1、考研数学三（一元函数微分学）-试卷 19 及答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)=|(x 一 1)(x 一 2) 2 (x 一 3) 3 |，则导数 f(x)不存在的点的个数是( )（分数：2.00）A.0B.1C.2D.33.设函数 f(x)，g(x)具有二阶导数，且 g”(x)0若 g(x 0 )=a 是 g(x)的极值，则 fg(x)在 x 0 取极大值的一个充分条件是( )（分数：2.00）A.f(a)0B.f(A)0C.f”(A)
2、0D.f”(A)04.设函数 f(x)在(0，+)上具有二阶导数，且 f”(x)0，令 u n =f(n)(n=1，2，)，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.若 u 1 u 2 ，则u n 必收敛B.若 u 1 u 2 ，则u n 必发散C.若 u 1 u 2 ，则u n 必收敛D.若 u 1 u 2 ，则u n 必发散5.函数 f(x)=(x 2 +x 一 2)|sin2x|在区间 （分数：2.00）A.3B.2C.1D.06.曲线 y=(x 一 1) 2 (x 一 3) 2 的拐点个数为( )（分数：2.00）A.0B.1C.2D.37.设 f(x)=|x|sin 2 x，则使
3、导数存在的最高阶数 n=( )（分数：2.00）A.0B.1C.2D.38.设 f(x)=x 2 (x 一 1)(x 一 2)，则 f(x)的零点个数为( )（分数：2.00）A.0B.1C.2D.39.设 f(x)在(0，+)内二阶可导，满足 f(0)=0,f”(x)0(x0)，又设 ba0，则 axb 时，恒有( )（分数：2.00）A.af(x)xf(a)B.bf(x)xf(b)C.xf(x)bf(b)D.xf(x)af(a)10.设常数 k0，函数 f(x)= （分数：2.00）A.3B.2C.1D.011.设 f(x)在(1，1+)内存在导数,f(x)严格单调减少，且 f(1)=f(
4、1)=1，则( )（分数：2.00）A.在(1，1)和(1，1+)内均有 f(x)xB.在(1，1)和(1，1+)内均有 f(x)xC.在(1，1)有 f(x)x，在(1，1+)内均有 f(x)xD.在(1，1)有 f(x)x，在(1，1+)内均有 f(x)x12.若 f”(x)不变号，且曲线 y=f(x)在点(1，1)处的曲率圆为 x 2 +y 2 =2，则函数 f(x)在区间(1，2)内( )（分数：2.00）A.有极值点，无零点B.无极值点，有零点C.有极值点，有零点D.无极值点，无零点13.设 f(x)具有二阶连续导数，且 f“(1)=0， （分数：2.00）A.f(1)是 f(x)的
5、极大值B.f(1)是 f(x)的极小值C.(1,f(1)是曲线 f(x)的拐点坐标D.f(1)不是 f(x)的极值，(1,f(1)也不是曲线 f(x)的拐点坐标二、填空题(总题数：11，分数：22.00)14.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_15.设函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_16.曲线 y=lnx 上与直线 x+y=1 垂直的切线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_17.设曲线 y=f(x)与 y=x 2 一 x 在点(1，0)处有公共的切线，则 （分数：2.00）填空项 1:_18.设 y=(1+sin) x ,则 dy| x= = 1（分数：2.00）填
6、空项 1:_19.已知 （分数：2.00）填空项 1:_20.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_21.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_22.已知 （分数：2.00）填空项 1:_23.设 y=y(x)是由方程 xy+e y =x+1 确定的隐函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_24.函数 y=x 2x 在区间(0，1上的最小值为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：22.00)25.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_26.求函数 f(x)= （分数：2.00）_27.证明 4arctanx 一 x+ （分数：2.0
7、0）_28.证明 （分数：2.00）_29.设奇函数 f(x)在一 1，1上具有二阶导数，且 f(1)=1，证明：(1)存在 (0，1)，使得 f()=1；(2)存在 (一 1，1)，使得 f”()+f()=1（分数：2.00）_30.设生产某产品的固定成本为 6000 元，可变成本为 20 元件，价格函数为 P= （分数：2.00）_31.设函数 f(x)在0，+)上可导,f(0)=0 且 证明(1)存在 a0，使得 f(a)=1；(2)对(1)中的 a，存在 (0，a)，使得 f()= （分数：2.00）_32.求 （分数：2.00）_33.设 f(x)在(一，+)内有定义，且对于任意 x
8、 与 y 均有 f(x+y)=f(x)e y +f(y)e x ，又设 f(0)存在且等于 a(a0)，试证明对任意 x,f(x)都存在，并求 f(x)（分数：2.00）_34.设函数 f(x)在(一，+)上有定义，在区间0，2上,f(x)=x(x 2 一 4)，若对任意的 x 都满足 f(x)=kf(x+2)，其中 k 为常数 (1)写出 f(x)在一 2，0)上的表达式； (2)问 k 为何值时,f(x)在 x=0 处可导（分数：2.00）_35.求极限 （分数：2.00）_考研数学三（一元函数微分学）-试卷 19 答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13
9、，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)=|(x 一 1)(x 一 2) 2 (x 一 3) 3 |，则导数 f(x)不存在的点的个数是( )（分数：2.00）A.0B.1 C.2D.3解析：解析：设 (x)=(x 一 1)(x 一 2) 2 (x 一 3) 3 ，则 f(x)=|(x)|使 (x)=0 的点x=1，x=2，x=3 可能是 f(x)的不可导点，还需考虑 (x)在这些点的值 “(x)=(x 一 2) 2 (x 一 3) 3 +2(x 一 1)(x 一 2)(x 一 3) 3 +3(x 一 1)(x
10、 一 2) 2 (x 一 3) 3 ，显然，(1)0，(2)=0，(3)=0，所以只有一个不可导点 x=1故选 B3.设函数 f(x)，g(x)具有二阶导数，且 g”(x)0若 g(x 0 )=a 是 g(x)的极值，则 fg(x)在 x 0 取极大值的一个充分条件是( )（分数：2.00）A.f(a)0B.f(A)0 C.f”(A)0D.f”(A)0解析：解析：fg(x)=fg(x).g(x)， fg(x)”=f“g(x)g(x)=f”g(x).g(x)2 +fg(x).g”(x)， 由于 g(x 0 )=a 是 g(x)的极值，所以 g(x 0 )=0 所以fg(x 0 )”=fg(x 0
11、 ).g”(x 0 )=f(a).g”(x 0 )，由于 g”(x 0 )0，要使fg(x)”0，必须有 f(a)04.设函数 f(x)在(0，+)上具有二阶导数，且 f”(x)0，令 u n =f(n)(n=1，2，)，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.若 u 1 u 2 ，则u n 必收敛B.若 u 1 u 2 ，则u n 必发散C.若 u 1 u 2 ，则u n 必收敛D.若 u 1 u 2 ，则u n 必发散 解析：解析：本题依据函数 f(x)的性质选取特殊的函数数列，判断数列u n =f(n)的敛散性 取f(x)=x 2 ，f”(x)=20，u 1 =14=u 2 ，而
12、f(n)=n 2 发散，则可排除 C；故选 D 事实上，若 u 1 u 2 ，则 5.函数 f(x)=(x 2 +x 一 2)|sin2x|在区间 （分数：2.00）A.3B.2 C.1D.0解析：解析：设 g(x)=x 2 +x 一 2，(x)=|sin2x|，显然 g(x)处处可导，(x)处处连续，有不可导点 只须考查 (x)不可导点处 g(x)是否为零 (x)=|sin2x|的图形如图 24 所示，在 只有不可导点 x=0， 1，其余均可导 因为 g(0)=-20， g(1)=0，所以 f(x)=g(x)(x)在 x=0， 6.曲线 y=(x 一 1) 2 (x 一 3) 2 的拐点个数
13、为( )（分数：2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析：对于曲线 y，有 y=2(x 一 1)(x 一 3) 2 +2(x 一 1) 2 (x 一 3)=4(x 一 1)(x 一 2)(x 一 3)， y”=4(x 一 2)(x 一 3)+(x 一 1)(x 一 3)+(x 一 1)(x 一 2p)=8(x 一 1)(2x 一 5)， 令 y”=0，得 x 1 =1， 又由 y“=8(2x 一 5)+16(x 一 1)，可得 7.设 f(x)=|x|sin 2 x，则使导数存在的最高阶数 n=( )（分数：2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析： 8.设 f(x)=x 2 (x
14、 一 1)(x 一 2)，则 f(x)的零点个数为( )（分数：2.00）A.0B.1C.2D.3 解析：解析：因为 f(0)=f(1)=f(2)=0，由罗尔定理知至少有 1 (0，1)， 2 (1，2)使 f( 1 )=f( 2 )=0，所以 f(x)至少有两个零点 又 f(x)中含有因子 x，故 x=0 也是 f(x)的零点，故选 D9.设 f(x)在(0，+)内二阶可导，满足 f(0)=0,f”(x)0(x0)，又设 ba0，则 axb 时，恒有( )（分数：2.00）A.af(x)xf(a)B.bf(x)xf(b) C.xf(x)bf(b)D.xf(x)af(a)解析：解析：将 A，B
15、 选项分别改写成 于是，若能证明 或 xf(x)的单调性即可 又因 令 g(x)=xf(x)-f(x)，则 g(0)=0， g(x)=xf”(x)0(x0)， 那么 g(x)g(0)=0(x0)，10.设常数 k0，函数 f(x)= （分数：2.00）A.3B.2 C.1D.0解析：解析：因 f(x)= 令 f(x)=0，得唯一驻点 x=e，且在 f(x)的定义域内无 f(x)不存在的点，故 f(x)在区间(0，e)与(e，+)内都具有单调性 又 f(e)=k0，而，11.设 f(x)在(1，1+)内存在导数,f(x)严格单调减少，且 f(1)=f(1)=1，则( )（分数：2.00）A.在(
16、1，1)和(1，1+)内均有 f(x)x B.在(1，1)和(1，1+)内均有 f(x)xC.在(1，1)有 f(x)x，在(1，1+)内均有 f(x)xD.在(1，1)有 f(x)x，在(1，1+)内均有 f(x)x解析：解析：f(x)在(1，1+)严格单调减少，则 f(x)在(1，1+)是凸的，因此在此区间上，y=f(x)在点(1，1)处的切线 y 一 1=f“(1)(x 一 1)，即 y=x 在此曲线的上方(除切点外)因此 f(x)x(x(1，1+)，x1)12.若 f”(x)不变号，且曲线 y=f(x)在点(1，1)处的曲率圆为 x 2 +y 2 =2，则函数 f(x)在区间(1，2)
17、内( )（分数：2.00）A.有极值点，无零点B.无极值点，有零点 C.有极值点，有零点D.无极值点，无零点解析：解析：由题意可知，f(x)是一个凸函数，即 f”(x)0，且在点(1，1)处的曲率13.设 f(x)具有二阶连续导数，且 f“(1)=0， （分数：2.00）A.f(1)是 f(x)的极大值B.f(1)是 f(x)的极小值 C.(1,f(1)是曲线 f(x)的拐点坐标D.f(1)不是 f(x)的极值，(1,f(1)也不是曲线 f(x)的拐点坐标解析：解析：选取特殊 f(x)满足:f”(x)=二、填空题(总题数：11，分数：22.00)14.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （
18、正确答案：正确答案：*）解析：解析：在点 在曲线方程两端分别对 x 求导，得 因此所求的切线方程为15.设函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析： =f(一 1)f(0)，而当 x1 时，f(x)=2，因此 f(一 1)=f(0)=2，代入可得16.曲线 y=lnx 上与直线 x+y=1 垂直的切线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=x 一 1）解析：解析：由题干可知，所求切线的斜率为 1 由17.设曲线 y=f(x)与 y=x 2 一 x 在点(1，0)处有公共的切线，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （
19、正确答案：正确答案：一 2）解析：解析：本题主要考查导数的极限表示和曲线在某点的切线根据已知条件有18.设 y=(1+sin) x ,则 dy| x= = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 dx）解析：解析：等式转换为：y=(1+sinx) x =e xln(1+sinx) ，于是 19.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：易知20.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：本题求函数的高阶导数，利用归纳法求解21.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(一 1，
20、一 6)）解析：解析：22.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：在方程两端分别对 x 求导，得 其中 y=y(x)是由方程 xy=e x+y 所确定的隐函数 23.设 y=y(x)是由方程 xy+e y =x+1 确定的隐函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 3）解析：解析：在方程 xy+e y =x+1 两边对 x 求导，有 y+xy+ye y =1，得 对 y+xy+ye y =1再次求导，可得 2y+xy”+y”e y +(y) 2 e y =0，得 当 x=0 时，y=0，y(0)=1，代入(*)得 24.函数
21、y=x 2x 在区间(0，1上的最小值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于三、解答题(总题数：11，分数：22.00)25.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：26.求函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 可得，x=0，1 列表讨论如下： 因此,f(x)的单调增加区间为(一 1，0)及(1，+)，单调减少区间为(一，一 1)及(0，1)；极小值为 f(1)=f(一 1)=0，极大值为 f(0)= )解析：27.证明 4arctanx 一 x+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
22、)解析：28.证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 故 f(x)0，而 f(0)=0，所以有 f(x)0，即得 故 f(x)0，因此仍有 f(x)f(0)=0，即得 )解析：29.设奇函数 f(x)在一 1，1上具有二阶导数，且 f(1)=1，证明：(1)存在 (0，1)，使得 f()=1；(2)存在 (一 1，1)，使得 f”()+f()=1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 F(x)=f(x)一 x，F(0)=f(0)=0，F(1)=f(1)一 1=0， 则由罗尔定理知，存在(0，1)使得 F()=0，即 f()=1 (2)令 G(x)=e x f(x)一 1，
23、由(1)知，存在 (0，1)，使 G()=0，又因为 f(x)为奇函数，故 f(x)为偶函数，知 G(一 )=0，则存在 (一 ，) )解析：30.设生产某产品的固定成本为 6000 元，可变成本为 20 元件，价格函数为 P= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：已知 P=60 一 ，因此 Q=1000(60 一 P).由 总成本 C(P)=60000+20Q=126000020000P， 总收益尺(P)=PQ=一 1000P 2 +60000P， 总利润 L(P)=R(P)一 C(P)=一1000P 2 +80000P 一 1260000 (1)边际效益 L(P)=一 2000P+8
24、0000 (2)当 P=50 时的边际利润为 L(50)=一 2000 50+80000=一 2000，其经济意义为在 P=50 时，价格每提高 1 元，总利润减少 2000 元 (3)由于 )解析：31.设函数 f(x)在0，+)上可导,f(0)=0 且 证明(1)存在 a0，使得 f(a)=1；(2)对(1)中的 a，存在 (0，a)，使得 f()= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 F(x)=f(x)一 1，x0 因为 =2，所以存在 X0，当 xX 时,f(x)1，不妨令 x 0 X，则 f(x 0 )1，所以 F(x 0 )0 又因为 F(0)=一 10，根据零点存
25、在性定理，存在 a(0，x 0 ) (0，+)，使得 F(a)=0，即 f(a)=1 (2)函数在0，a上连续，在(0，a)内可导，由拉格朗日中值定理，存在 (0，a)使得 )解析：32.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 其中 sinxtanx，上式的前一项来自拉格朗日中值定理 )解析：33.设 f(x)在(一，+)内有定义，且对于任意 x 与 y 均有 f(x+y)=f(x)e y +f(y)e x ，又设 f(0)存在且等于 a(a0)，试证明对任意 x,f(x)都存在，并求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 x=y=0 代入 f(x+y)=f(x)e y
26、 +f(y)e x ，得 f(0)=0，为证明 f(x)存在，则由导数的定义 )解析：34.设函数 f(x)在(一，+)上有定义，在区间0，2上,f(x)=x(x 2 一 4)，若对任意的 x 都满足 f(x)=kf(x+2)，其中 k 为常数 (1)写出 f(x)在一 2，0)上的表达式； (2)问 k 为何值时,f(x)在 x=0 处可导（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)当一 2x0，即 0x+22 时，则 f(x)=kf(x+2)=k(x+2)(x+2) 2 一 4=kx(x+2)(x+4)， 所以 f(x)在一 2，0)上的表达式为 f(x)=kx(x+2)(x+4) (2)由题设知 f(0)=0 )解析：35.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先作变量替换并转化为 型未定式，然后用洛必达法则 )解析：
