1、考研数学三-191 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：50，分数：100.00)1.设 A，B 均 n阶矩阵，且 AB=A+B，则(1)若 A可逆，则 B可逆， (2)若 B可逆，则 A+B可逆，(3)若 A+B可逆，则 AB可逆， (4)A-E 恒可逆上述命题中，正确的命题共有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个（分数：2.00）A.B.C.D.2.关于命题“方阵 A满足 A2=A，且 AE，则 A不可逆”有如下四种证明，正确的是 A.由于 A2=A，所以|A| 2=|A|，故|A|(|A|-1)=0因为 AE，故|A|1因此|A|=0，
2、A 不可逆 B.由于 A2=A，故 A(A-E)=0由于 AE，从而 A-E0，故 A=0，所以 A不可逆 C.反证法：若 A可逆，在 A2=A两边左乘 A-1，得 A=E，与假设条件 AE 矛盾，所以 A不可逆 D.由于 A2=A，故 A(A-E)=0从而|A|A-E|=0，而 AE，所以|A-E|0，因此|A|=0，A 不可逆（分数：2.00）A.B.C.D.3.设 A，B 为 n阶对称矩阵，则下列结论不正确的是 A.A+B是对称矩阵 B.AB是对称矩阵 C.A*+B*是对称矩阵 D.A-2B是对称矩阵（分数：2.00）A.B.C.D.4.设 A，B 均为三阶反对称矩阵，且 AB=BA，则
3、下列结论不正确的是 A.A+B是反对称矩阵 B.AB是对称矩阵 C.A*+B*是反对称矩阵 D.2A+3B是反对称矩阵（分数：2.00）A.B.C.D.5.设 A=E-2 T，其中 =x 1，x 2，x nT，且有 T=1则结论 1 A是对称阵；2A 2是单位阵；3A是正交阵；4A 是可逆阵中正确的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4（分数：2.00）A.B.C.D.6.设 A为正交矩阵，则下列不一定为正交矩阵的是 A.AT B.A2 C.A* D.kA (k0)（分数：2.00）A.B.C.D.7.设 ， （分数：2.00）A.B.C.D.8.已知 A，B 均是三阶矩阵，将 A中第 3行的
4、-2 倍加至第 2行得到矩阵 A1，将 B中第 2列加至第 1列得到矩阵 B1，又知 ，则 AB=ABCD （分数：2.00）A.B.C.D.9.设 ，那么(P -1)2004A(Q2013)-1=ABCD （分数：2.00）A.B.C.D.10.设 A与 B均为 n阶矩阵，且 A与 B等价，则不正确的命题是 A.|A|0，则|B|0 B.如果|A|0，则有可逆矩阵 P使 PB=E. C.如果 AE，则是可逆矩阵. D.有可逆矩阵 P与 Q，使 PAQ=B.（分数：2.00）A.B.C.D.11.设 （分数：2.00）A.B.C.D.12.若 A，A *和 B均是 n阶非零矩阵，且 AB=0，
5、则必有 r(B)= A.1 B.2 C.n-1 D.条件不够不能确定（分数：2.00）A.B.C.D.13.已知 （分数：2.00）A.B.C.D.14.设 A为四阶方阵列，且满足 A2=A，则秩 r(A)+秩 r(A-E)= A.4 B.3 C.2 D.1（分数：2.00）A.B.C.D.15.现有四个向量组(1，2，3) T，(3，-1，5) T，(0，4，-2) T，(1，3，0) T(a，1，b，0，0) T，(c，0，d，2，0) T，(e，0，f，0，3) T(a，1，2，3) T，(b，1，2，3) T，(c，3，4，5) T，(d，0，0，0) T(1，0，3，1) T，(-1
6、，3，0，-2) T，(2，1，7，2) T，(4，2，1 4，5) T则下列结论正确的是 A.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为 B.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为 C.线性相关的向量组为；线性无关的向量为 D.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为（分数：2.00）A.B.C.D.16.设 1=(1，4，3，-1) T， 2=(2，t，-1，-1) T， 3=(-2，3，1，t+1) T，则 A.对任意的 t， 1， 2， 3必线性无关 B.仅当 t=-3时， 1， 2， 3线性无关 C.若 t=0，则 1， 2， 3线性相关 D.仅 t0 且 t-3， 1， 2， 3线性无关
7、（分数：2.00）A.B.C.D.17.设 1=(1，2，3，1) T， 2=(3，4，7，-1) T， 3=(2，6，a，6) T， 4=(0，1，3，a) T，那么 a=8是 1， 2， 3， 4线性相关的 A.充分必要条件 B.充分而非必要条件 C.必要而非充分条件 D.既不充分也非必要条件（分数：2.00）A.B.C.D.18.向量组 1， 2， s线性无关的充分必要条件是 A.存在全为零的一组数 k1，k 2，k s，使 k1 1+k2 2+ks s=0 B.存在不全为零的一组数 k1，k 2，k s，使 k1 1+k2 2+ks s0 C.对于任何一组不全为零的数 k1，k 2，k
8、 s，都有 k1 1+k2 2+ks s0 D. 1， 2， s中任意两个向量线性无关（分数：2.00）A.B.C.D.19.向量组 1， 2， s线性无关的充分必要条件是 A. 1， 2， s中任意 s-1个向量都线性无关 B. 1， 2， s中每一个向量都不能由其余 s-1个向量线性表出 C.向量 s不能由 1， 2， s-1线性表出 D.向量 可以由 1， 2， s线性表出（分数：2.00）A.B.C.D.20.设向量组()： 1=(a11，a 12，a 13)， 2=(a21，a 22，a 23)， 3=(a31，a 32，a 33)；向量组()： 1=(a11，a 12，a 13，a
9、 14)， 2=(a21，a 22，a 23，a 24)， 3=(a31，a 32，a 33，a 34)，则正确的命题是A()相关 ()相关 B()无关 ()无关C()无关 ()无关 D()相关 （分数：2.00）A.B.C.D.21.设向量组()： 1， 2， s；向量组： 1， 2， s， s+1， s+t，则正确命题是A()无关 ()无关 B()无关 ()相关C()相关 ()相关 D()无关 （分数：2.00）A.B.C.D.22.设 A= 1， 2， n，B= 1， 2， n，AB= 1， 2， n都是 n阶矩阵，记向量组() 1， 2， n () 1， 2， n () 1， 2， n
10、若向量组()线性相关，则 A.()、()均线性相关 B.()或()中至少有一个线性相关 C.()一定线性相关 D.()一定线性相关（分数：2.00）A.B.C.D.23.设 A是 mn矩阵，B 是 nm矩阵，且满足 AB=E，则 A.A的列向量组线性无关，B 的行向量组线性无关 B.A的列向量组线性无关，B 的列向量组线性无关 C.A的行向量组线性无关，B 的列向量组线性无关 D.A的行向量组线性无关，B 的行向量组线性无关（分数：2.00）A.B.C.D.24.已知 n维向量 1， 2， s线性无关，那么可能线性相关的 1， 2， s是 A.把 i(i=1，2，s)中第 1个分量与第 n个分
11、量互换为 i B.把 i(i=1，2，s)中第 1个分量改为相反数是 i C.把 i(i=1，2，s)中第 1个分量改为 0得到 i D.把 i(i=1，2，s)的第 1个与第 2个分量之间添加 0为 i（分数：2.00）A.B.C.D.25.设 1， 2， 3， 4是三维非零向量，则正确命题是 A.如果 1， 2线性相关， 3， 4线性相关，则 1+ 3， 2+ 4线性相关 B.如果 1， 2， 3线性无关，则 1+ 4， 2+ 4， 3+ 4线性无关 C.如果 4不能用 1， 2， 3线性表出，则 1， 2， 3一定线性相关 D.如果 1， 2， 3， 4中任意三个向量均线性无关，则 1，
12、 2， 3， 4线性无关（分数：2.00）A.B.C.D.26.设向量组 1， 2， 3线性无关，向量 1可由 1， 2， 3线性表示，向量 2不能由 1， 2， 3线性表示，则必有 A. 1， 2， 1线性无关 B. 1， 2， 2线性无关 C. 2， 3， 1， 2线性相关 D. 1， 2， 3， 1+ 2线性相关（分数：2.00）A.B.C.D.27.设 1， 2， 3， 均为三维向量，现有四个命题若 不能由 1， 2， 3线性表示，则 1， 2， 3线性相关若 1， 2， 3线性相关，则 不能由 1， 2， 3线性表示若 能由 1， 2， 3线性表示，则 1， 2， 3线性无关若 1，
13、 2， 3线性无关，则 能由 1， 2， 3线性表示以上的命题正确的是 A. B. C. D.（分数：2.00）A.B.C.D.28.设向量 可由向量组 1， 2， m线性表出，但不能由向量组()： 1， 2， m-1线性表出，记向量组()： 1， 2， m-1，则 A. m不能由()线性表示，也不能由()线性表示 B. m不能由()线性表示，但可以由()线性表示 C. m可以由()线性表示，也可以由()线性表示 D. m可以由()线性表示，但不能由()线性表示（分数：2.00）A.B.C.D.29.设矩阵 A= 1， 2， 3， 4经过初等行变换变为矩阵 B= 1， 2， 3， 4，且 1，
14、 2， 3线性无关， 1， 2， 3， 4线性相关则 A. 4不能由 1， 2， 3线性表示 B. 4可由 1， 2， 3线性表示，但表法不唯一 C. 4可由 1， 2， 3线性表示，且表法唯一 D. 4能否由 1， 2， 3线性表示不能确定（分数：2.00）A.B.C.D.30.设 A，B 为 n阶方阵，P，Q 为 n阶可逆矩阵，下列命题不正确的是 A.若 B=AQ，则 A的列向量组与 B的列向量组等价 B.若 B=PA，则 A的行向量组与 B的行向量组等价 C.若 B=PAQ，则 A的行(列)向量组与 B的行(列)向量组等价 D.若 A的行(列)向量组与矩阵 B的行(列)向量组等价，则矩阵
15、 A与 B等价（分数：2.00）A.B.C.D.31.如果向量组 1， 2， s的秩为 r，则下列命题中正确的是 A.向量组中任意 r-1个向量都线性无关 B.向量组中任意 r个向量都线性无关 C.向量组中任意 r-1个向量都线性相关 D.向量组中任意 r+1个向量都线性相关（分数：2.00）A.B.C.D.32.向量组 1=(1，3，5，-1) T， 2=(2，-1，-3，4) T， 3=(6，4，4，6) T， 4=(7，7，9，1)T， 5=(3，2，2，3) T的极大线性无关组是 A. 1， 2， 5 B. 1， 3， 5 C. 2， 3， 4 D. 3， 4， 5（分数：2.00）A
16、.B.C.D.33.已知两个 n维向量组() 1， 2， s与() 1， 2， s， s+1， s+t若向量组的秩 r()=p，r()=q，则下列条件中不能判定()是()的极大线性无关组的是 A.p=q，()可由()线性表出 B.s=q，()与()是等价向量组 C.p=q，()线性无关 D.p=q=s（分数：2.00）A.B.C.D.34.已知四维向量组 1， 2， 3， 4线性无关，且向量 1= 1+ 3+ 4， 2= 2- 4， 3= 3+ 4， 4= 2+ 3， 5=2 1+ 2+ 3则 r( 1， 2， 3， 4， 5)= A.1 B.2 C.3 D.4（分数：2.00）A.B.C.D
17、.35.设向量组() 1， 2， 3， 4线性无关，则与向量组()等价的向量组是 A. 1+ 2， 2+ 3， 3+ 4， 4+ 1 B. 1+ 2， 2+ 3， 3+ 4 C. 1+ 2， 2- 3， 3+ 4， 4- 1 D. 1， 1+ 2， 2+ 3， 3+ 4， 4- 1（分数：2.00）A.B.C.D.36.某五元齐次线性方程组经高斯消元系数矩阵化为 （分数：2.00）A.B.C.D.37.已知 1， 2是非齐次线性方程组 Ax=b的两个不同的解，那么 1- 2， 3 1-2 2， ( 1+2 2)， （分数：2.00）A.B.C.D.38.已知 1， 2， 3是非齐次线性方程组
18、Ax=b的三个不同的解，那么下列向量 1- 2， 1+ 2-2 3， （分数：2.00）A.B.C.D.39.齐次方程组 （分数：2.00）A.B.C.D.40.已知 1=(1，1，-1) T， 2=(1，2，0) T是齐次方程组 Ax=0的基础解系，那么下列向量中 Ax=0的解向量是 A.(1，-1，3) T B.(2，1，-3) T C.(2，2，-5) T D.(2，-2，6) T（分数：2.00）A.B.C.D.41.设 1， 2， 3， 4是齐次线性方程组 Ax=0的基础解系，则 Ax=0的基础解系还可以是 A. 1- 2， 2+ 3， 3- 4， 4+ 1 B. 1+ 2， 2+
19、3， 1- 2+ 3 C. 1+ 2， 2+ 3， 3+ 4， 4+ 1 D. 1+ 2， 2- 3， 3+ 4， 4+ 1（分数：2.00）A.B.C.D.42.设 A是 mn矩阵，A T是 A的转置，若 1， 2， t是齐次方程组 ATx=0的基础解系，则秩 r(A)= A.t B.n-t C.m-t D.n-m（分数：2.00）A.B.C.D.43.要使 1=(2，1，1) T， 2=(1，-2，-1) T都是齐次线性方程组 Ax=0的解，只要系数矩阵 A为ABCD （分数：2.00）A.B.C.D.44.a=1是齐次方程组 （分数：2.00）A.B.C.D.45.已知 1， 2是 n元
20、齐次线性方程组 Ax=0的 2个不同的解，若秩 r(A)=n-1，则 Ax=0的通解是 A.k 1 B.k 2 C.k( 1+ 2) D.k( 1- 2)（分数：2.00）A.B.C.D.46.设 （分数：2.00）A.B.C.D.47.设 Ax=b有通解 k1 1+k2 2+=k 1(1，0，1) T+k2(-1，3，2) T+(0，1，-1) T则下列向量中不是 Ax=b的解向量的是 A. 1=(3，-5，-4) T B. 2=(0，4，2) T C. 3=(3，-2，-1) T D. 4=(3，1，-4) T（分数：2.00）A.B.C.D.48.下列非齐次线性方程组中，无解的方程组是
21、A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.49.设 1， 2， 3， 4， 5都是四维列向量，A= 1， 2， 3， 4，非齐次线性方程组 Ax= 5有通解 k+=k(1，-1，2，0) T+(2，1，0，1) T，则下列关系式中不正确的是 A.2 1+ 2+ 4- 5=0 B. 5- 4-2 3-3 1=0 C. 1- 2+2 3- 5=0 D. 5- 4+4 3-3 2=0（分数：2.00）A.B.C.D.50.已知方程组 （分数：2.00）A.B.C.D.考研数学三-191 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：50，分数：100.00
22、)1.设 A，B 均 n阶矩阵，且 AB=A+B，则(1)若 A可逆，则 B可逆， (2)若 B可逆，则 A+B可逆，(3)若 A+B可逆，则 AB可逆， (4)A-E 恒可逆上述命题中，正确的命题共有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 由 AB=A+B有(A-E)B=A若 A可逆，则 |A-E|B|=|A|0 知|B|0即矩阵 B可逆，从而命题(1)正确 类似于(1)由 B可逆*A 可逆，从而 AB可逆， 那么 A+B=AB可逆，知命题(2)正确 因为 AB=A+B，若 A+B可逆，自然有仙可逆，即命题(3)正确 关于(4)，用分组因式分解
23、有： AB-A-B+E=E 即(A-E)(B-E)=E 所以 A-E恒可逆，命题(4)正确，故应选(D)2.关于命题“方阵 A满足 A2=A，且 AE，则 A不可逆”有如下四种证明，正确的是 A.由于 A2=A，所以|A| 2=|A|，故|A|(|A|-1)=0因为 AE，故|A|1因此|A|=0，A 不可逆 B.由于 A2=A，故 A(A-E)=0由于 AE，从而 A-E0，故 A=0，所以 A不可逆 C.反证法：若 A可逆，在 A2=A两边左乘 A-1，得 A=E，与假设条件 AE 矛盾，所以 A不可逆 D.由于 A2=A，故 A(A-E)=0从而|A|A-E|=0，而 AE，所以|A-E
24、|0，因此|A|=0，A 不可逆（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 (A)的证明中不正确的是由 AE 推出|A|1矩阵不相等行列式可以相等，例如*，AE，但|A|=|E|=1 (B)的证明中不正确的是由 A(A-E)=0及 A-E0 推出 A=0应注意两个非零矩阵的乘积可以为零矩阵例如* (D)的证明中不正确的是由 AE 推出|A-E|0，这是由于非零矩阵的行列式可以为零例如*，AE，但*3.设 A，B 为 n阶对称矩阵，则下列结论不正确的是 A.A+B是对称矩阵 B.AB是对称矩阵 C.A*+B*是对称矩阵 D.A-2B是对称矩阵（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 由
25、于(A+B)T=AT+BT=A+B，又(kA)T=kAT=kA，有(A-2B)T=AT-(2B)T=A-2B从而(A)，(D)选项的结论是正确的我们首先来证明(A *)T=(AT)*只需证明等式两边(i，j)位置元素相等(A *)T在(i，j)位置的元素等于 A*在(j，i)位置的元素，为元素 aij的代数余子式 Aij而矩阵(A T)*在(i，j)位置的元素等于 AT的(j，i)位置元素的代数余子式，为 A在(i，j)位置元素的代数余子式 Aij从而(A *)T=(AT)*=A*，故 A*为对称矩阵，(C)选项的结论是正确的由于(AB) T=BTAT=BA，从而(B)选项的结论不正确注意，当
26、 A，B 均为对称矩阵时，AB 为对称矩阵的充要条件是 AB=BA4.设 A，B 均为三阶反对称矩阵，且 AB=BA，则下列结论不正确的是 A.A+B是反对称矩阵 B.AB是对称矩阵 C.A*+B*是反对称矩阵 D.2A+3B是反对称矩阵（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由于(A+B)T=AT+BT=-(A+B)又(kA)T=kAT=k(-A)=-kA有(2A+3B)T=(2A)T+(3B)T=-(2A+3B)(AB)T=BTAT=(-B)(-A)=BA=AB，从而(A)，(B)，(D)的结论都正确由于(A *)T=(AT)*=(-A)*=(-1)n-1A*，从而 n为奇数时，A
27、 *为对称矩阵，n 为偶数时，A *为反对称矩阵故(C)选项的结论不正确5.设 A=E-2 T，其中 =x 1，x 2，x nT，且有 T=1则结论 1 A是对称阵；2A 2是单位阵；3A是正交阵；4A 是可逆阵中正确的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 A T=(E-2 T)T=ET-(2 T)T=E-2 T=A，1成立A2=(E-2 T)(E-2 T)=E-4 T+4 T T=E-4 T+4( T)=E，2成立由 1，2，得 A2=AAT=E，故 A是正交阵，3成立由 3知正交阵是可逆阵，且 A-1=AT，4成立故应选(D)6.设 A为正交
28、矩阵，则下列不一定为正交矩阵的是 A.AT B.A2 C.A* D.kA (k0)（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 由于 A为正交矩阵*AA T=ATA=E，用定义，容易验证 AT与 A2均为正交矩阵由于 A为正交矩阵，A TA=AAT=E，故|A| 2=1又 A*=|A|A-1=|A|AT，从而(A *)TA*=(|A|AT)T(|A|AT)=|A|2AAT=E所以 A*也为正交矩阵(kA)T(kA)=k2ATA=k2E当 k2=1时，kA 为正交矩阵，k 21 时，kA 不是正交矩阵评注 当 A为正交矩阵时，A *也为正交矩阵，当 A为对称矩阵时，A *也为对称矩阵当 A为反
29、对称矩阵时，若 A的阶数为奇数，则 A*为对称矩阵，若 A的阶数为偶数，则 A*为反对称矩阵7.设 ， （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 矩阵 A作两次行变换可得到矩阵 B，而 AP3P2，AP 1P3描述的是矩阵 A作列变换，故应排除或者把矩阵 A第 1行的 2倍加至第三行后，再 1、2 两行互换可得到 B或者把矩阵 A的 1、2 两行互换后，再把第 2行的 2倍加至第 3行亦可得到 B，而 P2P3A正是后者所以应选(B)评注 本题考查行变换是左乘初等矩阵，列变换是右乘初等矩阵希望能看清楚*8.已知 A，B 均是三阶矩阵，将 A中第 3行的-2 倍加至第 2行得到矩阵 A1，
30、将 B中第 2列加至第 1列得到矩阵 B1，又知 ，则 AB=ABCD （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 A 经行初等变换得到 A1，故 A1=PA，P 是初等矩阵，类似地 B1=BQ，可构造出 A1B1=PABQ据已知条件，令*则 A1=PA，B 1=BQ那么A1B1=PABQ，于是 AB=P-1A1B1Q-1=*评注 本题考查初等矩阵的两个定理，一个是左乘、右乘；一个是初等矩阵逆矩阵的公式要熟悉三个公式：*9.设 ，那么(P -1)2004A(Q2013)-1=ABCD （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 P、Q 均初等矩阵，因为 P-1=P，且 P左乘 A相当于
31、互换矩阵 A的 1、3 两行，那么 P2014A表示把 A的 1、3 两行互换 2014次，从而(P -1)2014A=P2014A=A又(Q 2013)-1=(Q-1)2013且*而 Q-1右乘 A相当于把矩阵 A的第 2列如至第 1列，那么 A(Q-1)2013。表示把矩阵 A第 2列的 2013倍加至第 1列，所以应选(B)10.设 A与 B均为 n阶矩阵，且 A与 B等价，则不正确的命题是 A.|A|0，则|B|0 B.如果|A|0，则有可逆矩阵 P使 PB=E. C.如果 AE，则是可逆矩阵. D.有可逆矩阵 P与 Q，使 PAQ=B.（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析
32、按定义，A 与 B等价表明 A经初等变换可得到 B，因而必有 r(A)=r(B)如果|A|0 或AE，均表明 A可逆，因此 B一定是可逆矩阵作为可逆矩阵可以只用行变换(或只用列变换)化为单位矩阵，即PB=PsP2P1B=E，P i是初等矩阵所以(B)、(C)均正确因为 A与 B等价，故 A经若干次行、列初等变换得到 B，即PsP2P1AQ1Q2Qt=B，所以 PAQ=B，故(D)正确当 AB，若用到某两行(列)互换，则行列式要变号，对|A|0，不能保证必有|B|0，例如*虽 A与 B等价，|A|0，但|B|0评注 矩阵 A与 B等价的充分必要条件是 A，B 都是 mn的矩阵且秩 r(A)=r(
33、B)11.设 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 当 a=1时，易见秩 r(A)=1当 a1 时，由于*知 r(A)=3由于 AB=0，A 是 34矩阵，有 r(A)+r(B)4那么当 a=1时，r(A)=1，1r(B)3B是 42矩阵，所以 B的秩可能为 1也可能为 2，因此(A)、(B)均不正确当 a1 时，r(A)=3，所以必有 r(B)=1，(D)不正确评注 当 a=1时，你能否写出三个 43的矩阵 B，让其秩分别为 1，为 2，为 3?本题考查矩阵秩的概念以及 AB=0中关于秩的信息若 AB=0，将 B按列分块，B= 1， 2， n，有AB=A 1， 2， n=A 1，A
34、 2，A n=0，0，0从而 A i=0(i=1，2，n)，即 i是方程组 Ax=0的解这样向量组 1， 2， n可由 Ax=0的基础解系线性表出，从而 r( 1， 2， n)n-r(A)故有 r(A)+r(B)n以上得到的命题“若AB=0，则 r(A)+r(B)n”在考试中可直接使用由这一命题及 r(A)0，r(B)0，立刻可得出 A与 B的秩均小于 n12.若 A，A *和 B均是 n阶非零矩阵，且 AB=0，则必有 r(B)= A.1 B.2 C.n-1 D.条件不够不能确定（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 若 A是 mn矩阵，B 是 ns矩阵，且 AB=0，则有(1)B的
35、列向量是齐次方程组 Ax=0的解(2)秩 r(A)+r(B)n由(1)，对于 AB=0，B0 知 Ax=0有非零解，从而秩 r(A)n又因 A*0 知有代数余子式 Aij0，即 A中有 n-1阶子式非零于是 r(A)=n-1再根据(2)知 r(B)1，又因 B0故必有 r(B)=1关于 r(A)也可由*可知 r(A*)=1因为 A*0，有 r(A*)1，于是 r(A)n-1，那么再由 AB=0，B0 知 r(A)n，因此只能是 r(A)=n-1评注 对于 AB=0要会用秩的信息13.已知 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 A 是 4阶矩阵，那么由伴随矩阵秩的公式*可见 r(A*)
36、=1*r(A)=3对矩阵 A作初等变换，有*若 a=3 则*秩 r(A)=3若 a=2 则*秩 r(A)=4若 a=1 则*秩 r(A)=3所以，a=1 或 a=3时均有 r(A*)=1应选(D)14.设 A为四阶方阵列，且满足 A2=A，则秩 r(A)+秩 r(A-E)= A.4 B.3 C.2 D.1（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 由于 A(A-E)=A2-A=0，故 r(A)+r(A-E)4 又 E=(E-A)+A，故 4=r(E)=r(E-A+A)r(E-A)+r(A)=r(A-E)+r(A)，从而 r(A)+r(A-E)=4评注 本题除了用 AB=0有 r(A)+r(
37、B)n 之外，还用到 r(A)=r(-A)，r(A+B)r(A)+r(B)等关系式。15.现有四个向量组(1，2，3) T，(3，-1，5) T，(0，4，-2) T，(1，3，0) T(a，1，b，0，0) T，(c，0，d，2，0) T，(e，0，f，0，3) T(a，1，2，3) T，(b，1，2，3) T，(c，3，4，5) T，(d，0，0，0) T(1，0，3，1) T，(-1，3，0，-2) T，(2，1，7，2) T，(4，2，1 4，5) T则下列结论正确的是 A.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为 B.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为 C.线性相关的向量组为；线性
38、无关的向量为 D.线性相关的向量组为；线性无关的向量组为（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 向量组是四个三维向量，从而线性相关可排除(B)由于(1，0，0)，(0，2，0)，(0，0，3)线性无关，添上两个分量就可得向量组，故向量组线性无关所以应排除(C)向量组中前两个向量之差与最后一个向量对应分量成比例，于是 1， 2， 4线性相关，那么添加 3后，故向量组必线性相关应排除(A)，故选(D)评注 关于向量组亦可直接计算行列式，由*而知其线性相关16.设 1=(1，4，3，-1) T， 2=(2，t，-1，-1) T， 3=(-2，3，1，t+1) T，则 A.对任意的 t， 1，
39、 2， 3必线性无关 B.仅当 t=-3时， 1， 2， 3线性无关 C.若 t=0，则 1， 2， 3线性相关 D.仅 t0 且 t-3， 1， 2， 3线性无关（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 m 个 n维向量(mn)的线性相关性的判定可以用齐次方程组是否有非零解，也可用秩若 x1 1+x2 2+x3 3=0，对系数矩阵作初等行变换，有*因为 t与 t+3不可能同时为 0，因此对任意的 t，系数矩阵的秩必为 3，亦即*t 齐次方程组 1 2 3x=0只有零解，故必有 1、 2、 3线性无关所以应选(A)17.设 1=(1，2，3，1) T， 2=(3，4，7，-1) T， 3
40、=(2，6，a，6) T， 4=(0，1，3，a) T，那么 a=8是 1， 2， 3， 4线性相关的 A.充分必要条件 B.充分而非必要条件 C.必要而非充分条件 D.既不充分也非必要条件（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 n 个 n维向量线性相关的判定一般用行列式| 1， 2， n|=0较方便*当 a=8时，行列式| 1， 2， 3， 4|=0，向量组 1， 2， 3， 4线性相关，但 a=2时仍有行列式| 1， 2， 3， 4|=0，所以 a=8是向量组 1， 2， 3， 4线性相关的充分而非必要条件评注 通过这三个题，思考一下当已知向量的分量时，如何判断向量组的线性相关?都
41、有哪些方法?18.向量组 1， 2， s线性无关的充分必要条件是 A.存在全为零的一组数 k1，k 2，k s，使 k1 1+k2 2+ks s=0 B.存在不全为零的一组数 k1，k 2，k s，使 k1 1+k2 2+ks s0 C.对于任何一组不全为零的数 k1，k 2，k s，都有 k1 1+k2 2+ks s0 D. 1， 2， s中任意两个向量线性无关（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 (C)选项是线性无关的等价定义(A)选项中当 k1，k s全为零时，对任何一组向量做线性组合必都是零，从而不能判断 1， 2， s的线性无关性(B)线性相关的定义是存在一组不全为零的数，
42、使线性组合为零那么它的相反的描述应该是对任意一组不全为零的数，其线性组合必不为零，即(C)选项而不能只有一组不全为 0的 k1，k 2，k s，例： 1=(1，0，0) T， 2=(0，1，0) T， 3=(1，1，0) T由于 3= 1+ 2，向量组 1， 2， 3线性相关，但是 1+ 2+ 30，从而(B)只是必要条件不是充分条件(D)选项也只是必要条件，例如前述向量组 1， 2， 3中任意两个向量均线性无关，但 1， 2， 3线性相关19.向量组 1， 2， s线性无关的充分必要条件是 A. 1， 2， s中任意 s-1个向量都线性无关 B. 1， 2， s中每一个向量都不能由其余 s-
43、1个向量线性表出 C.向量 s不能由 1， 2， s-1线性表出 D.向量 可以由 1， 2， s线性表出（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 必要性(反证法) 如果 i=k1 1+ki-1 i-1+ki+1 i+1+ks s则 k1 1+ki-1 i-1- i+ki+1 i+1+ks s=0因为k1，k i-1，k i+1，k s不全为 0于是 1， 2， s线性相关矛盾充分性(反证法) 如果 1， 2， s的线性相关，则有不全为 0的 k1，k 2，k s使k1 1+k2 2+ks s=0，不妨设 ks0，则有*(k 1 1+k2 2+ks-1 s-1)矛盾注意(A)、(C)都是必要条件，不是充分条件例如(A) (1，0)，(0，1)，(1，1)例如(C) (1，0)，(2，0)，(0，1)而(D)既不必要也不充分例如 1=(1，0，0)， 2=(0，1，0)，=(0，0，1)与 1=(1，0，0)， 2=(2，0，0)，
