1、考研数学三-251 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导但 f“(0)0D.可导且 f“(0)=02.设函数 y=y(x)由参数方程 （分数：4.00）A.函数 y(x)单调减小，曲线 y=y(x)是凹的B.函数 y(x)单调减小，曲线 y=y(x)是凸的C.函数 y(x)单调增加，曲线 y=y(x)是凹的D.函数 y(x)单调增加，曲线 y=y(x)是凸的3.累次积分 f(rcos ，rsin )rdr 等于 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.设数列u
2、n ，v n )满足 m M，其中 m，M 是大于零的常数，v n 0(n=1，2，)，考虑以下命题： 若级数 发散，则 必发散； 若级数 收敛，则 必收敛； 级数 与 同时收敛或发散； 当级数 =1 时，级数 （分数：4.00）A.1B.2C.3D.45.设 A 是 nm 矩阵，B 是 mn 矩阵，且 mn，若 AB=E，其中 E 是 n 阶单位矩阵，则必有（分数：4.00）A.矩阵 A 的列向量组线性相关，矩阵 B 的行向量组线性相关B.矩阵 A 的列向量组线性相关，矩阵 B 的列向量组线性相关。C.矩阵 A 的行向量组线性相关，矩阵 B 的行向量组线性相关D.矩阵 A 的行向量组线性相关
3、，矩阵 B 的列向量组线性相关6.设 A 是任一 n 阶可逆矩阵(n3)，k 为常数，且 k0，1，则(kA -1 ) * 等于 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 A，B 为随机事件，且 B （分数：4.00）A.1B.2C.3D.48.设 x 1 ，x 2 ，x n 是取自二项总体 B(5， )的简单随机样本， 是其样本均值，则 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设当 x0 时， 与 （分数：4.00）10.微分方程 tan ydx-(1+e x )sec 2 ydy=0 满足条件 （分数：4.00）11.
4、函数 z=z(x，y)由方程 y=xf(z)+(y，z)确定，其中 f， 分别具有连续的导数和偏导数，且 xf“+ 0，则 （分数：4.00）12.已知某商品的需求量 x 对价格 p 的弹性为 =-3p 3 ，而市场对该商品的最大需求量为 1(万件)，则需求函数为 1 （分数：4.00）13.设三维列向量 1 ， 2 ， 3 线性无关，且向量 1 = 1 +2 2 +3 3 ， 2 = 2 + 3 ， 3 1 + 3 ，则秩 r( 1 ， 2 ， 3 )= 1 （分数：4.00）14.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从正态分布 N(0，1)，Y 在区间-1，3上服从均匀分布，则概率
5、Pmax(X，Y)0)= 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.(本题满分 10 分) 求极限 （分数：10.00）_16.(本题满分 10 分) 求不定积分 （分数：10.00）_17.(本题满分 10 分) 设 x(0，1)，证明： （分数：10.00）_18.(本题满分 10 分) 设 u=f(x，y，z)具有连续的一阶偏导数，又函数 y=y(x)及 z=z(x)分别由 e xy -xy=2 和 确定，求dy,dz 及 （分数：10.00）_19.(本题满分 10 分) 设区域 D=(x，y)|x 2 +y 2 4 2 ，y0)，计算二重积分 ，其中 （分
6、数：10.00）_20.(本题满分 11 分) 设齐次线性方程组 （分数：11.00）_21.(本题满分 11 分) 设 A 为 3 阶实对称矩阵，若存在正交矩阵 Q，使得 （分数：11.00）_22.(本题满分 11 分) 设二维随机变量(X，Y)服从区域 D 上的均匀分布，其中 D 是由 xy=1 与 x=0 所围成的三角形区域 ()求 y 的概率密度厂 f Y (y)； ()求条件概率密度 f Y|X (y|x)； ()求 PXY) （分数：11.00）_23.(本题满分 11 分) 设总体 X 的分布函数为 其中参数 (01)未知X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样
7、本， 是样本均值 ()求参数 的矩估计量 ； ()求 （分数：11.00）_考研数学三-251 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.不连续B.连续但不可导 C.可导但 f“(0)0D.可导且 f“(0)=0解析：解析 本题考查分段函数在分段点处的连续性与可导性问题讨论分段函数在分段点处的连续性、可导性问题，必须用相应的定义求解 解 显然 f(0)=0因 故 f(x)在 x=0 处连续又 2.设函数 y=y(x)由参数方程 （分数：4.00）A.函数 y(x)单调减小，曲线 y=y(x)是凹的 B.函数 y(
8、x)单调减小，曲线 y=y(x)是凸的C.函数 y(x)单调增加，曲线 y=y(x)是凹的D.函数 y(x)单调增加，曲线 y=y(x)是凸的解析：解析 本题考查由参数方程确定的函数的单调性与凹凸性问题，只要求出 及 ，由它们在(0，1)内的符号即可判定 解 当 x(0，1)时，t ，则 3.累次积分 f(rcos ，rsin )rdr 等于 A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 本题考查将二重积分的极坐标系下的累次积分转换为直角坐标系下的累次积分问题，按二重积分交换次序的方法步骤“找边界，画草图，换次序”求解即可 解 由题设所给极坐标累次积分可画出积分区域 D 如下
9、图所示，其边界曲线分别为 (x+1) 2 +y 2 =1，y=-x， 于是 4.设数列u n ，v n )满足 m M，其中 m，M 是大于零的常数，v n 0(n=1，2，)，考虑以下命题： 若级数 发散，则 必发散； 若级数 收敛，则 必收敛； 级数 与 同时收敛或发散； 当级数 =1 时，级数 （分数：4.00）A.1B.2C.3D.4 解析：解析 本题考查抽象型数项级数的收敛性问题，可由题设条件直接分析推导，也可举反例排除，此处用前者 解 由题设条件 m M，m0，可知 u n 与 v n 同号，不妨设 u n 0，v n 0，于是有 mv n u n ，u n Mv n 根据正项级数
10、比较判别法可知，若级数 发散，则级数 必发散，从而级数 发散；若级数 收敛，则级数 必收敛，从而级数 也收敛同样，若级数 收敛，则 收敛，从而 收敛；若级数 发散，则 发散，从而级数 发散，可见，正确 当级数 =1 时，由条件 m M 得 mv n u n Mv n (不妨设 u n ，v n 0)，进而得 由于级数 收敛时， 5.设 A 是 nm 矩阵，B 是 mn 矩阵，且 mn，若 AB=E，其中 E 是 n 阶单位矩阵，则必有（分数：4.00）A.矩阵 A 的列向量组线性相关，矩阵 B 的行向量组线性相关 B.矩阵 A 的列向量组线性相关，矩阵 B 的列向量组线性相关。C.矩阵 A 的
11、行向量组线性相关，矩阵 B 的行向量组线性相关D.矩阵 A 的行向量组线性相关，矩阵 B 的列向量组线性相关解析：解析 本题考查向量组的线性相关性问题数值型的情形一般用秩分析；抽象型的情形一般利用线性相关性的结论研究分析，但若能寻求其秩时当然用秩分析求解简便所以，对于讨论向量组的线性相关性问题，“能找秩就找秩”! 解 显然 r(AB)=n由矩阵“越乘秩越小”性质及矩阵秩的定义可知 n=r(AB)r(A)minm，n)， n=r(AB)r(B)minm，n)， 又 mn，故 minm，n=n，从而可得 r(A nm )=nm，r(B mn )=nm，即矩阵 A 的列向量组线性相关，矩阵 B 的行
12、向量组线性相关 注 由本题条件及上述分析求解过程还可得出矩阵 A 的行向量组与矩阵 B 的列向量组都线性无关6.设 A 是任一 n 阶可逆矩阵(n3)，k 为常数，且 k0，1，则(kA -1 ) * 等于 A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 本题考查求矩阵的伴随矩阵问题见到伴随矩阵 A * ，就要想到用 AA * =A * A=|A|E 或A * =|A|A -1 处理 解 因矩阵 A 可逆，故由 A * =|A|A -1 可得 (kA) * =|kA -1 |(kA -1 ) -1 =k n |A -1 | 7.设 A，B 为随机事件，且 B （分数：4.00）
13、A.1B.2 C.3D.4解析：解析 本题主要考查随机事件的运算，按相应的运算律求解即可 解 因 B A，故 AB=A，AB=B，B-A= ，从而 P(AB)=P(A)，P(AB)=P(B)，P(B-A)=0，可见，正确，不正确又由条件概率可得 8.设 x 1 ，x 2 ，x n 是取自二项总体 B(5， )的简单随机样本， 是其样本均值，则 A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 本题考查样本函数的协方差与方差的计算问题，利用“运算性质法”与“已知分布法”求解即可，求解过程中要注意简单随机样本是相互独立且与总体是同分布的 解 同理可得 注 上述计算过程中用到了 cov
14、(X i ，X j )=0，其中 X i 与 X j 相互独立在计算方差 D(x i + )或 D(X i - 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设当 x0 时， 与 （分数：4.00）解析：-2 解析 本题考查无穷小阶的问题见到确定无穷小阶的问题，就想“三法”等价无穷小代换定阶法、泰勒公式定阶法、求导定阶法此处用等价无穷小代换与求导定阶法分别处理 (x)，(x)即可快速求得结果 解 x0 时，(x)- 因 x0 时， 故 (x) ，从而得 10.微分方程 tan ydx-(1+e x )sec 2 ydy=0 满足条件 （分数：4.00）解析： 解析 本题考查求解一阶微分方程问题
15、，要先判定其类型，再用相应的方法求解即可本题为变量可分离微分方程，先分离变量后两边积分可得 解 原方程变形为 两边积分，得 即有 得 ln|tan y|=-ln(1+e -x )+ln|C|. 即 由 y(0)= ，得 C=2，故所求特解为 11.函数 z=z(x，y)由方程 y=xf(z)+(y，z)确定，其中 f， 分别具有连续的导数和偏导数，且 xf“+ 0，则 （分数：4.00）解析： 解析 本题考查由三元方程确定的二元隐函数的偏导数问题可用“求导法”、“微分法”及“公式法”求解此处用微分法 解 方程两边微分，得 dy=fdx+xf“dz+“ y dy)+“ z dz， 解出 dz，得
16、 故 12.已知某商品的需求量 x 对价格 p 的弹性为 =-3p 3 ，而市场对该商品的最大需求量为 1(万件)，则需求函数为 1 （分数：4.00）解析：x=e -p3 解 根据弹性定义，有 13.设三维列向量 1 ， 2 ， 3 线性无关，且向量 1 = 1 +2 2 +3 3 ， 2 = 2 + 3 ， 3 1 + 3 ，则秩 r( 1 ， 2 ， 3 )= 1 （分数：4.00）解析：2 解析 本题考查求抽象向量组的秩的问题，可用初等变换法求解，也可由题设条件建立一个矩阵的等式见到一组向量由另一组向量线性表示，就要想到“三个东西”，由此矩阵等式可得 解 1 因 ( 1 ， 2 ， 3
17、 )=( 1 +2 2 +3 3 ， 2 + 3 ， 1 + 3 ) (2 2 +2 3 ， 2 + 3 ， 1 + 3 ) (0， 2 + 3 ， 1 + 3 )，由 1 ， 2 ， 3 线性无关易知 2 + 3 ， 1 + 3 线性无关，故 r( 2 + 3 ， 1 + 3 )=2，从而r( 1 ， 2 ， 3 )=2 解 2 由题设条件，有 因 1 ， 2 ， 3 线性无关，故矩阵 A=( 1 ， 2 ， 3 )满秩，从而 14.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从正态分布 N(0，1)，Y 在区间-1，3上服从均匀分布，则概率Pmax(X，Y)0)= 1 （分数：4.00）解
18、析： 解析 本题考查求相互独立随机变量的最大值、最小值函数的概率问题，利用最大值、最小值函数分布常用处理方法求解即可 解 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.(本题满分 10 分) 求极限 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 令 ，则 解析 本题考查求型未定式极限问题根据题目特点，可作变量代换 16.(本题满分 10 分) 求不定积分 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 令 x=tan t， ，则 注 此处的变量回代是由 x=tan t 作一个直角三角形求得 sin t 的，请读者思考 解析 本题为求不定积分问题，根据被积函数的特点，选用相应的积分法即可本题被积
19、函数中含有根式 ，又无法用凑微分法求解，一般作变量代换 x=tan t， 17.(本题满分 10 分) 设 x(0，1)，证明： （分数：10.00）_正确答案：()解析：证 因 x(0，1)，不等式两边取对数，得 令 f(x)=xln(1- )-ln(1-x)-x，则 当 x(0，1)时，f“(x)0，故 f“(x)单调增加，而 f“(0)=0，于是有 f“(x)f“(0)=0，即 f(x)在区间(0，1)内单调增加又 f(0)=0，因此 x(0，1)时，f(x)f(0)=0，即 xln(1- )-ln(1-x)-x0，亦即 ln(1-x)+xxln(1- )，从而有 18.(本题满分 10
20、 分) 设 u=f(x，y，z)具有连续的一阶偏导数，又函数 y=y(x)及 z=z(x)分别由 e xy -xy=2 和 确定，求dy,dz 及 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 下面计算 和 方程 e xy -xy=2 两边对 x 求导，得 方程 两边对 x 求导，得 因此 19.(本题满分 10 分) 设区域 D=(x，y)|x 2 +y 2 4 2 ，y0)，计算二重积分 ，其中 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 如下图所示，以 x 2 +y 2 = 2 分区域 D 为 D 1 ，D 2 两部分，则 20.(本题满分 11 分) 设齐次线性方程组 （分数：11.
21、00）_正确答案：()解析：解 由齐次线性方程组()的基础解系可得 以 x 3 ，x 4 为自由变量，则上述基础解系可由以下等价方程组得到 去掉 x 3 ，x 4 两个自由变量的恒等式方程，可得以 1 ， 2 为基础解系的一个齐次线性方程组为 将题设条件中的方程组()与上述式中的方程组联立，得 参数 a，b 的值只要使得方程组有非零解，并解之即可，由 可见，当 a+1=0，且 b=0，即 a=-1，b=0 时，r(A)=34，方程组必有非零解，此非零解既满足方程组()，也满足方程组，从而是()与()的非零公共解此时由 21.(本题满分 11 分) 设 A 为 3 阶实对称矩阵，若存在正交矩阵
22、Q，使得 （分数：11.00）_正确答案：()解析：()由题设条件可知， ，从而矩阵 A 的特征值为 1 = 2 =1， 3 =-2，且|A|= 1 2 3 =-2 又由 A * =，知 AA * =A，即 A=|A|=-2，可见 3 =(1，1，1) T 是 A 的属于特征值 3 =-2 的一个特征向量 设 1 = 2 =1 的特征向量为 x=(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，则 3 T x=0，即 x 1 +x 2 +x 3 =0求得基础解系 1 =(-1，1，0) T ， 2 =(-1，0，1) T ，即为特征值 1 = 2 =1 所对应的两个线性无关的特征向量 先将 1 ， 2
23、正交化，得 再将 1 ， 2 ， 3 单位化，得 令 ，则 Q 即为所求的正交矩阵，即有 ()略 解析 本题考查求把实对称矩阵相似对角化的正交相似变换矩阵，这只要求得 A 的特征向量即可注意，见到矩阵 A 与一对角矩阵相似，就可知 A 的特征值；见到伴随矩阵 A * ，就要想到用 AA * =A * A=|A|E 处理，这样由 A * = 可得 A 的一个特征向量，再由实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交可得其他特征值的特征向量，从而可求得正交矩阵 Q第()问由(A * ) -1 = 22.(本题满分 11 分) 设二维随机变量(X，Y)服从区域 D 上的均匀分布，其中 D 是由 xy=1
24、 与 x=0 所围成的三角形区域 ()求 y 的概率密度厂 f Y (y)； ()求条件概率密度 f Y|X (y|x)； ()求 PXY) （分数：11.00）_正确答案：()解析：()二维随机变量(X，Y)的概率密度为 如下图，可得 ()因 故当 0x1 时，有 () 23.(本题满分 11 分) 设总体 X 的分布函数为 其中参数 (01)未知X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本， 是样本均值 ()求参数 的矩估计量 ； ()求 （分数：11.00）_正确答案：()解析：()由题设条件可知总体 X 的概率密度为 于是 令 EX= ，即 ，解得 的矩估计量 ()由方差的计算公式有 因 故 从而 解析 本题考查参数的点估计问题，要先从题设所给的分布函数判断出 X 是连续型总体，然后求导得其概率密度，再按矩估计法的方法步骤“求两矩作方程，解方程得估计”求解即可第()问只要求出数学期望
