1、考研数学一（线性方程组）-试卷 1 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 是 mn 矩阵，A0 是非齐次线性方程组 Ab 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.若 A0 仅有零解，则 Ab 有唯一解B.若 A0 有非零解，则 Ab 有无穷多个解C.若 Ab 有无穷多个解，则 A0 仅有零解D.若 Ab 有无穷多个解，则 A0 有非零解3.要使 （分数：2.00）A.2 1 1B.C.D.4.设 A 为 n 阶矩阵，
2、A T 是 A 的转置矩阵，对于线性方程组()A0 和()A T A0，必有( )（分数：2.00）A.()的解是()的解，()的解也是()的解B.()的解是()的解，()的解不是()的解C.()的解是()的解，()的解不是()的解D.()的解不是()的解，()的解也不是()的解5.设 A 是 n 阶矩阵，对于齐次线性方程组()A n 0 和()A n+1 0，现有四个命题 (1)()的解必是()的解； (2)()的解必是()的解； (3)()的解不是()的解； (4)()的解不是()的解 以上命题中正确的是( )（分数：2.00）A.(1)(2)B.(1)(4)C.(3)(4)D.(2)(3
3、)6.设矩阵 A mn 的秩为 r(A)mn，I m 为 m 阶单位矩阵，则下述结论中正确的是( )（分数：2.00）A.A 的任意 m 个列向量必线性无关B.A 的任意一个 m 阶子式不等于零C.A 通过初等行变换，必可以化为(I m D.非齐次线性方程组 Ab 一定有无穷多解7.非齐次线性方程组 Ab 中未知量的个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵的秩为 r，则( )（分数：2.00）A.rm 时，方程组 Ab 有解B.rn 时，方程组 Ab 有唯一解C.mn 时，方程组 Ab 有唯一解D.rn 时，方程组有无穷多个解8.设 1 ， 2 ， 3 是 4 元非齐次线性方程组 Ab 的 3 个
4、解向量，且 r(A)3， 1 (1，2，3，4) T ， 2 3 (0，1，2，3) T ，c 表示任意常数，则线性方程组 Ab 的通勰( )（分数：2.00）A.B.C.D.9.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则线性方程组(AB)0( )（分数：2.00）A.当 nm 时，仅有零解B.当 nm 时，必有非零解C.当 mn 时，仅有零解D.当 mn 时，必有非零解二、填空题(总题数：7，分数：14.00)10.已知 1 ， 2 是方程组 （分数：2.00）填空项 1:_11.四元方程组 Ab 的三个解是 1 ， 2 ， 3 ，其中 1 (1，1，1，1) T ， 2 3 (2，3，
5、4，5) T ，如果 r(a)3，则方程组 Ab 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 (6，1，1) T 与 (7，4，2) T 是线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_13.齐次线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 A （分数：2.00）填空项 1:_15.齐次方程组 （分数：2.00）填空项 1:_16.设 n 阶矩阵 A 的秩为 n2， 1 ， 2 ， 3 是非齐次线性方程组 Ab 的三个线性无关的解，则 Ab 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：22.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
6、。（分数：2.00）_18.已知方程组 有解， 证明：方程组 （分数：2.00）_19.已知线性方程组 有无穷多解，而 A 是 3 阶矩阵，且 （分数：2.00）_20.设方程组(1) （分数：2.00）_21.设 4 元齐次线性方程组(1)为 （分数：2.00）_22.已知 1 ， 2 ， 3 是齐次线性方程组 A0 的一个基础解系，证明 1 2 ， 2 3 ， 1 3 也是该方程组的一个基础解系（分数：2.00）_23.求线性方程组 （分数：2.00）_24.当 a，b 取何值时，方程组 （分数：2.00）_25.设线性方程组 （分数：2.00）_26.设有齐次线性方程组 （分数：2.00
7、）_27.已知 3 阶矩阵 A 的第一行是(a，b，c)，a，b，c 不全为零，矩阵 B （分数：2.00）_考研数学一（线性方程组）-试卷 1 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 是 mn 矩阵，A0 是非齐次线性方程组 Ab 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.若 A0 仅有零解，则 Ab 有唯一解B.若 A0 有非零解，则 Ab 有无穷多个解C.若 Ab 有无穷多个解，则 A0 仅有零解D.若 Ab
8、有无穷多个解，则 A0 有非零解 解析：解析：因为不论齐次线性方程组 A0 的解的情况如何，即 r(A)n 或 r(A)n，以此均不能推得 r(A)r(A b)， 所以选项 A、B 均不正确 而由 Ab 有无穷多个解可知，r(A)r(A3.要使 （分数：2.00）A.2 1 1 B.C.D.解析：解析：由题意， 1 ， 2 与 A 的行向量是正交的，对于选项 A，因 (2，1，1) 1 0，(2，1，1) 2 0， 而逐一验证可得，其他三个选项均不满足正交条件所以应选 A4.设 A 为 n 阶矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，对于线性方程组()A0 和()A T A0，必有( )（分数：2.0
9、0）A.()的解是()的解，()的解也是()的解 B.()的解是()的解，()的解不是()的解C.()的解是()的解，()的解不是()的解D.()的解不是()的解，()的解也不是()的解解析：解析：如果 是()的解，有 A0，可得 A T AA T (A)A T 00， 即 是()的解故()的解必是()的解 反之，若 是()，的解，有 A T A0，用 T 左乘可得 T (A T A)( T A T )(A)(A) T (A) T 00， 若设 A(b 1 ，b 2 ，b n )，那么 (A) T (A)b 1 2 b 2 2 b n 2 0 5.设 A 是 n 阶矩阵，对于齐次线性方程组()
10、A n 0 和()A n+1 0，现有四个命题 (1)()的解必是()的解； (2)()的解必是()的解； (3)()的解不是()的解； (4)()的解不是()的解 以上命题中正确的是( )（分数：2.00）A.(1)(2) B.(1)(4)C.(3)(4)D.(2)(3)解析：解析：若 A n 0，则 A n+1 A(A n )A00，即若 是()的解，则 必是()的解，可见命题(1)正确 如果 A n+1 0，而 A n 0，那么对于向量组 ，A 1 ，A 2 ，A n ，一方面有： 若 kk 1 A 1 k 2 A 2 k n A n 0，用 A n 左乘上式的两边，并把 A n+1 0
11、，A n+2 0代入，得 kA n 0 由 A n 0 而知必有 k0类似地用 A n-1 左乘可得k 1 0因此，A 1 ，A 2 ，A n 线性无关 但另一方面，这是 n1 个 n 维向量，它们必然线性相关，两者矛盾故 A n+1 0 时，必有 A n 0，即()的解必是()的解因此命题(2)正确 所以应选 A。6.设矩阵 A mn 的秩为 r(A)mn，I m 为 m 阶单位矩阵，则下述结论中正确的是( )（分数：2.00）A.A 的任意 m 个列向量必线性无关B.A 的任意一个 m 阶子式不等于零C.A 通过初等行变换，必可以化为(I m D.非齐次线性方程组 Ab 一定有无穷多解 解
12、析：解析：选项 A、B 显然不正确，将其中的“任意”都改为“存在”，结论才正确对于矩阵 A，只通过初等行变换是不能保证将其化为等价标准型(I m O)的，故 C 也不正确，故选 D 事实上，由于 A 有 m 行且 r(A)mn，因此 r(A b)r(A)m又 r(A b)minm，n1m， 故 r(A 7.非齐次线性方程组 Ab 中未知量的个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵的秩为 r，则( )（分数：2.00）A.rm 时，方程组 Ab 有解 B.rn 时，方程组 Ab 有唯一解C.mn 时，方程组 Ab 有唯一解D.rn 时，方程组有无穷多个解解析：解析：对于选项 A，r(A)rm由于 r
13、(A b)mr， 且 r(A b)minm，n1minr，n1r， 因此必有(A b)r， 从而 r(A)r(A8.设 1 ， 2 ， 3 是 4 元非齐次线性方程组 Ab 的 3 个解向量，且 r(A)3， 1 (1，2，3，4) T ， 2 3 (0，1，2，3) T ，c 表示任意常数，则线性方程组 Ab 的通勰( )（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：根据线性方程组解的结构性质，易知 2 1 ( 2 3 )(2，3，4，5) T 是 A0的一个非零解，所以应选 C9.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则线性方程组(AB)0( )（分数：2.00）A.当 nm 时，
14、仅有零解B.当 nm 时，必有非零解C.当 mn 时，仅有零解D.当 mn 时，必有非零解 解析：解析：因为 AB 是 m 阶矩阵，且 r(AB)minr(A)，r(B)minm，n(矩阵越乘秩越小)， 所以当mn 时，必有 r(AB)m，根据齐次方程组存在非零解的充分必要条件可知，选项 D 正确二、填空题(总题数：7，分数：14.00)10.已知 1 ， 2 是方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为 1 ， 2 是方程组的两个不同的解，因此该方程组有无穷多解，即系数矩阵和增广矩阵的秩相等，且均小于 3，对增广矩阵做初等行变换有 11.四元方程组
15、Ab 的三个解是 1 ， 2 ， 3 ，其中 1 (1，1，1，1) T ， 2 3 (2，3，4，5) T ，如果 r(a)3，则方程组 Ab 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1，1，1，1) T k(0，1，2，3) T）解析：解析：根据( 2 3 )2 1 ( 2 1 )( 3 1 )(2，3，4，5) T 2(1，1，1，1) T (0，1，2，3) T ，因此可知(0，1，2，3) T 是 A0 的解又因为 r(A)3，nr(A)1，所以 Ab 的通解为(1，1，1，1) T k(0，1，2，3) T 12.设 (6，1，1) T 与 (7，4，
16、2) T 是线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(6，1，1) T k(13，5，1) T (k 为任意常数)）解析：解析：一方面因为 1 ， 2 是非齐次线性方程组 Ab 的两个不同的解，因此一定有 r(A)r(A)3另一方面由于在系数矩阵 A 中存在二阶子式 10 因此一定有 r(A)2，因此必有r(A)r( 13.齐次线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：A ，得同解方程组14.设 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k 1 (1，4，7) T k 2 (2，5，8) T）解析：解析：因
17、为矩阵 A 的秩是 2，所以A0，因此 A * AAEO，所以 A 的列向量为 A * 0 的解，又由已知条件得 r(A * )1，因此 A * 0 的通解是 k 1 (1，4，7) T k 2 (2，5，8) T 15.齐次方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3 或1）解析：解析：系数矩阵的行列式A 16.设 n 阶矩阵 A 的秩为 n2， 1 ， 2 ， 3 是非齐次线性方程组 Ab 的三个线性无关的解，则 Ab 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 1 k 1 ( 2 1 )k 2 ( 3 1 )，k 1 ，k 2 为任意常数）
18、解析：解析： 1 ， 2 ， 3 是非齐次线性方程组 Ab 的三个线性无关的解，则 2 1 ， 3 1 是 A0 的两个解，且它们线性无关，又 nr(A)2，故 2 1 ， 3 1 是 A0 的基础解系，所以 Ab 的通解为 1 k 1 ( 2 1 )k 2 ( 3 1 )，k 1 ，k 2 为任意常数三、解答题(总题数：11，分数：22.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.已知方程组 有解， 证明：方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用 A 1 ， 和 A 2 ， 分别表示方程组()与()的系数矩阵和增广矩阵，则 A 2 (
19、或 A 2 T )已知方程组()有解，故 r(A 1 )r( ) 又由于(b 1 ，b 2 ，b m ，1)不能由(a 11 a 21 ，a m1 ，0)，(a 12 ，a 22 ，a m2 ，0)，(a 1n ，a 2n ，a mn ，0)线性表示，则 即 r(A 1 T )r( )，由已知可得 r(A 1 T )r(A 1 )r( )r(A 2 T )r(A 2 )，则 r(A 2 )r( )解析：19.已知线性方程组 有无穷多解，而 A 是 3 阶矩阵，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对增广矩阵作初等变换，有 由于方程组有无穷多解，故 a1 或 a0 当 a1 时，三个特征
20、向量 线性相关，不合题意舍去； 当 a0 时三个特征向量 线性无关，是 A 的特征向量，故 a0 令 P ，有 P -1 APA ，那么 APAP -1 )解析：20.设方程组(1) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把方程组(1)与(2)联立，得方程组(3) 则方程组(3)的解就是方程组(1)与(2)的公共解 对方程组(3)的增广矩阵作初等行变换，有 则方程组(3)有解，即(a1)(a2)0 当 a1 时， 此时方程组(3)的通解为 k(一 1，0，1) T (k 为任意常数)，即为方程组(1)与(2)的公共解 当 a2 时， )解析：21.设 4 元齐次线性方程组(1)为 （分数：
21、2.00）_正确答案：(正确答案：(1)对方程组(1)的系数矩阵作初等行变换，有 由于 nr(A)422，基础解系由 2 个线性无关的解向量所构成，取 3 ， 4 为自由变量，得 1 (5，3，1，0) T ， 2 (3，2，0，1) T 是方程组(1)的基础解系 (2)设 是方程组(1)与(2)的非零公共解，则 k 1 1 k 2 2 l 1 1 l 2 2 ，其中 k 1 ，k 2 与 l 1 ，l 2 均是不全为 0 的常数 由 k 1 1 k 2 2 l 1 1 l 2 2 0，得齐次方程组(3) 对方程组(3)的系数矩阵作初等行变换，有 当 a1 时，则(3) 那么方程组(3)只有零
22、解，即 k 1 k 2 l 1 l 2 0，于是 0，不合题意 当 a1 时，方程组(3)同解变形为 )解析：22.已知 1 ， 2 ， 3 是齐次线性方程组 A0 的一个基础解系，证明 1 2 ， 2 3 ， 1 3 也是该方程组的一个基础解系（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据 A( 1 2 )A 1 A 2 000 可知， 1 2 是方程组A0 的解同理可知 2 3 ， 1 3 也是 A0 的解 假设 k 1 ( 1 2 )k 2 ( 2 3 )k 3 ( 1 3 )0，则 (k 1 k 3 ) 1 (k 1 k 2 ) 2 (k 2 k 3 ) 3 0， 因为 1 ， 2 ，
23、 3 是基础解系，它们是线性无关的，因此 由于此方程组系数行列式D )解析：23.求线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对增广矩阵作初等行变换，有 )解析：24.当 a，b 取何值时，方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对增广矩阵作初等行变换，有 (1)当 a0 且 b3 时，方程组有唯一解 (2)当 a0 时，对任意的 b，方程组均无解 (3)当 a0，b3 时，方程组有无穷多解( )解析：25.设线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将(1，1，1，1) T 代入方程组可得 对增广矩阵作初等行变换，可知 (1)当 A 时， 因为 r(A)r(
24、 )24，所以方程组有无穷多解其通解为( ，1，0，0) T k 1 (1，3，1，0) T k 2 (1，2，0，2) T (其中 k 1 k 2 为任意常数) (2)当 时， 因 r(A)r( )解析：26.设有齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换，有 当 a0 时，r(A)1n，故方程组有非零解，其同解方程组为 1 2 n 0， 由此得基础解系为 1 (1，1，0，0) T ， 2 (1，0，1，0) T ， n-1 (1，0，0，1) T ， 于是方程组的通解为 k 1 1 k n-1 n-1 ，其中 k 1 ，k n-1 为任
25、意常数 当 a0 时，对矩阵 B 作初等行变换，有 可知 a 时，r(A)n1n，故方程组也有非零解，其同解方程组为 )解析：27.已知 3 阶矩阵 A 的第一行是(a，b，c)，a，b，c 不全为零，矩阵 B （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 ABO 知，B 的每一列均是 A0 的解，且 r(A)r(B)3 (1)若 k9，则r(B)2，于是 r(a)1，显然 r(a)1，故 r(a)1可见此时 A0 的基础解系所含解向量的个数为3r(a)2，矩阵 B 的第一列、第三列线性无关，可作为其基础解系，故 A0 的通解为 (k 1 ，k 2 为任意常数) (2)若 k9，则 r(B)1，从而 1r(a)2 若 r(A)2，则 A0 的通解为：k 1 (k 1 为任意常数) 若 r(A)1，则 A0 的同解方程组为：a 1 b 2 c 3 0，不妨设 a0，则其通解为 )解析：
