1、考研数学三-130 及答案解析(总分：155.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 AX=b 为三元非齐次线性方程组，A 至少有两行不成比例， 1, 2, 3为 AX=b 的三个线性无关解，测方程组 AX=b 的通为( ) （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(x)在 x0的邻域内三阶连续可导，且 f(x0)=f“(x0)=0，f“(x 0)0，则下列结论正确的是( )（分数：4.00）A.x=x0为 f(x)的极大点B.x=
2、x0为 f(x)的极小点C.(x0，f(x 0)为曲线 y=f(x)的拐点D.(x0，f(x 0)不是曲线 y=f(x)的拐点5.设 a0，b0 为两个常数，则 为( ) （分数：4.00）A.B.C.D.6.已知 E(X)=1，E(X) 2=3，用切比雪夫不等式估计 P1X4A，则 A 的最大值为( ) （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 A 是 mn 矩阵，r（分数：4.00）A.=n，则下列结论B.对任意矩阵 B，有 r(AB)=r(B)C.存在 B，使得 BA=ED.)对8.设 为( ) （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)
3、为单调函数，且 g(x)为其反函数，又设 （分数：4.00）填空项 1:_10.设 （分数：4.00）填空项 1:_11.设 f(x，y)满足 f(x，1)=0，fz(x，0)=sinx，f“ yy(x，y)=2x，则 f(x，y)= 1（分数：4.00）填空项 1:_12.微分方程 ysinx=ylny 满足初始条件 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 （分数：4.00）填空项 1:_14.设 X，Y 是两个相互独立且服从正态分布 N(0，1)的随机变量，则随机变量 Z=max(X，Y)的数学期望E(Z)=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：99.00)15
4、.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内三阶可导，且 （分数：11.00）_16.设 u=f(x2+y2，xz)，z=z(x，y)由 ex+ey=ez确定，其中 f 二阶连续可偏导，求 （分数：11.00）_17.设某工厂生产甲、乙两种产品，设甲、乙两种产品的产量分别为 x 和 y(吨)，其收入函数为R=15x+34y-x2-2xy-4y2-36(万)，设生产甲产品每吨需要支付排污费用 1 万，生产乙产品每吨需要支付排污费用 2 万 ()在不限制排污费用的情况下，这两种产品产量各为多少时总利润最大?求最大利润 ()当排污总费用为 6 万时，这两种产品产量各多少时总利润最大?求最大利润（分数
5、：11.00）_18.设偶函数 f(x)在 x=0 的邻域内二阶连续可导，且 f(0)=1，f“(0)=4证明： （分数：11.00）_19.求微分方程 y“+y-2y=xex+sin2x 的通解（分数：11.00）_20.设矩阵 A 满足 A(E-C-1B)TCT=E+A，其中 （分数：11.00）_21.设二次型 f(x1，x 2，x 3)= （分数：11.00）_22.设随机变量 X 的分布律为 PX=k)=p(1-p)H(k=1，2，)，Y 在 1k 之间等可能取值，求 PY=3（分数：11.00）_23.设 X1，X 2，X n(n2)相互独立且都服从 N(0，1)，Y i=Xi-
6、（分数：11.00）_考研数学三-130 答案解析(总分：155.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 AX=b 为三元非齐次线性方程组，A 至少有两行不成比例， 1, 2, 3为 AX=b 的三个线性无关解，测方程组 AX=b 的通为( ) （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：详解 因为 A 至少两行不成比例，所以 r(A)2，又因为 AX=b 有非零解，所以 r(A)=r(*)3，于是 r(A)=2，故方程组 AX=b 的通解形式为 k+，其中 = 1+ 2+ 3-3 1= *2.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解 f(0-0)
7、=f(0)=c，f(0+0)=1，由 f(x)在 x=0 处连续得 c=1， * 因为 f“(0)存在，所以 a=-2，选(C)3.设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解 * 得 k=6，选(C)4.设 f(x)在 x0的邻域内三阶连续可导，且 f(x0)=f“(x0)=0，f“(x 0)0，则下列结论正确的是( )（分数：4.00）A.x=x0为 f(x)的极大点B.x=x0为 f(x)的极小点C.(x0，f(x 0)为曲线 y=f(x)的拐点 D.(x0，f(x 0)不是曲线 y=f(x)的拐点解析：详解 *，由极限的保号性，存在*， 当
8、x(x 0-，x 0)时，f“(x)0；当 x(x 0，x 0+)时，f“(x)0，则(x 0，f(x 0)为曲线 y=f(x)的拐点，选(C)5.设 a0，b0 为两个常数，则 为( ) （分数：4.00）A. B.C.D.解析：详解 令*=m+，当 x0 +时，m+，其中 01，则*=*6.已知 E(X)=1，E(X) 2=3，用切比雪夫不等式估计 P1X4A，则 A 的最大值为( ) （分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解 D(X)=2，由切比雪夫不等式得P|X-E(X)|* P-1X4)P-1X3P|X-1|2*，则 a 的最大值为*，选(C)7.设 A 是 mn 矩阵，r（分
9、数：4.00）A.=n，则下列结论B.对任意矩阵 B，有 r(AB)=r(B)C.存在 B，使得 BA=ED.)对 解析：详解 因为 r(A)=n，所以方程组 AX=0 只有零解，而由 AB=0 得 B 的列向量为方程组 AX=0 的解，故若 AB=0，则 B=O； 令 BX=0，ABX=0 为两个方程组，显然若 BX=0，则 ABX=0，反之，若 ABX=0，因为 r(A)=n，所以方程组AX=0 只有零解，于是 BX=0，即方程组 BX=0 与 ABX=0 为同解方程组，故 r(AB)=r(B)； 因为 r(A)=n，所以 A 经过有限次初等行变换化为*，即存在可逆矩阵 P 使得 PA=*
10、，令 B=(EnO)P，则BA=E；令*，B= (111)，r(A)=1，但 r(BA)=0r(B)=1，选(D)8.设 为( ) （分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解 由*= *二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)为单调函数，且 g(x)为其反函数，又设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：详解 *， *， 则*10.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：详解 当*； 当 x=1 时，f(x)=0； 当*， 则 *11.设 f(x，y)满足 f(x，1)=0，fz(x，0)=sinx，f“ yy(x，y)=2x，则 f
11、(x，y)= 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：xy 2+ysinx-x-sinx）解析：详解 由 f“yy(x，y)=2x 得 fy(x，y)=2xy+(x)，因为 fy(x，0)=sinx，所以 (x)=sinx，即fy(x，y)=2xy+sinx，再由 fy(x，y)=2xy+sinx 得 f(x，y)=xy 2+ysinx+(x)，因为 f(x，1)=0，所以(x)=-x-sinx，故 f(x，y)=xy 2+ysinx+x-sinz.12.微分方程 ysinx=ylny 满足初始条件 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=e cscx-cotx）解析：详解
12、由 ysinx=ylny 得*=cscxdx，两边积分得 In|lny|=ln|cscx-cotx|+lnC， 即 Iny=C(cscx-cotx)，由 y(*)=e 得C=1，故特解为 y=ecscx-cotx13.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：详解 因为 B=AE12(2)E13，所以|B|=|A|E 12(2)|E13|=-3，又因为 B*=|B|B-1，所以 B*=*， 故*14.设 X，Y 是两个相互独立且服从正态分布 N(0，1)的随机变量，则随机变量 Z=max(X，Y)的数学期望E(Z)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：详
13、解 因为 X，Y 是两个相互独立且服从标准正态分布的随机变量，所以(X，Y)的联合密度函数为 *， 于是 *三、解答题(总题数：9，分数：99.00)15.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内三阶可导，且 （分数：11.00）_正确答案：(由 作多项式 P(x)=Ax3+Bx2+Cx+D，使得 P(0)=0，P(0)=2，P(1)=1，P(2)=6， 解得 令 则 (x)在0，2上连续，在(0，2)内可导，且 (0)=(1)=(2)=0， 因此 (x)在0，1和1，2上都满足罗尔定理的条件，则存在 1(0，1)， 2(1，2)， 使得 ( 1)=( 2)=0 又 (0)=0，由罗尔定理，
14、存在 1(0， 1)，( 1， 2)，使得 “( 1)=“( 2)=0，再由罗尔定理，存在 ( 1， 2) )解析：16.设 u=f(x2+y2，xz)，z=z(x，y)由 ex+ey=ez确定，其中 f 二阶连续可偏导，求 （分数：11.00）_正确答案：(由 ex+ey=ez得 再由 u=f(x2+y2，xz)得 ， )解析：17.设某工厂生产甲、乙两种产品，设甲、乙两种产品的产量分别为 x 和 y(吨)，其收入函数为R=15x+34y-x2-2xy-4y2-36(万)，设生产甲产品每吨需要支付排污费用 1 万，生产乙产品每吨需要支付排污费用 2 万 ()在不限制排污费用的情况下，这两种产
15、品产量各为多少时总利润最大?求最大利润 ()当排污总费用为 6 万时，这两种产品产量各多少时总利润最大?求最大利润（分数：11.00）_正确答案：()利润函数为 L=R-C=15x+34y-x2-2xy-4y2-36-x-2y =14x+32y-x2-2xy-4y2-36 令 因为只有唯一一个驻点，且该实际问题一定有最大值，所以当 时，利润达到最大，最大利润为L(4，3)=40(万) ()令 F(x,y,)=L(x,y)+(x+2y-6)， 令 因为该实际问题一定有最大值，故当 )解析：18.设偶函数 f(x)在 x=0 的邻域内二阶连续可导，且 f(0)=1，f“(0)=4证明： （分数：1
16、1.00）_正确答案：(因为 f(x)为偶函数，所以 f(-x)=-f(x)，于是 f(0)=0 因为 f(x)在 x=0 的邻域内二阶连续可导， 所以 ，即 f(x)-1=2x2+o(x2)，于是 因为 收敛，即 绝对收敛 )解析：19.求微分方程 y“+y-2y=xex+sin2x 的通解（分数：11.00）_正确答案：(特征方程为 2+-2=0， 特征值为 1=-2, 2=1，y“+y-2y=0 的通解为 y=C1e-2x+C2ex 设 y“+y-2y=xe x (*) y“+y-2y=sin2x (*) 令(*)的特解为 y1(x)=(ax2+bx)ex，代入(*)得 ， 由 y“+y
17、-2y=sin2x 得 y“+y-2y= ， 显然 有特解 ， 对 ，令其特解为 y=Acos2x+Bsin2x，代入得 ，则 y2(x)= ，所以原方程的通解为 )解析：20.设矩阵 A 满足 A(E-C-1B)TCT=E+A，其中 （分数：11.00）_正确答案：(由 A(E-C-1B)T=E+A 得 AC(E-C-1B)T=E+A， 即 E+A=A(C-R)T，E=A(C-B)-E T，而 )解析：21.设二次型 f(x1，x 2，x 3)= （分数：11.00）_正确答案：( () 的特征值为 0，0，3=0 对应的特征向量为 ；=3 对应的特征向量为 ， 令 及 X=QY，则有 f= )解析：22.设随机变量 X 的分布律为 PX=k)=p(1-p)H(k=1，2，)，Y 在 1k 之间等可能取值，求 PY=3（分数：11.00）_正确答案：(令 Ak=X=k)(k=1，2，)，B=Y=3)，P(B|A 1)=P(B|A2)=0， 由全概率公式得 )解析：23.设 X1，X 2，X n(n2)相互独立且都服从 N(0，1)，Y i=Xi- （分数：11.00）_正确答案：( 因为 X1，X 2，X n独立且都服从正态分布，所以 Y1+Yn服从正态分布， )解析：
