1、考研数学三线性代数(向量)-试卷 2 及答案解析(总分:58.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:12,分数:24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.现有四个向量组 (1,2,3) T ,(3,-1,5) T ,(0,4,-2) T ,(1,3,0) T (a,1,b,0,0) T ,(c,0,d,2,0) T ,(e,0,f,0,3) T (a,1,2,3) T ,(b,1,2,3) T ,(c,3,4,5) T ,(d,0,0,0) T (1,0,3,1) T ,(-1,3,0,-2) T ,(2,1,7,2) T ,(
2、4,2,14,5) T 则下列结论正确的是( )(分数:2.00)A.线性相关的向量组为;线性无关的向量组为B.线性相关的向量组为;线性无关的向量组为C.线性相关的向量组为;线性无关的向量组为D.线性相关的向量组为;线性无关的向量组为3.设向量组(I): 1 =(a 11 ,a 12 ,a 13 ), 2 =(a 21 ,a 22 ,a 23 ), 3 =(a 31 ,a 32 ,a 33 );向量组(): 1 =(a 11 ,a 12 ,a 13 ,a 14 ), 2 =(a 21 ,a 22 ,a 23 ,a 24 ),=(a 31 ,a 32 ,a 33 ,a 34 ,),则正确的命题是
3、( ) (分数:2.00)A.B.C.D.4.设向量组 1 , 2 , 3 线性无关,则下列向量组中线性无关的是( )(分数:2.00)A. 1 - 2 , 2 - 3 , 3 - 1B. 1 - 2 , 2 + 3 , 3 + 1C. 1 + 2 ,3 1 -5 2 ,5 1 +9 2D. 1 + 2 ,2 1 +3 2 +4 3 , 1 - 2 -2 35.设 A 是 mn 矩阵,B 是 nm 矩阵,且满足 AB=E,则( )(分数:2.00)A.A 的列向量组线性无关,B 的行向量组线性无关B.A 的列向量组线性无关,B 的列向量组线性无关C.A 的行向量组线性无关,B 的列向量组线性无
4、关D.A 的行向量组线性无关,B 的行向量组线性无关6.设向量组 1 , 2 , 3 线性无关,向量 1 可由 1 , 2 , 3 线性表示,向量 2 不能由 1 , 2 , 3 线性表示,则必有( )(分数:2.00)A. 1 , 2 , 1 线性无关B. 1 , 2 , 2 线性无关C. 2 , 3 , 1 , 2 线性相关D. 1 , 2 , 3 , 1 + 2 线性相关7.设 A,B 为 n 阶方阵,设 P,Q 为 n 阶可逆矩阵,下列命题不正确的是( )(分数:2.00)A.若 B=AQ,则 A 的列向量组与 B 的列向量组等价B.若 B=PA,则 A 的行向量组与 B 的行向量组等
5、价C.若 B=PAQ,则 A 的行(列)向量组与 B 的行(列)向量组等价D.若 A 的行(列)向量组与矩阵 B 的行(列)向量组等价,则矩阵 A 与 B 等价8.向量组 1 =(1,3,5,-1) T , 2 =(2,-1,-3,4) T , 3 =(6,4,4,6) T , 4 =(7,7,9,1) T , 5 =(3,2,2,3) T 的极大线性无关组是( )(分数:2.00)A. 1 , 2 , 5B. 1 , 3 , 5C. 2 , 3 , 4D. 3 , 4 , 59.设 n(n3)阶矩阵 若矩阵 A 的秩为 n-1,则 a 必为( ) (分数:2.00)A.B.C.D.10.设
6、n 阶矩阵 A 与 B 等价,则必有( )(分数:2.00)A.当Aa(a0)时,B=aB.当A=a(a0)时,B=-aC.当A0 时,B=0D.当A=0 时,B=011.假设 A 是 n 阶方阵,其秩 r(A)n,那么在 A 的 n 个行向量中( )(分数:2.00)A.必有 r 个行向量线性无关B.任意 r 个行向量线性无关C.任意 r 个行向量都构成最大线性无关向量组D.任何一个行向量都可以由其他 r 个行向量线性表示12.设向量组: 1 , 2 , r 可由向量组: 1 , 2 , s 线性表示,则( )(分数:2.00)A.当 rs 时,向量组必线性相关B.当 rs 时,向量组必线性
7、相关C.当 rs 时,向量组必线性相关D.当 rs 时,向量组必线性相关二、填空题(总题数:7,分数:14.00)13.已知向量组 1 = (分数:2.00)填空项 1:_14.已知向量组 1 =(2,3,4,5) T , 2 =(3,4,5,6) T , 3 =(4,5,6,7) T , 4 =(5,6,7,8) T ,则向量组 r( 1 , 2 , 3 , 2 )= 1(分数:2.00)填空项 1:_15.任意一个 3 维向量都可以用 1 =(1,0,1) T , 2 =(1,-2,3) T , 3 =(0,1,2) T 线性表示,则 a 的取值为 1(分数:2.00)填空项 1:_16.
8、已知向量组 1 =(1,2,-1,1) T , 2 =(2,0,t,0) T , 3 =(0,-4,5,t) T 线性无关,则 t 的取值为 1(分数:2.00)填空项 1:_17.若 1 =(1,0,5,2) T , 2 =(3,-2,3,-4) T , 3 =(-1,1,t,3) T 线性相关,则未知数t= 1(分数:2.00)填空项 1:_18.向量组 1 =(1,-2,0,3) T , 2 =(2,-5,-3,6) T , 3 =(0,1,3,0) T , 4 =(2,-1,4,7) T 的一个极大线性无关组是 1(分数:2.00)填空项 1:_19.若向量组 1 =(1,-1,2,4
9、) T , 2 =(0,3,1,2) T , 3 =(3,0,7,a) T , 4 =(1,-2,2,0) T 线性无关,则未知数 a 的取值范围是 1(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:10,分数:20.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_21.设非齐次线性方程组 AX=B 的系数矩阵的秩为 r, 1 , n-r+1 是它的 n-r+1 个线性无关的解试证它的任一解可表示为 x=k 1 1 +k n-r+1 n-+1 (其中 k 1 +k n-r+1 =1)(分数:2.00)_22.设 A 是 n 阶矩阵,若存在正整数 k,使线性方程
10、组 A k x=0 有解向量 ,且 A k-1 0证明:向量组 ,A,A k-1 是线性无关的(分数:2.00)_23.设 1 , 2 , n 是一组 n 维向量,已知 n 维单位坐标向量 e 1 ,e 2 ,e n 能由它们线性表示,证明 1 , 2 , n 线性无关(分数:2.00)_24.设 1 , 2 , n 是一组 n 维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是任一 n 维向量都可由它们线性表示(分数:2.00)_25.设向量组 1 , 2 , m 线性相关,且 1 0,证明存在某个向量 k (2km),使 k 能由 1 , 2 , k-1 线性表示(分数:2.00)_26.设向量组
11、B:b 1 ,b r 能由向量组 A: 1 , s 线性表示为(b 1 ,b r )=( 1 , s )K,其中 K 为 sr 矩阵,且向量组 A 组线性无关证明向量组 B 线性无关的充分必要条件是矩阵 K 的秩 r(K)=r(分数:2.00)_27.设 (分数:2.00)_28.设 A,B 均是 n 阶矩阵,且 r(A)+r(B)n,证明 A,B 有公共的特征向量(分数:2.00)_29.已知 n 元齐次线性方程组 Ax=0 的解全是 A 2 x=0 的解,证明 A 2 的行向量可以由 A 2 的行向量线性表示(分数:2.00)_考研数学三线性代数(向量)-试卷 2 答案解析(总分:58.0
12、0,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:12,分数:24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.现有四个向量组 (1,2,3) T ,(3,-1,5) T ,(0,4,-2) T ,(1,3,0) T (a,1,b,0,0) T ,(c,0,d,2,0) T ,(e,0,f,0,3) T (a,1,2,3) T ,(b,1,2,3) T ,(c,3,4,5) T ,(d,0,0,0) T (1,0,3,1) T ,(-1,3,0,-2) T ,(2,1,7,2) T ,(4,2,14,5) T 则下列结论正确的是( )(分数:2
13、.00)A.线性相关的向量组为;线性无关的向量组为B.线性相关的向量组为;线性无关的向量组为C.线性相关的向量组为;线性无关的向量组为D.线性相关的向量组为;线性无关的向量组为 解析:解析:向量组是四个三维向量,从而线性相关,可排除 B 由于(1,0,0),(0,2,0),(0,0,3)线性无关,添上两个分量就可得向量组,故向量组线性无关所以应排除 C 向量组中前两个向量之差与最后一个向量对应分量成比例,于是 1 , 2 , 3 线性相关,那么添加 3 后,向量组必线性相关应排除 A 由排除法,所以应选 D3.设向量组(I): 1 =(a 11 ,a 12 ,a 13 ), 2 =(a 21
14、,a 22 ,a 23 ), 3 =(a 31 ,a 32 ,a 33 );向量组(): 1 =(a 11 ,a 12 ,a 13 ,a 14 ), 2 =(a 21 ,a 22 ,a 23 ,a 24 ),=(a 31 ,a 32 ,a 33 ,a 34 ,),则正确的命题是( ) (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析:由于 A、C 两个命题互为逆否命题,一个命题与它的逆否命题同真同假,而本题要求有且仅有一个命题是正确的,所以 A、C 均错误如设有向量组: 1 =(1,0,0), 2 =(0,1,0), 3 =(0,0,0)与 1 =(1,0,0,0), 2 =(0,1,0,0),
15、 3 =(0,0,0,1)显然 r( 1 , 2 , 3 )=2,r( 1 , 2 , 3 )=3 即当 1 , 2 , 3 线性相关时,其延伸组 1 , 2 , 3 可以线性无关,因此,A、C 错误 如果 1 , 2 , 3 线性相关,即有不全为 0 的 x 1 ,x 2 ,x 3 ,使 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =0,即方程组 有非零解,那么齐次方程组 4.设向量组 1 , 2 , 3 线性无关,则下列向量组中线性无关的是( )(分数:2.00)A. 1 - 2 , 2 - 3 , 3 - 1B. 1 - 2 , 2 + 3 , 3 + 1C. 1 + 2 ,3 1 -5 2
16、 ,5 1 +9 2D. 1 + 2 ,2 1 +3 2 +4 3 , 1 - 2 -2 3 解析:解析:通过已知选项可知 ( 1 - 2 )+( 2 - 3 )+( 3 - 1 )=0, ( 1 - 2 )+( 2 + 3 )-( 3 + 1 )=0, 因此选项 A、B 中的向量组均线性相关 对于选项 C,可设 1 = 1 + 2 , 2 =3 1 -5 2 , 3 =5 1 +9 2 ,即 1 , 2 , 3 三个向量可由 1 , 2 两个向量线性表示,所以 1 , 2 , 3 必线性相关,即 1 + 2 ,3 1 -5 2 ,5 1 +9 2 必线性相关 因而用排除法可知应选 D5.设
17、A 是 mn 矩阵,B 是 nm 矩阵,且满足 AB=E,则( )(分数:2.00)A.A 的列向量组线性无关,B 的行向量组线性无关B.A 的列向量组线性无关,B 的列向量组线性无关C.A 的行向量组线性无关,B 的列向量组线性无关 D.A 的行向量组线性无关,B 的行向量组线性无关解析:解析:因为 AB=E 是 m 阶方阵,所以 r(AB)=m且有 r(A)r(AB)=m,又因 r(A)m,故 r(A)=m 于是根据矩阵的性质,A 的行秩=r(A)=m,所以 A 的行向量组线性无关 同理,B 的列秩=r(B)=m,所以 B的列向量组线性无关 所以应选 C6.设向量组 1 , 2 , 3 线
18、性无关,向量 1 可由 1 , 2 , 3 线性表示,向量 2 不能由 1 , 2 , 3 线性表示,则必有( )(分数:2.00)A. 1 , 2 , 1 线性无关B. 1 , 2 , 2 线性无关 C. 2 , 3 , 1 , 2 线性相关D. 1 , 2 , 3 , 1 + 2 线性相关解析:解析:由于 1 , 2 , 3 线性无关, 2 不能由 1 , 2 , 3 线性表示知, 1 , 2 , 3 , 2 线性无关,从而部分组 1 , 2 , 2 线性无关,故 B 为正确答案下面证明其他选项的不正确性 取 1 =(1,0,0,0) T , 2 =(0,1,0,0) T , 3 =(0,
19、0,1,0) T , 2 =(0,0,0,1) T , 1 = 1 ,知选项 A 与 C 错误 对于选项 D,由于 1 , 2 , 3 线性无关,若 1 , 2 , 3 , 1 + 2 线性相关,则 1 + 2 可由 1 , 2 , 3 线性表示,而 1 可由 1 , 2 , 3 线性表示,从而 2 可由 1 , 2 , 3 线性表示,与假设矛盾,从而 D 错误 所以应选 B7.设 A,B 为 n 阶方阵,设 P,Q 为 n 阶可逆矩阵,下列命题不正确的是( )(分数:2.00)A.若 B=AQ,则 A 的列向量组与 B 的列向量组等价B.若 B=PA,则 A 的行向量组与 B 的行向量组等价
20、C.若 B=PAQ,则 A 的行(列)向量组与 B 的行(列)向量组等价 D.若 A 的行(列)向量组与矩阵 B 的行(列)向量组等价,则矩阵 A 与 B 等价解析:解析:将等式 B=AQ 中的 A、B 按列分块,设 A=( 1 , 2 , n ),B=( 1 , 2 , n ),则有( 1 , 2 , n )=( 1 , 2 , n ) 表明向量组 1 , 2 , n 可由向量组 1 , 2 , n 线性表示,表示的系数依次为 Q 的第一列至第 n 列所对应的各元素由于 Q 可逆,从而有 A=BQ -1 ,即( 1 , 2 , n )=( 1 , 2 , n )Q -1 ,表明向量组 1 ,
21、 2 , n 可由向量组 1 , 2 , n 线性表示,因此这两个向量组等价,故选项 A 的命题正确 类似地,对于 PA=B,将 A 与 B 按行分块可得出 A 与 B 的行向量组等价,从而选项 B 的命题正确 下例可表明选项 C 的命题不正确 8.向量组 1 =(1,3,5,-1) T , 2 =(2,-1,-3,4) T , 3 =(6,4,4,6) T , 4 =(7,7,9,1) T , 5 =(3,2,2,3) T 的极大线性无关组是( )(分数:2.00)A. 1 , 2 , 5B. 1 , 3 , 5C. 2 , 3 , 4 D. 3 , 4 , 5解析:解析:对向量组的列向量作
22、初等行变换,有 可见秩 r( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 )=3 又因为三阶子式 9.设 n(n3)阶矩阵 若矩阵 A 的秩为 n-1,则 a 必为( ) (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析:对矩阵 A 的行列式作初等列变换,即把行列式A的第 2,3,n 列加到第 1 列上,提取公因式(n-1)a+1,得10.设 n 阶矩阵 A 与 B 等价,则必有( )(分数:2.00)A.当Aa(a0)时,B=aB.当A=a(a0)时,B=-aC.当A0 时,B=0D.当A=0 时,B=0 解析:解析:因为当A=0 时,r(A)n,又由题,设矩阵 A 与 B 等价,故 r(B)n,从而
23、B=0,所以应选 D11.假设 A 是 n 阶方阵,其秩 r(A)n,那么在 A 的 n 个行向量中( )(分数:2.00)A.必有 r 个行向量线性无关 B.任意 r 个行向量线性无关C.任意 r 个行向量都构成最大线性无关向量组D.任何一个行向量都可以由其他 r 个行向量线性表示解析:解析:由矩阵秩的定义可知,A 的 n 个行向量组成的向量组的秩也为 r,再由向量组秩的定义,这n 个向量中必然存在 r 个线性无关的向量,所以应选 A12.设向量组: 1 , 2 , r 可由向量组: 1 , 2 , s 线性表示,则( )(分数:2.00)A.当 rs 时,向量组必线性相关B.当 rs 时,
24、向量组必线性相关C.当 rs 时,向量组必线性相关D.当 rs 时,向量组必线性相关 解析:解析:因为向量组可由向量组线性表示,故 r()r()s 又因为当 rs 时,必有 r()r,即向量组的秩小于其所含向量的个数,此时向量组必线性相关,所以应选 D二、填空题(总题数:7,分数:14.00)13.已知向量组 1 = (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:-2)解析:解析:对向量组构成的矩阵作初等行交换14.已知向量组 1 =(2,3,4,5) T , 2 =(3,4,5,6) T , 3 =(4,5,6,7) T , 4 =(5,6,7,8) T ,则向量组 r( 1 ,
25、2 , 3 , 2 )= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2)解析:解析:根据初等变换的性质可知,初等变换不改变向量组或矩阵的秩,则可以通过初等变换将向量构成的矩阵化为阶梯形矩阵来求秩,即 15.任意一个 3 维向量都可以用 1 =(1,0,1) T , 2 =(1,-2,3) T , 3 =(0,1,2) T 线性表示,则 a 的取值为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:a3)解析:解析:任意一个 3 维向量都可以用 1 =(1,0,1) T , 2 =(1,-2,3) T , 3 =(a,1,2) T 线性表示, 即对于任意的向量 ,方程组
26、 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 = 有解,也就是对于任意的,r( 1 , 2 , 3 )=r( 1 , 2 , 3 ,)=3,因此 16.已知向量组 1 =(1,2,-1,1) T , 2 =(2,0,t,0) T , 3 =(0,-4,5,t) T 线性无关,则 t 的取值为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:(-,+))解析:解析:由于向量的个数与维数不相等,因此不能用行列式去分析,而需要用齐次方程组只有零解,或者矩阵的秩的特性来分析17.若 1 =(1,0,5,2) T , 2 =(3,-2,3,-4) T , 3 =(-1,1,t,3) T 线性相关,
27、则未知数t= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:l)解析:解析: 1 , 2 , 3 线性相关的充分必要条件是齐次方程组 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =0 有非零解将系数矩阵通过初等行变换化为阶梯形矩阵,则有 18.向量组 1 =(1,-2,0,3) T , 2 =(2,-5,-3,6) T , 3 =(0,1,3,0) T , 4 =(2,-1,4,7) T 的一个极大线性无关组是 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: 1 , 2 , 4)解析:解析:用已知向量组组成一个矩阵,对矩阵作初等行变换,则有 19.若向量组 1 =(1,-1
28、,2,4) T , 2 =(0,3,1,2) T , 3 =(3,0,7,a) T , 4 =(1,-2,2,0) T 线性无关,则未知数 a 的取值范围是 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:a14)解析:解析:n 个 n 维向量线性无关的充分必要条件是以这 n 个向量组成的矩阵对应的行列式不为 0,由于已知的四个向量对应的矩阵行列式为 ,计算该行列式可得三、解答题(总题数:10,分数:20.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:21.设非齐次线性方程组 AX=B 的系数矩阵的秩为 r, 1 , n-r+1 是它的 n-r+
29、1 个线性无关的解试证它的任一解可表示为 x=k 1 1 +k n-r+1 n-+1 (其中 k 1 +k n-r+1 =1)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 x 为 Ax=b 的任一解,由题设知 1 , 2 , n-r+1 线性无关且均为Ax=b 的解取 1 = 2 - 1 , 2 = 3 - 1 , n-r = n-r+1 - 1 ,根据线性方程解的结构,则它们均为对应齐次 方程 Ax=0 的解 下面用反证法证: 设 1 , 2 , n-r 线性相关,则存在不全为零的数 l 1 ,l 2 ,l n-r ,使得 l 1 1 +l 2 2 +l n-r n-r =0,即 l 1 (
30、 2 - 1 )+l 2 ( 3 - 1 )+l n-r ( n-r+1 - 1 )=0,亦即-(l 1 +l 2 +l n-r ) 1 +l 1 2 +l 2 3 +l n-r n-r+1 =0 由 1 , 2 , n-r+1 线性无关知-(l 1 +l 2 +l n-r )=l 1 =l 2 =l n-r =0,与 l 1 ,l 2 ,l n-r 不全为零矛盾,故假设不成立因此 1 , 2 , n-r 线性无关,是 Ax=0 的一组基 由于 x, 1 均为 Ax=b 的解,所以 x- 1 为 Ax=0 的解,因此 x- 1 可由 1 , 2 , n-r 线性表示,设 x- 1 =k 2 1
31、 +k 3 2 +k n-r+1 n-r =k 2 ( 2 - 1 )+k 3 ( 3 - 1 )+k n-r+1 ( n-r+1 - 1 ), 则 x= 1 (1-k 2 -k 3 -k n-r+1 )+k 2 2 +k 3 3 +k n-r+1 n-r+1 =0, 令 k 1 =1-k 2 -k 3 -k n-r+1 则 k 1 +k 2 +k 3 +k n-r+1 =1,从而 x=k 1 1 +k 2 2 +k n-r+1 n-r+1 恒成立)解析:22.设 A 是 n 阶矩阵,若存在正整数 k,使线性方程组 A k x=0 有解向量 ,且 A k-1 0证明:向量组 ,A,A k-1
32、是线性无关的(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设有常数 0 , 1 , k-1 ,使得 0 + 1 A+ k-1 A k-1 =0, 则有 A k-1 ( 0 + 1 A+ k-1 A k-1 )=0, 从而得到 0 A k-1 =0由题设 A k-1 0,所以 0 =0 类似地可以证明 1 = 2 = k-1 =0,因此向量组 ,A,A k-1 是线性无关的)解析:23.设 1 , 2 , n 是一组 n 维向量,已知 n 维单位坐标向量 e 1 ,e 2 ,e n 能由它们线性表示,证明 1 , 2 , n 线性无关(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:n 维单位向量 e 1
33、,e 2 ,e n 线性无关,有 r(e 1 ,e 2 ,e n )=n 又因为 n 维单位坐标向量 e 1 ,e 2 ,e n 能由 a 1 ,a 2 ,a n 线性表示,则可得 n=r(e 1 ,e 2 ,e n )r(a 1 ,a 2 ,a n ) 又 a 1 ,a 2 ,a n 是一组 n 维向量,因此 r(a 1 ,a 2 ,a n )n 综上所述 r(a 1 ,a 2 ,a n )=n故 a 1 ,a 2 ,a n 线性无关.)解析:24.设 1 , 2 , n 是一组 n 维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是任一 n 维向量都可由它们线性表示(分数:2.00)_正确答案:(正
34、确答案:必要性: a 1 ,a 2 ,a n 是线性无关的一组 n 维向量,因此 r(a 1 ,a 2 ,a n )=n对任一 n 维向量 b,因为 a 1 , a 2 ,a n ,b 的维数 n 小于向量的个数 n+1,故 a 1 ,a 2 ,a n ,b 线性相关 综上所述 r(a 1 ,a 2 ,a n ,b)=n 又因为 a 1 ,a 2 ,a n 线性无关,所以 n 维向量 b 可由 a 1 ,a 2 ,a n 线性表示 充分性: 已知任一 n 维向量 b 都可由 a 1 ,a 2 ,a n 线性表示,则单位向量组: 1 , 2 , n 可由 a 1 ,a 2 ,a n 线性表示,即
35、 r( 1 , 2 , n )=nr(a 1 ,a 2 , n ), 又 a 1 ,a 2 ,a n 是一组 n 维向量,有 r(a 1 ,a 2 ,a n )n 综上,r(a 1 ,a 2 ,a n )=n所以a 1 ,a 2 ,a n 线性无关)解析:25.设向量组 1 , 2 , m 线性相关,且 1 0,证明存在某个向量 k (2km),使 k 能由 1 , 2 , k-1 线性表示(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为向量组 a 1 ,a 2 ,a m 线性相关,由定义知,存在不全为零的数 1 , 2 , m ,使 1 a 1 + 2 a 2 + 3 a 3 =0 设 k 0
36、,当 k=1 时,代入上式有 1 a 1 =0又因为 a 1 0,所以 1 =0,与假设矛盾,故 k1 当 k 0 且 k2 时,有 )解析:26.设向量组 B:b 1 ,b r 能由向量组 A: 1 , s 线性表示为(b 1 ,b r )=( 1 , s )K,其中 K 为 sr 矩阵,且向量组 A 组线性无关证明向量组 B 线性无关的充分必要条件是矩阵 K 的秩 r(K)=r(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:必要性: 令 B=(b 1 ,b r ),A=(a 1 ,a s ),则有 B=AK,由定理 r(B)=r(AK)minr(A),r(K), 结合向量组 B:b 1 ,b 2
37、 ,b r 线性无关知 r(B)=r,故 r(K)r 又因为 K 为 rs 阶矩阵,则有 r(K)minr,s 且由向量组 B:b 1 ,b 2 ,b r 能由向量组 A:a 1 ,a 2 ,a s 线性表示,则有 rs,即 minr,s=r 综上所述,rr(K)r,即 r(K)=r 充分性:已知 r(K)=r,向量组 A 线性无关,r(A)=s,因此 A 的行最简矩阵为 ,存在可逆矩阵 P 使 于是有 PB=PAK= ,由矩阵秩的性质 )解析:27.设 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设向量组 1 , 2 , n 和 1 , 2 , n 依次构成矩阵 A和 B,由条件知 B=AK,
38、则 r(B)r(A)且 r(A)=r(A,B)其中系数矩阵 K 为 )解析:28.设 A,B 均是 n 阶矩阵,且 r(A)+r(B)n,证明 A,B 有公共的特征向量(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 r(A)=r,r(B)=s,且 1 , 2 , n-r 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系,即矩阵 A 关于 =0 的特征向量,同理, 1 , 2 , n-s 是 B 关于 =0 的特征向量那么,向量组 1 , 2 , n-r , 1 , 2 , n-s 必然线性相关(由于 n-r+n-s=n+(n-r-s)n) 于是存在不全为零的实数 k 1 ,k 2 ,k n-r ,l 2 ,l n-s ,使 k 1 1 +k 2 2 +k n-r n-r +l 1 1 +l 2 2 +l n-s n-s =0 因为 1 , 2 , n-r 线性无关, 1 , 2 , n-s 线性无关,所以 k 1 ,k 2 ,k n-r 与 l 1 ,l 2 ,l n-s 必分 别不全为零,令 =k 1 1 +k 2 2 +k n-r n-r +=-(l 1 1 +l 2 2 +l n-s n-s ) 由0,从特征向量性质知, 既是 A 关