1、考研数学三（一元函数微分学）-试卷 1 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，且满足 （分数：2.00）A.是 f(x)的驻点，且为极大值点B.是 f(x)的驻点，且为极小值点C.是 f(x)的驻点，但不是极值点D.不是 f(x)的驻点3.设 f(x)在 x=0 的某邻域内有二阶连续导数，且 f“(0)=0， （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.(0，f(0)是
2、曲线 y=f(x)的拐点D.x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点4.设 f(x)，g“(x)，“(x)的图形分别为 （分数：2.00）A.y=f(x)B.y=f(x)，y=g(x)C.y=f(x)，y=(x)D.y=f(x)，y=g(x)，y=(x)5.曲线 （分数：2.00）A.1B.2C.3D.4.6.设 f(x)在 x=x 0 可导，且 f(x 0 )=0，则 f“(x 0 )=0 是f(x)在 x 0 可导的( )条件（分数：2.00）A.充分非必要B.充分必要C.必要非充分D.既非充分也非必要二、解答题(总题数：21，分数：42.00)7.解答
3、题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_8.证明当 x(-1，1)时成立函数恒等式 arctanx= （分数：2.00）_9.设 f(x)在(a，b)内可导，证明：对于 （分数：2.00）_10.求 y(x)= （分数：2.00）_11.求曲线 y=xe -x 在点 （分数：2.00）_12.求曲线 （分数：2.00）_13.设曲线 y=x 2 +ax+b 和 2y=-1+xy 3 在点(1，-1)处相切，求常数 a，b（分数：2.00）_14.设总成本关于产量 x 的函数为 C(x)=400+3x+ ，需求量 x 关于价格 P 的函数为 P= （分数：2.00）_15.
4、设某产品的需求函数 Q=Q(P)是单调减少的，收益函数 R=PQ，当价格为 P 0 ，对应的需求量为 Q 0 时，边际收益 R“(Q 0 )=2，而 R“(P 0 )=-150，需求对价格的弹性 E P 满足E P = （分数：2.00）_16.设某商品需求量 Q 是价格 p 的单调减函数 Q=Q(p)，其需求弹性 ()设 R 为总收益函数，证明（分数：2.00）_17.在椭圆 （分数：2.00）_18.求 f(x)= （分数：2.00）_19.求 （分数：2.00）_20.求 （分数：2.00）_21.求 arctanx 带皮亚诺余项的 5 阶麦克劳林公式（分数：2.00）_22.求极限 （
5、分数：2.00）_23.确定常数 a 和 b 的值，使 f(x)= （分数：2.00）_24.设 f(x)在 x=0 处 n(n2)阶可导且 （分数：2.00）_25.设 0x （分数：2.00）_26.设 f(x)在0，1二阶可导，且f(0)a，f(1)a，f“(x)b，其中 a，b 为非负常数，求证：对任何 c(0，1)，有 （分数：2.00）_27.设函数 f(x)在0，1上具有二阶导数，且 f(0)=f(1)=0， =-1证明： （分数：2.00）_考研数学三（一元函数微分学）-试卷 1 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选
6、择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，且满足 （分数：2.00）A.是 f(x)的驻点，且为极大值点B.是 f(x)的驻点，且为极小值点C.是 f(x)的驻点，但不是极值点 D.不是 f(x)的驻点解析：解析：本题应先从 x=0 是否为驻点入手，即求 f“(0)是否为 0；若是，再判断是否为极值点 由可知 x=0 是 f(x)的驻点再由极限的局部保号性还知，在 x=0 的某去心邻域内3.设 f(x)在 x=0 的某邻域内有二阶连续导数，且 f“(0)=0， （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极
7、大值B.f(0)是 f(x)的极小值 C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析：由于 又 f(x)在 x=0 的某邻域内有二阶连续导数，所以 f“(0)=0，但不能确定点(0，f(0)为曲线 y=f(x)的拐点由 ，根据极限的保号性可知，在 x=0 的某邻域内必有4.设 f(x)，g“(x)，“(x)的图形分别为 （分数：2.00）A.y=f(x)B.y=f(x)，y=g(x)C.y=f(x)，y=(x)D.y=f(x)，y=g(x)，y=(x) 解析：解析：(1)由 f(x)的图形可知，在(x 0
8、，x 1 )上为凸弧，(x 1 ，x 2 )上为凹弧，(x 2 ，+)为凸弧，故(x 1 ，f(x 1 )，(x 2 ，f(x 2 )是 y=f(x)的两个拐点又因 f(x)在点 x=x 0 处不连续，所以点(x 0 ，f(x 0 )不是拐点(拐点定义要求函数在该点处连续) (2)由 g“(x)的图形可知，在 x=x 1 和x=x 2 处有 g“(x)=0，且在 x=x 1 ，x=x 2 的左右两侧二阶导数异号，故有两个拐点(x 1 ，g(x 1 )与(x 2 ，g(xv)由于在 x 0 处 g“(x)不连续，且在 x 0 附近，当 xx 0 和 xx 0 时均有 g“(x)0，故点(x 0
9、，g(x 0 )不是拐点因此 g(x)只有两个拐点 5.曲线 （分数：2.00）A.1B.2C.3D.4. 解析：解析：先考察垂直渐近线间断点为 x=0 与 x=1因 ，所以 x=0x=1 分别是该曲线的垂直渐近线 再考察水平渐近线由于 所以沿 x+方向无水平渐近线又 所以沿 x+方向有水平渐近线 y=0 最后考察斜渐近线由于6.设 f(x)在 x=x 0 可导，且 f(x 0 )=0，则 f“(x 0 )=0 是f(x)在 x 0 可导的( )条件（分数：2.00）A.充分非必要B.充分必要 C.必要非充分D.既非充分也非必要解析：解析：按定义f(x)在 x 0 可导 存在 因f(x)在 x
10、=x 0 处的右导数与左导数分别是 由可导的充要条件知f“(x 0 )=f“(x 0 ) 二、解答题(总题数：21，分数：42.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：8.证明当 x(-1，1)时成立函数恒等式 arctanx= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=arctanx，g(x)= ，要证 f(x)=g(x)当 x(-1，1)时成立，只需证明：1f(x)，g(x)在(-1，1)可导且当 x(-1，1)时 f“(x)=g“(x)； 2 存在 x 0 (-1，1)使得 f(x 0 )=g(x 0 ) 由初等函数的性质知 f(x
11、)与 g(x)都在(-1，1)内可导，计算可得 )解析：9.设 f(x)在(a，b)内可导，证明：对于 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：充分性：设(*)成立， ，x 2 (a，b)且 x 1 x 2 ，则 f(x 2 )f(x 1 )+f“(x 1 )(x 2 -x 1 )，f(x 1 )f(x 2 )+f“(x 2 )(x 1 -x 2 ) 两式相加可得f“(x 1 )-f“(x 2 )(x 2 -x 1 )0，于是由 x 1 x 2 知 f“(x 1 )f“(x 2 )，即 f“(x)在(a，b)单调减少 必要性：设 f“(x)在(a，b)单调减少对于 )解析：10.求 y(x)
12、= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()先求驻点与不可导点由 当 xx 1 时 y“0，y=y(x)为增函数；当 x 1 x1 时 y“0，y=y(x)为减函数；当 x=1 时函数无定义 y=y(x)不可导；当 1xx 2 时y“0，y=y(x)为减函数；当 xx 2 时 y“0，y=y(x)为增函数于是 x=x 1 为极大值点，x=x 2 为极小值点，x=1 为不可导点 ()再考虑凹凸区间与拐点由 令 y“=0，解得 3 = ；在 x=1 处y“不存在 当 x1 时 y“0，y=y(x)图形为凹；当 x1 时 y“(x)0，y=y(x)图形为凹，于是 y=y(x)图形的拐点为 ()
13、最后考察渐近线由于 因此 x=1 为曲线 y=y(x)的垂直渐近线又 ，因此无水平渐近线由 )解析：11.求曲线 y=xe -x 在点 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 y“=(1-x)e -x ，于是 y“(1)=0从而曲线 y=xe -x 在点 处的切线方程是 )解析：12.求曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 y“(0)= )解析：13.设曲线 y=x 2 +ax+b 和 2y=-1+xy 3 在点(1，-1)处相切，求常数 a，b（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 y=x 2 +ax+b 在点(1，-1)处切线的斜率为 y“=(x 2 +ax+
14、b)“ x=1 =2+a 将方程 2y=-1+xy 3 对 x 求导得 2y“=y 3 +3xy 2 y“由此知，该曲线在点(1，-1)处的斜率 y“(1)满足2y“(1)=(-1) 3 +3y“(1)，解出得 y“(1)=1因这两条曲线在点(1，-1)处相切，所以在该点它们切线的斜率相同，即 2+a=1，即 a=-1又曲线 y=x 2 +ax+b 过点(1，-1)，所以 1+a+b=-1，即 b=-2-a=-1因此 a=-1，b=-1)解析：14.设总成本关于产量 x 的函数为 C(x)=400+3x+ ，需求量 x 关于价格 P 的函数为 P= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由
15、边际成本的定义知，边际成本 MC=C“(x)=3+x 又因总收益函数 R=Px= 从而边际利润 ML=MR-MC= -x-3 由于函数 ，由此可得收益对价格的弹性 )解析：15.设某产品的需求函数 Q=Q(P)是单调减少的，收益函数 R=PQ，当价格为 P 0 ，对应的需求量为 Q 0 时，边际收益 R“(Q 0 )=2，而 R“(P 0 )=-150，需求对价格的弹性 E P 满足E P = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因需求函数 Q=Q(P)单调减少，故需求对价格的弹性 E P 0，且反函数 P=P(Q)存在 由题设知 Q 0 =Q(P 0 )，P 0 =P(Q 0 )，且
16、把它们代入分析中所得的关系式就有 )解析：解析：为了解决本题，必须建立 R“(Q)，R“(P)与 E P 之间的关系 因 R=PQ=PQ(P)，于是 R“(P)=Q(P)+ =Q(1+E P ) 设 P=P(Q)是需求函数 Q=Q(P)的反函数，则 R=PQ=QP(Q)，于是 16.设某商品需求量 Q 是价格 p 的单调减函数 Q=Q(p)，其需求弹性 ()设 R 为总收益函数，证明（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() R(p)=pQ(p)，两边对 p 求导得 )解析：17.在椭圆 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设椭圆内接矩形在第一象限中的顶点为 M(x，y)，则矩形的面
17、积为 下面求S(x)在0，a上的最大值先求 S“(x)： 令 S“(x)=0 解得 )解析：18.求 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 解得唯一驻点 x 0 =e -2 (0，+) 当 x(0，e -2 )时 f“(x)0，f(x)单调减少；当 x(e -2 ，+)时 f“(x)0，f(x)单调增加， 于是 x 0 =e -2 为 f(x)的极小值点另一方面，由 )解析：19.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把 t=-x 2 代入 e t = (t0)即得 )解析：21.求 arctanx 带皮
18、亚诺余项的 5 阶麦克劳林公式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于(arctanx)“= =1-x 2 +x 4 +o(x 5 )，由该式逐项积分即得 )解析：22.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.确定常数 a 和 b 的值，使 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 不难看出当 1-a-b=0 与 同时成立 f(x)才能满足题设条件由此可解得常数 a= )解析：24.设 f(x)在 x=0 处 n(n2)阶可导且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)先转化已知条件由 再用当 x0 时的等价无穷小替换 ln1+f(x)-f(
19、x)，可得 2)用 o(1)表示当 x0 时的无穷小量，由当 x0 时的极限与无穷小的关系 =4+o(1)，并利用 x n o(1)=o(x n )可得 f(x)=4x n +o(x)从而由泰勒公式的唯一性即知 f(0)=0，f“(0)=0，f (n-1) (0)=0， )解析：25.设 0x （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由带拉格朗日余项的泰勒公式 )解析：26.设 f(x)在0，1二阶可导，且f(0)a，f(1)a，f“(x)b，其中 a，b 为非负常数，求证：对任何 c(0，1)，有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：考察带拉格朗日余项的一阶泰勒公式： (0，1)，有
20、 f(x)=f(c)+f“(c)(x-c)+ f“()(x-c) 2 ， (*) 其中 =c+(x-c)，01 在(*)式中，令 x=0，得 f(0)=f(c)+f“(c)(-c)+ f“( 1 )c 2 ，0 1 c1； 在(*)式中，令 x=1，得 f(1)=f(c)+f“(c)(1-c)+ f“( 2 )(1-c) 2 ，0c 2 1 上面两式相减得 f(1)-f(0)=f“(c)+ f“( 2 )(1-c) 2 -f“( 1 )c 2 从而 f“(c)=f(1)-f(0)+ f“( 1 )c 2 -f“( 2 )(1-c) 2 ，两端取绝对值并放大即得 )解析：解析：证明与函数的导数在
21、某一点取值有关的不等式时，常常需要利用函数在某点的泰勒展开式本题涉及证明f“(c)2a+27.设函数 f(x)在0，1上具有二阶导数，且 f(0)=f(1)=0， =-1证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 f(x)在 x 0 = 处展成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，有 在上式中分别令 x=0，x=1，并利用八 f(0)=f(1)=0 即得 将式与式相加消去未知的一阶导数值 )解析：解析：为了得到 f“(x)的估值可以利用泰勒公式找出它与 f(0)，f(1)及 minf(x)之间的关系. 由于题设条件中给出了 f(0)与 f(1)的函数值，又涉及二阶导数 f“(x)，因此可考虑利用 f(0)和 f(1)在展开点 x 0 =
