1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 112 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A，B 皆为，n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.AB=0 的充分必要条件是 A=0 或 B=0B.AB0 的充分必要条件是 A0 且 B0C.AB=0 且 r(A)=n，则 B=0D.若 AB0，则A0 或B03.设 （分数：2.00）A.B=P 1 P 2 AB.B=P 2 P 1 AC.B=P 2 AP 1D.B=AP 2 P 14.设 n 维列
2、向量组 1 ， 2 ， m (mn)线性无关，则 n 维列向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.向量组 1 ， 2 ， m 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表示B.向量组 1 ， 2 ， m 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表示C.向量组 1 ， 2 ， m 与向量组 1 ， 2 ， m 等价D.矩阵 A=( 1 ， 2 ， m )与矩阵 B=( 1 ， 2 ， m )等价5.设 A 是 mn 阶矩阵，则下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若 mn，则方程组 AX=b 一定有无穷多个解B.若 mn，则方程组 AX=b 一定有唯一解C.若
3、 r(A)=n，则方程组 AX=b 一定有唯一解D.若 r(A)=m，则方程组 AX=b 一定有解6.设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似，则( )（分数：2.00）A.A 的 n 个特征值都是单值B.A 是可逆矩阵C.A 存在 n 个线性无关的特征向量D.A 一定为 n 阶实对称矩阵7.设 A，B 都是 n 阶矩阵，且存在可逆矩阵 P，使得 AP=B，则( )（分数：2.00）A.A，B 合同B.A，B 相似C.方程组 AX=0 与 BX=0 同解D.r(A)=r(B)二、填空题(总题数：8，分数：16.00)8.设三阶矩阵 A=(， 1 ， 2 )，B=(， 1 ， 2 )，其中 ， 1 ，
4、 2 是三维列向量，且A=3，B=4，则5A 一 2B= 1（分数：2.00）填空项 1:_9.A= （分数：2.00）填空项 1:_10.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_11.设三阶矩阵 A，B 满足关系 A 1 BA=6A+BA，且 A= （分数：2.00）填空项 1:_12.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，且 1 +a 2 +4 3 ，2 1 + 2 一 3 ， 2 + 3 线性相关，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 A 为 n 阶矩阵，且A=0，A ki 0，则 AX=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 A 是三阶实对称矩阵，
5、其特征值为 1 =3， 2 = 3 =5，且 1 =3 对应的线性无关的特征向量为 1 = （分数：2.00）填空项 1:_15.设二次型 2x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 2x 1 x 2 ax 2 x 3 的秩为 2，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：30.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设 D= （分数：4.00）(1).计算 D；（分数：2.00）_(2).求 M 31 +M 33 +M 34 （分数：2.00）_17.设 A= （分数：2.00）_18.设 1 ， m ， 为 m+1 维向量，= 1 + m
6、 (m1)证明：若 1 ， m 线性无关，则 一 1 ， 一 m 线性无关（分数：2.00）_19.设 1 ， 2 ， M ， 1 ， 2 ， n 线性无关，而向量组 1 ， 2 ， m ， 线性相关证明：向量 可由向量组 1 ， 2 ， m ， 1 ， 2 ， n 线性表示（分数：2.00）_20.，求极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组线性表出 （分数：2.00）_21.就 a，b 的不同取值，讨论方程组 （分数：2.00）_设 （分数：4.00）(1).求 a，b 及 A 的所有特征值与特征向量（分数：2.00）_(2).A 可否对角化?若可对角化，求可逆矩阵 P，使得 P 1
7、AP 为对角矩阵（分数：2.00）_22.，求 A 的全部特征值，并证明 A 可以对角化 （分数：2.00）_设 A= （分数：4.00）(1).证明 A 可对角化；（分数：2.00）_(2).求 A m （分数：2.00）_23.设 A= （分数：2.00）_设 n 阶实对称矩阵 A 的秩为 r，且满足 A 2 =A(A 称为幂等阵) 求：（分数：4.00）(1).二次型 X T AX 的标准形；（分数：2.00）_(2).EA+A 2 +A n 的值（分数：2.00）_考研数学一（线性代数）模拟试卷 112 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：1
8、4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A，B 皆为，n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.AB=0 的充分必要条件是 A=0 或 B=0B.AB0 的充分必要条件是 A0 且 B0C.AB=0 且 r(A)=n，则 B=0 D.若 AB0，则A0 或B0解析：解析：取 O，显然 AB=O，故(A)、(B)都不对，取 A=3.设 （分数：2.00）A.B=P 1 P 2 AB.B=P 2 P 1 AC.B=P 2 AP 1D.B=AP 2 P 1 解析：解析：P 1 =E 12 ，P 2 =E 23 (2)，
9、显然 A 首先将第 2 列的两倍加到第 3 列，再将第 1 列及第 2 列对调，所以 B=AE 23 (2)E 12 =AP 2 P 1 ，选(D)4.设 n 维列向量组 1 ， 2 ， m (mn)线性无关，则 n 维列向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.向量组 1 ， 2 ， m 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表示B.向量组 1 ， 2 ， m 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表示C.向量组 1 ， 2 ， m 与向量组 1 ， 2 ， m 等价D.矩阵 A=( 1 ， 2 ， m )与矩阵 B=( 1 ， 2 ， m )等价 解析：解
10、析：因为 1 ， 2 ， m 线性无关，所以向量组 1 ， 2 ， m 的秩为 m，向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件是其秩为 m，所以选(D)5.设 A 是 mn 阶矩阵，则下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若 mn，则方程组 AX=b 一定有无穷多个解B.若 mn，则方程组 AX=b 一定有唯一解C.若 r(A)=n，则方程组 AX=b 一定有唯一解D.若 r(A)=m，则方程组 AX=b 一定有解 解析：解析：因为若 r(A)=m(即 A 为行满秩矩阵)，则6.设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似，则( )（分数：2.00）A.A 的 n 个特征值都是单值B.A
11、是可逆矩阵C.A 存在 n 个线性无关的特征向量 D.A 一定为 n 阶实对称矩阵解析：解析：矩阵 A 与对角阵相似的充分必要条件是其有 n 个线性无关的特征向量，A 有 n 个单特征值只是其可对角化的充分而非必要条件，同样 A 是实对称阵也是其可对角化的充分而非必要条件，A 可逆既非其可对角化的充分条件，也非其可对角化的必要条件，选(C)7.设 A，B 都是 n 阶矩阵，且存在可逆矩阵 P，使得 AP=B，则( )（分数：2.00）A.A，B 合同B.A，B 相似C.方程组 AX=0 与 BX=0 同解D.r(A)=r(B) 解析：解析：因为 P 可逆，所以 r(A)=r(B)，选(D)二、
12、填空题(总题数：8，分数：16.00)8.设三阶矩阵 A=(， 1 ， 2 )，B=(， 1 ， 2 )，其中 ， 1 ， 2 是三维列向量，且A=3，B=4，则5A 一 2B= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：63）解析：解析：由 5A 一 2B=(5，5 1 ，5 2 )一(2，2 1 ，2 2 )=(5 一 2，3 1 ，3 2 )，得 5A 一 2B=5 一 2，3 1 ，3 2 =95 一 2， 1 ， 2 =9(5， 1 ， 2 =2， 1 ， 2 )=639.A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：O）解析：解析：由 A 2 =2A
13、 得 A n =2 n1 A，A n1 =2 n2 A，所以 A n 一 2A n1 =O10.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.设三阶矩阵 A，B 满足关系 A 1 BA=6A+BA，且 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 A 1 BA=6A+BA，得 A 1 B=6E+B，于是(A 1 一 E)B=6E，B=6(A 1 一 E) 1 = 12.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，且 1 +a 2 +4 3 ，2 1 + 2 一 3 ， 2 + 3 线性相关，则 a= 1（分数：2.00）
14、填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：( 1 +a 2 +4 3 ，2 1 + 2 一 3 ， 2 + 3 )=( 1 ， 2 ， 3 ) ， 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，而 1 +a 2 +4 3 ，2 1 + 2 一 3 ， 2 + 3 线性相关，所以 13.设 A 为 n 阶矩阵，且A=0，A ki 0，则 AX=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：C(A k1 ，A k2 ，A ki ，A kn ) T (C 为任意常数)）解析：解析：因为A=0，所以 r(A)n，又因为 A ki 0，所以 r(A * )1，从而 r(A)=
15、n1，AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量，又 AA * =AE=O，所以 A * 的列向量为方程组 AX=0 的解向量，故 AX=0 的通解为 C(A k1 ，A k2 ，A ki ，A kn ) T (C 为任意常数)14.设 A 是三阶实对称矩阵，其特征值为 1 =3， 2 = 3 =5，且 1 =3 对应的线性无关的特征向量为 1 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，令 2 = 3 =5 对应的特征向量为 =0 得 2 = 3 =5 对应的线性无关的特征向量为 15.设二次型 2x 1 2 +x
16、2 2 +x 3 2 2x 1 x 2 ax 2 x 3 的秩为 2，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：该二次型的矩阵为 A= ，因为该二次型的秩为 2，所以A=0，解得 a=三、解答题(总题数：12，分数：30.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设 D= （分数：4.00）(1).计算 D；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).求 M 31 +M 33 +M 34 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：M 31 +M 33 +M 34 =1A 31 +0A 32 +1A 33 +(一
17、1)A 34 )解析：17.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 B= ，C=(a n )， )解析：18.设 1 ， m ， 为 m+1 维向量，= 1 + m (m1)证明：若 1 ， m 线性无关，则 一 1 ， 一 m 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 k 1 ( 一 1 )+k m ( 一 m )=0，即 k 1 ( 2 + 3 + m )+k m ( 1 + 2 + m1 )=0 或(k 2 +k 3 +k m ) 1 +(k 1 +k 3 +k m ) 2 +(k 1 +k 2 +k m1 ) m =0， 因为 1 ， m 线性无关，所以 因
18、为 )解析：19.设 1 ， 2 ， M ， 1 ， 2 ， n 线性无关，而向量组 1 ， 2 ， m ， 线性相关证明：向量 可由向量组 1 ， 2 ， m ， 1 ， 2 ， n 线性表示（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为向量组 1 ， 2 ， m ， 1 ， 2 ， n 线性无关，所以向量组 1 ， 2 ， m 也线性无关，又向量组 1 ， 2 ， m ， 线性相关，所以向量 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表示，从而 可由向量组 1 ， 2 ， m ， 1 ， 2 ， n 线性表示)解析：20.，求极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组线性表出 （分数：2.00
19、）_正确答案：(正确答案： )解析：21.就 a，b 的不同取值，讨论方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D= =a(a 一 b) (1)当 a0，ab 时，方程组有唯一解，唯一解为 ，x 3 =0； (2)当 a=0 时， ， 因为 r(A) ，所以方程组无解； (3)当 a=b0 时， ， 方程组有无穷多个解，通解为 X= )解析：设 （分数：4.00）(1).求 a，b 及 A 的所有特征值与特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A= 得 ，即 ，解得 a=1，b=1，=3 由E 一 A= )解析：(2).A 可否对角化?若可对角化，求可逆矩阵 P，使得 P
20、 1 AP 为对角矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 的特征值都是单值，所以 A 可相似对角化 将 1 =0 代入(EA)X=0得 1 =0 对应的线性无关特征向量为 1 = ； 将 2 =2 代入(EA)X=0 得 2 =2 对应的线性无关特征向量为 2 = ； 将 3 =3 代入(EA)X=0 得 3 =3 对应的线性无关特征向量为 3 = ； 令 )解析：22.，求 A 的全部特征值，并证明 A 可以对角化 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 T =k，则 A 2 =kA， 设 AX=X，则 A 2 X= 2 X=kX，即 (k)X=0， 因为 X0，所以矩
21、阵 A 的特征值为 =0 或 =k 由 1 + n =tr(A)且 tr(A)=k 得 1 = n1 =0， n =k 因为 r(A)=1，所以方程组(0EA)X=0 的基础解系含有 n1 个线性无关的解向量，即 =0 有 n 一 1 个线性无关的特征向量，故 A 可以对角化)解析：设 A= （分数：4.00）(1).证明 A 可对角化；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由EA=( 一 1) 2 (+2)=0 得 1 = 2 =1， 3 =一 2 当 =1 时，由(E 一 A)X=0 得 =1 对应的线性无关的特征向量为 ； 当 =一 2 时，由(一 2EA)X=0 得 =一2 对应的
22、线性无关的特征向量为 3 = )解析：(2).求 A m （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由E 一 A= =(+1)( 一 1) 2 得 1 =一 1， 2 = 3 =1，因为A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化，所以 r(EA)=1，由 E 一 A= )解析：设 n 阶实对称矩阵 A 的秩为 r，且满足 A 2 =A(A 称为幂等阵) 求：（分数：4.00）(1).二次型 X T AX 的标准形；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 2 =A，所以AEA=0，即 A 的特征值为 0 或者 1，因为 A 为实对称矩阵，所以 A 可对角化，由 r(A)=r 得 A 的特征值为 =1(r 重)，=0(nr 重)，则二次型 X T AX 的标准形为 y 1 2 +y 2 2 +y r 2 )解析：(2).EA+A 2 +A n 的值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 B=E+A+A 2 +A n ，则 B 的特征值为 =n+1(r 重)，=1(n 一 r 重)，故E+A+A 2 +A n =B=(n1) r )解析：
