1、考研数学一（行列式）-试卷 1 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.已知 1 ， 2 ， 1 ， 2 ， 都是 3 维列向量，且行列式 1 ， 1 ， 1 ， 2 ， 2 ， 1 ， 2 ， 2 ，3， 那么2， 1 2 ， 1 2 2 ( )（分数：2.00）A.18B.36C.64D.963.设 2n 阶行列式 D 的某一列元素及其余子式都等于 a，则 D( )（分数：2.00）A.0B.a 2C.a 2D.na 24.设 A 是 3 阶矩阵，其
2、中 a 11 0，A ij a ij ，(i1，2，3，j1，2，3)，则2A T ( )（分数：2.00）A.0B.2C.4D.85.4 阶行列式 （分数：2.00）A.a 1 a 2 a 3 a 4 b 1 b 2 b 3 b 4B.a 1 a 2 a 3 a 4 b 1 b 2 b 3 b 4C.(a 1 a 2 b 1 b 2 )(a 3 a 4 b 3 b 4 )D.(a 2 a 3 b 2 b 3 )(a 1 a 4 b 1 b 4 )6.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则( )（分数：2.00）A.当 mn，必有行列式AB0B.当 mn，必有行列式AB0C.当 nm，
3、必有行列式AB0D.当 nm，必有行列式A07.设 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 都是 4 维列向量，且 4 阶行列式 1 ， 2 ， 3 ， 1 m， 1 ， 2 ， 2 ， 3 n，则 4 阶行列式 3 ， 2 ， 1 ， 1 ， 2 等于( )（分数：2.00）A.mnB.(mn)C.nmD.mn8.设 （分数：2.00）A.mB.8mC.2mD.2m9. 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 均为 4 维列向量，A( 1 ， 2 ， 3 ， 1 )，B( 3 ， 1 ， 2 ， 2 )，且A1，B2，则AB( )（分数：2.00）A.9B.6C.3D.110.设矩阵 A 是满秩的，
4、则直线 L 1 ： 与直 L 2 ： （分数：2.00）A.相交于一点B.重合C.平行但不重合D.异面二、填空题(总题数：13，分数：26.00)11.设 3 阶行列式 D，的第 2 行元素分别为 1、2、3，对应的代数余子式分别为3、2、1，则 D 3 1（分数：2.00）填空项 1:_12.如果 （分数：2.00）填空项 1:_13.如果 A （分数：2.00）填空项 1:_14.行列式 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 （分数：2.00）填空项 1:_16.已知 3 阶行列式 （分数：2.00）填空项 1:_17.四阶行列式 （分数：2.00）填空项 1:_18.设 n 阶矩阵
5、A （分数：2.00）填空项 1:_19.行列式 D （分数：2.00）填空项 1:_20.已知 A，B，C 都是行列式值为 2 的 3 阶矩阵，则 D （分数：2.00）填空项 1:_21.设 f() （分数：2.00）填空项 1:_22.方程A （分数：2.00）填空项 1:_23.在 Oy 平面上，平面曲线方程 y （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：4，分数：8.00)24.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_25.设 （分数：2.00）_26.证明： （分数：2.00）_27.计算： （分数：2.00）_考研数学一（行列式）-试卷 1 答
6、案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.已知 1 ， 2 ， 1 ， 2 ， 都是 3 维列向量，且行列式 1 ， 1 ， 1 ， 2 ， 2 ， 1 ， 2 ， 2 ，3， 那么2， 1 2 ， 1 2 2 ( )（分数：2.00）A.18B.36 C.64D.96解析：解析：本题考查行列式的性质，利用性质 1 ， 2 ， 1 2 1 ， 2 ， 1 1 ， 2 ， 2 和k 1 ， 2 ， 3 k 1 ， 2 ， 3 ，则有 2， 1 2 ， 1
7、2 2 2， 1 ， 1 2 2 2， 2 ， 1 2 2， 1 ， 1 2， 1 ，2 2 2， 2 ， 1 2， 2 ，2 2 2 1 ， 1 ，4 1 ， 2 ，2 2 ， 1 ，4 2 ， 2 ， 2343234336 所以应选 B3.设 2n 阶行列式 D 的某一列元素及其余子式都等于 a，则 D( )（分数：2.00）A.0 B.a 2C.a 2D.na 2解析：解析：按这一列展开，Da 1j A 1j a 2j A 2j a 2nj A 2nj aA 1j aA 2j aA 2nj ，并注意到这一列元素的代数余子式中有 n 个为 a，n 个为a，从而行列式的值为零所以应选 A4.
8、设 A 是 3 阶矩阵，其中 a 11 0，A ij a ij ，(i1，2，3，j1，2，3)，则2A T ( )（分数：2.00）A.0B.2C.4D.8 解析：解析：2A 33 T 2 3 A T 8A，且由已知 5.4 阶行列式 （分数：2.00）A.a 1 a 2 a 3 a 4 b 1 b 2 b 3 b 4B.a 1 a 2 a 3 a 4 b 1 b 2 b 3 b 4C.(a 1 a 2 b 1 b 2 )(a 3 a 4 b 3 b 4 )D.(a 2 a 3 b 2 b 3 )(a 1 a 4 b 1 b 4 ) 解析：解析：根据行列式的按 k 行(列)展开法则，将此行列
9、式第 2、3 行(列)展开，得 D 6.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则( )（分数：2.00）A.当 mn，必有行列式AB0B.当 mn，必有行列式AB0 C.当 nm，必有行列式AB0D.当 nm，必有行列式A0解析：解析：因为 AB 是 m 阶方阵，且 r(AB)minr(A)，r(B)minm，n， 所以当 mn 时，必有r(AB)m，从而AB0，所以应选 B7.设 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 都是 4 维列向量，且 4 阶行列式 1 ， 2 ， 3 ， 1 m， 1 ， 2 ， 2 ， 3 n，则 4 阶行列式 3 ， 2 ， 1 ， 1 ， 2 等于( )（分
10、数：2.00）A.mnB.(mn)C.nm D.mn解析：解析：由行列式的性质：互换两行(列)，行列式变号，得 3 ， 2 ， 1 ，( 1 2 ) 3 ， 2 ， 1 ， 1 3 ， 2 ， 1 ， 2 1 ， 2 ， 3 ， 1 1 ， 2 ， 2 ， 3 nm 所以应选 C8.设 （分数：2.00）A.mB.8mC.2mD.2m 解析：解析：9. 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 均为 4 维列向量，A( 1 ， 2 ， 3 ， 1 )，B( 3 ， 1 ， 2 ， 2 )，且A1，B2，则AB( )（分数：2.00）A.9B.6 C.3D.1解析：解析：由矩阵加法公式，得 AB( 1
11、 3 ， 2 1 ， 1 2 )，结合行列式的性质有 AB 1 3 ， 2 1 ， 3 2 ， 1 2 2( 1 2 3 )， 2 1 ， 3 2 ， 1 2 2 1 2 3 ， 2 1 ， 3 2 ， 1 2 2 1 2 3 ， 3 ， 1 ， 1 2 2 2 ， 3 ， 1 ， 1 2 2 1 ， 2 ， 3 ， 1 2 2(AB)610.设矩阵 A 是满秩的，则直线 L 1 ： 与直 L 2 ： （分数：2.00）A.相交于一点 B.重合C.平行但不重合D.异面解析：解析：记 s 1 (a 1 a 2 ，b 1 b 2 ，c 1 c 2 )，s 2 (a 2 a 3 ，b 2 b 3 ，
12、c 2 c 3 )，由矩阵 A 满秩的性质，可知 可见 s 1 与 s 2 必不平行，故选项 B、C 错误 取 L 1 上的点 M 1 (a 1 ，b 1 ，c 1 )与 L 2 上的点 M 3 (a 3 ，b 3 ，c 3 )，因为两直线异面的充要条件是混合积(s 1 s 2 ).M 1 M 3 0 而此处(s 1 s 2 ).M 1 M 3 二、填空题(总题数：13，分数：26.00)11.设 3 阶行列式 D，的第 2 行元素分别为 1、2、3，对应的代数余子式分别为3、2、1，则 D 3 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：根据行列式的求解方法，行
13、列式的值等于它的任一行元素与其相应的代数余子式乘积之和，故 D 3 a 21 A 21 a 22 A 22 a 23 A 23 1(3)(2)231412.如果 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：根据代数余子式的定义可知 A 12 (1) 1+2 (54)1， 因此可得1所以 A 21 (1) 2+1 13.如果 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：令 M14.行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2( 3 y 3 )）解析：解析：将后两列加到第一列上15.设 （分数：2.00）填空项 1:
14、_ （正确答案：正确答案：140）解析：解析：因为 A 是一个对称矩阵，所以 A T A ，因此 16.已知 3 阶行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：结合行列式的性质：行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面，即17.四阶行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：15）解析：解析：利用行列式的性质：把行列式的某一行(列)的各元乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式不变；上(下)三角形行列式的运算对已知行列式作变换，则18.设 n 阶矩阵 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确
15、答案：2(n2)!）解析：解析：运用行列式的性质，把第 2 行所有元素乘以1 加到其他各行所对应的元素上，再将第 1 行所有元素乘以 2 加到第 2 行相应的元素上，可得19.行列式 D （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：120）解析：解析：利用行列式的性质，将行列式第四行的各元素加到第一行相应元素上后，提出公因子 10，然后将第四行逐行换至第二行，即 原式20.已知 A，B，C 都是行列式值为 2 的 3 阶矩阵，则 D （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据行列式按行(列)展开法则，得 D21.设 f() （分数：2.00）填空项
16、 1:_ （正确答案：正确答案：6 2）解析：解析：22.方程A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a 1 ，a 2 ，a 3 ，(a 1 a 2 a 3 )）解析：解析：由观察可知， 1 a 1 时，1、2 行对应元素相等，A0； 2 a 2 时，2、3 行对应元素相等，A0， 3 a 3 ，时，3、4 行对应元素相等，A0 又由行列式的每行元素和为 a 1 a 2 a 3 ，将 2、3、4 列各元素加到第 1 列相应元素上去，且提取公因式得 A(a 1 a 2 a 3 ) 23.在 Oy 平面上，平面曲线方程 y （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案
17、：(2，0)，(3，0)）解析：解析：曲线 y 与 轴(即 y0)的交点为方程组 的解，行列式 为范德蒙德行列式，即有 y三、解答题(总题数：4，分数：8.00)24.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：25.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：数学归纳法 记 D n A 以下用数学归纳法证明 D n (n1)a n 当 n1 时，D 1 2a，结论成立 当 n2 时，D 2 3a 2 ，结论成立 假设结论对小于n 的情况成立，将 D。按第一行展开，则有 )解析：26.证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：可利用递推法证明， 显然 D 1 a n ，根据上面的结论有 D n+1 D n a 0 (D n-1 a 1 )a 0 2 D n-1 a 1 a 0 N D 1 )解析：27.计算： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：该行列式只有两条对角线上有元素，其余均为 0，可以按照其中一行展开，找出递推关系式 由此得递推公式 D 2n (a n d n b n c n )D 2n-n 按照递推公式逐层代入得 D 2n (a i d i b i c i )D 2 而 D 2 a 1 d 1 b 1 c 1 因此原行列式 D 2n )解析：
