1、考研数学三-413 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)有二阶连续导数，且 f“(x)=0， （分数：4.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点2.曲线 （分数：4.00）A.1B.2C.3D.43.设正项级数 收敛，则 （分数：4.00）A.收敛B.发散C.收敛性不确定D.敛散性与 有关4.设 D：x 2 +y 2 1，y0；D 1 ：x 2 +y 2 1，x0，y
2、0，则_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A、B 均为 n 阶可逆矩阵，且 AB=BA，则下列结论中不正确的是_ A.AB-1=B-1A B.A-1B=BA-1 C.A-1B-1=B-1A-1 D.B-1A=A-1B（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 （分数：4.00）A.M1B.M2C.M3D.M47.设随机变量 X 的密度函数为 （分数：4.00）A.与 a 无关，但随 的增大而增大B.与 a 下无关，但随 的增大而减小C.与 无关，但随 a 的增大而增大D.与 无关，但随 a 的增大而减小8.设总体 X 服从正态分布 N(0， 2 )( 2 已知)，X 1
3、 ，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，S 2 为样本方差，则_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若 （分数：4.00）10.设 a 为大于 1 的常数，已知 （分数：4.00）11.某商品的需求量 Q 与价格 p 的函数关系为 Q=ap b ，其中 a 和 b 为常数，且 a0，则需求量对价格 p的弹性是 1 （分数：4.00）12.差分方程 （分数：4.00）13.若 （分数：4.00）14.已知随机变量 X 服从自由度为 n 的 t 分布，则随机变量 X 2 服从的分布是 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分
4、数：94.00)15.求 （分数：10.00）_16.计算二重积分： （分数：10.00）_17.求幂级数 （分数：10.00）_18.设函数 f(x)满足 （分数：10.00）_19.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，又连接(a，f(a)，(b，f(b)两点的直线和曲线y=f(x)相交于(c，f(c)，(acb)，证明：在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f“()=0 （分数：10.00）_设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax 经过正交变换化为标准形 （分数：11.00）(1).求矩阵 A；（分数：5.50）_(2).求正交矩阵 Q，使得经过正交变换
5、x=Qy，二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax 化为标准形（分数：5.50）_20.设 （分数：11.00）_假设某种商品一周的需求量 X 是一随机变量，其概率密度为 （分数：11.00）(1).以 U k 表示 k 周的需求量，求 U 2 和 U 3 的概率密度 f 2 (u)和 f 3 (u)；（分数：5.50）_(2).以 Y 表示三周中各周需求量的最大值，求 Y 的概率密度 f Y (y)（分数：5.50）_设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 （分数：11.00）(1).常数 k；（分数：5.50）_(2).Z=X+Y 的分布函数 F Z (z)（分数：5.5
6、0）_考研数学三-413 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)有二阶连续导数，且 f“(x)=0， （分数：4.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值 C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析 由 得 f“(0)=0 又由函数保号定理，存在 x=0 的一个去心邻域(-，0)(0，)，在此邻域内 于是 x (-，0) 0 (0，) f“(x) + 0 + f“(x) - 0 + f(x) 小 所以 f
7、(0)是 f(x)的极小值 本题亦可用特例法 取 2.曲线 （分数：4.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析 于是有垂直渐近线：x=0，x=1(两条) 又 ，于是无水平渐近线 又 3.设正项级数 收敛，则 （分数：4.00）A.收敛 B.发散C.收敛性不确定D.敛散性与 有关解析：解析 由等价无穷小，得 ln(1+a n )a n ，而 收敛，故 4.设 D：x 2 +y 2 1，y0；D 1 ：x 2 +y 2 1，x0，y0，则_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 积分区域 D 关于 y 轴对称，而被积函数|x|关于 x 为偶函数，故 5.设 A、B 均
8、为 n 阶可逆矩阵，且 AB=BA，则下列结论中不正确的是_ A.AB-1=B-1A B.A-1B=BA-1 C.A-1B-1=B-1A-1 D.B-1A=A-1B（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由 AB=BA，(AB) -1 =(BA) -1 ，即有 B -1 A -1 =A -1 B -1 C 正确； 又 A -1 ABA -1 =A -1 BAA -1 ，得 BA -1 =A -1 B，B 正确； 又 B -1 ABB -1 =B -1 BAB -1 ，得 B -1 A=AB -1 ，A 正确， 选 D 本题可用特例法，取 A=1，B=2，立马选 D.6.设 （分数：4.
9、00）A.M1B.M2C.M3 D.M4解析：解析 M 1 为实对称矩阵，一定能与对角矩阵相似，排除 A；3 阶方阵 M 2 的特征值为单根： 1 =1， 2 =2， 3 =3，一定可与对角矩阵相似，排除 B；对于 M 4 ，其特征值为 1 =0， 2 = 3 =2(单，重，重)，当 = 2 = 3 =2 时，由(M 4 -E)x=0 R(M 4 -2E)=1，n-R(M 4 -2E)=3-1=2，即当 = 2 = 3 =2 时，有两个线性无关的特征向量， 1 =0时，有 1 个线性无关的特征向量于是 M 4 有 3 个线性无关的特征向量，于是 M 4 可以和对角矩阵相似，排除 D. 选 C
10、事实上，M 3 一定不能和对角矩阵相似，反证即可， 若 7.设随机变量 X 的密度函数为 （分数：4.00）A.与 a 无关，但随 的增大而增大B.与 a 下无关，但随 的增大而减小C.与 无关，但随 a 的增大而增大 D.与 无关，但随 a 的增大而减小解析：解析 8.设总体 X 服从正态分布 N(0， 2 )( 2 已知)，X 1 ，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，S 2 为样本方差，则_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 X i N(0， 2 )， 又 与 S 2 独立，故有 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若 （分数：4.00）解析：
11、-sinx解析 10.设 a 为大于 1 的常数，已知 （分数：4.00）解析：解析 11.某商品的需求量 Q 与价格 p 的函数关系为 Q=ap b ，其中 a 和 b 为常数，且 a0，则需求量对价格 p的弹性是 1 （分数：4.00）解析：b解析 12.差分方程 （分数：4.00）解析： C 为任意常数， 解析 原方程即为 先解 再求 的特解 令 ，代入式，得 矛盾因此，要对 修正，令 ，再代入式 ，得 k=3 ，(非齐特) 13.若 （分数：4.00）解析： 解析 由赫尔维茨定理，A 正定的充分必要条件为： 14.已知随机变量 X 服从自由度为 n 的 t 分布，则随机变量 X 2 服
12、从的分布是 1 （分数：4.00）解析：F(1，n) 解析 ，其中 UN(0，1)，V 2 (n) 于是 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 16.计算二重积分： （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 17.求幂级数 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 当 x=2 时， 收敛，所以收敛域为2，2 再求和函数，令 当 x=-2 时，s(x)为右连续，x-2，2)， 又当 x=2 时， ， 18.设函数 f(x)满足 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 原方程变为 从而有， f“(x)+ae x -f(x)+
13、f 3 (x)=ae x ， f“(x)=f(x)=f 3 (x)， 令 y=f(x) 而 而 f(0)=a，得 (a1) 故当 a1 时， 即有 又在前面的积分过程中，提到 y1，而当 y=1 时，由题设中的方程， ，1+e x -1=ae x ，a=1， 因此，无论 a1，还是 a=1，总有 19.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，又连接(a，f(a)，(b，f(b)两点的直线和曲线y=f(x)相交于(c，f(c)，(acb)，证明：在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f“()=0 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 分别在区间a，c及c，b上应用拉格朗日中值定
14、理则存在 1 (a，c)， 2 (c，b)，使 但因三点(a，f(a)，(c，f(c)，(b，f(b)在一条直线上，故有 于是 f“( 1 )=f“( 2 ) 对 f“(x)在区间 1 ， 2 上应用罗尔定理，于是存在 ( 1 ， 2 ) 设二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax 经过正交变换化为标准形 （分数：11.00）(1).求矩阵 A；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 显然 A 的特征值为 1 =2， 2 = 3 =-1，|A|= 1 2 3 =2 由 A*=，得 AA*=A，|A|E=A， A=2. 是 A 的属于特征值 1 =2 的特征向量 又因为 A
15、为实对称矩阵， 1 =2 的特征向量与 2 = 3 =-1 的特征向量(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T 彼此正交， 解得 正交化，得 单位化，得 令 P=(e 1 ，e 2 ，e 3 )，则有 (2).求正交矩阵 Q，使得经过正交变换 x=Qy，二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x T Ax 化为标准形（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由第一小题可得 20.设 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 令 X=( 1 ， 2 ， 3 )，B=( 1 ， 2 ， 3 )，方程化为 A( 1 ， 2 ， 3 )=( 1 ， 2 ， 3 )，即 当 a=1，b=2，c=-
16、2 时，(1)中三个线性方程组有解，即矩阵方程 AX=B 有解 这时， 方程组 A 1 = 1 的通解为 方程组 A 2 = 2 的通解为 方程组 A 3 = 3 的通解为 于是 假设某种商品一周的需求量 X 是一随机变量，其概率密度为 （分数：11.00）(1).以 U k 表示 k 周的需求量，求 U 2 和 U 3 的概率密度 f 2 (u)和 f 3 (u)；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 以 X i (i=1，2，3)表示第 i 周的需求量，由题设知 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，有相同的密度函数 f(x)；U 2 =X 1 +X 2 ，U 2 =X 1 +X 2
17、 +X 3 =U 2 +X 3 如下图，当 u0，由独立和分布的卷积分式，得 当 u0，显然 f 2 (u)=0， 同理，当 u0 当 u0，显然 f 3 (u)=0， (2).以 Y 表示三周中各周需求量的最大值，求 Y 的概率密度 f Y (y)（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由第一小题可得 Y=maxX 1 ，X 2 ，X 3 ，则 F Y (y)=PYy =PmaxX 1 ，X 2 ，X 3 y =PX 1 y，X 2 y，X 3 y =F(y) 3 而 设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 （分数：11.00）(1).常数 k；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由(2).Z=X+Y 的分布函数 F Z (z)（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 F Z (z)=PZz =PX+Yz ()见下图，z0，F Z (z)=0； ()z2，F Z (z)=1； ()0x1，
