1、考研数学三（一元函数微分学）-试卷 16 及答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：19，分数：38.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设在0，1上 f”(x)0，则 f(0),f(1),f(1)一 f(0)或 f(0)一 f(1)的大小顺序是( )（分数：2.00）A.f“(1)f“(0)f(1)一 f(0)B.f(1)f(1)-f(0)f(0)C.f(1)一 f(0)f(1)f(0)D.f(1)f(0)-f(1)f(0)3.设 f(x)= （分数：2.00）A.F(x)在 x=0 点不连续B.F(x)在
2、 x=0 点不可导C.F(x)在 x=0 点可导，F(0)=f(0)D.F(x)在 x=0 点可导，但 F(0)f(0)4.设函数 f(x)在(一，+)存在二阶导数，且 f(x)=f(一 x)，当 x0 时行 f(x)0，f”(x)0，则当 x0 时，有( )（分数：2.00）A.f(x)0，f”(x)0B.f(x)0，f”(x)0C.f(x)0，f”(x)0D.f(x)0，f”(x)05.设 y=y(x)是二阶线性常系数微分方程 y”+py+qy=e 3x 满足初始条件 y(0)=y(0)=0 的特解，则当x0 时，函数 （分数：2.00）A.不存在B.等于 1C.等于 2D.等于 36.设
3、 f(x)=|x(1 一 x)|，则( )（分数：2.00）A.x=0 是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点B.x=0 不是 f(x)的极值点，但(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点C.x=0 是 f(x)的极值点，且(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点D.x=0 不是 f(x)的极值点，但(0，0)也不是曲线 y=f(x)的拐点7.设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，在 x=0 处可导，且 f(0)=0(x)= （分数：2.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导但 (x)在 x=0 不连续D.可导且 (x)在 x=0 连续8.设函数 f(x)在 x=a 的某邻
4、域内有定义，则 f(x)在 x=a 处可导的一个充分条件是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.设函数 f(x)连续，且 f(0)0，则存在 0，使得( )（分数：2.00）A.f(x)在(0，)内单调增加B.f(x)在(一 ，0)内单调减少C.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)D.对任意的 x(一 ，0)有 f(x)f(0)10.设函数 f(x)对任意的 x 均满足等式 f(1+x)=af(x)，且有 f(0)=b，其中 a，b 为非零常数，则( )（分数：2.00）A.f(x)在 x=1 处不可导B.f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=aC.f(x)在 x=1 处可导，
5、且 f(1)=bD.f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=ab11.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导D.可导12.周期函数 f(x)在(一，+)内可导，周期为 4，又 （分数：2.00）A.B.0C.一 1D.一 213.ln(1+t)dt=( ) （分数：2.00）A.B.C.ln(1+lnx)一 ln(1+2x)D.ln(1+lnx)一 2ln(1+2x)14.设函数 f(x)与 g(x)在区间(一，+)上皆可导，且 f(x)g(x)，则必有( )（分数：2.00）A.f(一 x)g(一 x)B.f(x)g(x)C.D. 0 x
6、f(t)dt 0 x g(t)dt15.设 y=f(x)在(a，b)可微，则下列结论中正确的个数是( ) x 0 (a，b)，若 f(x 0 )0，则x0 时 （分数：2.00）A.1B.2C.3D.416.已知函数 y=f(x)对一切的 x 满足 xf“(x)+3xf(x) 2 =1 一 e -x ，若 f(x 0 )=0(x 0 0)，则( )（分数：2.00）A.f(x 0 )是 f(x)的极大值B.f(x 0 )是 f(x)的极小值C.(x 0 ,f(x 0 )是曲线 y=f(x)的拐点D.f(x 0 )不是 f(x)的极值，(x 0 ,f(x 0 )也不是曲线 y=f(x)的拐点17
7、.设 F(x)=g(x)(x)，x=a 是 (x)的跳跃间断点，g(a)存在，则 g(a)=0，g(a)=0 是 F(x)在 x=a 处可导的( )（分数：2.00）A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件18.已知函数 y=y(x)在任意点 x 处的增量 （分数：2.00）A.2B.C.D.19.设 （分数：2.00）A.f(x)的导数存在，且 f(a)0B.f(x)取得极大值C.f(x)取得极小值D.f(x)的导数不存在二、填空题(总题数：6，分数：12.00)20.设函数 f(x)在 x=0 可导，且 f(0)=1,f(0)=3，则数列极限 （分数：2.0
8、0）填空项 1:_21.设 (x)= （分数：2.00）填空项 1:_22.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_23.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_24.已知 （分数：2.00）填空项 1:_25. （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)26.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_27.求方程 karctanx 一 x=0 不同实根的个数，其中 k 为参数（分数：2.00）_28.设函数 f(x)在(0，+)上二阶可导，且 f”(x)0，记 u n =f(n)，n=1，2，又 u 1 u 2 ，证明 （分数：
9、2.00）_29.设 a 为常数，讨论方程 e x =ax 2 的实根个数（分数：2.00）_30.设函数 f(x)在0，+)内二阶可导，且 f(0)=f(0)=0，并当 x0 时满足 xf“(x)+3xf(x) 2 1一 e -x 证明当 x0 时，f(x) （分数：2.00）_31.设 （分数：2.00）_32.设函数 f(x)在 x 0 处具有二阶导数，且 f(x 0 )=0,f”(x 0 )0，证明当 f”(x 0 )0，f(x)在 x 0 处取得极小值（分数：2.00）_33.设 f(x)在0，b可导,f(x)0(x(0，b)，t0，b，问 t 取何值时，图 23 中阴影部分的面积最
10、大?最小? （分数：2.00）_34.设 f(x)在a，b上二阶可导，f(a)=f(b)=0试证明至少存在一点 (a，b)使 （分数：2.00）_35.设 f(x)在 x=0 处二阶可导，且 （分数：2.00）_考研数学三（一元函数微分学）-试卷 16 答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：19，分数：38.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设在0，1上 f”(x)0，则 f(0),f(1),f(1)一 f(0)或 f(0)一 f(1)的大小顺序是( )（分数：2.00）A.f“(1)f“(0)f(
11、1)一 f(0)B.f(1)f(1)-f(0)f(0) C.f(1)一 f(0)f(1)f(0)D.f(1)f(0)-f(1)f(0)解析：解析：由已知 f”(x)0，x0，1，所以函数 f(x)在该区间内单调增加，又由拉格朗日中值定理，可得 f(1)一 f(0)=f()，(0，1) 于是有 f(0)f()f(1)， 即 f(0)f(1)一f(0)f(1) 故选 B3.设 f(x)= （分数：2.00）A.F(x)在 x=0 点不连续B.F(x)在 x=0 点不可导 C.F(x)在 x=0 点可导，F(0)=f(0)D.F(x)在 x=0 点可导，但 F(0)f(0)解析：解析：不必求出 F(
12、x)，利用已知结论判断设 f(x)在a，b连续，则 F(x)= x0 x f(t)dt 在a，b可导且 F(x)=f(x)(xa，b)，x 0 是a，b某定点 4.设函数 f(x)在(一，+)存在二阶导数，且 f(x)=f(一 x)，当 x0 时行 f(x)0，f”(x)0，则当 x0 时，有( )（分数：2.00）A.f(x)0，f”(x)0B.f(x)0，f”(x)0C.f(x)0，f”(x)0 D.f(x)0，f”(x)0解析：解析：由 f(x)=f(一 x)可知,f(x)为偶函数，因偶函数的导数是奇函数，奇函数的导数是偶函数，即 f(x)为奇函数,f”(x)为偶函数，因此当 x0 时，
13、有 f(x)0，f”(x)0，则当 x0 时，有 f(x)0，f”(x)0故选 C5.设 y=y(x)是二阶线性常系数微分方程 y”+py+qy=e 3x 满足初始条件 y(0)=y(0)=0 的特解，则当x0 时，函数 （分数：2.00）A.不存在B.等于 1C.等于 2 D.等于 3解析：解析：利用等价无穷小代换洛必达法则6.设 f(x)=|x(1 一 x)|，则( )（分数：2.00）A.x=0 是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点B.x=0 不是 f(x)的极值点，但(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点C.x=0 是 f(x)的极值点，且(0，0)是曲线 y=
14、f(x)的拐点 D.x=0 不是 f(x)的极值点，但(0，0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析：因为7.设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，在 x=0 处可导，且 f(0)=0(x)= （分数：2.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导但 (x)在 x=0 不连续D.可导且 (x)在 x=0 连续 解析：解析：因为 所以 (x)在 x=0 连续x0 时，8.设函数 f(x)在 x=a 的某邻域内有定义，则 f(x)在 x=a 处可导的一个充分条件是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：因9.设函数 f(x)连续，且 f(0)0，则存在 0，使得( )（分数：2
15、.00）A.f(x)在(0，)内单调增加B.f(x)在(一 ，0)内单调减少C.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0) D.对任意的 x(一 ，0)有 f(x)f(0)解析：解析：由导数定义，知 f(0)= 根据极限的保号性，存在 0，使对任意 xU (0)，有 10.设函数 f(x)对任意的 x 均满足等式 f(1+x)=af(x)，且有 f(0)=b，其中 a，b 为非零常数，则( )（分数：2.00）A.f(x)在 x=1 处不可导B.f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=aC.f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=bD.f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=ab 解析：解
16、析：因 且由 f(0)=b 可知，11.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导 D.可导解析：解析：12.周期函数 f(x)在(一，+)内可导，周期为 4，又 （分数：2.00）A.B.0C.一 1D.一 2 解析：解析：因为 f(x)在(一，+)内可导，且 f(x)=f(x+4k)，其中 k 为整数，故有 f(x)=f(x+4k) 取 x=1，k=1，可得 f(1)=f(5) 又由13.ln(1+t)dt=( ) （分数：2.00）A. B.C.ln(1+lnx)一 ln(1+2x)D.ln(1+lnx)一 2ln(1+2x)解析：解析：14
17、.设函数 f(x)与 g(x)在区间(一，+)上皆可导，且 f(x)g(x)，则必有( )（分数：2.00）A.f(一 x)g(一 x)B.f(x)g(x)C. D. 0 x f(t)dt 0 x g(t)dt解析：解析：取 f(x)=1，g(x)=2，显然满足题设条件，由此例可知选项 A、B 显然不正确，而对于选项D，因 0 x f(t)dt= 0 x 1.dt=x， 0 x g(t)dt= 0 x 2.dt=2x， 当 x0 时，选项 D 显然不正确，故选 C15.设 y=f(x)在(a，b)可微，则下列结论中正确的个数是( ) x 0 (a，b)，若 f(x 0 )0，则x0 时 （分数
18、：2.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析：逐一分析 正确因为16.已知函数 y=f(x)对一切的 x 满足 xf“(x)+3xf(x) 2 =1 一 e -x ，若 f(x 0 )=0(x 0 0)，则( )（分数：2.00）A.f(x 0 )是 f(x)的极大值B.f(x 0 )是 f(x)的极小值 C.(x 0 ,f(x 0 )是曲线 y=f(x)的拐点D.f(x 0 )不是 f(x)的极值，(x 0 ,f(x 0 )也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析：由 f(x 0 )=0 知，x=x 0 是 y=f(x)的驻点将 x=x 0 代入方程，得 x 0 f”(x 0 )+3x
19、0 f(x 0 ) 2 =1 一 e -x0 ，即得 17.设 F(x)=g(x)(x)，x=a 是 (x)的跳跃间断点，g(a)存在，则 g(a)=0，g(a)=0 是 F(x)在 x=a 处可导的( )（分数：2.00）A.充分必要条件 B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件解析：解析：因 (x)在 x=a 不可导，所以不能对 F(x)用乘积的求导法则，须用定义求 F(a)题设(x)以 x=a 为跳跃间断点，则存在 当 g(a)=0 时， 下面证明若 F(a)存在，则 g(a)=0反证法，若 g(a)0，(x)=18.已知函数 y=y(x)在任意点 x 处的增量 （分数：
20、2.00）A.2B.C.D. 解析：解析：因为函数 y=y(x)在任意点 x 处的增量 ，故由微分定义可知 dy= 此为一阶可分离变量的微分方程，分离变量得 两边积分，得 ln|y|=arctanx+C 1 ，即 y=Ce arctanx ，由 y(0)= 得 C=，于是 y(x)=e arctanx 19.设 （分数：2.00）A.f(x)的导数存在，且 f(a)0B.f(x)取得极大值 C.f(x)取得极小值D.f(x)的导数不存在解析：解析：利用赋值法求解取 f(x)一 f(a)=一(x 一 a) 2 ，显然满足题设条件，而此时 f(x)为一开口向下的抛物线，必在其顶点 x=a 处取得极
21、大值，故选 B二、填空题(总题数：6，分数：12.00)20.设函数 f(x)在 x=0 可导，且 f(0)=1,f(0)=3，则数列极限 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 6）解析：解析：原数列极限可转化为 又因 21.设 (x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：先考查 (x)的可导性并进行求导 (x)在 x=0 处的左导数为 (x)在 x=0 处的右导数为 所以 (0)=022.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：对 f(x)求导，并令 f(x)= =0，得 x=0且当
22、x0 时,f(x)0；当 x0 时，f“(x)0，所以极小值点为 x=0，极小值为 f(0)=023.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x+25y=0 与 x+y=0）解析：解析：显然原点(0，0)不在曲线上，首先求出切点坐标 则切线方程为 把(0，0)代入上式得 x 0 =一 3 或 x 0 =一 15 则斜率分别为 24.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：等式两边取对数，则有 等式两边分别对 x 求导，有 整理得25. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：sinx 2）解析：解析：三、解答题(总题数
23、：10，分数：20.00)26.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：27.求方程 karctanx 一 x=0 不同实根的个数，其中 k 为参数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=k arctanx 一 x,则 f(0)=0，且 当 k1 时，f“(x)0,f(x)在(一，+)单调递减，故此时 f(x)的图像与 x 轴只有一个交点，也即方程 k arctanx 一 x=0 只有一个实根 当 k=1 时，在(一，0)和(0，+)上都有 f(x)0，所以 f(x)在(一，0)和(0，+)是严格的单调递减，又 f(0)=0，故 f(x)的图像在
24、(一，0)和(0，+)与 x 轴均无交点 )解析：28.设函数 f(x)在(0，+)上二阶可导，且 f”(x)0，记 u n =f(n)，n=1，2，又 u 1 u 2 ，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对函数 f(x)分别在区间k，k+1(k=1，2，n，)，上使用拉格朗日中值定理 u 2 一 u 1 =f(2)一 f(1)=f( 1 )0，1 1 2， u n-1 一 u n-2 =f(n 一 1)一 f(n-2)=f( n-2 )，n 一 2 n-2 n 一 1， u n 一 u n-1 =f(n)一 f(n 一 1)=f( n-1 )，n1 n-1 n 因 f”(x)0
25、，故 f(x)严格单调增加，即有 f( n-1 )f( n-2 )f( 2 )f( 1 )=u 2 一 u 1 ， 则 u n =(u n 一 u n-1 ) +(u n-1 一 u n-2 )+(u 2 一 u 1 ) +u 1 =f( n-1 )+f( n-2 )+f( 1 )+u 1 f( 1 )+f( 1 )+f( 1 )+u 1 =(n 一 1)(u 2 一 u 1 )+u 1 ， 于是有 )解析：29.设 a 为常数，讨论方程 e x =ax 2 的实根个数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 a0 时，显然无实根以下讨论当 a0 时的情形，由题意知 x=0 显然不是原方程
26、的根，设 当 x0 时，f(x)0；当 0x2 时，f(x)0；当 x2 时，f(x)0 所以当 a0 时，f(x)在区间(一，0)上有唯一实零点 又在区间(0，+)上， )解析：30.设函数 f(x)在0，+)内二阶可导，且 f(0)=f(0)=0，并当 x0 时满足 xf“(x)+3xf(x) 2 1一 e -x 证明当 x0 时，f(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式及已知条件得 其中，x0，0x 现只需证 f”(x)1(x0)由题设条件有 令 F(x)=x 一(1 一 e -x )=x+e -x 一 1 因此 F(0)=0，F(x)=1 一 e -x 0(x0)
27、 所以 F(x)在0，+)单调增加，故 F(x)F(0)=0(x0)即 最后结合第一个等式得 )解析：31.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 所以 f(0)=0(因为 f”(x)存在，则 f(x)一定连续)且 f(x)在x=0 展成一阶麦克劳林公式 )解析：32.设函数 f(x)在 x 0 处具有二阶导数，且 f(x 0 )=0,f”(x 0 )0，证明当 f”(x 0 )0，f(x)在 x 0 处取得极小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设 f”(x 0 )0，且由导数的定义可知 )解析：33.设 f(x)在0，b可导,f(x)0(x(0，b)，t0，b，问 t
28、 取何值时，图 23 中阴影部分的面积最大?最小? （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设阴影部分面积为 S(t)， S(t)= 0 b f(t)一 f(x)dx+ t b f(x)一 f(t)dx =tf(t)一 0 t f(x)dx+ t b f(x)dx+(tb)f(t)，由 f(x)在0，b可导，则 S(t)=tf(t)+f(t)一f(t)一 f(t)+f(t)+(tb)f(t) 又 S(t)在0，b连续，也一定有最大值，且只能在 t=0 或 t=b 处取得其中 S(0)= 0 b f(x)dx 一 bf(0)，S(b)=bf(b)一 0 b f(x)dx， )解析：34.设 f(x)在a，b上二阶可导，f(a)=f(b)=0试证明至少存在一点 (a，b)使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 x=x 0 处|f(x)|最大，则有 f(x 0 )=0 由 f(a)=0,f(b)=0 有 )解析：35.设 f(x)在 x=0 处二阶可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
