1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 121 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 是 n 阶矩阵，则|(2A) * |=（分数：2.00）A.2 n |A * |B.2 n1 |A * |C.D.3. （分数：2.00）A.AP 1 P 2 B.AP 1 P 3 C.AP 3 P 1 D.AP 2 P 3 .4.向量组 1 ， 2 ， s 线性无关的充分必要条件是（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， s 均不是零向量B. 1 ， 2 ， s 中任意
2、两个向量的分量不成比例C. 1 ， 2 ， s ， s+1 线性无关D. 1 ， 2 ， s 中任一个向量均不能由其余 s1 个向量线性表出5.设 n 维向量 1 ， 2 ， s ，下列命题中正确的是（分数：2.00）A.如果 1 ， 2 ， s 线性无关，那么 1 + 2 ， 2 + 3 ， s1 + s ， s + 1 也线性无关B.如果 1 ， 2 ， s 线性无关，那么和它等价的向量组也线性无关C.如果 1 ， 2 ， s 线性相关，A 是 mn,非零矩阵，那么 A 1 ，A 2 ，A s 也线性相关D.如果 1 ， 2 ， s 线性相关，那么 s 可由 1 ， 2 ， s1 线性表出
3、6.设齐次线性方程组经高斯消元化成的阶梯形矩阵是 （分数：2.00）A.x 4 ，x 5 B.x 2 ，x 3 C.x 2 ，x 4 D.x 1 ，x 3 7.设 =2 是可逆矩阵 A 的一个特征值，则(13A 2 ) 1 +E 的一个特征值是（分数：2.00）A.73B.13C.74D.528.二次型 x T Ax 正定的充要条件是（分数：2.00）A.负惯性指数为零B.存在可逆矩阵 P，使 P 1 AP=EC.A 的特征值全大于零D.存在 n 阶矩阵 C，使 A=C T C二、填空题(总题数：11，分数：22.00)9.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_10.设 A 是 n 阶矩阵
4、，满足 A 2 2A+E=0，则(A+2E) 1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设 A 2 BA=E，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_12.若 =(1，3，0) T 不能由 1 =(1，2，1) T ， 2 =(2，3，a) T ， 3 =(1，a+2，2) T 线性表出，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_14.已知 1 ， 2 ， 3 与 1 ， 2 ， 3 是三维向量空间的两组基，且 1 = 1 +2 2 3 ， 2 = 2 + 3 ， 3 = 1 +3 2 +2 3 ，则由基 1 ， 2 ， 3 到基
5、1 ， 2 ， 3 的过渡矩阵是 1（分数：2.00）填空项 1:_15.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_16.已知 1 ， 2 ， t 都是非齐次线性方程组 Ax=b 的解，如果 c 1 1 +c 2 2 +c t t 仍是 Ax=b 的解，则 c 1 +c 2 +c t = 1（分数：2.00）填空项 1:_17.设 A 是 n 阶矩阵，r(A)n，则 A 必有特征值 1，且其重数至少是 2（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_18.设 A 是 3 阶矩阵，且各行元素之和都是 5，则 A 必有特征向量 1（分数：2.00）填空项 1:_19.设三元二次型 x 1 2 +
6、x 2 2 +5x 3 2 +2tx 1 x 2 2x 1 x 3 +4x 2 x 3 是正定二次型，则 t 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：16.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_21.若行列式的每个元素都加 1，则行列式值的增量为所有代数余子式之和.（分数：2.00）_22.设 A，B 均为 n 阶矩阵，E+AB 可逆，化简(E+BA)EB(E+AB) 1 A（分数：2.00）_23.证明 1 ， 2 ， s (其中 1 0)线性相关的充分必要条件是存在一个 i (1is)能由它前面的那些向量 1 ， 2 ， i1
7、 线性表出（分数：2.00）_24.当 a，b 取何值时，方程组 （分数：2.00）_25.已知 A= （分数：2.00）_26.已知 1 ， 2 ， 3 是 A 的特征值， 1 ， 2 ， 3 是相应的特征向量且线性无关，如 1 + 2 + 3 仍是 A 的特征向量，则 1 = 2 = 3 （分数：2.00）_27.若 A 是 n 阶正定矩阵，证明 A 1 ，A * 也是正定矩阵（分数：2.00）_考研数学一（线性代数）模拟试卷 121 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（
8、分数：2.00）_解析：2.设 A 是 n 阶矩阵，则|(2A) * |=（分数：2.00）A.2 n |A * |B.2 n1 |A * |C. D.解析：解析：|(2A) * |=|2A| n1 =(2 n |A|) n1 =2 n(n1) |A| n1 =2 n(n1) |A * | 或利用(kA) * =k n1 A * ，那么 |(2A) * |=2 n1 A * |=(2 n1 ) n |A * |= 3. （分数：2.00）A.AP 1 P 2 B.AP 1 P 3 C.AP 3 P 1 D.AP 2 P 3 .解析：解析：把矩阵 A 的第 2 列加至第 1 列，然后第 1，3
9、两列互换可得到矩阵 B，A 表示矩阵 A 的第 2 列加至第 1 列，即 AP 1 ，故应在(A)、(B)中选择而 P 3 = 4.向量组 1 ， 2 ， s 线性无关的充分必要条件是（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， s 均不是零向量B. 1 ， 2 ， s 中任意两个向量的分量不成比例C. 1 ， 2 ， s ， s+1 线性无关D. 1 ， 2 ， s 中任一个向量均不能由其余 s1 个向量线性表出 解析：解析：(A)，(B)均是线性无关的必要条件例如， 1 =(1，1，1) T ， 2 =(1，2，3) T ， 3 =(2，3，4) T ，虽 1 ， 2 ， 3 均为非零向量且任两
10、个向量的分量都不成比例，但 1 + 2 3 =0， 1 ， 2 ， 3 线性相关 (C)是线性无关的充分条件由 1 ， 2 ， s ， s+1 线性无关 1 ， 2 ， s 线性无关，但由 1 ， 2 ， s 线性无关 5.设 n 维向量 1 ， 2 ， s ，下列命题中正确的是（分数：2.00）A.如果 1 ， 2 ， s 线性无关，那么 1 + 2 ， 2 + 3 ， s1 + s ， s + 1 也线性无关B.如果 1 ， 2 ， s 线性无关，那么和它等价的向量组也线性无关C.如果 1 ， 2 ， s 线性相关，A 是 mn,非零矩阵，那么 A 1 ，A 2 ，A s 也线性相关 D.
11、如果 1 ， 2 ， s 线性相关，那么 s 可由 1 ， 2 ， s1 线性表出解析：解析：(A)：当 s 为偶数时，命题不正确例如， 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 线性相关 (B)：两个向量组等价时，这两个向量组中向量个数可以不一样，因而线性相关性没有必然的关系例如， 1 ， 2 ， s 与 1 ， 2 ， s ，0 等价，但后者必线性相关 (C)：因为(A 1 ，A 2 ，A s )=A( 1 ， 2 ， s )，于是 r(A 1 ，A 2 ，A s )=rA( 1 ， 2 ， s )r( 1 ， 2 ， s )s， 所以，A 1 ，A 2 ，A s 必线性
12、相关故应选(C) (D)：要正确理解线性相关的意义6.设齐次线性方程组经高斯消元化成的阶梯形矩阵是 （分数：2.00）A.x 4 ，x 5 B.x 2 ，x 3 C.x 2 ，x 4 D.x 1 ，x 3 解析：解析：自由未知量选择的原则是：其它未知量可用它们唯一确定如果选择 x 4 ，x 5 ，对应齐次方程组写作 7.设 =2 是可逆矩阵 A 的一个特征值，则(13A 2 ) 1 +E 的一个特征值是（分数：2.00）A.73B.13C.74 D.52解析：解析：如 A=，则(13A 2 ) 1 +E=3(A 1 ) 2 + 8.二次型 x T Ax 正定的充要条件是（分数：2.00）A.负
13、惯性指数为零B.存在可逆矩阵 P，使 P 1 AP=EC.A 的特征值全大于零 D.存在 n 阶矩阵 C，使 A=C T C解析：解析：(A)是正定的必要条件若 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +5x 3 2 ，虽 q=0，但 f 不正定 (B)是充分条件正定并不要求特征值全为 1虽 A= 不和单位矩阵 E 相似，但二次型 x T Ax 正定 (D)中没有矩阵 C 可逆的条件，也就推导不出 A 与 E 合同，例如 C= ，A=C T C= 二、填空题(总题数：11，分数：22.00)9.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：用|kA|
14、=k n |A|及|A 1 |=1|A|，可知|2A 1 |=(2) 3 |A 1 |=81|A|，又|A|=2，从而|2A 1 |=410.设 A 是 n 阶矩阵，满足 A 2 2A+E=0，则(A+2E) 1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：19(4EA)）解析：解析：由(A+2E)(A4E)+9E=A 2 2A+E=0 有 (A+2E)19(4EA)=E 所以(A+2E) 1 =19(4EA)11.设 A 2 BA=E，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 BA=A 2 E，又 A 可逆，则有 B=(A 2
15、 E)A 1 =AA 1 故 12.若 =(1，3，0) T 不能由 1 =(1，2，1) T ， 2 =(2，3，a) T ， 3 =(1，a+2，2) T 线性表出，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出 方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =无解又 13.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由 A 可逆，知 A * 可逆，那么 r(AXA * )=r(X)，从而 r(B)=2，|B|=0于是 14.已知 1 ， 2 ， 3 与 1 ， 2 ， 3
16、 是三维向量空间的两组基，且 1 = 1 +2 2 3 ， 2 = 2 + 3 ， 3 = 1 +3 2 +2 3 ，则由基 1 ， 2 ， 3 到基 1 ， 2 ， 3 的过渡矩阵是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于( 1 ， 2 ， 3 ) 按过渡矩阵定义，知由 1 ， 2 ， 3 到 1 ， 2 ， 3 的过渡矩阵是 15.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：45）解析：解析：对任意 b 1 ，b 2 ，b 3 ，方程组有解 r(A)=3 |A|0而由 16.已知 1 ， 2 ， t 都是非齐次线性方程组 Ax
17、=b 的解，如果 c 1 1 +c 2 2 +c t t 仍是 Ax=b 的解，则 c 1 +c 2 +c t = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：因为 i 是 Ax=b 的解，所以，A i =b 若 c 1 1 +c 2 2 +c t t 是 Ax=b的解，则 A(c 1 1 +c 2 2 +c t t )=c 1 A 1 +c 2 A 2 +c t A t =(c 1 +c 2 +c t )b=b 故 c 1 +c 2 +c t =117.设 A 是 n 阶矩阵，r(A)n，则 A 必有特征值 1，且其重数至少是 2（分数：2.00）填空项 1:_
18、 （正确答案：正确答案：=0）填空项 1:_ （正确答案：nr(A)）解析：解析：r(A) |A|=0 =0 必是 A 的特征值 由 r(A)n 18.设 A 是 3 阶矩阵，且各行元素之和都是 5，则 A 必有特征向量 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为各行元素之和都是 5，即19.设三元二次型 x 1 2 +x 2 2 +5x 3 2 +2tx 1 x 2 2x 1 x 3 +4x 2 x 3 是正定二次型，则 t 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(45，0)）解析：解析：二次型矩阵 顺序主子式 1 =1， 2 = 三、
19、解答题(总题数：8，分数：16.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：21.若行列式的每个元素都加 1，则行列式值的增量为所有代数余子式之和.（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设原来行列式的列向量依次为 1 ， 2 ， s ，记 =(1，1，1) T 则改变后的行列式为| 1 +， 2 +， s +|对它分解(用性质，先分解第 1 列，分为2 个行列式，它们都对第 2 列分解，成 4 个行列式，)分为 2 n 个行列式之和，这些行列式的第 j 列或为 ，或为 j ，考虑到当有两列为 时值为 0，除去它们，| 1 +， 2 +， s +|是n
20、+1 个行列式之和，它们是：恰有 1 列为 ，而其它各列都不是(这样的有 n 个)，还有一个是| 1 ， 2 ， s |即原来行列式于是 | 1 +， 2 +， s +| 1 ， 2 ， s | )解析：22.设 A，B 均为 n 阶矩阵，E+AB 可逆，化简(E+BA)EB(E+AB) 1 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(E+BA)EB(E+AB) 1 A =E+BAB(E+AB) 1 ABAB(E+AB) 1 A =E+BAB(E+AB)(E+AB) 1 A=E+BABA=E)解析：23.证明 1 ， 2 ， s (其中 1 0)线性相关的充分必要条件是存在一个 i (1is
21、)能由它前面的那些向量 1 ， 2 ， i1 线性表出（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性因为 1 ， 2 ， s 线性相关，故有不全为 0 的 k 1 ，k 2 ，k s ，使 k 1 1 +k 2 2 +k s s =0 设 k s ，k s1 ，k 2 ，k 1 中第一个不为0 的是 k i (即 k i 0，而 k i+1 =k s1 =k s =0)，且必有 i1(若 i=1 即 k 1 0，k 2 =k s =0，那么 k 1 1 =0于是 1 =0 与 1 0 矛盾)，从而 k 1 1 +k 2 2 +k i i =0，k i 0那么 i =1k i (k 1 1 +
22、k 2 2 +k i1 i1 ) 充分性设有 i 可用 1 ， 2 ， i1 线性表示，则 1 ， 2 ， i1 ， i 线性相关，从而 1 ， 2 ， s 线性相关)解析：24.当 a，b 取何值时，方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对增广矩阵作初等行变换，有 ()当 a0，且 b3 时，方程组有唯一解(2a，1，0) T ()当 a=0 时， )解析：25.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 )解析：26.已知 1 ， 2 ， 3 是 A 的特征值， 1 ， 2 ， 3 是相应的特征向量且线性无关，如 1 + 2 + 3 仍是 A 的特征向量，则 1
23、 = 2 = 3 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 1 + 2 + 3 是矩阵 A 属于特征值 A 的特征向量，即 A( 1 + 2 + 3 )=( 1 + 2 + 3 ) 又 A( 1 + 2 + 3 )=A 1 +A 2 +A 3 = 1 1 + 2 2 + 3 3 ，于是 ( 1 ) 1 +( 2 ) 2 +( 3 ) 3 =0 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，故 1 =0， 2 =0， 3 =0 即 1 = 2 = 3 )解析：27.若 A 是 n 阶正定矩阵，证明 A 1 ，A * 也是正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 A 正定，所以 A T =A那么(A 1 ) T =(A 1 ) 1 =A 1 ，即 A 1 是实对称矩阵 设 A 的特征值是 1 ， 2 ， n ，那么 A 1 的特征值是 1 1 ，1 2 ，1 n ，由 A 正定知 i 0(i=1，2，n)因此 A 1 的特征值 1 i 0(i=1，2，n)从而 A 1 正定 A * =|A|A 1 ，|A|0，则 A * 也是实对称矩阵，并且特征值为 |A| 1 ，|A| 2 ，|A| n 都大于 0从而 A * 正定)解析：
