1、考研数学三-402 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.若 x0 时， 的导数与 x 2 为等价无穷小，则 f“(0)等于_ A0 B1 C-1 D （分数：4.00）A.B.C.D.2.曲线 （分数：4.00）A.有极值点 x=4，但无拐点B.有拐点(4，1)，但无极值点C.有极值点 x=4 和拐点(4，1)D.既无极值点，又无拐点3.设某种商品的需求量为 Q，价格 P，且已知该商品的边际收益函数为 则该商品的需求函数 Q=Q(P)的表达式为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(x，y)连续，且 （分
2、数：4.00）A.xyB.xy+1C.xy+2D.2xy5.设 A，B 为 n 阶矩阵，A*，B*分别为 A，B 对应的伴随矩阵，分块矩阵 则 C 的伴随矩阵 C*=_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 （分数：4.00）A.1，2，3 线性相关B.1，2，3 线性无关C.r(1，2，3)=r(1，2)D.1，2 线性无关，1，2，3 线性相关7.已知 f(x)和 f(x)+f 1 (x)均为概率密度，则 f 1 (x)必满足条件_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变量 且满足 PX 1 X 2 =0=1，则 PX 1 =X 2 为_ A0
3、B C （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.极限 （分数：4.00）10.已知函数 y=y(x)由方程 xe y +ye x =0 确定，则 y“(0)= 1 （分数：4.00）11.设函数 f(u，v)由关系式 fyg(x)，x=y+g(x)+a 确定，其中 a 为常数，g(x)可微且不为 0，则 （分数：4.00）12.设 （分数：4.00）13.设 A= T ，其中 为三维列向量，且 T =2，则行列式|E-A n |= 1 （分数：4.00）14.已知随机变量 YN(， 2 )，且方程 x 2 +x+Y=0 有实根的概率为 （分数：4.00）
4、三、解答题(总题数：9，分数：94.00)设 （分数：10.00）(1).a 为何值时 f(x)连续；（分数：5.00）_(2).当 f(x)连续时，求 f“(x)，并判断其连续性（分数：5.00）_15.设有一曲顶柱体，以双曲抛物面 z=xy 为顶，xQy 平面为底，y=0 为侧面，柱面 x 2 +y 2 =1 为外侧，柱面 x 2 +y 2 =2x 为内侧，求此柱体的体积 （分数：10.00）_16.设 f(x)在x 1 ，x 2 上可导，且 0x 1 x 2 证明：在(x 1 ，x 2 )内存在 ，使 （分数：10.00）_17.设抛物线 y=ax 2 +bx+c 过原点，当 0x1 时
5、，y0又已知该抛物线与 x 轴及直线 x=1 所围的面积为 （分数：10.00）_设有级数 （分数：9.99）(1).求此级数的收敛域；（分数：3.33）_(2).证明此级数满足方程 y“-y=-1；（分数：3.33）_(3).求此级数的和函数（分数：3.33）_已知非齐次线性方程组 （分数：11.00）(1).证明方程组系数矩阵 A 的秩 r(A)=2；（分数：5.50）_(2).求 a，b 的值及方程组的通解（分数：5.50）_设 A 为三阶实对称矩阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 有非零解且 1 =2 是 A 的特征值，对应特征向量为(-1，0，1) T （分数：11.00）(1)
6、.求 A 的其他特征值与特征向量；（分数：5.50）_(2).求 A（分数：5.50）_设随机变量 X 的密度为 (x)=Ae -2|x| ，-x+求：（分数：11.01）A；_(2).P(0X1)；（分数：3.67）_(3).X 的分布函数（分数：3.67）_设(X，Y)的分布函数为 （分数：11.01）(1).系数 A，B 和 C；（分数：3.67）_(2).(X，Y)的概率密度；（分数：3.67）_(3).边缘分布函数及边缘概率密度，并判断 X 和 Y 是否相互独立（分数：3.67）_考研数学三-402 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：3
7、2.00)1.若 x0 时， 的导数与 x 2 为等价无穷小，则 f“(0)等于_ A0 B1 C-1 D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由于 所以 由题意知 即 故 2.曲线 （分数：4.00）A.有极值点 x=4，但无拐点B.有拐点(4，1)，但无极值点 C.有极值点 x=4 和拐点(4，1)D.既无极值点，又无拐点解析：解析 3.设某种商品的需求量为 Q，价格 P，且已知该商品的边际收益函数为 则该商品的需求函数 Q=Q(P)的表达式为_ A B C D （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 设总收益函数为 R(Q)，则 R(0)=0，且边际收益函数 又因为
8、R(Q)=PQ，从而 得 4.设 f(x，y)连续，且 （分数：4.00）A.xy B.xy+1C.xy+2D.2xy解析：解析 令 则 f(x，y)=xy+2A，两边对 x，y 在 D 上积分，得 因为 D：x 2 +y 2 =2x 关于 x 轴对称，被积函数 xy 关于 y 为奇函数，所以 5.设 A，B 为 n 阶矩阵，A*，B*分别为 A，B 对应的伴随矩阵，分块矩阵 则 C 的伴随矩阵 C*=_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 假定 A，B 均可逆，则 A*=|A|A -1 ，B*=|B|B -1 ， 从而 6.设 （分数：4.00）A.1，2，3 线
9、性相关B.1，2，3 线性无关C.r(1，2，3)=r(1，2)D.1，2 线性无关，1，2，3 线性相关 解析：解析 三条直线交于一点的充要条件是方程组 7.已知 f(x)和 f(x)+f 1 (x)均为概率密度，则 f 1 (x)必满足条件_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 f(x)和 f(x)+f 1 (x)均为概率密度，所以 同时 因此 8.设随机变量 且满足 PX 1 X 2 =0=1，则 PX 1 =X 2 为_ A0 B C （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 (X 1 ，X 2 )的分布律为 根据已知 PX 1 X 2 =0=1，得出
10、 PX 1 X 2 0=0，从上表可知，a+c+g+k=0，从而有 a=c=k=g=0，根据边际分布的性质得 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.极限 （分数：4.00）解析：解析 10.已知函数 y=y(x)由方程 xe y +ye x =0 确定，则 y“(0)= 1 （分数：4.00）解析：4 解析 令 x=0，代入 ye x +xe y =0，得 y(0)=0 将 ye x +5ge y =0 两边对 x 求导，得 y“e x +ye x +e y +xe y y“=0， 将 y(0)=0 代入上式 11.设函数 f(u，v)由关系式 fyg(x)，x=y+g(x)+a 确定
11、，其中 a 为常数，g(x)可微且不为 0，则 （分数：4.00）解析： 解析 令 u=yg(x)，v=x，则 12.设 （分数：4.00）解析：x+2ln|x-1|+C，其中 C 为任意常数 解析 先求出函数表达式，然后求不定积分 由 得 又由 得 所以 13.设 A= T ，其中 为三维列向量，且 T =2，则行列式|E-A n |= 1 （分数：4.00）解析：1-2 n 解析 由 A=( T )=2 可知 A 的一个特征值为 2，又 r(A)=r( T )=1，所以 0是 A 的二重特征值因此 A 的特征值为 2，0，0，于是 E-A n 的特征值为 1-2 n ，1，1，故|E-A
12、n |=1-2 n 14.已知随机变量 YN(， 2 )，且方程 x 2 +x+Y=0 有实根的概率为 （分数：4.00）解析： 解析 已知 YN(， 2 )，又 所以有 则 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)设 （分数：10.00）(1).a 为何值时 f(x)连续；（分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 (2).当 f(x)连续时，求 f“(x)，并判断其连续性（分数：5.00）_正确答案：()解析：解析 当 x0 时， 当 x=0 时， 综上可知 可能的不连续点为 x=0，又 15.设有一曲顶柱体，以双曲抛物面 z=xy 为顶，xQy 平面为底，y=0 为侧面，柱面 x 2
13、 +y 2 =1 为外侧，柱面 x 2 +y 2 =2x 为内侧，求此柱体的体积 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：由题设可知曲顶柱体在 xQy 平面上的投影，即积分域 D 如下图所示，根据其形状采用极坐标 其体积为 曲线 L 1 ：=2cos，L 2 ：=1，可得 则 16.设 f(x)在x 1 ，x 2 上可导，且 0x 1 x 2 证明：在(x 1 ，x 2 )内存在 ，使 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：思路一：令 显然 F(x)在x 1 ，x 2 上连续，在(x 1 ，x 2 )可导，又 即 F(x 1 )=F(x 2 )，可见罗尔定理成立，于是存在 (x
14、1 ，x 2 )，使 F“()=0，即 整理得 思路二： 17.设抛物线 y=ax 2 +bx+c 过原点，当 0x1 时，y0又已知该抛物线与 x 轴及直线 x=1 所围的面积为 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解：因为抛物线过原点，所以 c=0，又由题设可知 则旋转体体积为 令 则 解得 此时 因为 所以当 设有级数 （分数：9.99）(1).求此级数的收敛域；（分数：3.33）_正确答案：()解析：解：因为 (2).证明此级数满足方程 y“-y=-1；（分数：3.33）_正确答案：()解析：解：令 则 则 (3).求此级数的和函数（分数：3.33）_正确答案：()解析：解：由
15、y(0)=2，y“(0)=0，故可知满足 y(0)=2，y“(0)=0 的方程 y“-y=-1 的特解，即为级数的和函数 由 2 -1=0，知 =1，得出对应齐次方程的通解为：y=C 1 e x +C 2 e -x 设非齐次方程的一个特解为 y*=ax+b，代入 y“-y=-1，得 a=0，b=1故非齐次方程的通解 y=C 1 e x +C 2 e -x +1 代入 y(0)=2，y“(0)=0 可确定出 故 已知非齐次线性方程组 （分数：11.00）(1).证明方程组系数矩阵 A 的秩 r(A)=2；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解：设 1 ， 2 ， 3 是方程组 Ax= 的 3
16、 个线性无关的解，其中 则 1 - 2 ， 1 - 3 是对应齐次线性方程组 AX=0 的解，且线性无关，否则，易推出 1 ， 2 ， 3 线性相关，矛盾 所以 n-r(A)2，即 又矩阵 A 中有一个二阶子式 (2).求 a，b 的值及方程组的通解（分数：5.50）_正确答案：()解析：解：因为 又 r(A)=2，则 当 a=2，b=-3 时，对原方程组的增广矩阵 进行初等行变换，即 先求对应齐次方程组的基础解系： 取 x 3 =1，x 4 =0，得 1 =(-2，1，1，0) T ； 取 x 3 =0，x 4 =1，得 2 =(4，-5，0，1) T 再求特解： 取 x 3 =0，x 4
17、=0，得特解(2，-3，0，0) T 则所求通解为 设 A 为三阶实对称矩阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 有非零解且 1 =2 是 A 的特征值，对应特征向量为(-1，0，1) T （分数：11.00）(1).求 A 的其他特征值与特征向量；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解：因为 A 的每行元素之和为 5，所以有 即 A 有特征值 2 =5，对应的特征向量为 又因为 AX=0 有非零解，所以 r(A)3，从而 A 有特征值 0，设特征值 0 对应的特征向量为 根据不同特征值对应的特征向量正交得 解得特征值 0 对应的特征向量为 (2).求 A（分数：5.50）_正确答案：()
18、解析：解：令 由 得 设随机变量 X 的密度为 (x)=Ae -2|x| ，-x+求：（分数：11.01）A；_正确答案：()解析：解： 得 则 (2).P(0X1)；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解：(3).X 的分布函数（分数：3.67）_正确答案：()解析：解： 当 x0 时， 当 x0 时， 所以，X 的分布函数为 设(X，Y)的分布函数为 （分数：11.01）(1).系数 A，B 和 C；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解：由分布函数的性质知 由上面三式可得 因此 (2).(X，Y)的概率密度；（分数：3.67）_正确答案：()解析：解：(X，Y)的概率密度为 (3).边缘分布函数及边缘概率密度，并判断 X 和 Y 是否相互独立（分数：3.67）_正确答案：()解析：解：X，Y 的边缘分布函数为 边缘密度函数分别为
