1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 116 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 为 3 阶非零矩阵，且 A 2 0，则 A 的线性无关的特征向量的个数为（分数：2.00）A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个3.已知 A 是 3 阶矩阵， 1 ， 2 是 A 的两个线性无关的特征向量，特征值都是 2， 3 也是 A 的特征向量，特征值是 6记 P( 2 ， 1 ， 3 ) P(3 3 ， 2 ， 1 ) P( 1 ， 1 2 ， 3 ) P( 1
2、， 2 3 ， 3 ) 则满足 P -1 AP （分数：2.00）A.，B.，C.，D.，二、填空题(总题数：10，分数：20.00)4.已知 A （分数：2.00）填空项 1:_5.设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均等于 2，且满足 A 2 kA6E0，其中 E 为 n 阶单位矩阵，则参数 k 1（分数：2.00）填空项 1:_6.设 A 是 3 阶矩阵，向量 1 (1，2，0) T ， 2 (1，0，1) T ，(1，2，2) T 已知2 是矩阵 A 的一个特征值， 1 ， 2 是 A 的属于 2 的特征向量，则 A 1（分数：2.00）填空项 1:_7.已知矩阵 A 第一行 3 个元素
3、分别是 3，1，2，又 1 (1，1，1) T ， 2 (1，2，0) T ， 3 (1，0，1) T 是矩阵 A 的三个特征向量，则矩阵 A 1（分数：2.00）填空项 1:_8.设二次型 4 2 2 3 3 2 2a 1 2 4 1 3 8 2 3 经正交变换化为标准形 y 1 2 6y 2 2 by 3 2 ，则 a 1（分数：2.00）填空项 1:_9.若 f( 1 ， 2 ， 3 )(a 1 2 2 3 3 ) 2 ( 2 2 3 ) 2 ( 1 a 2 3 ) 2 是正定二次型，则 a 的取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_10.已知 1 (1，1，1) T ， 2 (1
4、，2，4) T ， 3 (1，1，1) T 是 3 维空间的一组基，则(1，3，9) T 在基 1 ， 2 ， 3 下的坐标是 1（分数：2.00）填空项 1:_11.已知 1 (1，1，1) T ， 2 (0，1，1) T ， 3 (0，0，1) T 与 1 (1，0，1) T ， 2 (1，1，0) T ， 3 (0，1，1) T 是 3 维空间的两组基，那么坐标变换公式为 1（分数：2.00）填空项 1:_12.已知 1 (1，1，1) T ， 2 (1，0，1) T ， 3 (1，0，1) T 与 1 (1，2，1) T ， 2 (3，3，3) T ， 3 (2，4，3) T 是 R
5、3 的两组基，那么在这两组基下有相同坐标的向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_13.已知 A （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：14，分数：28.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_15.已知矩阵 A 和 B 相似，其中 （分数：2.00）_16.设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值是 1 8， 2 3 2，矩阵 A 属于特征值 1 的特征向量是 1 (1，k，1) T ，属于特征值 2 3 的一个特征向量是 2 (1，1，0) T ()求参数k 及 A 的属于特征值 2 3 的另一个特征向量； ()求矩阵 A（分数：2.00）_
6、17.设 A 是 3 阶实对称矩阵，其主对角线元素都是 0，并且 (1，2，1) T 满足 A2()求矩阵 A；()求正交矩阵 P，使 P -1 AP 为对角矩阵（分数：2.00）_18.设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值是 1，2，1，矩阵 A 的属于特征值 1 与 2 的特征向量分别是 1 (2，3，1) T 与 2 (1，a，2a) T ，A * 是 A 的伴随矩阵，求齐次方程组(A * 2E)0 的通解（分数：2.00）_19.设 A 是 3 阶实对称矩阵， 1 ， 2 ， 3 是矩阵 A 的三个不同的特征值， 1 ， 2 ， 3 是相应的单位特征向量，证明 A 1 1 1 T 2 2
7、 2 T 3 3 3 T （分数：2.00）_20.设三元二次型 T A 经正交变换化为标准形 5y 1 2 y 2 2 y 3 2 ，若 A5，其中(1，1，1) T ，求此二次型的表达式（分数：2.00）_21.设二次型 f( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) T A 的正惯性指数为 p1，又矩阵 A 满足 A 2 2A3E，求此二次型的规范形并说明理由（分数：2.00）_22.设 A （分数：2.00）_23.已知矩阵 A （分数：2.00）_24.设 A，B 分别是 m 阶与 n 阶正定矩阵，证明 C （分数：2.00）_25.已知 A （分数：2.00）_26.设 A 为 m 阶正定矩
8、阵，B 是 mn 矩阵，证明矩阵 B T AB 正定的充分必要条件是秩 r(B)n（分数：2.00）_27.已知 （分数：2.00）_考研数学一（线性代数）模拟试卷 116 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 为 3 阶非零矩阵，且 A 2 0，则 A 的线性无关的特征向量的个数为（分数：2.00）A.0 个B.1 个C.2 个 D.3 个解析：解析：由 A0 及 A 2 0 2r(A)r(A)3 3.已知 A 是 3 阶矩阵， 1 ， 2
9、是 A 的两个线性无关的特征向量，特征值都是 2， 3 也是 A 的特征向量，特征值是 6记 P( 2 ， 1 ， 3 ) P(3 3 ， 2 ， 1 ) P( 1 ， 1 2 ， 3 ) P( 1 ， 2 3 ， 3 ) 则满足 P -1 AP （分数：2.00）A.，B.， C.，D.，解析：解析：P -1 AP 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)4.已知 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：10）解析：解析：先求矩阵 A 的特征值，由 EA (1)(2) 2 ， 知矩阵 A 的特征值是 1 1， 2 3 2 因为矩阵 A 有三个线性无关的特征向量，2 是
10、二重特征值，故2 必有两个线性无关的特征向量，那么秩 r(2EA)1 5.设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均等于 2，且满足 A 2 kA6E0，其中 E 为 n 阶单位矩阵，则参数 k 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：设 是 A 的特征值， 为属于 的特征向量，则 A于是，有 (A 2 kA6E)( 2 k6)0， 由于 0，故有 2 k60 (*) 又因为矩阵 A 的各行元素之和等于 2，从而 6.设 A 是 3 阶矩阵，向量 1 (1，2，0) T ， 2 (1，0，1) T ，(1，2，2) T 已知2 是矩阵 A 的一个特征值， 1 ， 2
11、 是 A 的属于 2 的特征向量，则 A 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(2，4，4) T）解析：解析：将向量 表示为 1 ， 2 的线性组合形式由于 7.已知矩阵 A 第一行 3 个元素分别是 3，1，2，又 1 (1，1，1) T ， 2 (1，2，0) T ， 3 (1，0，1) T 是矩阵 A 的三个特征向量，则矩阵 A 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设矩阵 A 的三个特征值依次为 1 ， 2 ， 3 ，则 利用第 1 行相乘，可知 1 0，类似可知 2 3 1，于是得关于 A 的矩阵方程 A( 1 ， 2 ， 3
12、 )(0， 2 ， 3 )用初等变换法求解： 8.设二次型 4 2 2 3 3 2 2a 1 2 4 1 3 8 2 3 经正交变换化为标准形 y 1 2 6y 2 2 by 3 2 ，则 a 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：二次型矩阵与标准形矩阵分别是 由 A，有9.若 f( 1 ， 2 ， 3 )(a 1 2 2 3 3 ) 2 ( 2 2 3 ) 2 ( 1 a 2 3 ) 2 是正定二次型，则 a 的取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a1 且 a*）解析：解析：由题设条件知，对任意的 1 ， 2 ， 3 ，恒
13、有 f( 1 ， 2 ， 3 )0，其中等号成立的充分必要条件是 而上述齐次方程组仅有零解的充分必要条件是其系数行列式 所以，当 a1 且 a 时， 10.已知 1 (1，1，1) T ， 2 (1，2，4) T ， 3 (1，1，1) T 是 3 维空间的一组基，则(1，3，9) T 在基 1 ， 2 ， 3 下的坐标是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 1 1 2 2 3 3 ，即 解出 1 2， 2 ， 3 ，即 在基 1 ， 2 ， 3 下的坐标是 11.已知 1 (1，1，1) T ， 2 (0，1，1) T ， 3 (0，0，1) T 与
14、 1 (1，0，1) T ， 2 (1，1，0) T ， 3 (0，1，1) T 是 3 维空间的两组基，那么坐标变换公式为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：求坐标变换公式就是求两组基之间的过渡矩阵按定义( 1 ， 2 ， 3 )( 1 ， 2 ， 3 )C，则 C( 1 ， 2 ， 3 ) -1 ( 1 ， 2 ， 3 ) 因此坐标变换公式为 12.已知 1 (1，1，1) T ， 2 (1，0，1) T ， 3 (1，0，1) T 与 1 (1，2，1) T ， 2 (3，3，3) T ， 3 (2，4，3) T 是 R 3 的两组基，那么在这两组
15、基下有相同坐标的向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(4t，5t，2t) T）解析：解析：设 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 ，则 1 ( 1 1 ) 2 ( 2 2 ) 3 ( 3 3 )0 对( 1 1 ， 2 2 ， 3 3 )作初等行变换，有 13.已知 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 1 (1，1，1，0) T ， 2 ）解析：解析：对矩阵 A 作初等行变换，有 得到 A0 的基础解系是 1 (1，1，1，0) T ， 2 (2，1，0，1) T 将其 Schmidt 正交化，有 1 1 (1，1，1，0)
16、T ， 2 (2，1，0，1) T (1，1，1，0) T (5，4，1，3) T 单位化为 1 (1，1，1，0) T ， 2 三、解答题(总题数：14，分数：28.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：15.已知矩阵 A 和 B 相似，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 相似于对角矩阵 B，则 A 的特征值为曰的对角线元素 b，b，c，并且2bctr(A)12又 AbE 相似于 BbE，因此 r(AbE)r(BbE)1 )解析：16.设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值是 1 8， 2 3 2，矩阵 A 属于特征值 1 的特征向量
17、是 1 (1，k，1) T ，属于特征值 2 3 的一个特征向量是 2 (1，1，0) T ()求参数k 及 A 的属于特征值 2 3 的另一个特征向量； ()求矩阵 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因为 A 是实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量相互正交 1 ， 2 是 A 的分别属于特征值 1 ， 2 3 的特征向量，故有 1 T 2 0，即 1k00 解得 k1，从而， 1 (1，1，1) T 设矩阵 A 的属于特征值 2 3 的另一个特征向量为 3 ( 1 ， 2 ， 3 ) T 由于 1 ， 3 是 A 的属于不同特征值的特征向量，故有 1 T 3 0为使属于同一特征
18、值 2 3 的 2 个特征向量线性无关，进一步设 2 T 3 0于是有齐次线性方程组 解得方程组的基础解系为(1，1，2) T 所以，矩阵 A 的属于 2 3 2 的另一个特征向量 3 (1，1，2) T ()建立关于 A 的矩阵方程： 用初等变换法求 A： )解析：17.设 A 是 3 阶实对称矩阵，其主对角线元素都是 0，并且 (1，2，1) T 满足 A2()求矩阵 A；()求正交矩阵 P，使 P -1 AP 为对角矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()设 A ，由 A2 得到 a 12 2，a 13 2，a 23 2 故 A ()由矩阵 A 的特征多项式 EA (2) 2
19、(4)， 得到矩阵 A 的特征值为 1 2 2， 3 4 对于 2，由(2EA)0， 得到属于 2 的特征向量 1 (1，2，1) T ， 2 (1，0，1) T 对 4，由(4EA)0， 得到属于4 的特征向量 3 (1，1，1) T 因为 1 ， 2 已正交，故只需单位化，有 那么，令 P( 1 ， 2 ， 3 ) 则 P -1 AP )解析：18.设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值是 1，2，1，矩阵 A 的属于特征值 1 与 2 的特征向量分别是 1 (2，3，1) T 与 2 (1，a，2a) T ，A * 是 A 的伴随矩阵，求齐次方程组(A * 2E)0 的通解（分数：2.00）
20、_正确答案：(正确答案：由 A 的特征值是 1，2，1，可知行列式A2，那么 A * 的特征值是2，1，2于是 从而 A * 2E 所以 r(A * 2E)r()2那么，(A * 2E)0的基础解系由一个线性无关的解向量所构成 又因矩阵 A 属于 1 的特征向量就是 A * 属于 2的特征向量，亦即 A * 2E 属于 0 的特征向量 由于 A 是实对称矩阵，不同特征值的特征向量相互正交设矩阵 A 属于特征值 1 的特征向量是 3 ( 1 ， 2 ， 3 ) T ，则有 a2 )解析：19.设 A 是 3 阶实对称矩阵， 1 ， 2 ， 3 是矩阵 A 的三个不同的特征值， 1 ， 2 ， 3
21、 是相应的单位特征向量，证明 A 1 1 1 T 2 2 2 T 3 3 3 T （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 P( 1 ， 2 ， 3 )，则 P 是正交矩阵，由于 A 是实对称矩阵，故必有 P -1 AP 那么 APP -1 PP T 由于 )解析：20.设三元二次型 T A 经正交变换化为标准形 5y 1 2 y 2 2 y 3 2 ，若 A5，其中(1，1，1) T ，求此二次型的表达式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二次型经正交变换化为标准形 5y 1 2 y 2 2 y 3 2 ，知矩阵 A 的特征值是5，1，1设 1 的特征向量是 ( 1 ， 2 ， 3
22、 ) T ，由于 A 是实对称矩阵，故 与 正交，则有 1 2 3 0 解出 1 (1，1，0) T ， 2 (1，0，1) T 那么令 P(， 1 ， 2 ) 则 P -1 AP 于是 APP -1 )解析：21.设二次型 f( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) T A 的正惯性指数为 p1，又矩阵 A 满足 A 2 2A3E，求此二次型的规范形并说明理由（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 是矩阵 A 的任一特征值， 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量，即A，0那么(A 2 2A)3，即有( 3 3)0，即有 2 230，故3 或1 又因正惯性指数 P1，故 f 的特征值必为 3，1
23、，1，1 所以，二次型的规范形是y 1 2 y 2 2 y 3 2 y 4 2 )解析：22.设 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由 A 的特征多项式 EA (a2) 2 (2a2)， 得到矩阵 A 的特征值是 1 2 2a， 3 2a2 那么 A 正定 a(1，2) ()满足矩阵 A 正定的正整数 a1，那么 此时，矩阵 A 的特征值是 1 2 1， 3 4 对于1，由(EA)0， 得到属于 1 的特征向量 1 (1，1，0) T ， 2 (1，0，1) T 对于 A=4，由(4EA)0， 得到属于 4 的特征向量 3 (1，1，1) T 对 1 ， 2 正交规范化处理，有
24、 )解析：23.已知矩阵 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 的特征多项式 EA (6) 2 (2)， 知矩阵 A 的特征值是 1 2 6， 3 2由于矩阵 A 可以相似对角化，故 6 必有 2 个线性无关的特征向量，那么由 r(6EA) 1， 得知 a0因此 T A2 1 2 2 2 2 6 3 2 10 1 2 二次型的矩阵为 A 1 由 EA 1 (6)(7)(3)， 知二次型 T A T A 1 的特征值是 6，7，3 对 6，由(6EA 1 )0 得 1 (0，0，1) T 对 7，由(7EA 1 )0 得 2 (1，1，0) T 对 3，由(3EA 1 )0 得
25、3 (1，1，0) T 不同特征值的特征向量已正交，故只需单位化，有 那么，令 P( 1 ， 2 ， 3 ) )解析：24.设 A，B 分别是 m 阶与 n 阶正定矩阵，证明 C （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 A，B 均是正定矩阵，知 A T A，B T B，那么 所以，矩阵 C 是对称矩阵。由于 EC )解析：25.已知 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(A T A) T A T (A T ) T A T A，知 A T A 是对称矩阵 ()如果 sn，则齐次方程组 A0 有非零解，设为 0 ，那么 0 T (A T A) 0 0 T A T A 0 0，
26、0 0所以矩阵 A T A 不正定 ()如果 sn，因为 a i a j ，A(a i a j )0，A 是可逆矩阵，那么 BA T AA T EA 即 B 与 E 合同故矩阵 B 正定 ()如果 sn，则因 可逆， 知 )解析：26.设 A 为 m 阶正定矩阵，B 是 mn 矩阵，证明矩阵 B T AB 正定的充分必要条件是秩 r(B)n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先证必要性 由 B T AB 正定，知B T AB0，那么 nr(B T AB)r(B)min(m，n)n 所以 r(B)n 或者，由 A 正定，知 AD T D，D 是可逆矩阵，那么 nr(B T AB)r(B
27、T D T DB)r(DB) T (DB)r(DB)r(B) 再证充分性 因为(B T AB) T B T A T (B T ) T B T AB，故矩阵 B T AB 对称 设 A 是矩阵 B T AB 的任一特征值， 是属于特征值 的特征向量，即 B T AB，0 用 T 左乘上式的两端，有(B) T A(B) T 由于秩 r(B)n，0，知 B0 及 T 2 0，又因 A 正定，从而 T () T A(B)0 因此，特征值 0，即 B T AB 正定)解析：27.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A T (E4 T ) T E4( T ) T T A，又 T )解析：
