1、考研数学三-77 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：40，分数：100.00)1.求极限 （分数：2.00）_2.求极限 （分数：2.00）_3.求极限 （分数：2.00）_4.求极限 （分数：2.00）_5.求极限 （分数：2.00）_6.求极限 （分数：2.50）_7.求极限 （分数：2.50）_8.设 求 （分数：2.50）_9.已知 存在，且 （分数：2.50）_10.设 f(x)是三次多项式，且有 求 （分数：2.50）_11.设 （分数：2.50）_12.设 （分数：2.50）_13.确定常数 a和 b的值，使 （分数：2.50）_14.设函
2、数 （分数：2.50）_15. （分数：2.50）_16.已知 （分数：2.50）_17. （分数：2.50）_18.已知数列x n 的通项 （分数：2.50）_19.设 a 1 =2， ，证明： （分数：2.50）_20.设 x 1 =1， （分数：2.50）_21.如果数列x n 收敛，y n 发散，那么x n y n 是否一定发散?如果x n 和y n 都发散，那么x n y n 的敛散性又将如何? （分数：2.50）_22.分段函数一定不是初等函数，若正确，试证之；若不正确，试说明它们之间的关系? （分数：2.50）_23. （分数：2.50）_已知数列x n 的通项 （分数：5.00
3、）(1).证明 （分数：2.50）_(2).计算 （分数：2.50）_24.利用夹逼准则证明： （分数：2.50）_25.设 f(x)在 x=0处二阶导数连续，且 试求 f(0)，f“(0)，f“(0)以及极限 （分数：2.50）_26.设 a0，x 1 0， ，n=1，2，试求 （分数：2.50）_27.试讨论函数 （分数：2.50）_28.求函数 （分数：2.50）_29.求函数 （分数：2.50）_30.已知 （分数：2.50）_31.设 （分数：2.50）_32.设函数 f(x)连续可导，且 f(0)=0， ，求 （分数：2.50）_33.设 （分数：2.50）_34.设 （分数：2.
4、50）_35.求 （分数：2.50）_36.设 ，其中(x-1)(t-1)0，xt，函数 f(x)由下列表达式确定， （分数：2.50）_37.设函数 f(x)在a，b上连续，x 1 ，x 2 ，x n ，是a，b上一个点列，求 （分数：2.50）_38.设函数 f(x)在 0x1 时 f(x)=x sinx ，其他的 x满足关系式 f(x)+k=2f(x+1)，试求常数 k使极限 （分数：2.50）_39.设 f(x)对一切 x 1 ，x 2 满足 f(x 1 +x 2 )=f(x 1 )+f(x 2 )，并且 f(x)在 x=0处连续证明：函数f(x)在任意点 x 0 处连续 （分数：2.
5、50）_考研数学三-77 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：40，分数：100.00)1.求极限 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】 而 故 2.求极限 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】为了在使用洛必达法则时使求导变得简单，先做变量代换，令 从而3.求极限 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】此题为 型未定式，若用洛必达法则，则 连续使用完两次法则，又回到了起点，法则失效，正确的做法是先对式子恒等变形分子分母同乘e -x ， 4.求极限 （分数：2.00）_正确答案：()解析：【解】5.求极限 （分数：2.00）_正确答
6、案：()解析：【解】 因为 6.求极限 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】设函数 y=sint，在 上连续，在 内可导，满足拉格朗日中值定理的条件故7.求极限 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】方法一 原极限等价于求 令 f(t)=arctant， 由拉格朗日中值定理可得 方法二 令 则 所以 8.设 求 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】因为 所以 其中 又 x0 时， a x -1=e xlna -1xlna 这样 所以 因此 f(x)(a Ax -1)sinxAxlnasinx， 于是得到 9.已知 存在，且 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【
7、解】设 则 由 解得 因此 10.设 f(x)是三次多项式，且有 求 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】因为 所以 f(2a)=f(4a)=0，从而得知 x-2a，x-4a 为 f(x)的因式又因为 f(x)为三次多项式，可令 f(x)=b(x-2a)(x-4a)(x-c)于是 解得 所以 这样 11.设 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】因为 所以 故 a=1 又 12.设 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】 显然由条件知 0，而 因此有 -+1=0，且 13.确定常数 a和 b的值，使 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】 于是 代入即得 即
8、解得 14.设函数 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】 故 15. （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】 而 16.已知 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】 故 17. （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】先看 设 当 x+时，t0 + ，有 故由归结原则， 18.已知数列x n 的通项 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】 因为 故由夹逼准则有 19.设 a 1 =2， ，证明： （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】因为 所以a n 有下界下面再证明a n 单调递减 即 a n+1 a n ，所以 存在，令 代入 得 20.设
9、x 1 =1， （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】 假设 x n x n-1 ，则 即 x n+1 x n ，由数学归纳法可知对一切 n，都有 x n+1 x n 又 所以x n 单调增加且有上界，x n 必收敛记 对等式 两边取极限，得 a=1+ 即 a 2 -a-1=0解得 因 x n 1，故负值不合题意，于是 21.如果数列x n 收敛，y n 发散，那么x n y n 是否一定发散?如果x n 和y n 都发散，那么x n y n 的敛散性又将如何? （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】在题设两种情况下，x n y n 的敛散性都不能确定现在先就x n 收敛，y
10、n 发散的情况来分析利用 这个恒等式，就可得到下述结论：若x n 收敛且不收敛于零，y n 发散，则x n y n 必发散这是因为若x n y n 收敛，且又x n 收敛而极限不等于零，则从上述恒等式及极限相除法则，可知y n 收敛，这与假设矛盾若 且y n 发散，则x n y n 可能收敛，也可能发散，如： y n =n，则 x n y n =1，于是x n y n 收敛 y n =(-1) n n，则 x n y n =(-1) n ，于是x n y n 发散 现在再就x n 和y n 都发散的情况来分析x n y n 的敛散性有下面的结论：若x n 和y n 都发散，且两者至少有一个是无
11、穷大，则x n y n 必发散这是因为如果x n y n 收敛，而x n 为无穷大，从等式 22.分段函数一定不是初等函数，若正确，试证之；若不正确，试说明它们之间的关系? （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】不正确初等函数是指由常数及基本初等函数经有限次四则运算及有限次复合步骤所得到的，并用一个式子表示的函数分段函数虽用几个表达式表示，但并不能说肯定不能用一个表达式表示，因此，分段函数可能是初等函数，也可能不是初等函数，如 (x)=|x|，通常写成分段函数的形式 但也可以写成一个表达式 所以函数 (x)=|x|是初等函数而23. （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】 而
12、又 且 由夹逼准则， 已知数列x n 的通项 （分数：5.00）(1).证明 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】(2).计算 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】 又 故 24.利用夹逼准则证明： （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】 因 故 且当 n时，左边和右边的极限都是 25.设 f(x)在 x=0处二阶导数连续，且 试求 f(0)，f“(0)，f“(0)以及极限 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】如果 所以必有 所以，这是“1 型未定式 由 得 f(0)=0将原极限凑成第二个重要极限， 其中 所以必有 于是有 从而得 f“(0)=0，f“(0
13、)=4 26.设 a0，x 1 0， ，n=1，2，试求 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】 故x n 有下界，又 故x n 单减，所以 存在 设 于是 解得 故 27.试讨论函数 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】 28.求函数 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】对于函数 F(x)的分段点 x=0，因 故 x=0是函数 F(x)的跳跃间断点 当 x0 时， 在 x=1处没有定义，且极限 不存在故 x=1是函数 F(x)的振荡间断点 当 x0 时， 在点列 处没有定义，则这些点都是函数 F(x)的间断点特别对点 ，令 有 故 是函数 F(x)的可去间断点；而
14、点列 29.求函数 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】显然 f(0)无意义 当 x0 时， 而 则 x=0为可去间断点 30.已知 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】当 x=1时， 当|x|1 时， 当|x|1 时， 当 x=-1时， 于是 只需讨论分界点处的连续性： x=1处，有 要使 f(x)在,x=1 处连续，则 a+b=1 x=-1处，有 要使 f(x)在 x=-1处连续，则 a-b=-1 故解得 a=0，b=1，此时 31.设 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】 故 x=0为可去间断点 32.设函数 f(x)连续可导，且 f(0)=0， ，求 （分
15、数：2.50）_正确答案：()解析：【解】令 x n -t n =u，则 于是 33.设 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】当|x|1 时， 所以 f(x)=sinax； 当|x|1 时， 又 f(1)=1，f(-1)=-1，所以 由此可见，f(x)在(-，-1，(-1，1)，1，+)内连续，故只需 f(x)在 x=-1，x=1 两点连续即可因为 所以， 34.设 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】f(x)存(-1，0)，(0，1)及(1，+)都是初等函数，是连续的f(0)无定义，故 x=0是间断点因为 所以 x=0为跳跃间断点 f(1)无定义，故 x=1是间断点因为
16、35.求 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】f(x)无定义的点是使 1-x=0和 的点，即 x=1和 x=0，所以 f(x)的连续区间为(-，O)(0，1)(1，+)当 x0 时， 所以 所以 x=0是无穷间断点 当 x1 - 时， 所以 f(1 - )=0； 当 x1 + 时， 36.设 ，其中(x-1)(t-1)0，xt，函数 f(x)由下列表达式确定， （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】 显然 x=1为间断点，连续区间(-，1)(1，+) 37.设函数 f(x)在a，b上连续，x 1 ，x 2 ，x n ，是a，b上一个点列，求 （分数：2.50）_正确答案：()
17、解析：【解】本题考虑夹逼准则由 f(x)在a，b上连续，知 e f(x) 在a，b上非负连续，且 0me f(x) M，其中 M，m 分别为 e f(x) 在a，b上的最大值和最小值，于是 故 由 根据夹逼准则，得 38.设函数 f(x)在 0x1 时 f(x)=x sinx ，其他的 x满足关系式 f(x)+k=2f(x+1)，试求常数 k使极限 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】因求“0 0 ”型未定式极限的常用方法是将该类幂指函数 u(x) v(x) 化为复合函数 e v(x)lnu(x) ，故 其中，通过等价无穷小替换与洛必达法则求得： 根据题设的关系式 f(x)=2f(x
18、+1)-k，得 由上述结果 f(x)在 x=0处右极限 f(0 + )=1；而其左极限 由于极限 39.设 f(x)对一切 x 1 ，x 2 满足 f(x 1 +x 2 )=f(x 1 )+f(x 2 )，并且 f(x)在 x=0处连续证明：函数f(x)在任意点 x 0 处连续 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】已知 f(x 1 +x 2 )=f(x 1 )+f(x 2 )，令 x 2 =0，则 f(x 1 )=f(x 1 )+f(0)，可得 f(0)=0，又 f(x)在 x=0处连续，则有 而 f(x 0 +x)-f(x 0 )=f(x 0 )+f(x)-f(x 0 )=f(x)，两边取极限得到
