1、考研数学三（一元函数微分学）-试卷 13 及答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：14，分数：28.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)在0，1连续，在(0，1)可导且 f(x)0(x(0，1)，则( )（分数：2.00）A.当 0x1 时 0 x f(t)dt 0 1 xf(t)dtB.当 0x1 时 0 x f(t)dt= 0 1 xf(t)dtC.当 0x时 0 x f(t)dt 0 1 =xf(t)dtD.以上结论均不正确3.设 f(x)=xsinx+cosx，下列命题中正确的是( )
2、（分数：2.00）A.B.C.D.4.设 f(x)为可导函数，且满足条件 （分数：2.00）A.2B.一 1C.D.一 25.设 （分数：2.00）A.f(x)在 x=x 0 处必可导且 f(x 0 )=aB.f(x)在 x=x 0 处连续，但未必可导C.f(x)在 x=x 0 处有极限但未必连续D.以上结论都不对6.设 y=f(x)是方程 y“一 2y+4y=0 的一个解，且 f(x 0 )0，f(x 0 )=0，则函数 f(x)在点 x 0 处( )（分数：2.00）A.取得极大值B.取得极小值C.某邻域内单调增加D.某邻域内单调减少7.设某商品的需求函数为 Q=1602P，其中 Q，P
3、分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于 1，则商品的价格是( )（分数：2.00）A.10B.20C.30D.408.设 f(x)可导且 （分数：2.00）A.与x 等价的无穷小B.与x 同阶的无穷小C.比x 低阶的无穷小D.比x 高阶的无穷小9.设 f(x)在点 x=a 处可导，则函数|f(x)|在点 x=a 处不可导的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.f(a)=0，且 f(a)=0B.f(a)=0，且 f(a)0C.f(a)0，且 f(a)0D.f(a)0，且 f(a)010.已知 f(x，y)= （分数：2.00）A.f x “(0，0)，f y “(0，0)都存在
4、B.f x “(0，0)不存在，f y “(0，0)存在C.f x “(0，0)存在，f y “(0，0)不存在D.f x “(0，0),f y “(0，0)都不存在11.设函数 f(x)在闭区间a，b上有定义，在开区间(a，b)内可导，则( )（分数：2.00）A.当 f(a)f(b)0，存在 (a，b)，使 f()=0B.对任何 (a，b)，有C.当 f(a)=f(b)时，存在 (a，b)，使 f()=0D.存在 (a，b)，使 f(b)一 f(a)=f()(ba)12.设 f(x)在a，b可导,f(a)= （分数：2.00）A.f + “(a)=0B.f + “(a)0C.f + “(a
5、)0D.f + “(a)013.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(x)0，下面不等式 f(a)(b 一 a) a b f(x)dx(ba) （分数：2.00）A.f(x)0，f”(x)0B.f(x)0，f”(x)0C.f(x)0，f”(x)0D.f(x)0，f”(x)014.曲线 （分数：2.00）A.既有垂直又有水平与斜渐近线B.仅有垂直渐近线C.只有垂直与水平渐近线D.只有垂直与斜渐近线二、填空题(总题数：10，分数：20.00)15.设函数 y=f(x)由方程 y 一 x=e x(1-y) 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_16.已知 f(x)= （分数：2.00）填空项
6、1:_17.设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f(x)=e f(x) ，f(2)=1，则 f“(2)= 1（分数：2.00）填空项 1:_18.已知 f(e x )=xe -x ，且 f(1)=0，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_19.设某商品的收益函数为 R(p)，收益弹性为 1+p 3 ，其中 p 为价格，且 R(1)=1，则 R(p)= 1（分数：2.00）填空项 1:_20.若函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_21.若曲线 y=x 3 +ax 2 +bx+1 有拐点(一 1，0)，则 b= 1.（分数：2.00）填空项 1:
7、_22.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_23.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_24.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：22.00)25.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_26.假设函数 f(x)和 g(x)在a，b上存在二阶导数，并且 g”(x)0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，试证：(1)在开区间(a，b)内 g(x)0；(2)在开区间(a，b)内至少存在一点 ，使 （分数：2.00）_27.设某商品的需求函数为 Q=100-5P，其中价格 P(0，20)，Q 为需求量 (1)求需求量对价
8、格的弹性 E d (E d 0)； (2)推导 （分数：2.00）_28.设函数 y=y(x)由方程 ylny 一 x+y=0 确定，试判断曲线 y=y(x)在点(1，1)附近的凹凸性（分数：2.00）_29.证明当 x0 时，(x 2 一 1)lnx(x 一 1) 2 （分数：2.00）_30.求函数 u=xy+2yz 在约束条件 x 2 +y 2 +z 2 =10 下的最大值和最小值（分数：2.00）_31.设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内具有一阶连续导数，且 f(0)f(0)0，当 h0 时，若 af(h)+bf(2h)一 f(0)=o(h)，试求 a，b 的值（分数：2.00）_
9、32.设 eabe 2 ，证明 ln 2 b 一 ln 2 a （分数：2.00）_33.已知函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=,f(1)=1证明：(1)存在 (0，1)，使得 f()=1 一 ；(2)存在两个不同的点 ，(0，1)，使得 f()f()=1（分数：2.00）_34.设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)=g(a),f(b)=g(b)，证明：存在 (a，b)，使得 f”()=g”()（分数：2.00）_35.(1)证明拉格朗日中值定理：若函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则存在
10、 (a，b)，使得 f(b)-f(a)=f()(b 一 a) (2)证明：若函数 f(x)在 x=0 处连续，在(0，)(0)内可导，且 （分数：2.00）_考研数学三（一元函数微分学）-试卷 13 答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：14，分数：28.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)在0，1连续，在(0，1)可导且 f(x)0(x(0，1)，则( )（分数：2.00）A.当 0x1 时 0 x f(t)dt 0 1 xf(t)dt B.当 0x1 时 0 x f(t)dt= 0 1
11、 xf(t)dtC.当 0x时 0 x f(t)dt 0 1 =xf(t)dtD.以上结论均不正确解析：解析：记 F(x)= 0 1 f(t)dt 一 0 1 xf(t)dt，则 F(x)=f(x)一 0 1 f(t)dt 在0，1连续，且 F“(x)=f(x)0(戈(0，1)，因此 F(x)在0，1上单调下降 又 F(0)=F(1)=0，由罗尔定理，则存在 (0，1)，使 3.设 f(x)=xsinx+cosx，下列命题中正确的是( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：f(x)=sinx+xcosxsinx=xcosx， 又 f”(x) =cosx 一 xsinx，4.设 f
12、(x)为可导函数，且满足条件 （分数：2.00）A.2B.一 1C.D.一 2 解析：解析：将题中极限条件两端同乘 2，得5.设 （分数：2.00）A.f(x)在 x=x 0 处必可导且 f(x 0 )=aB.f(x)在 x=x 0 处连续，但未必可导C.f(x)在 x=x 0 处有极限但未必连续D.以上结论都不对 解析：解析：本题需将 f(x)在 x=x 0 处的左右导数 f - “(x 0 )，f + “(x 0 )与在 x=x 0 处的左右极限 区分开 但不能保证 f(x)在 x 0 处可导，以及在 x=x 0 ，处连续和极限存在 但是 6.设 y=f(x)是方程 y“一 2y+4y=0
13、 的一个解，且 f(x 0 )0，f(x 0 )=0，则函数 f(x)在点 x 0 处( )（分数：2.00）A.取得极大值 B.取得极小值C.某邻域内单调增加D.某邻域内单调减少解析：解析：由 f(x 0 )=0 知，x=x 0 是函数 y=f(x)的驻点将 x=x 0 代入方程，得 y”(x 0 )一 2y(x 0 ) +4y(x 0 )=0 考虑到 y(x 0 )=f(x 0 )=0，y”(x 0 )=f“(x 0 )，y(x 0 )=f(x 0 )0，因此有 f”(x 0 )=一 4f(x 0 )0，由极值的第二判定定理知，f(x)在点 x 0 处取得极大值，故选 A7.设某商品的需求
14、函数为 Q=1602P，其中 Q，P 分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于 1，则商品的价格是( )（分数：2.00）A.10B.20C.30D.40 解析：解析：商品需求弹性的绝对值等于8.设 f(x)可导且 （分数：2.00）A.与x 等价的无穷小B.与x 同阶的无穷小 C.比x 低阶的无穷小D.比x 高阶的无穷小解析：解析：由 f(x)在 x 0 点处可导及微分的定义可知 于是 9.设 f(x)在点 x=a 处可导，则函数|f(x)|在点 x=a 处不可导的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.f(a)=0，且 f(a)=0B.f(a)=0，且 f(a)0 C.f(a
15、)0，且 f(a)0D.f(a)0，且 f(a)0解析：解析：若 f(a)0，由复合函数求导法则有 因此排除 C 和 D(当 f(x)在 x=a 可导，且 f(a)0 时，|f(x)|在 x=a 点可导) 当 f(a)=0 时，10.已知 f(x，y)= （分数：2.00）A.f x “(0，0)，f y “(0，0)都存在B.f x “(0，0)不存在，f y “(0，0)存在 C.f x “(0，0)存在，f y “(0，0)不存在D.f x “(0，0),f y “(0，0)都不存在解析：解析： 故 f x “(0，0)不存在 11.设函数 f(x)在闭区间a，b上有定义，在开区间(a，
16、b)内可导，则( )（分数：2.00）A.当 f(a)f(b)0，存在 (a，b)，使 f()=0B.对任何 (a，b)，有 C.当 f(a)=f(b)时，存在 (a，b)，使 f()=0D.存在 (a，b)，使 f(b)一 f(a)=f()(ba)解析：解析：因只知 f(x)在闭区间a，b上有定义，而 A、C、D 三项均要求 f(x)在a，b上连续，故三个选项均不一定正确，故选 B12.设 f(x)在a，b可导,f(a)= （分数：2.00）A.f + “(a)=0B.f + “(a)0C.f + “(a)0D.f + “(a)0 解析：解析：由题设条件 f + “(a)= 13.设 f(x
17、)在a，b上二阶可导，且 f(x)0，下面不等式 f(a)(b 一 a) a b f(x)dx(ba) （分数：2.00）A.f(x)0，f”(x)0B.f(x)0，f”(x)0C.f(x)0，f”(x)0 D.f(x)0，f”(x)0解析：解析：不等式的几何意义是：矩形面积曲边梯形面积梯形面积，要使上面不等式成立，需要过点(a,f(a)平行于 x 轴的直线在曲线 y=f(x)的下方，连接点(a,f(a)和点(b,f(b)的直线在曲线 y=f(x)的上方，如图 25 所示 当曲线 y=f(x)在a，b是单调上升且是凹时有此性质于是当 f(x)0，f“(x)0 成立时，上述条件成立，故选 C14
18、.曲线 （分数：2.00）A.既有垂直又有水平与斜渐近线 B.仅有垂直渐近线C.只有垂直与水平渐近线D.只有垂直与斜渐近线解析：解析：函数 y 的定义域为(一，一 3)(0，+)，且只有间断点 x=一 3，又 ，因此 x=一 3是垂直渐近线 x0 时，二、填空题(总题数：10，分数：20.00)15.设函数 y=f(x)由方程 y 一 x=e x(1-y) 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：当 x=0 时，y=1对方程两边求导得 y一 1=e x(1-y) (1yxy)， 将 x=0，y=1 代入上式，可得 y(0)=1 所以 16.已知 f(x
19、)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：当 x0 时，f(x)=cosx；当 x0 时,f(x)=1； 可知 f - “(0)=f + “(0)=1，故f(0)=1 因此 17.设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f(x)=e f(x) ，f(2)=1，则 f“(2)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2e 3）解析：解析：由题设知，f(x)=e f(x) ，两边对 x 求导得 f”(x)=e f(x) f“(x)=e 2f(x) ， f“(x)=2e 2f(x) f(x)=2e 3f(x) 又 f(2)=1，故 f“
20、(2)=2e 3f(x) =2e 3 18.已知 f(e x )=xe -x ，且 f(1)=0，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 e x =t，则 x=lnt，于是有 f(t)= 两边积分得 由 f(1)=0 得 C=0，故 f(x)= 19.设某商品的收益函数为 R(p)，收益弹性为 1+p 3 ，其中 p 为价格，且 R(1)=1，则 R(p)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由弹性的定义得：20.若函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a=2）填空
21、项 1:_ （正确答案：b=一 1）解析：解析：因 f(x)在 x=1 处连续，则 ，即 1=a+b 要函数 f(x)在 x=1 处可导，必须有 f - “(1)=f + “(1) 由已知可得 21.若曲线 y=x 3 +ax 2 +bx+1 有拐点(一 1，0)，则 b= 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：本题考查已知拐点坐标来确定曲线方程中的一个参数已知 y=x 3 +ax 2 +bx+1，则 y=3x 2 +2ax+b，y”=6x+2a令 y”=0，得 22.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1+3x)e
22、3x）解析：解析：因为 f(x)= 23.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设所求斜渐近线方程为 y=ax+b因为 于是所求斜渐近线方程为24.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=一 2x）解析：解析：方程两边对 x 求导，可得 (1+y) =e y .y， 三、解答题(总题数：11，分数：22.00)25.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：26.假设函数 f(x)和 g(x)在a，b上存在二阶导数，并且 g”(x)0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，试证：(1)在开区间
23、(a，b)内 g(x)0；(2)在开区间(a，b)内至少存在一点 ，使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)利用反证法假设存在 c(a，b)，使得 g(c)=0，则对 g(x)在a，c和c，b上分别应用罗尔中值定理，可知存在 1 (a，c)和 2 (c，b)，使得 g( 1 )=g( 2 )=0 成立 接着再对 g(x)在区间 1 ， 2 上应用罗尔中值定理，可知存在 3 ( 1 ， 2 )，使得 g”( 3 )=0 成立，这与题设条件 g”(x)0 矛盾，因此在开区间(a，b)内 g(x)0 (2)构造函数F(x)=f(x)g(x)一 g(x)f(x)，由题设条件得，函数 F(x
24、)在区间a，b上是连续的，在区间(a，b)上是可导的，且满足 F(a)=F(b)=0根据罗尔中值定理可知，存在点 (a，b)，使得 F()=0 即 f()g”()一 f”()g()=0， 因此可得 )解析：27.设某商品的需求函数为 Q=100-5P，其中价格 P(0，20)，Q 为需求量 (1)求需求量对价格的弹性 E d (E d 0)； (2)推导 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (2)由 R=PQ，得 又令 得 P=10当 10P20 时，E d 1，于是 )解析：28.设函数 y=y(x)由方程 ylny 一 x+y=0 确定，试判断曲线 y=y(x)在点(1，1)附近的
25、凹凸性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在方程两边对 x 求导得 再对 y等式两边求导得 )解析：29.证明当 x0 时，(x 2 一 1)lnx(x 一 1) 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=(x 2 一 1)lnx(x 一 1) 2 ，易知 f(1)=0 又 )解析：30.求函数 u=xy+2yz 在约束条件 x 2 +y 2 +z 2 =10 下的最大值和最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x，y，z，)=xy+2yz+(x 2 +y 2 +z 2 一 10) )解析：31.设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内具有一阶连续导数，且
26、 f(0)f(0)0，当 h0 时，若 af(h)+bf(2h)一 f(0)=o(h)，试求 a，b 的值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设条件知 由于 f(0)0，故必有 a+b1=0 又由洛必达法则 )解析：32.设 eabe 2 ，证明 ln 2 b 一 ln 2 a （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对函数 y=ln 2 x 在a，b上应用拉格朗日中值定理，得 当 te 时，(t)0，所以 (t)单调减少，从而有 ()(e 2 )，即 )解析：33.已知函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=,f(1)=1证明：(1)存在 (0，1)，使得
27、 f()=1 一 ；(2)存在两个不同的点 ，(0，1)，使得 f()f()=1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 F(x)=f(x)一 1+x，则 F(x)在0，1上连续，且 F(0)=一 10，F(1)=10，于是由介值定理知，存在 (0，1)，使得 F()=0，即 f()=1 一 (2)在0，和，1上对 f(x)分别应用拉格朗日中值定理知，存在两个不同的点 (0，)，(，1)，使得)解析：34.设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)=g(a),f(b)=g(b)，证明：存在 (a，b)，使得 f”()=g”()（分
28、数：2.00）_正确答案：(正确答案：构造辅助函数 F(x)=f(x)一 g(x)，由题设有 F(a)=F(b)=0又 f(x)，g(x)在(a，b)内具有相等的最大值，不妨设存在 x 1 x 2 ，x 1 ，x 2 (a，b)使得 若 x 1 =x 2 ，令 c=x 1 ，则 F(c)=0 若 x 1 x 2 ，因 F(x 1 )=f(x 1 )一 g(x 1 )0，F(x 2 )=f(x 2 )一 g(x 2 )0，从而存在 cx 1 ，x 2 (a，b)，使 F(c)=0 在区间a，c，c，b上分别利用罗尔定理知，存在 1 (a，c)， 2 (c，b)，使得 F( 1 )=F( 2 )=
29、0 再对 F(x)在区间 1 ， 2 上应用罗尔定理知，存在 ( 1 ， 2 ) )解析：35.(1)证明拉格朗日中值定理：若函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则存在 (a，b)，使得 f(b)-f(a)=f()(b 一 a) (2)证明：若函数 f(x)在 x=0 处连续，在(0，)(0)内可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)作辅助函数 (x)=f(x)一 f(a)一 ，易验证 (x)满足： (a)=(b)；(x)在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内可导，且 根据罗尔定理，可得在(a，b)内至少有一点 ，使 ()=0，即 所以 f(b)-f(a)=f()(b 一 a) (2)任取 x 0 (0，)，则函数f(x)满足在闭区间0，x 0 上连续，开区间(0，x 0 )内可导，因此由拉格朗日中值定理可得，存在 ，使得 )解析：
