1、考研数学三-432 及答案解析(总分：150.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 n(3)维向量 1=(a，1，1，1) T， 2=(1，a，1，1) T， 3=(1，1，a，1)T， n=(1，1，1，a) T若秩 r( 1， 2， 3， n)=n-1，则 a=（分数：4.00）A.1B.-1C.1-nD.n-13.设关于数项级数的四个命题分别是若 ，则 发散若 an0(n=1，2，3，)且 收敛，则 收敛若 an0 且 ，则 收敛若正项级数 收敛，且极限 存在，则 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设
2、函数 f(u，v)具有一阶连续偏导数，且 f(x+y，x-y)=4(x 2-xy-y2)，则 xfx(x，y)+yf y(x，y)=（分数：4.00）A.2x2-8xy-2y2B.-2x2+8xy-2y2C.2x2-8xy+2y2D.-2x2+8xy+2y25.已知 f(x)是(-，+)上的奇函数，且 f(0)存在设 （分数：4.00）A.B.C.D.6.假设总体 X服从正态分布 N(， 2)，X 1，X n是来自总体 X的简单随机样本，其样本均值为 ，如果 ，其中 a0，则有（分数：4.00）A.B.C.D.7.已知随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 EX=0，DX=1，EY=0，DY=
3、4，X 与 Y的相关系数 ，已知在 Y=y的条件下，随机变量 X也服从正态分布，则该分布必为（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 y=y(x)是由方程 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.当 x0 时 f(x)=tan(sinx)-tanx是关于 x的_阶无穷小量(用数字填空)（分数：4.00）填空项 1:_10.已知曲线 y=ax2与曲线 y=lnx在点(x 0，y 0)处相切，则曲线 y=ax2在点(x 0，y 0)处的法线方程是_（分数：4.00）填空项 1:_11.设 （分数：4.00）填空项 1:_12.差分方程 （分数：4.00）填空
4、项 1:_13.已知 A是 4阶实对称矩阵，满足 A4-3A2=4E若秩 r(A-2E)=1则二次型 xTAx的规范形是_（分数：4.00）填空项 1:_14.袋中有 8个球，其中有 3个白球，5 个黑球，从中随意取出 4个球，如果 4个球中有 2个白球 2个黑球，试验停止，否则将 4个球放回袋中重新抽取 4个球，直至取到 2个白球 2个黑球为止用 X表示抽取次数，则 EX=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 f(x)在点 x=0处三阶可导，且满足 （分数：10.00）_设 a，b 是满足 ba1 的两个常数，确定 p与 q的值使得（分数：
5、10.00）(1).当 xa，b时 px+qlnx；（分数：5.00）_(2).取得最小值 （分数：5.00）_16.设 （分数：10.00）_17.计算二重积分 （分数：10.00）_18.设函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)f(1)0求证：存在 (0，1)使得f()+(4-) 2f()=0（分数：10.00）_设 1=(1，1，4，2) T， 2=(1，-1，-2，6) T， 3=(-3，-1，a，-9) T，=(1，3，10，a+b) T问：（分数：11.00）(1).当 a，b 取何值时， 不能由 1， 2， 3线性表出；（分数：5.50）_(2).当 a，
6、b 取何值时， 能由 1， 2， 3线性表出，并写出此时的表达式（分数：5.50）_设 3阶实对称矩阵 A的秩为 2， 1= 2=6是 A的二重特征值若 1=(1，a，0) T， 2=(2，1，1)T， 3=(0，1，-1) T都是矩阵 A属于特征值 6的特征向量（分数：11.01）(1).求 a的值；（分数：3.67）_(2).求 A的另一特征值和对应的特征向量；（分数：3.67）_(3).若 =(-2，2，-1) T，求 An（分数：3.67）_已知随机变量 X的概率密度为 （分数：11.01）(1).随机变量 X与 Y的联合概率密度 f(x，y)，X 与 Y是否独立，为什么?（分数：3.
7、67）_(2).计算条件概率 与 （分数：3.67）_(3).求证：Z=X-Y 服从参数 =1 的指数分布（分数：3.67）_19.一批产品需要通过检验才能出厂，检验员从产品中任取一件进行检验，取出产品为正品或次品的可能性一样由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率是 2%，一件次品被误判为正品的概率是 3%如果一产品经检验被判为次品，那么它无需再进行二次检验；如果检验被判定为正品，那么需要对它再进行二次检验，二次检验均判定为正品的产品才判为正品假设各次检验是相互独立的，检验员的检验水平不变试求对一产品进行检验，其检验次数的概率分布；（分数：11.00）_考研数学三-432 答案解析(总分：1
8、50.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 由 BC，A(B-C)=O，知齐次方程组 Ax=0有非零解而 Ax-0有非零解的充分必要条件是秩r(A)n因为*当 a=7时，r(A)3但当 r(A)3 时，a 亦可为 1，所以 a=7是充分而非必要条件2.设 n(3)维向量 1=(a，1，1，1) T， 2=(1，a，1，1) T， 3=(1，1，a，1)T， n=(1，1，1，a) T若秩 r( 1， 2， 3， n)=n-1，则 a=（分数：4.00）A.1B.-1C.1-n D.n-1解析：分析 令*对
9、 A作初等行变换，把第 1行的-1 倍依次加至第 2，3，n 各行，又因 r(A)=n-1，显然有 a1把2，3，n 行约去 1-a后再加至第 1行就有*可见 r(A)=n-1 * a+n-1=0 * a=1-n3.设关于数项级数的四个命题分别是若 ，则 发散若 an0(n=1，2，3，)且 收敛，则 收敛若 an0 且 ，则 收敛若正项级数 收敛，且极限 存在，则 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 设*则 an0 且*对 n=1，2，3，成立，但级数*发散，这表明命题不正确若*，由极限的保号性质可知：存在自然数 N，使得当 nN 时*1 即*成立于是当 nN 时有|aN+1|a
10、 N+2|a n|a n+1|从而*，故级数*发散这表明命题正确由*是收敛的正项级数知：存在正数 M是其前 n项的部分和(a 1+a2)+(a3+a4)+(a2n-1+a2n)的上界由于an0，从而级数*的前 n项的部分和 Sn=a1+a2+an(a 1+a2)+(a3+a4)+(a2n-1+a2n)M，(n=1，2，3，)故级数*收敛这表明命题正确设*，由于 an0，从而 l0当 l0 时，由极限的保号性质知：存在 N使得当 nN 时*成立，这时*，由*发散即知正项级数*发散故当正项级数*收敛且*存在时必有*这表明命题也是正确的4.设函数 f(u，v)具有一阶连续偏导数，且 f(x+y，x-
11、y)=4(x 2-xy-y2)，则 xfx(x，y)+yf y(x，y)=（分数：4.00）A.2x2-8xy-2y2B.-2x2+8xy-2y2C.2x2-8xy+2y2D.-2x2+8xy+2y2 解析：分析 首先求出函数 f(x，y)的表达式令 u=x+y，v=x-y 则可解得*，代入即得f(x+y，x-y)=f(u，v)=(u+v) 2-(u+v)(u-v)-(u-v)2=-u2+4uv+v2于是 f(x，y)=-x 2+4xy+y2求偏导数即得fx(x，y)=-2x+4y，f y(x，y)=4x+2y，故xfx(x，y)+yf y(x，y)=x(-2x+4y)+y(4x+2y)=-2
12、x 2+8xy+2y2即应选(D)5.已知 f(x)是(-，+)上的奇函数，且 f(0)存在设 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 因 f(0)存在，从而 f(x)在点 x=0处连续，又因 f(x)是(-，+)上的奇函数，故 f(0)=0于是*进而得*这表明函数 F(x)在点 x=0处连续，为选出正确结论，还需研究 F(x)在点 x=0处的可导性为此计算极限*这表明函数 F(x)在点 x=0处可导，且 F(0)=2f(0)即应当选(D)6.假设总体 X服从正态分布 N(， 2)，X 1，X n是来自总体 X的简单随机样本，其样本均值为 ，如果 ，其中 a0，则有（分数：4.00）A
13、.B.C. D.解析：分析 依题设 XN(， 2)，*，故*，*，由此可知：如果*，即有*所以*故选(C)7.已知随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 EX=0，DX=1，EY=0，DY=4，X 与 Y的相关系数 ，已知在 Y=y的条件下，随机变量 X也服从正态分布，则该分布必为（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 依题意要计算*，其中 f(x,y)系数为*，f Y(y)系数为*，由此可知 fX|Y(x|y)系数为*，选择(D)8.设 y=y(x)是由方程 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 在方程*中令 x=0可得*，由于*，从而 2y(0)=0即 y(0)=0将方程
14、两边对 x求导数即得* 在式中令 x=0并利用 y(0)=0即得 y(0)=e将式看成关于 x的恒等式，两边再对 x求导数就有* 在式中令 x=0并利用 y(0)=0与 y(0)=e就有y“(0)=4e2故应选(C)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.当 x0 时 f(x)=tan(sinx)-tanx是关于 x的_阶无穷小量(用数字填空)（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：分析 方法一 由带皮亚诺余项的泰勒公式*与 tanx=x+*可得*故*这表明当 x0 时 f(x)是 x的三阶无穷小量，即应填 3方法二 用拉格朗日中值定理可得*，其中 (x)满足 sinx(
15、x)x从而*这同样表明当 x0 时 f(x)是 x的三阶无穷小量10.已知曲线 y=ax2与曲线 y=lnx在点(x 0，y 0)处相切，则曲线 y=ax2在点(x 0，y 0)处的法线方程是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 曲线 y=ax2与曲线 Y=lnx在点(x 0，y 0)处相切的充分必要条件是*故所求的法线万程是*即*11.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 将题设等式*两边求导数即得*从而*其中 C1是一个任意常数令 x=1并利用 f(1)=0又可确定 C1=0，从而 f(x)=*12.差分方程 （分数：4.00）填空项
16、1:_ （正确答案：*）解析：分析 由于一阶常系数线性差分方程 yt+1+ayt=f(t)的通解具有形式 yt=C(-a)t+*，其中 C是任意常数，而*是该方程的一个特解，它的形式由系数 a的取值与方程右端项 f(t)的形式所决定，在题设的方程中系数 a=-2，方程右端项*，从而可设方程的通解为*代入方程知待定常数 A、B 应满足关于 t的恒等式*+2B)*，即 2A=B且 A+2B=-10*A=-2，B=-4故方程的通解是*13.已知 A是 4阶实对称矩阵，满足 A4-3A2=4E若秩 r(A-2E)=1则二次型 xTAx的规范形是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：
17、分析 设 A=，0，由 A4-3A2=4E有( 4-3 2-4)=0，0从而 4-3 2-4=0亦即( 2+1)( 2-4)=0因为实对称矩阵特征值必是实数故 A的特征值是 2或-2由 r(A-2E)=1那么 n-r(A-2E)=4-1=3说明齐次方程组(2E-A)x=0 有 3个线性无关的解亦即 =2 有 3个线性无关的特征向量故矩阵 A的特征值是 2，2，2，-214.袋中有 8个球，其中有 3个白球，5 个黑球，从中随意取出 4个球，如果 4个球中有 2个白球 2个黑球，试验停止，否则将 4个球放回袋中重新抽取 4个球，直至取到 2个白球 2个黑球为止用 X表示抽取次数，则 EX=_（分
18、数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 记 Ai=“第 i次取出 4个球是 2个白球 2个黑球”，由于是有放回取球，因而 Ai是相互独立的根据超几何分布知*，又由几何分布得：*我们知道：当|x|1 时，*，将*代入得*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 f(x)在点 x=0处三阶可导，且满足 （分数：10.00）_正确答案：(利用当 g(x)0 时 ln1+g(x)g(x)可得*把 f(x)的带皮亚诺余项的三阶麦克劳林公式 f(x)=f(0)+f(0)x2+*代入即得*(*)式可改写成为*不难发现只要 f(0)，f(0)，f“(0)之一不是零上式就不可能成
19、立，故 f(0)=f(0)=f“(0)=0，而 f“(0)=-9)解析：设 a，b 是满足 ba1 的两个常数，确定 p与 q的值使得（分数：10.00）(1).当 xa，b时 px+qlnx；（分数：5.00）_正确答案：(首先要使 I(p，q)最小，直线 y=px+q必须与曲线 y=lnx相切，设切点为(t，lnt)，则 t满足方程组*于是*)解析：(2).取得最小值 （分数：5.00）_正确答案：(由于*是一个常数，因此 I(p，q)与函数*有相同的最小值点计算可得*由此即得 I(p，q)当*时取得最小值，即当*=ln(a+b)-ln2-1 时 I(p，q)最小)解析：16.设 （分数：
20、10.00）_正确答案：(由一阶全微分形式不变性可得*由此即知*计算 z“xy可以 zx出发，有*因为 f1，f 2，f 3也分别是以 xy，*为中间变量的复合函数，所以它们对 y的偏导数与 zy有完全相同的结构，即*把它们代入 z“xy的表达式，经整理可得*)解析：17.计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：(解法一 积分区域如图所示令 x=rcos，y=rsin 引入极坐标系，于是在极坐标系(r，)中*d=rdrd，故*其中*故*解法二 在直角坐标系中计算二重积分由于 D=(xy)|1x2，2-*，故*其中*故*)解析：18.设函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且
21、f(0)f(1)0求证：存在 (0，1)使得f()+(4-) 2f()=0（分数：10.00）_正确答案：(若 p(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导且在(0，1)内不等于零，于是f()+(4-) 2f()=0*p()f()+p()(4-) 2f()=0 若xp(x)=p(x)(4-x) 2，则式可改写成*令 F(x)=xP(x)f(x)，可见 F(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导且 F(0)=0，又由 f(0)f(1)0 及 f(x)在0，1上连续可知，存在 (0，1)使得 f()=0，从而 F(x)在0，上满足罗尔定理的全部条件由罗尔定理知：*(0，1)使得 F()=0，即题目的
22、结论成立*从而*由 f(x)在0，1上连续且 f(0)f(1)0 知*(0，1)使得 f()=0设*，由题设知 F(x)在0，上连续，在(0，)内可导，且 F(0)=F()按罗尔定理知：存在(0，)即 (0，1)使得 F()=0由于*且*在(0，)内不等于零，故由 F()=0 即知f()+(4-) 2f()=0证毕)解析：设 1=(1，1，4，2) T， 2=(1，-1，-2，6) T， 3=(-3，-1，a，-9) T，=(1，3，10，a+b) T问：（分数：11.00）(1).当 a，b 取何值时， 不能由 1， 2， 3线性表出；（分数：5.50）_正确答案：(设 x1 1+x2 2+
23、x3 3=，对增广矩阵*=(1，2，3|)作初等行变换得*当 a-6 且 a+2b4 时*r(A)=3，*方程组无解， 不能由 1， 2， 3线性表出)解析：(2).当 a，b 取何值时， 能由 1， 2， 3线性表出，并写出此时的表达式（分数：5.50）_正确答案：(当 a=-6时*若 b=5方程组有无穷多解令 x3=t得 x2=t-1，x 1=2t+2即 =(2t+2) 1+(t-1) 2+t 3t 为任意常数若 b5方程组有唯一解 x1=6，x 2=1，x 3=2即 =6 1+ 2+2 3)解析：设 3阶实对称矩阵 A的秩为 2， 1= 2=6是 A的二重特征值若 1=(1，a，0) T
24、， 2=(2，1，1)T， 3=(0，1，-1) T都是矩阵 A属于特征值 6的特征向量（分数：11.01）(1).求 a的值；（分数：3.67）_正确答案：(对于实对称矩阵 A，若 是矩阵 A的 k重特征值，则矩阵 A属于特征值 的特征向量有且只有 k个是线性无关的因此 1， 2， 3必线性相关，那么*故 a=1)解析：(2).求 A的另一特征值和对应的特征向量；（分数：3.67）_正确答案：(由秩 r(A)=2，知|A|=0，又|A|= i，所以 A的另一个特征值是 3=0由题设 1=(1，1，0) T， 2=(2，1，1) T为 A的属于特征值 6的线性无关的特征向量设 A属于特征值 0
25、的特征向量为 =(x 1，x 2，x 3)T，于是*，*=0 即*解得此方程组的基础解系为 =(-1，1，1) T那么矩阵A属于特征值 3=0的全部特征向量为 k=k(-1，1，1) T(k为任意非零常数)解析：(3).若 =(-2，2，-1) T，求 An（分数：3.67）_正确答案：(设 x1 1+x2 2+x3=，对( 1， 2，|)作初等行变换，有*解出 x1=3，x 2=-2，x 3=1故 =3 1-2 2+因为 A 1=6 1，A 2=6 2，A=0 所以An=3A n 1-2An 2+An=36 n 1-26n 2=(-6n，6 n，-26 n)T)解析：已知随机变量 X的概率密
26、度为 （分数：11.01）(1).随机变量 X与 Y的联合概率密度 f(x，y)，X 与 Y是否独立，为什么?（分数：3.67）_正确答案：(由题设知：在 X=x(x0)的条件下，Y 的条件密度为*根据乘法公式得*由于*，故 X与 Y不独立)解析：(2).计算条件概率 与 （分数：3.67）_正确答案：(*其中*所以*)解析：(3).求证：Z=X-Y 服从参数 =1 的指数分布（分数：3.67）_正确答案：(通过计算 Z=X-Y的分布给出证明其方法有：方法一 (分布函数法)Z=X-Y 分布函数*当 z0 时，F Z(z)=0，当 z0 时，*综上得*由此可知 Z=X-Y服从参数 =1 的指数分
27、布方法二 (公式法)已知(X，Y)f(x，y)，则 Z=X-Y的概率密度*其中*由此可知：当 z0 时，f Z(z)=0；当 z0 时，*综上得*所以 Z=X-Y服从参数 =1 的指数分布)解析：19.一批产品需要通过检验才能出厂，检验员从产品中任取一件进行检验，取出产品为正品或次品的可能性一样由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率是 2%，一件次品被误判为正品的概率是 3%如果一产品经检验被判为次品，那么它无需再进行二次检验；如果检验被判定为正品，那么需要对它再进行二次检验，二次检验均判定为正品的产品才判为正品假设各次检验是相互独立的，检验员的检验水平不变试求对一产品进行检验，其检验次数的概率分布；（分数：11.00）_正确答案：(由题设知对一产品进行检验最多检验二次，所以检验次数 X可能取值为 1，2，且*若记 A=“取出产品为正品”，B i=“第 i次检验判定为正品”(i=1，2)依题设*=0.03，*由全概公式得*PX=2=1-0.495=0.505所以检验次数 X的概率分布为*)解析：
