1、考研数学三-125 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在 x=0 处连续，且 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x)在 x=a 的某邻域内有定义，则 f(x)在 x=a 处可导的一个充分条件是（分数：4.00）A.B.C.D.3.设随机变量 X 和 Y 相互独立且在(0，a)上服从均匀分布，则 Emin(X，Y)等于（分数：4.00）A.B.C.D.4.设 X1，X 2为取自总体 XN(0, 2)一个样本，则 （分数：4.00）A.B.C.D.5.t 为何值时，方程组 （分数：4.00）A.B.C.D.6
2、.下列论述正确的是（分数：4.00）A.若B.若 条件收敛，则C.D.7.设 A，B 均为 n 阶方阵，且 B 可逆，则 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设函数 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10. （分数：4.00）填空项 1:_11.设 f(x，y，z)为 k 次齐次函数，即 f(tx，ty，tz)=t kf(x，y，z)且具有一阶偏导数，则=_（分数：4.00）填空项 1:_12.无穷极数 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 A 为 n 阶方阵，且有 A2+3A+E=0，则(A-E) -1=_
3、（分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 X1，X 2，X n独立同分布，E(X 1)=0，D(X 1)= 2，令 ，Q= （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 a0，试求函数 （分数：10.00）_16.设函数 f(x)(x1)可微，且 f(x)0将曲线 y=f(x)，两直线 x=1，x=t(1t+)以及 x 轴这四者所围成的图形绕 x 轴旋转一周所成的立体体积为 V(t)设对于适合 1t+的一切 t，恒有 ，且（分数：10.00）_17.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，又 ba0证明：在(a，b)内 使得（分数：10.0
4、0）_18.计算 （分数：10.00）_19.求级数 （分数：10.00）_设 3 阶方阵 A 的特征值为 1，0，-1，对应的特征向量为 1=(1，2，2) T， 2=(2，-2，1) T， 3=(-2，-1，2) T（分数：11.00）(1).求方阵 A；（分数：5.50）_(2).令 P=-2 2，3 3， 1，求 P-1AP（分数：5.50）_齐次线性方程组（分数：11.00）(1).(M1，-M 2，(-1) n-1Mn)是该方程组的一个解；（分数：5.50）_(2).若 A 的秩为 n-1，求该方程组的通解（分数：5.50）_设二维随机变量(X，Y)的联合密度为（分数：11.00）
5、(1).确定常数 A；（分数：2.20）_(2).求(X，Y)的联合分布函数；（分数：2.20）_(3).求关于 X 和关于 Y 的边缘密度；（分数：2.20）_(4).判别 X 与 Y 是否相互独立；（分数：2.20）_(5).求 Z=X+Y 的密度（分数：2.20）_20.设总体 X 的概率密度为（分数：11.00）_考研数学三-125 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在 x=0 处连续，且 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：由题设可知有 f(0)=0，于是*因此过点(0，f(0)处的切线不平行于 x 轴
6、，故应选(D)2.设 f(x)在 x=a 的某邻域内有定义，则 f(x)在 x=a 处可导的一个充分条件是（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：*，故(D)入选3.设随机变量 X 和 Y 相互独立且在(0，a)上服从均匀分布，则 Emin(X，Y)等于（分数：4.00）A.B.C. D.解析：由题设*于是 Z=min(X，Y)的分布函数为*因此，Z 的分布密度为*故*可知(C)入选4.设 X1，X 2为取自总体 XN(0, 2)一个样本，则 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：*因为 X1+X2N(0，2 2)，X 1-X2N(0，2 2)，由统计量 F 的定义可知 YF(1，1)故
7、(D)入选5.t 为何值时，方程组 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：由题设，行列式*，即 t0 且 t66.下列论述正确的是（分数：4.00）A.若B.若 条件收敛，则 C.D.解析：本题可用排除法例如，*发散，项(A)不成立；当 un=(-1)n，则*收敛，但*发散，项(C)不成立；同时，对 un=(-1)n，有*发散，项(D)不成立只有(B)为正确选项7.设 A，B 均为 n 阶方阵，且 B 可逆，则 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：*=(-3)n|AT|(-3)n|B|-1=(-3)2n|A|B|-1，故(D)入选8.设函数 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：
8、*二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：因为当 x0 时，arctanln(1+xe x)ln(1+xe x)，ln(1+xe x)xe x，于是*10. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*是偶函数，*11.设 f(x，y，z)为 k 次齐次函数，即 f(tx，ty，tz)=t kf(x，y，z)且具有一阶偏导数，则=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：kf(x，y，z)）解析：令 u=tx，v=ty，=tz，则 f(u，v，)=t kf(x，y，z)等式两边对 t 求导，得*等式两边同乘以
9、t，得*故*12.无穷极数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(-3，3）解析：*令*令 x=-3，*令 x=3，*故收敛域为(-3，313.设 A 为 n 阶方阵，且有 A2+3A+E=0，则(A-E) -1=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：A 2+3A+E=(A-E)(A+4E)+5E=0*14.设随机变量 X1，X 2，X n独立同分布，E(X 1)=0，D(X 1)= 2，令 ，Q= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：n 2- 2=(n-1) 2）解析：显然，*故*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 a0，试求函数 （分
10、数：10.00）_正确答案：(*(i)当 x0 时，*(ii)当 0xa 时，*令 f(x)=0，驻点为*(iii)当 xa 时，*，可能的最大值点为*故*为 f(x)的最大值)解析：16.设函数 f(x)(x1)可微，且 f(x)0将曲线 y=f(x)，两直线 x=1，x=t(1t+)以及 x 轴这四者所围成的图形绕 x 轴旋转一周所成的立体体积为 V(t)设对于适合 1t+的一切 t，恒有 ，且（分数：10.00）_正确答案：(由旋转体体积公式，有*两边对 t 求导，得 t2f(t)+2tf(t)=3f2(t)*关于*的 1 阶线性非齐次方程解之*将*代入上式，得 C=1，于是*故*)解析
11、：17.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，又 ba0证明：在(a，b)内 使得（分数：10.00）_正确答案：(令*，因为 ba0，由题设知，f(x)，g(x)在a，b上满足柯西中值定理，于是*(a，b)，使得* 又 f(x)在a，b上满足拉氏定理，于是*，使得* 由，得*)解析：18.计算 （分数：10.00）_正确答案：(采用极坐标计算*由于区域 D 关于 x 轴对称，函数 2xy 关于 y 为奇函数，故*故*)解析：19.求级数 （分数：10.00）_正确答案：(令*，则*可知 y (4)=y，即 y(4)-y=0，解之y=C1ex+C2e-x+C3cosx+C4sinx，
12、因为 y(0)=1，y(0)=y“(0)=y“(0)=0，所以*故*)解析：设 3 阶方阵 A 的特征值为 1，0，-1，对应的特征向量为 1=(1，2，2) T， 2=(2，-2，1) T， 3=(-2，-1，2) T（分数：11.00）(1).求方阵 A；（分数：5.50）_正确答案：(A 1， 2， 3= 1 1， 2 2， 3 3= 1，0 2，- 3*)解析：(2).令 P=-2 2，3 3， 1，求 P-1AP（分数：5.50）_正确答案：(令 1=-2 2， 2=3 3， 3= 1，分别为特征值 0，-1，1 对应的特征向量，于是*即*)解析：齐次线性方程组（分数：11.00）(
13、1).(M1，-M 2，(-1) n-1Mn)是该方程组的一个解；（分数：5.50）_正确答案：(将(M 1，-M 2，(-1) n-1Mn)代入第 i 个方程，得*故知 M1，M 2，(-1) n-1Mn满足第 i(i-1，2，n-1)个方程，所以它是方程组的解)解析：(2).若 A 的秩为 n-1，求该方程组的通解（分数：5.50）_正确答案：(因秩 r(A)=n-1，知方程组的解空间的维数为 n-(n-1)=1，即方程组的基础解系由一个解向量组成，又知 A 中至少有一个 n-1 阶子式不为零，即 M1，M 2，M n不全为零，结合(1)可知，(M 1，-M2，(-1) n-1Mn)T是方
14、程组的非零解，从而是方程组的基础解系，故方程的通解为 k(M1，-M 2，(-1) n-1Mn)T，k 为任意常数)解析：设二维随机变量(X，Y)的联合密度为（分数：11.00）(1).确定常数 A；（分数：2.20）_正确答案：(由联合密度的性质 *可得*)解析：(2).求(X，Y)的联合分布函数；（分数：2.20）_正确答案：(i)当 x0 或 y0 时，F(x，y)=P(Xx，Yy)=0；(ii)当 0x1，0yx 时，*(iii)当 x1，0y1 时，*(iV)当 0x1，yx 时，*(V)当 x1，y1 时，*)解析：(3).求关于 X 和关于 Y 的边缘密度；（分数：2.20）_正
15、确答案：(*)解析：(4).判别 X 与 Y 是否相互独立；（分数：2.20）_正确答案：(由于 f(x，y)f X(x)fY(y)，所以 X 与 Y 不独立)解析：(5).求 Z=X+Y 的密度（分数：2.20）_正确答案：(i)当 z0 时，F Z=0，所以 fz(z)=0(ii)当 0z1 时，*所以 fZ(z)=3z2-2z3(iii)当 1z2 时，*所以 fZ(z)=2z3-9z2+12z-4(iV)当 z2 时，F Z(z)=1，所以 fZ(z)=0，*)解析：20.设总体 X 的概率密度为（分数：11.00）_正确答案：(总体 X 的数字期望为*设*为样本均值，令*，解得未知参数 的矩做量为*设 x1，x 2，x n是相应于样本 X1，X 2，X n的样本值，则似然函数为*当 0x i1 (i=1，2，n)时，L0，且*令*，解得 的极大似然估计值为*从而得 的极大似然估计量为*)解析：
