1、考研数学三-75 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：22，分数：55.00)1.设数列x n 和y n 满足 ，则当 n时，y n 必为无穷小量的充分条件是_ Ax n 是无穷小量 B （分数：2.50）A.B.C.D.2.以下 3 个命题： 若数列u n 收敛于 A，则其任意子数列u ni 必定收敛于 A； 若单调数列x n 的某一子数列x ni 收敛于 A，则该数列必定收敛于 A； 若数列x 2n 与x 2n+1 都收敛于 A，则数列x n 必定收敛于 A正确的个数为_（分数：2.50）A.0B.1C.2D.33.设 f(x)是偶函数，(x)是奇函数
2、，则下列函数(假设都有意义)中，是奇函数的是_（分数：2.50）A.f(x)B.ff(x)C.f(x)D.(x)4.设 f(x)=sin(cosx)，(x)=cos(sinx)，则在区间 （分数：2.50）A.f(x)是增函数，(x)是减函数B.f(x)，(x)都是减函数C.f(x)是减函数，(x)是增函数D.f(x)，(x)都是增函数5.设在区间(-，+)内 f(x)0，且当 k 为大于 0 的常数时有 （分数：2.50）A.奇函数B.偶函数C.周期函数D.单调函数6.设 则_ A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.7.设 f(x)=u(x)+v(x)，g(x)=u(x)-v(x
3、)，并设 与 都不存在，下列论断正确的是_ A若 不存在，则 必存在 B若 不存在，则 必不存在 C若 存在，则 必不存在 D若 存在，则 （分数：2.50）A.B.C.D.8.两个无穷小量比较的结果是_（分数：2.50）A.同阶B.高阶C.低阶D.不确定9.函数 f(x)=xsinx_（分数：2.50）A.在(-，+)内无界B.在(-，+)内有界C.当 x时为无穷大D.当 x时极限存在10.极限 （分数：2.50）A.1B.1C.0D.与 无关11.设当 xx 0 时，f(x)不是无穷大，则下述结论正确的是_（分数：2.50）A.设当 xx0 时，g(x)是无穷小，则 f(x)g(x)必是无
4、穷小B.设当 xx0 时，g(x)不是无穷小，则 f(x)g(x)必不是无穷小C.设在 x=x0 的某邻域 g(x)无界，则当 xx0 时，f(x)g(x)必是无穷大D.设在 x=x0 的某邻域 g(x)有界，则当 xx0 时，f(x)g(x)必不是无穷大12.设函数 f(x)在点 x 0 的某邻域内有定义，且 f(x)在点 x 0 处间断，则在点 x 0 处必定间断的函数为_ A.f(x)sinx B.f(x)+sinx C.f2(x) D.|f(x)|（分数：2.50）A.B.C.D.13.设当 xx 0 时，(x)，(x)(x)0)都是无穷小，则当 xx 0 时，下列表达式中不一定为无穷
5、小的是_ A B （分数：2.50）A.B.C.D.14.设当 x0 时，e tanx -e x 与 x n 是同阶无穷小，则 n 为_（分数：2.50）A.1B.2C.3D.415.当 x0 时，f(x)=x-sinax 与 g(x)=x 2 ln(1-bx)是等价无穷小，则_ A B C D （分数：2.50）A.B.C.D.16.设当 x0 时，f(x)=ax 3 +bx 与 等价，则_ A Ba=3，b=0 C （分数：2.50）A.B.C.D.17.设当 x0 时，f(x)=ln(1+x 2 )-ln(1+sin 2 x)是 x 的 n 阶无穷小，则正整数 n 等于_（分数：2.50
6、）A.1B.2C.3D.418.若 在(-，+)上连续，且 （分数：2.50）A.0，k0B.0，k0C.0，k0D.0，k019.设 （分数：2.50）A.x=0，x=1 都是 f(x)的第一类间断点B.x=0，x=1 都是 f(x)的第二类间断点C.x=0 是 f(x)的第一类间断点，x=1 是 f(x)的第二类间断点D.x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点20.设 （分数：2.50）A.1 个可去间断点，1 个跳跃间断点B.1 个跳跃间断点，1 个无穷间断点C.2 个可去间断点D.2 个无穷间断点21.设 （分数：2.50）A.x=-1，x=0，x=1
7、为 f(x)的间断点B.x=-1 为无穷间断点C.x=0 为可去间断点D.x=1 为第一类间断点22.若 f(x)在(a，b)内单调有界，则 f(x)在(a，b)内间断点的类型只能是_（分数：2.50）A.第一类间断点B.第二类间断点C.既有第一类间断点也有第二类间断点D.结论不确定二、填空题(总题数：16，分数：45.00)23.设 f(x)是奇函数，且对一切 x 有 f(x+2)=f(x)+f(2)，又 f(1)=a，a 为常数，n 为整数，则 f(n)= 1 （分数：2.50）24.对充分大的一切 x，给出以下 5 个函数：100 x ，log 10 x 100 ，e 10x ，x 10
8、10 ， （分数：2.50）25. （分数：2.50）26. （分数：2.50）27. （分数：2.50）28. （分数：2.50）29. （分数：3.00）30. （分数：3.00）31. （分数：3.00）32.设 （分数：3.00）33.若当 x0 时，有 （分数：3.00）34.当 x0 时，若有 （分数：3.00）35.当 x-1 时，若有 （分数：3.00）36.当 x 时，若有 （分数：3.00）37.若 （分数：3.00）38.已知数列 （分数：3.00）考研数学三-75 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：22，分数：55.00)1.设数列
9、x n 和y n 满足 ，则当 n时，y n 必为无穷小量的充分条件是_ Ax n 是无穷小量 B （分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 若 是无穷小量，则 故(B)正确 若取 则满足 2.以下 3 个命题： 若数列u n 收敛于 A，则其任意子数列u ni 必定收敛于 A； 若单调数列x n 的某一子数列x ni 收敛于 A，则该数列必定收敛于 A； 若数列x 2n 与x 2n+1 都收敛于 A，则数列x n 必定收敛于 A正确的个数为_（分数：2.50）A.0B.1C.2D.3 解析：解析 对于命题，由数列收敛的定义可知，若数列u n 收敛于 A，则对任意给定的 0，存在自然数
10、N，当 nN 时，恒有|u n -A|，则当 n i N 时，恒有|u ni -A|，因此数列u ni 也收敛于 A，可知命题正确 对于命题，不妨设数列x n 为单调增加的，即 x 1 x 2 x n ，其中某一给定子数列x ni 收敛于 A，则对任意给定的 0，存在自然数 N，当 n i N 时，恒有|x ni -A| 由于数列x n 为单调增加的数列，对于任意的 nN，必定存在 n i nn i+1 ，有-x ni -Ax n -Ax ni+1 -A，从而|x n -A|可知数列x n 收敛于 A 因此命题正确 对于命题，因 由极限的定义可知，对于任意给定的 0，必定存在自然数 N 1 ，
11、N 2 ： 当 2nN 1 时，恒有|x 2n -A|； 当 2n+1N 2 时，恒有|x 2n+1 -A|； 取 N=maxN 1 ，N 2 ，则当 nN 时，总有|x n -A|因此 3.设 f(x)是偶函数，(x)是奇函数，则下列函数(假设都有意义)中，是奇函数的是_（分数：2.50）A.f(x)B.ff(x)C.f(x)D.(x) 解析：解析 令 g(x)=(x)，注意 (x)是奇函数，有 g(-x)=(-x)=-(x)=-(x)=-g(x) 因此 (x)为奇函数，同理可得 f(x)，ff(x)，f(x)均为偶函数答案选(D)4.设 f(x)=sin(cosx)，(x)=cos(sin
12、x)，则在区间 （分数：2.50）A.f(x)是增函数，(x)是减函数B.f(x)，(x)都是减函数 C.f(x)是减函数，(x)是增函数D.f(x)，(x)都是增函数解析：解析 注意在 内，sinx 是增函数，cosx 是减函数 任取 5.设在区间(-，+)内 f(x)0，且当 k 为大于 0 的常数时有 （分数：2.50）A.奇函数B.偶函数C.周期函数 D.单调函数解析：解析 因为6.设 则_ A B C D （分数：2.50）A.B.C.D. 解析：解析 7.设 f(x)=u(x)+v(x)，g(x)=u(x)-v(x)，并设 与 都不存在，下列论断正确的是_ A若 不存在，则 必存在
13、 B若 不存在，则 必不存在 C若 存在，则 必不存在 D若 存在，则 （分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 令 当 x0 时可排除(A)；令 当 x0 时可排除(B)；令8.两个无穷小量比较的结果是_（分数：2.50）A.同阶B.高阶C.低阶D.不确定 解析：解析 如 (x)x，当 x0 时，都是无穷小但9.函数 f(x)=xsinx_（分数：2.50）A.在(-，+)内无界 B.在(-，+)内有界C.当 x时为无穷大D.当 x时极限存在解析：解析 对于任意给定的正数 M，总存在着点 使|f(x n )|= 故 f(x)在(-，+)内无界 C 错，对于任意给定的正数 M，无论 x
14、取多么大的正数，总有 x n =|2n|x(只要 10.极限 （分数：2.50）A.1B.1 C.0D.与 无关解析：解析 令 则11.设当 xx 0 时，f(x)不是无穷大，则下述结论正确的是_（分数：2.50）A.设当 xx0 时，g(x)是无穷小，则 f(x)g(x)必是无穷小B.设当 xx0 时，g(x)不是无穷小，则 f(x)g(x)必不是无穷小C.设在 x=x0 的某邻域 g(x)无界，则当 xx0 时，f(x)g(x)必是无穷大D.设在 x=x0 的某邻域 g(x)有界，则当 xx0 时，f(x)g(x)必不是无穷大 解析：解析 设 当 x0 时为无界变量，不是无穷大令 g(x)
15、=x，当 x0 时为无穷小，可排除(A)设 x0 时，令 f(x)=x 2 ， 12.设函数 f(x)在点 x 0 的某邻域内有定义，且 f(x)在点 x 0 处间断，则在点 x 0 处必定间断的函数为_ A.f(x)sinx B.f(x)+sinx C.f2(x) D.|f(x)|（分数：2.50）A.B. C.D.解析：解析 方法一 若 f(x)+sinx 在点 x 0 处连续，则 f(x)=f(x)+sinx-sinx 在点 x 0 处也连续，与已知矛盾 方法二 排除法设 则 f(x)在点 x=0 处间断，f(x)sinx=0 在 x=0 处连续若设 13.设当 xx 0 时，(x)，(
16、x)(x)0)都是无穷小，则当 xx 0 时，下列表达式中不一定为无穷小的是_ A B （分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 有限个无穷小的和、差、积、绝对值还是无穷小量14.设当 x0 时，e tanx -e x 与 x n 是同阶无穷小，则 n 为_（分数：2.50）A.1B.2C.3 D.4解析：解析 则 n=3 时， 15.当 x0 时，f(x)=x-sinax 与 g(x)=x 2 ln(1-bx)是等价无穷小，则_ A B C D （分数：2.50）A. B.C.D.解析：解析 由泰勒公式 故 16.设当 x0 时，f(x)=ax 3 +bx 与 等价，则_ A Ba=3
17、，b=0 C （分数：2.50）A.B.C. D.解析：解析 由于 当 b0 时，该极限为，于是，b=0 从而 17.设当 x0 时，f(x)=ln(1+x 2 )-ln(1+sin 2 x)是 x 的 n 阶无穷小，则正整数 n 等于_（分数：2.50）A.1B.2C.3D.4 解析：解析 18.若 在(-，+)上连续，且 （分数：2.50）A.0，k0B.0，k0C.0，k0D.0，k0 解析：解析 分母不为零，故 0；又19.设 （分数：2.50）A.x=0，x=1 都是 f(x)的第一类间断点B.x=0，x=1 都是 f(x)的第二类间断点C.x=0 是 f(x)的第一类间断点，x=1
18、 是 f(x)的第二类间断点D.x=0 是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点 解析：解析 由 f(x)的表达式可知 x=0，x=1 为其间断点 20.设 （分数：2.50）A.1 个可去间断点，1 个跳跃间断点 B.1 个跳跃间断点，1 个无穷间断点C.2 个可去间断点D.2 个无穷间断点解析：解析 x=0 和 x=1 为 f(x)的间断点，其余点连续 则 x=0 为可去间断点 21.设 （分数：2.50）A.x=-1，x=0，x=1 为 f(x)的间断点B.x=-1 为无穷间断点C.x=0 为可去间断点 D.x=1 为第一类间断点解析：解析 去掉绝对值符号，将 f(
19、x)写成分段函数， 则 22.若 f(x)在(a，b)内单调有界，则 f(x)在(a，b)内间断点的类型只能是_（分数：2.50）A.第一类间断点 B.第二类间断点C.既有第一类间断点也有第二类间断点D.结论不确定解析：解析 不妨设 f(x)单调增加，且|f(x)|M，对任一点 x 0 (a，b)，当 时，f(x)随着 x增加而增加且有上界，故 存在；当 时，f(x)随着 x 减小而减小且有下界，故 二、填空题(总题数：16，分数：45.00)23.设 f(x)是奇函数，且对一切 x 有 f(x+2)=f(x)+f(2)，又 f(1)=a，a 为常数，n 为整数，则 f(n)= 1 （分数：2
20、.50）解析：na 解析 令 x=-1，则 f(1)=f(-1)+f(2)，因 f(x)是奇函数，得到 f(2)=f(1)-f(-1)=2f(1)=2a 再令 x=1，则 f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3a，现用数学归纳法证明 f(n)=na 当 n=1，2，3 时，已知或者已证假设 nk 时，有 f(k)=ka 当 n=k+1 时， f(k+1)=f(k-1)+f(2)=(k-1)a+2a=(k+1)a， 故对一切正整数 n，有 f(n)=na 令 x=0，则 f(2)=f(0)+f(2)，即 f(0)=0=0a，又 f(x)是奇函数，故对一切负整数 n 有 f(n)=-f(-n
21、)=-(-na)=na 所以对一切整数 n，均有 f(n)=na24.对充分大的一切 x，给出以下 5 个函数：100 x ，log 10 x 100 ，e 10x ，x 1010 ， （分数：2.50）解析：解析 当 x 充分大时，有重要关系： 其中 ，0，故本题填25. （分数：2.50）解析：解析 26. （分数：2.50）解析：0解析 27. （分数：2.50）解析：e 6 解析 28. （分数：2.50）解析：解析 29. （分数：3.00）解析：解析 30. （分数：3.00）解析：e 6 解析 31. （分数：3.00）解析：2 解析 32.设 （分数：3.00）解析：解析 所以 =5，33.若当 x0 时，有 （分数：3.00）解析：-3 解析 当 x0 时， 34.当 x0 时，若有 （分数：3.00）解析：2解析 则 k=2，35.当 x-1 时，若有 （分数：3.00）解析： 1 解析 当 x-1 时， 故 36.当 x 时，若有 （分数：3.00）解析： 2 解析 当 x 时， 故 37.若 （分数：3.00）解析：1解析 f(x)在零点处连续，可得38.已知数列 （分数：3.00）解析： 解析 因为 而 所以
