1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 113 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 是三阶矩阵，B 是四阶矩阵，且A=2，B=6，则 （分数：2.00）A.24B.一 24C.48D.一 483.n 阶矩阵 A 经过若干次初等变换化为矩阵 B，则( )（分数：2.00）A.A=BB.ABC.若A=0 则B=0D.若A0 则B04.设 （分数：2.00）A.B=P 1 AP 2B.B=P 2 AP 1C.B=P 2 1 AP 1D.B=P 1 1 AP
2、2 15.设 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示， 2 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，对任意的常数 k 有( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 ，k 1 + 2 线性无关B. 1 ， 2 ， 3 ，k 1 + 2 线性相关C. 1 ， 2 ， 3 ， 1 +k 2 线性无关D. 1 ， 2 ， 3 ， 1 +k 2 线性相关6.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 为四维非零列向量组，令 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，AX=0 的通解为 X=k(0，一 1，3，0) T ，则 A * X=0 的基础解系为( ) （分数：2.00）A.
3、 1 ， 3B. 2 ， 3 ， 4C. 1 ， 2 ， 4D. 3 ， 47.设 ， 为四维非零列向量，且 ，令 A= T ，则 A 的线性无关特征向量个数为( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.48.设 A，B 为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.r(A)=r(B)B.A=BC.ABD.A，B 与同一个实对称矩阵合同二、填空题(总题数：7，分数：14.00)9.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_10.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_11.设 A 是 43 阶矩阵且 r(A)=2，B= （分数：2.00）填空项 1:
4、_12.设 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_13.设 1 ， s 是非齐次线性方程组 AX=b 的一组解，则 k 1 1 +k s s 为方程组 AX=b 的解的充分必要条件是 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 ， 为三维非零列向量，(，)=3，A= T ，则 A 的特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设 5x 1 2 +x 2 2 +tx 3 2 +4x 1 x 2 一 2x 1 x 3 一 2x 2 x 3 为正定二次型，则 t 的取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：32.00)16.解答题解答应写出文字说明、
5、证明过程或演算步骤。_设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 +2A 一 3E=O求：（分数：4.00）(1).(A+2E) 1 ；（分数：2.00）_(2).(A+4E) 1 （分数：2.00）_17.设 A 为 n 阶矩阵，且 A k =O，求(EA) 1 （分数：2.00）_18.设 1 ， 2 ， n (n2)线性无关，证明：当且仅当 n 为奇数时， 1 + 2 ， 2 + 3 ， n + 1 线性无关（分数：2.00）_19.设向量组 （分数：2.00）_20.设 1 ， 2 ， 3 为四维列向量组， 1 ， 2 线性无关， 3 =3 1 +2 2 ，A=( 1 ， 2 ， 3 )，求 A
6、X=0 的一个基础解系（分数：2.00）_21.设向量组 1 ， 2 ， s 为齐次线性方程组 AX=0 的一个基础解系，A0证明：齐次线性方程组 BY=0 只有零解，其中 B=(，+ 1 ，+ s )（分数：2.00）_设 0 为 A 的特征值（分数：6.00）(1).证明：A T 与 A 特征值相等；（分数：2.00）_(2).求 A 2 ，A 2 +2A+3E 的特征值；（分数：2.00）_(3).若A0，求 A 1 ，A * ，EA 1 的特征值（分数：2.00）_22.设 = （分数：2.00）_23.设 A 为 n 阶非零矩阵，且存在自然数 k，使得 A k =O证明：A 不可以对
7、角化（分数：2.00）_设 AB， （分数：4.00）(1).求 a，b；（分数：2.00）_(2).求可逆矩阵 P，使得 P 1 AP=B（分数：2.00）_设 A 为 n 阶实对称可逆矩阵，f(x 1 ，x 2 ，x n )= （分数：4.00）(1).记 X=(x 1 ，x 2 ，x n ) T ，把二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )写成矩阵形式；（分数：2.00）_(2).二次型 g(X)=X T AX 是否与 f(x 1 ，x 2 ，x n )合同?（分数：2.00）_考研数学一（线性代数）模拟试卷 113 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数
8、：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 是三阶矩阵，B 是四阶矩阵，且A=2，B=6，则 （分数：2.00）A.24B.一 24C.48D.一 48 解析：解析： 3.n 阶矩阵 A 经过若干次初等变换化为矩阵 B，则( )（分数：2.00）A.A=BB.ABC.若A=0 则B=0 D.若A0 则B0解析：解析：因为 A 经过若干次初等变换化为 B，所以存在初等矩阵 P 1 ，P S ，Q 1 ，Q T ，使得 B=P S P 1 AQ 1 Q t ，而 P 1 ，P s ，Q 1 ，Q t 都是可逆矩阵，所以
9、 r(A)=r(B)，若A=0，且 r(A)n，则 r(B)n，即B=0，选(C)4.设 （分数：2.00）A.B=P 1 AP 2B.B=P 2 AP 1C.B=P 2 1 AP 1D.B=P 1 1 AP 2 1 解析：解析：显然 B= 5.设 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示， 2 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，对任意的常数 k 有( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 ，k 1 + 2 线性无关 B. 1 ， 2 ， 3 ，k 1 + 2 线性相关C. 1 ， 2 ， 3 ， 1 +k 2 线性无关D. 1 ， 2 ， 3 ， 1
10、 +k 2 线性相关解析：解析：因为 1 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示， 2 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，所以 k 1 + 2 一定不可以由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示，所以 1 ， 2 ， 3 ，k 1 + 2 线性无关，选(A)6.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 为四维非零列向量组，令 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，AX=0 的通解为 X=k(0，一 1，3，0) T ，则 A * X=0 的基础解系为( ) （分数：2.00）A. 1 ， 3B. 2 ， 3 ， 4C. 1 ， 2 ， 4 D. 3 ， 4解析：解析：因为 AX=0 的基础解系只含一个线
11、性无关的解向量， 所以 r(A)=3，于是 r(A * )=1 因为 A * A=AE=O，所以 1 ， 2 ， 3 ， 4 为 A * X=0 的一组解， 又因为 2 +3 3 =0，所以 2 ， 3 线性相关，从而 1 ， 2 ， 4 线性无关，即为 A * X=0 的一个基础解系，应选(C)7.设 ， 为四维非零列向量，且 ，令 A= T ，则 A 的线性无关特征向量个数为( )（分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析：因为 ， 为非零向量，所以 A= T O，则 r(A)1，又因为 r(A)=r( T )r()=1，所以 r(A)=1 令 AX=X，由 A 2 X= T
12、T X=O= 2 X 得 =0，因为 r(0EA)=r(A)=1，所以 A 的线性无关的特征向量个数为 3，应选(C)8.设 A，B 为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.r(A)=r(B)B.A=BC.ABD.A，B 与同一个实对称矩阵合同 解析：解析：因为 A，B 与同一个实对称矩阵合同，则 A，B 合同，反之若 A，B 合同，则 A，B 的正、负惯性指数相同，从而 A，B 与二、填空题(总题数：7，分数：14.00)9.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：(A+3E) 1 (A 2 一 9E)=
13、(A+3E) 1 (A+3E)(A 一 3E)=A 一 3E= 10.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.设 A 是 43 阶矩阵且 r(A)=2，B= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为B=100，所以 r(AB)=r(A)=212.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a=一 4）填空项 1:_ （正确答案：b=一 13）解析：解析：因为 ， 正交，所以13.设 1 ， s 是非齐次线性方程组 AX=b 的一组解，则 k 1 1 +k s s 为方程组 AX=b 的解的充分必
14、要条件是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k 1 +k 2 +k s =1）解析：解析：k 1 +k 2 +k s =1，显然 k 1 1 +k 2 2 +k s s 为方程组 AX=b 的解的充分必要条件是 A(k 1 1 +k 2 2 +k s s )=b，因为 A 1 =A 2 =A s =b，所以(k 1 +k 2 +k s )b=b，注意到 b0，所以 k 1 +k 2 +k s =1，即 k 1 1 +k 2 2 +k s s 为方程组AX=b 的解的充分必要条件是 k 1 +k 2 +k s =114.设 ， 为三维非零列向量，(，)=3，A= T ，则
15、 A 的特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0 或者 3）解析：解析：因为 A 2 =3A，令 AX=X，因为 A 2 X= 2 X，所以有( 2 一 3)X=0，而 X0，故 A 的特征值为 0 或者 3，因为 1 + 2 + 3 =tr(A)=(，)，所以 1 =3， 2 = 3 =015.设 5x 1 2 +x 2 2 +tx 3 2 +4x 1 x 2 一 2x 1 x 3 一 2x 2 x 3 为正定二次型，则 t 的取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：t2）解析：解析：二次型的矩阵为 A= ，因为二次型为正定二次型，
16、所以有 50，三、解答题(总题数：12，分数：32.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 +2A 一 3E=O求：（分数：4.00）(1).(A+2E) 1 ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 2 +2A 一 3E=O 得 A(A+2E)=3E， A(A+2E)=E，根据逆矩阵的定义，有(A+2E) 1 = )解析：(2).(A+4E) 1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 2 +2A 一 3E=O 得(A+4E)(A 一 2E)+5E=O，则(A+4E) 1 = )解析：17.设 A 为 n 阶矩阵
17、，且 A k =O，求(EA) 1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E k 一 A k =(E 一 A)(E+A+A 2 +A k1 )，又 E k 一 A k =E，所以(E 一 A) 1 =E+A+A 2 +A k1 )解析：18.设 1 ， 2 ， n (n2)线性无关，证明：当且仅当 n 为奇数时， 1 + 2 ， 2 + 3 ， n + 1 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设有 x 1 ，x 2 ，x n ，使 x 1 ( 1 + 2 )+x 2 ( 2 + 3 )+x n ( n + 1 )=0，即 (x 1 +x n ) 1 +(x 1 +x 2 )
18、2 +(x n1 +x n ) n 0， 因为 1 ， 2 ， n 线性无关，所以有 ，该方程组系数行列式 D n =1+(一 1) n1 ，n 为奇数 D n 0 x 1 =x n =0 )解析：19.设向量组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：向量组 1 ， 2 ， 3 线性相关的充分必要条件是 1 口， 2 ， 3 =0，而 1 ， 2 ， 3 = )解析：20.设 1 ， 2 ， 3 为四维列向量组， 1 ， 2 线性无关， 3 =3 1 +2 2 ，A=( 1 ， 2 ， 3 )，求 AX=0 的一个基础解系（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AX=0 x 1 1 +x
19、 2 2 +x 3 3 =0，由 3 =3 1 +2 2 可得(x 1 +3x 3 ) 1 +(x 2 +2x 3 ) 2 =0，因为 1 ， 2 线性无关，因此 AX=0 的一个基础解系为= )解析：21.设向量组 1 ， 2 ， s 为齐次线性方程组 AX=0 的一个基础解系，A0证明：齐次线性方程组 BY=0 只有零解，其中 B=(，+ 1 ，+ s )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1 ， 2 ， s 线性无关，因为 A0，所以 ，+ 1 ，+ s 线性无关，故方程组 BY=0 只有零解)解析：设 0 为 A 的特征值（分数：6.00）(1).证明：A T 与 A 特征值相
20、等；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为EA T =(EA) T =EA，所以 A T 与 A 的特征值相等)解析：(2).求 A 2 ，A 2 +2A+3E 的特征值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A= 0 (0)， 所以 A 2 = 0 A= 0 2 ，(A 2 +2A+3E)=( 0 2 +2 0 +3)， 于是 A 2 ，A 2 +2A+3E 的特征值分别为 0 2 ， 0 2 +2 0 +3)解析：(3).若A0，求 A 1 ，A * ，EA 1 的特征值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为A= 1 2 n 0，所以 0 0，由 A= 0 得 A
21、 1 = ， 由 A * A=A 得 A * = ，又(EA 1 )=(1 )， 于是 A 1 ，A * ，EA 1 的特征值分别为 )解析：22.设 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A= T ，由EA= 2 (2)=0 得 1 = 2 =0， 3 =2，因为 6E一 A n 的特征值为 6，6，62 n ，所以6E 一 A n =6 2 (62 n )解析：23.设 A 为 n 阶非零矩阵，且存在自然数 k，使得 A k =O证明：A 不可以对角化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 AX=X(X0)，则有 A k X= k X，因为 A k =O，所以 k X=0，注
22、意到X0，故 k =0，从而 =0，即矩阵 A 只有特征值 0(n 重) 因为 r(0E 一 A)=r(A)1，所以方程组(0EA)X=0 的基础解系至多含 n1 个线性无关的解向量，故矩阵 A 不可对角化)解析：设 AB， （分数：4.00）(1).求 a，b；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：EA=( 一 2) 2 一(a+3)+3(a 一 1)=f()， 因为 =2 为 A 的二重特征值，所以 a=5， 于是EA=( 一 2) 2 ( 一 6)，故 b=6)解析：(2).求可逆矩阵 P，使得 P 1 AP=B（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(2EA)X=0 得 =2
23、对应的线性无关的特征向量为 ； 由(6EA)X=0 得=6 对应的线性无关的特征向量为 3 = 令 P= )解析：设 A 为 n 阶实对称可逆矩阵，f(x 1 ，x 2 ，x n )= （分数：4.00）(1).记 X=(x 1 ，x 2 ，x n ) T ，把二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )写成矩阵形式；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(X)=(x 1 ，x 2 ，x n ) * X，因为 r(A)=n，所以A0，于是 )解析：(2).二次型 g(X)=X T AX 是否与 f(x 1 ，x 2 ，x n )合同?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 可逆，所以 A 的 n 个特征值都不是零，而 A 与 A 1 合同，故二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )与 g(x)=X T AX 规范合同)解析：
