1、考研数学三（一元函数微分学）-试卷 14 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.函数 y=x 2 在区间 （分数：2.00）A.不存在最大值和最小值B.最大值是C.最大值是D.最小值是3.函数 f(x)=2x+3 （分数：2.00）A.只有极大值，没有极小值B.只有极小值，没有极大值C.在 x=1 处取极大值，x=0 处取极小值D.在 x=1 处取极小值，x=0 处取极大值4.若 f(x)在 x 0 点至少二阶可导，且 （分数：2.00）A.取得极大值B
2、.取得极小值C.无极值D.不一定有极值5.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.在其有定义的任何区间(x 1 ，x 2 )内，f(x)必是单调减少的B.在点 x 1 及 x 2 处有定义，且 x 1 x 2 时，必有 f(x 1 )f(x 2 )C.在其有定义的任何区间(x 1 ，x 2 )内，f(x)必是单调增加的D.在点 x 1 及 x 2 处有定义，且 x 1 x 2 时，必有 f(x 1 )f(x 2 )6.设函数 f(x)在 x=0 处连续，且 （分数：2.00）A.f(0)=0 且且 f (0)存在B.f(0)=1 且 f (0)存在C.f(0)=0 且 f + (0)存在D.
3、f(0)=1 且 f + (0)存在7.设 f(x)在(，+)内可导，且对任意 x 1 ，x 2 ，当 x 1 x 2 时，都有 f(x 1 )f(x 2 )，则( )（分数：2.00）A.对任意 x，f(x)0B.对任意 x，f(x)0C.函数 f(x)单调增加D.函数f(x)单调增加8.设 a 为常数，f(x)=ae x 1x （分数：2.00）A.当 a0 时 f(x)无零点，当 a0 时 f(x)恰有一个零点B.当 a0 时 f(x)恰有两个零点，当 a0 时 f(x)无零点C.当 a0 时 f(x)恰有两个零点，当 a0 时 f(x)恰有一个零点D.当 a0 时 f(x)恰有一个零点
4、，当 a0 时 f(x)无零点9.设函数 f(x)在区间a，+)内连续，且当 xa 时，f(x)l0，其中 l 为常数若 f(a)0，则在区间(a，a+ （分数：2.00）A.0B.1C.2D.3二、填空题(总题数：4，分数：8.00)10.若函数 f(x)=asinx+ sin3x 在 x= （分数：2.00）填空项 1:_11.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_12.已知 a，be，则不等式 （分数：2.00）填空项 1:_13.曲线 y=ln(e （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数：36.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分
5、数：2.00）_15.设 f n (x)=1(1cosx) n ，求证： (1)对于任意正整数 n，f n (x)= 中仅有一根； (2)设有x n （分数：2.00）_16.在数 1， （分数：2.00）_17.证明：方程 x =lnx(0)在(0，+)上有且仅有一个实根（分数：2.00）_18.设 0k1，f(x)=kxarctanx证明：f(x)在(0，+)中有唯一的零点，即存在唯一的 x 0 (0，+)，使 f(x 0 )=0（分数：2.00）_19.f(x)在(，+)上连续， （分数：2.00）_20.设 T=cosn，=arccosx，求 （分数：2.00）_21.已知 y=x 2
6、 sin2x，求 y (50) （分数：2.00）_22.计算 （分数：2.00）_23.已知 （分数：2.00）_24.已知 f(x)是周期为 5 的连续函数，它在 x=0 的某邻域内满足关系式：f(1+sinx)3f(1sinx)=8x+(z)，其中 (x)是当 x0 时比 x 高阶的无穷小，且 f(x)在 x=1 处可导，求 y=f(x)在点(6，f(6)处的切线方程（分数：2.00）_25.设 f(x)= （分数：2.00）_26.求下列函数的导数： (1)y= (a0)； (2)y=e f(x) f(e x )； (3) (4)设 f(t)具有二阶导数，f( （分数：2.00）_27
7、.(1)设 ，求 y； (2)函数 y=y(x)由方程 cos(x 2 +y 2 )+e x x 2 y=0 所确定，求 （分数：2.00）_28.设 （分数：2.00）_29.设函数 y=f(x)由参数方程 (t1)所确定，其中 (t)具有二阶导数，且已知 ，证明：函数 (t)满足方程 (t) （分数：2.00）_30.设 f(x)= （分数：2.00）_31.设 y= （分数：2.00）_考研数学三（一元函数微分学）-试卷 14 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：
8、2.00）_解析：2.函数 y=x 2 在区间 （分数：2.00）A.不存在最大值和最小值B.最大值是C.最大值是D.最小值是 解析：解析：y=x x (lnx+1)，令 y=0，得 x= 当 x 3.函数 f(x)=2x+3 （分数：2.00）A.只有极大值，没有极小值B.只有极小值，没有极大值C.在 x=1 处取极大值，x=0 处取极小值 D.在 x=1 处取极小值，x=0 处取极大值解析：解析：f(x)=2+4.若 f(x)在 x 0 点至少二阶可导，且 （分数：2.00）A.取得极大值 B.取得极小值C.无极值D.不一定有极值解析：解析：由于 0，当 0xx 0 时， 5.设函数 f(
9、x)= （分数：2.00）A.在其有定义的任何区间(x 1 ，x 2 )内，f(x)必是单调减少的 B.在点 x 1 及 x 2 处有定义，且 x 1 x 2 时，必有 f(x 1 )f(x 2 )C.在其有定义的任何区间(x 1 ，x 2 )内，f(x)必是单调增加的D.在点 x 1 及 x 2 处有定义，且 x 1 x 2 时，必有 f(x 1 )f(x 2 )解析：解析：f(x)的定义域是(，3)(3，+)， f(x)=6.设函数 f(x)在 x=0 处连续，且 （分数：2.00）A.f(0)=0 且且 f (0)存在B.f(0)=1 且 f (0)存在C.f(0)=0 且 f + (0
10、)存在 D.f(0)=1 且 f + (0)存在解析：解析：因为 f(x)在 x=0 处连续，且 =1，所以 f(0)=0从而有7.设 f(x)在(，+)内可导，且对任意 x 1 ，x 2 ，当 x 1 x 2 时，都有 f(x 1 )f(x 2 )，则( )（分数：2.00）A.对任意 x，f(x)0B.对任意 x，f(x)0C.函数 f(x)单调增加D.函数f(x)单调增加 解析：解析：根据单调性的定义直接可以得出(D)项正确8.设 a 为常数，f(x)=ae x 1x （分数：2.00）A.当 a0 时 f(x)无零点，当 a0 时 f(x)恰有一个零点B.当 a0 时 f(x)恰有两个
11、零点，当 a0 时 f(x)无零点C.当 a0 时 f(x)恰有两个零点，当 a0 时 f(x)恰有一个零点D.当 a0 时 f(x)恰有一个零点，当 a0 时 f(x)无零点 解析：解析：本题考查一元微分学的应用，讨论函数的零点问题 令 g(x)=f(x)e x =a(1+x+ )e x ，由于 e x 0，g(x)与 f(x)的零点完全一样，又 g(x)= 0，且仅在一点 x=0 等号成立，故 g(x)严格单调增，所以 g(x)至多有一个零点，从而 f(x)至多有一个零点 当 a0 时，f()0，f(+)0，由连续函数零点定理，f(x)至少有一个零点，至少、至多合在一起，所以 f(x)正好
12、有一个零点 当 a0，f(x)e x =a(1+x+ 9.设函数 f(x)在区间a，+)内连续，且当 xa 时，f(x)l0，其中 l 为常数若 f(a)0，则在区间(a，a+ （分数：2.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析：对于 f(x)在 上使用拉格朗日中值定理，存在 ， 由 f(x)l0，得从而 f(a+ )0又由题设 f(a)0，f(x)在区间 的端点值异号，根据零点定理，使得 f()=0 由于 f(x)0(xa)，所以 f(x)在二、填空题(总题数：4，分数：8.00)10.若函数 f(x)=asinx+ sin3x 在 x= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正
13、确答案：2）解析：解析：f(x)=acosx+cos3x，因 x= 为极值点，则 a=2这时 f(x)=2sinx3sin3x，11.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=1）解析：解析： 12.已知 a，be，则不等式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：eab）解析：解析：令 f(x)= ，则由 f(x)=13.曲线 y=ln(e （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x=0，x= ）解析：解析：因为 =+，x=0 为铅直渐近线 为铅直渐近线三、解答题(总题数：18，分数：36.00)14.解答题解答应写出文字说明、证
14、明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：15.设 f n (x)=1(1cosx) n ，求证： (1)对于任意正整数 n，f n (x)= 中仅有一根； (2)设有x n （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 f n (x)连续，又有 f n (0)=1，f n ( )=0，所以由介值定理知 ，使得 f n ()= 又因为 f n (x)=n(1cosx) n1 sinx0，x(0， )，所以f n (x)在(0， )内严格单调减少因此，满足方程 f n (x)= 的根是唯一的，即 f n (x)= 中仅有一根 (2)因为 由保号性知， N0，当 nN 时，有 由 f n
15、 (x)的单调减少性质知 )解析：16.在数 1， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先考查连续函数 f(x)= (x0) 由 f(x)= =0 得 x=e，且当 xe 时，f(x)0，f(x)单调增加；当 xe 时，f(x)0，f(x)单调减少 所以，f(e)为 f(x)当 x0 时的最大值，而 2e3，于是所求的最大值必在 中取到，又因为 )解析：17.证明：方程 x =lnx(0)在(0，+)上有且仅有一个实根（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=lnxx ，则 f(x)在(0，+)上连续，且 f(1)=10， =+，故 ，当 xX 时，有 f(x)M0，任取
16、x 0 X，则 f(1)f(x 0 )0，根据零点定理， )解析：18.设 0k1，f(x)=kxarctanx证明：f(x)在(0，+)中有唯一的零点，即存在唯一的 x 0 (0，+)，使 f(x 0 )=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=k =0，则 x 0 = 而 f(x)= 0，所以 f(x)在 x 0 = 处取极小值，即 f(0)=0， 由 f(x)的连续性，在 中有一个零点，另外 f(0)=0，f(x)在 单调减少，在 )解析：19.f(x)在(，+)上连续， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)=f(x)x 0 ，则 F(x)在(，+)上
17、连续，且 F(x 0 )0， =+，由 =+，知 ，使得 F(b)0，于是由零点定理，知 x 1 (a，x 0 )，使得 F(x 1 )=0； )解析：20.设 T=cosn，=arccosx，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ，因为 =arccosx，当 x1 时，0，所以 )解析：21.已知 y=x 2 sin2x，求 y (50) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：此题为用导数定义去求极限，关键在于把此极限构造为广义化的导数的定义式)解析：23.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
18、24.已知 f(x)是周期为 5 的连续函数，它在 x=0 的某邻域内满足关系式：f(1+sinx)3f(1sinx)=8x+(z)，其中 (x)是当 x0 时比 x 高阶的无穷小，且 f(x)在 x=1 处可导，求 y=f(x)在点(6，f(6)处的切线方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：求切线方程的关键是求斜率，因 f(x)的周期为 5，故在(6，f(6)处和点(1，f(1)处曲线有相同的斜率，根据已知条件求出 f(1) 由 f(1+sinx)3f(1sinx)= 8x+(x)得 f(1)3f(1)=0，f(1)=0又 )解析：25.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：
19、(正确答案：当 x0 时，f(x)可导，且 显然，当 x0 时，f(x)连续 )解析：26.求下列函数的导数： (1)y= (a0)； (2)y=e f(x) f(e x )； (3) (4)设 f(t)具有二阶导数，f( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) 其中(x x )=(e xlnx )=e xlnx (1nx+1)=x x (1nx+1) (2)y=e f(x) .f(x)f(e x )+e f(x) .f(e x )e x (4)令 t= )解析：27.(1)设 ，求 y； (2)函数 y=y(x)由方程 cos(x 2 +y 2 )+e x x 2 y=0 所确定，
20、求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)两边取对数，得 两边同时对 x 求导，得 化简可得x+yy=xyy，故 y= (2)方程两端对 x 求导得 sin(x 2 +y 2 )(2x+2yy)+e x 2xyx 2 y=0， 因此 )解析：28.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：两边取对数 lny=x +a(lnblnx)+b(lnxlna)， 求导，得 )解析：29.设函数 y=f(x)由参数方程 (t1)所确定，其中 (t)具有二阶导数，且已知 ，证明：函数 (t)满足方程 (t) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 ，有 )解析：30.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因当 0 时，极限 不存在而当 0 时， =0，故 0 时，f(x)在 x=0 处连续 当 a10 时，即 1 时，f(0)=0，f(x)在 x=0 处可导 )解析：31.设 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y= =x+3+ 设 ，经计算 A=8，B=1故 )解析：
