) 3 =0，因为 1 ， 3 线性无关，所以有 0 =0， 0 +2=0，矛盾，故 1 + 3 不是特征向量，同理可证 3
12、3 一 1 及 1 +2 2 +3 3 也不是特征向量，显然 2 1 3 2 为特征值 0 对应的特征向量，选(D)7.设 A 为可逆的实对称矩阵则二次型 X T AX 与 X T A 1 X( )（分数：2.00）A.规范形与标准形都不一定相同B.规范形相同仉标准形不一定相同 C.标准形相同但规范形不一定相同D.规范形和标准形都相同解析：解析：因为 A 与 A 1 合同，所以 X T AX 与 X T A 1 X 规范形相同，但标准形不一定相同，即使是同一个二次型也有多种标准形，选(B)二、填空题(总题数：7，分数：14.00)8.设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且A=a，B=b
13、，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(一 1) mn ab）解析：解析：将 B 的第一行元素分别与 A 的行对调 m 次，然后将 B 的第二行分别与 A 的行对调 m 次，如此下去直到 B 的最后一行与 A 的行对调 m 次，则 =(一 1) mn 9.设 A 为四阶矩阵，A * =8，则( （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：8）解析：解析：因为 A 为四阶矩阵，且A * =8，所以A * =A 3 =8，于是A=2 又 AA * =AE=2E，所以 A * =2A 1 ，故 ( A) 1 3A * =4A 1 6A 1 =(一 2)A 1 =(
14、一 2) 4 A 1 =16 10.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 A=( 1 ， 2 ， 3 )，因为A=2，所以 A * A=AE=2E，而 A * A=(A * 1 ，A * 2 ，A * 3 )，所以 ，于是 11.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：X= ）解析：解析：因为 AX=0 有非零解，所以A=0， 而A= =一(a+4)(a 一 6)且 a0，所以 a=一4 因为 r(A)=2，所以 r(A * )=1 因为 A * A=AE=O，所以 A 的列向量组为 A * X=0 的解， 故 A * X=0
15、 的通解为 X= 12.设方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a 1 +a 2 +a 3 +a 4 =0）解析：解析： 因为原方程组有解，所以 r(A)= 13.设 A 为三阶实对称矩阵，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以有 6+3a+36a=0，a=314.二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=(x 1 一 2x 2 ) 2 4x 2 x 3 的矩阵为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x
16、 1 2 +4x 2 2 一 4x 1 x 2 +4x 2 x 3 ，所以 A= 三、解答题(总题数：13，分数：30.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：16.证明：D= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.设 A，B 满足 A * BA=2BA 一 8E，且 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A * BA=2BA 一 8E 得 AA * BA=2ABA 一 8A，即一 2BA=2ABA 一 8A，整理得(A+E)B=4E，所以 B=4(A+E) 1 = )解析：18.设 A 是 mn 阶矩阵，若 A T A=O，证明：A
17、=O（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(A)=r(A T A)，而 A T A=O，所以 r(A)=0，于是 A=O)解析：19.设向量组 1 ， n 为两两正交的非零向量组，证明： 1 ， n 线性无关，举例说明逆命题不成立（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 k 1 1 +k n n =0，由 1 ， n 两两正交及( 1 ，k 1 1 +k n n )=0，得 k 1 ( 1 ， 1 )=0，而( 1 ， 1 )= 1 2 0，于是 k 1 =0，同理可证 k 2 =k n =0，故 1 ， n 线性无关，令 )解析：20.参数 a 取何值时，线性方程组 （分数：
18、2.00）_正确答案：(正确答案： 若 a=1，则 ，原方程组的通解为 X=k(一 1，0，1) T +(2，一 1，0)(k 为任意常数)； 若 a1，则 当 a=2 时，方程组无解； 当 a=一 2 时， )解析：21.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 +x 4 4 = (*) (1)当 a=一 1，b0时，因为 r(A)=2 )解析：设 （分数：4.00）(1).若 a i a j (ij)，求 A T X=b 的解；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D=A T =(a 4 一 a 1 )(a 4 一 a 2 )(a 4 一
19、 a 3 )(a 3 一 a 1 )(a 3 一 a 2 )(a 2 一 a 1 )， 若 a i a j (ij)，则 D0，方程组有唯一解，又 D 1 =D 2 =D 3 =0，D 4 =D，所以方程组的唯一解为 X=(0，0，0，1) T ；)解析：(2).若 a 1 =a 3 =a0，a 2 =a 4 =一 a，求 A T X=b 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 a 1 =a 3 =a0，a 2 =a 4 =一 a 时， )解析：22.设 A T A=E，证明：A 的实特征值的绝对值为 1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 AX=X，则 X T A T =
20、X T ，从而有 X T A T AX=X T AX= 2 X T X，因为A T A=E，所以( 2 一 1)X T X=0，而 X T X=X 2 0，所以 2 =1，于是=1)解析：设矩阵 A= （分数：4.00）(1).求 y；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 3 为 A 的特征值，所以3EA=0，解得 y=2)解析：(2).求可逆矩阵 P，使得(AP) T (AP)为对角矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(AP) T (AP)=P T A T AP=P T A 2 P， A 2 = ，EA 1 =0 得 1 =1， 2 =9， 当 =1 时，由(EA 1 )
21、X=0 得 1 = ；=9 时，由(9EA 1 )X=0 得 2 = ， )解析：23.设 n 阶矩阵 A 满足(aEA)(6E 一 A)=O 且 ab证明：A 可对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(aEA)(bEA)=O，得aEAbEA=0，则aEA=0 或者bEA=0，又由(aEA)(bEA)=O，得 r(aEA)+r(bEA)n 同时 r(aEA)+r(bEA)r(aEA)一(bEA)=r(a 一 b)E=n 所以 r(aE 一 A)+r(bEA)=n (1)若aEA0，则 r(aEA)=n，所以r(bEA)=0，故 A=bE (2)若bE 一 A0，则 r(bEA)=n
22、，所以 r(aEA)=0，故 A=aE (3)若aEA=0 且bEA=0，则 a，b 都是矩阵 A 的特征值 方程组(aEA)X=0 的基础解系含有 n 一r(aEA)个线性无关的解向量，即特征值 a 对应的线性无关的特征向量个数为 nr(aEA)个； 方程组(6EA)X=0 的基础解系含有 n 一 r(bE 一 A)个线性无关的解向量，即特征值 b 对应的线性无关的特征向量个数为 n 一 r(bEA)个 因为 n 一 r(aEA)+n 一 r(bEA)=n，所以矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量，所以 A 一定可以对角化)解析：二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +a
23、x 2 2 +x 3 2 一 4x 1 x 2 8x 1 x 3 4x 2 x 3 经过正交变换化为标准形 5y 1 2 by 2 2 一 4y 3 2 ，求：（分数：4.00）(1).常数 a，b；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ，则 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX， 矩阵 A 的特征值为 1 =5， 2 =b， 3 =一 4， 由 ， 从而 A= )解析：(2).正交变换的矩阵 Q（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 1 = 2 =5 代入(E 一 A)X=0，即(5EA)X=0， 由 5EA= 得 1 = 2 =5 对应的线性无关的特征向量为 ； 将 3 =一 4 代入(EA)X=0，即(4EA)X=0， 由4E+A= 得 3 =一 4 对应的线性无关的特征向量为 所求的正交变换矩阵为 Q= )解析：24.设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +4x 2 2 +2x 3 2 +2tx 1 x 2 2x 1 x 3 为正定二次型，求 t 的范围（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型的矩阵为 A= ，因为该二次型为正定二次型，所以有 解得 )解析：
