1、考研数学三（一元函数微分学）-试卷 12 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+sinx)，若使 F(x)在 x=0 处可导，则必有( )（分数：2.00）A.f(0)=0B.f(0)=0C.f(0)+f(0)=0D.f(0)f(0)=03.设函数 f(x)在区间(，)内有定义，若当 x(，)时，恒有f(x)x 2 ，则 x=0 必是f(x)的 ( )（分数：2.00）A.间断点B.连续，但不可导的点C.可导的点
2、，且 f(0)=0D.可导的点，且 f(0)04.设 f(x)=f(x)，且在(0，+)内二阶可导，又 f(x)0，f(x)0，则 f(x)在(，0)内的单调性和图形的凹凸性是 ( )（分数：2.00）A.单调增，凸B.单调减，凸C.单调增，凹D.单调减，凹5.设 f(x)有连续的导数，f(0)=0，f(0)0，F(x)= 0 x (x 2 t 2 )f(t)dt，且当 x0 时，F(x)与 x k 是同阶无穷小，则 k 等于 ( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.46.设 g(x)在 x=0 处二阶可导，且 g(0)=g(0)=0，设 f(x) （分数：2.00）A.不连续B.连续，
3、但不可导C.可导，但导函数不连续D.可导，导函数连续7.曲线 y= （分数：2.00）A.y=x+1B.y=x+1C.y=x1D.y=x18.当 x0 时，曲线 y=xsin （分数：2.00）A.有且仅有水平渐近线B.有且仅有铅直渐近线C.既有水平渐近线，也有铅直渐近线D.既无水平渐近线，也无铅直渐近线9.曲线 （分数：2.00）A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线，也有铅直渐近线二、填空题(总题数：4，分数：8.00)10.设 y=ln(1+3 x )，则 dy= 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设函数 y=y(x)由方程 e x+y +cosxy=
4、0 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_12.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 y=cosx 2 sin 2 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：38.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_15.设函数 f(x)在闭区间(a，b上连续(a，b0)，在(a，b)内可导试证：在(a，b)内至少有一点 ，使等式 （分数：2.00）_16.设 f(x)在 上具有连续的二阶导数，且 f(0)=0证明：存在 ， ，使得（分数：2.00）_17.试求方程 e x =ax 2 (a0 为常数)的根的个数（分数：2.00）
5、_18.设 f(x)在 x 0 处 n 阶可导，且 f (m) (x 0 )=0(m1，2，n1)，f (n) (x 0 )0(n2) 证明：(1)当 n 为偶数且 f (n) (x 0 )0 时，f(x)在 x 0 处取得极大值； (2)当 n 为偶数且 f (n) (x 0 )0 时，f(x)在 x 0 处取得极小值（分数：2.00）_19.设 f(x)在 x 0 处 n 阶可导，且 f (m) (x 0 )=0(m=1，2，n1)，f (n) (x 0 )0(n2) 证明：当 n 为奇数时，(x 0 ，f(x 0 )为拐点（分数：2.00）_20.求函数 f(x)=nx(1x) n 在0
6、，1上的最大值 M(n)及 （分数：2.00）_21.设 f(x)在a，b上连续，ax 1 x 2 x n b试证：在a，b内存在 ，使得 （分数：2.00）_22.设 f(x)在闭区间1，1上具有三阶连续导数，且 f(-1)=0，f(1)=1，f(0)=0证明：在1，1内存在 ，使得 f()=3（分数：2.00）_23.设函数 f(x)在0，3上连续，在(0，3)内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1试证：必存在(0，3)，使 f()=0（分数：2.00）_24.设 f(x)，g(x)在a，b上二阶可导，g(x)0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0证明：(1)在
7、(a，b)内，g(x)0；(2)(a，b)内至少存在一点 ，使 （分数：2.00）_25.在区间0，a上f(x)M，且 f(x)在(0，a)内取得极大值证明：f(0)+f(a)Ma（分数：2.00）_26.设 f(x)在闭区间1，2上可导，证明： （分数：2.00）_27.f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(x)0证明 ，(a，b)，使得 （分数：2.00）_28.设 （分数：2.00）_29.设 f(x)，g(x)在a，b上二阶可导，且 f(a)=f(b)=g(a)=0证明： （分数：2.00）_30.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(a)=f(b)=0证明： (a，b
8、)使 （分数：2.00）_31.设 f(x)=arcsinx， 为 f(x)在0，t上拉格朗日中值定理的中值点，0t1，求极限 （分数：2.00）_32.若 x1证明： 当 0a1 时，有(1+x) 1+x；当 0 或 1 时，有(1+x) 1+ax（分数：2.00）_考研数学三（一元函数微分学）-试卷 12 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+sinx)，若使 F(x)在 x=0 处可导，则必有( )（分
9、数：2.00）A.f(0)=0 B.f(0)=0C.f(0)+f(0)=0D.f(0)f(0)=0解析：解析：由于3.设函数 f(x)在区间(，)内有定义，若当 x(，)时，恒有f(x)x 2 ，则 x=0 必是f(x)的 ( )（分数：2.00）A.间断点B.连续，但不可导的点C.可导的点，且 f(0)=0 D.可导的点，且 f(0)0解析：解析：f(0)=0，4.设 f(x)=f(x)，且在(0，+)内二阶可导，又 f(x)0，f(x)0，则 f(x)在(，0)内的单调性和图形的凹凸性是 ( )（分数：2.00）A.单调增，凸B.单调减，凸 C.单调增，凹D.单调减，凹解析：解析：当 x0
10、 时，f(x)0=f(x)在(0，+)内单调增；f(x)0=f(x)在(0，+)内为凸曲线由 f(x)=f(x)=f(x)关于 y 轴对称=f(x)在(，0)内单调减，为凸曲线，选(B)5.设 f(x)有连续的导数，f(0)=0，f(0)0，F(x)= 0 x (x 2 t 2 )f(t)dt，且当 x0 时，F(x)与 x k 是同阶无穷小，则 k 等于 ( )（分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析：用洛必达法则，6.设 g(x)在 x=0 处二阶可导，且 g(0)=g(0)=0，设 f(x) （分数：2.00）A.不连续B.连续，但不可导C.可导，但导函数不连续D.可导，导
11、函数连续 解析：解析： =g(0)=0=f(0)，所以 f(x)在 x=0 处连续7.曲线 y= （分数：2.00）A.y=x+1B.y=x+1C.y=x1 D.y=x1解析：解析：8.当 x0 时，曲线 y=xsin （分数：2.00）A.有且仅有水平渐近线 B.有且仅有铅直渐近线C.既有水平渐近线，也有铅直渐近线D.既无水平渐近线，也无铅直渐近线解析：解析：9.曲线 （分数：2.00）A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线，也有铅直渐近线 解析：解析：二、填空题(总题数：4，分数：8.00)10.设 y=ln(1+3 x )，则 dy= 1（分数：2.00）填
12、空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：复合函数求导 y=ln(1+3 x )= 11.设函数 y=y(x)由方程 e x+y +cosxy=0 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：方程两边同时对 x 求导，可得12.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：13.设 y=cosx 2 sin 2 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：19，分数：38.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：15.设函
13、数 f(x)在闭区间(a，b上连续(a，b0)，在(a，b)内可导试证：在(a，b)内至少有一点 ，使等式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)= ，它们在区间a，b上连续，在(a，b)内可导，且 G(x)= 0满足柯西中值定理的三个条件，于是在(a，b)内至少有一点 ，使得 )解析：16.设 f(x)在 上具有连续的二阶导数，且 f(0)=0证明：存在 ， ，使得（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 f(x)和 g(x)=cos2x 在 上连续，在 内可导，且 g(x)=(cos2x)=2sin2x0，x(0， ) 故由柯西中值定理知，存在 (0， )，使得 即因
14、f(x)在 上具有连续的二阶导数，故存在 (0， )，使得 再由 f(0)=0 知由式和式知 )解析：17.试求方程 e x =ax 2 (a0 为常数)的根的个数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)= x f(x)= x=0 不是原方程的根 考查区间(0)f(x)在(0)单调增又 则有对 a0，f(x)在(，0)有唯一零点 考查区间(0，+)f(x)在(0，2单调减，在2，+)单调增，又 于是，当 f(2)0 即 a 时，f(x)在(0，+)内无零点 当 a= 时，f(x)在(0，+)有唯一零点(即 x=2)； 当 a )解析：18.设 f(x)在 x 0 处 n 阶可导，
15、且 f (m) (x 0 )=0(m1，2，n1)，f (n) (x 0 )0(n2) 证明：(1)当 n 为偶数且 f (n) (x 0 )0 时，f(x)在 x 0 处取得极大值； (2)当 n 为偶数且 f (n) (x 0 )0 时，f(x)在 x 0 处取得极小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：n 为偶数，令 n=2k，构造极限 当 f (2k) (x 0 )0 时，极限保号性= 0=f(x)f(x 0 )，故 x 0 为极大值点； 当 f (2k) (x 0 )0 时，极限保号性= )解析：19.设 f(x)在 x 0 处 n 阶可导，且 f (m) (x 0 )=0(m
16、=1，2，n1)，f (n) (x 0 )0(n2) 证明：当 n 为奇数时，(x 0 ，f(x 0 )为拐点（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：n 为奇数，令 n=2k+1，构造极限 当 f (2k+1) (x 0 )0 时， )解析：20.求函数 f(x)=nx(1x) n 在0，1上的最大值 M(n)及 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：容易求得 f(x)=n1(n+1)x(1x) n1 ，f(x)=n 2 (n+1)x2(1x) n2 令 f(x)=0，得驻点 x 0 = (0，1)，且有 f(x 0 )= 0，则 x 0 = 为f(x)的极大值点，且极大值 f(x 0
17、)= ，将它与边界点函数值 f(0)=0，f(1)=0，比较得 f(x)在0，1上的最大值 M(n)=f(x 0 )= ，且有 )解析：21.设 f(x)在a，b上连续，ax 1 x 2 x n b试证：在a，b内存在 ，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在a，b上连续，所以 mf(x)M，其中 m，M 分别为 f(x)在a，b上的最小值和最大值 mf(x 1 )M， mf(x 2 )M， mf(x n )M， + =mnf(x 1 )+f(x 2 )+f(x n )nM， 故 m M由介值定理可得a，b，使得 )解析：22.设 f(x)在闭区间1，1上具有三阶连续
18、导数，且 f(-1)=0，f(1)=1，f(0)=0证明：在1，1内存在 ，使得 f()=3（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)=f(x 0 )+f(x 0 )(xx 0 )+ f(x 0 )(xx 0 ) 2 + f()(xx 0 ) 3 取 x 0 =0，x=1 代入， f(1)=f(0)+ f(0)(10) 2 + f( 1 )(10) 3 ， 1 (0，1) 取 x 0 =0，x=1 代入， f(1)=f(0)+ f(0)(10) 2 + f( 2 )(10) 3 ， 2 (1，0) 由有 f(1)f(1)= f( 1 )+f( 2 )=10 因为 f(x)在1，1上连续
19、，则存在 m 和 M，使得 x1，1，有 mf(x)M， mf( 1 )M，mf( 2 )M=m f( 1 )+f( 2 )M 代入式，有m3M，由介值定理， )解析：23.设函数 f(x)在0，3上连续，在(0，3)内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1试证：必存在(0，3)，使 f()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：函数 f(x)在0，3上连续，则 f(x)在0，2上连续，那么其在0，2上必有最大值 M 和最小值 m，于是 mf(0)M，mf(1)M，mf(2)M， m M， 由介值定理知，至少存在一点 0，2，使得 f()= =1， 于是便有 f()=1
20、=f(3)，满足罗尔定理条件，于是存在(，3) )解析：24.设 f(x)，g(x)在a，b上二阶可导，g(x)0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0证明：(1)在(a，b)内，g(x)0；(2)(a，b)内至少存在一点 ，使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 c(a，b)，g(c)=0 由 g(a)=g(c)=g(b)=0，g(x)在a，c，c，b上两次运用罗尔定理可得 g( 1 )=g( 2 )=0，其中 1 (a，c)， 2 (c，b)，对 g(x)在 1 ， 2 上运用罗尔定理，可得 g( 3 )=0 因已知 g(x)0，故 g(c)0 (2)F(x)=f(x
21、)g(x)f(x)g(x)在a，b上运用罗尔定理， F(a)=0，F(b)=0， 故 )解析：25.在区间0，a上f(x)M，且 f(x)在(0，a)内取得极大值证明：f(0)+f(a)Ma（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)在(0，a)内取得极大值，不妨设 f(c)=0f(x)在0，c与c，a之间分别使用拉格朗日中值定理， f(c)f(0)=cf( 1 )， 1 (0，c)， f(a)f(c)=(ac)f( 2 )， 2 (c，a)， 所以 f(0)+f(a)=cf( 1 )+(ac)f( 2 )cM+(ac)M=aM)解析：26.设 f(x)在闭区间1，2上可导，证明： （分
22、数：2.00）_正确答案：(正确答案：把所证等式 改为 x，得 xf(x)f(x)=f(2)2f(1)， 两边同除以 x 2 ， ，得 f(2)2f(1) 令 F(x)= ，F(x)在1，2上连续，(1，2)内可导，且 F(2)=F(1)=f(2)f(1) 由罗尔定理， )解析：27.f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(x)0证明 ，(a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 两式相比得 )解析：28.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 =1，得 f(0)=0，f(0)=1 因 f(x)二阶可导，故 f(x)在 x=0 处的一阶泰勒公式成立，
23、 f(x)=f(0)+f(0)x+ )解析：29.设 f(x)，g(x)在a，b上二阶可导，且 f(a)=f(b)=g(a)=0证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)=f(x)g(x)，在 x=a 点展开泰勒公式 F(x)=F(a)+F(a)(xa)+ F()(xa) 2 (ax) 令 x=6，代入式，则 F(b)=F(a)+F(a)(ba)+ )解析：30.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(a)=f(b)=0证明： (a，b)使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 f(x)在 x=a，x=b 处展开泰勒公式 f(x)=f(a)+f(a)(xa)+ (x
24、a) 2 =f(a)+ (xa) 2 (a 1 x)， f(x)=f(b)+ (xb) 2 (x 2 b) 令 x= ，得 0=f(b)f(a)+ f( 2 )f( 1 )， 得 f( 2 )f( 1 ) f( 1 )+f( 2 ) 令f()=maxf( 1 )，f( 1 )则 (f( 1 )+f( 2 ) )解析：31.设 f(x)=arcsinx， 为 f(x)在0，t上拉格朗日中值定理的中值点，0t1，求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 f(x)=arcsinx 在0，t上连续，在(0，t)内可导，对它用拉格朗日中值定理，得 arcsint-0= (t0)，0t1 由此解得 = ，并令 u=arcsint，有 )解析：32.若 x1证明： 当 0a1 时，有(1+x) 1+x；当 0 或 1 时，有(1+x) 1+ax（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=(1+x) ，则有 f(x)=(1+x) 1 ，f(x)=(1)(1+x) 2 由 f(x)的泰勒展开式 f(x)=f(0)+f(0)x+ x 2 ，(0，1)， 可知当 x1，01 时，(1)0，1+0，故 )解析：
