1、考研数学三（一元函数微分学）-试卷 6 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：10，分数：20.00)1.设 f(x)有任意阶导数且 f“(x)=f 3 (x)，则 f (n) (x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_2.设 y=arctanx，则 y (4) (0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_3.f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_4.设 f(x)=xe x ，则 f (n) (x)在点 x= 1 处取极小值 2（分数：2.00）填空项 1:_5.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_6.曲线 y= （分数：2.00
2、）填空项 1:_7.曲线(x-1) 3 =y 2 上点(5，8)处的切线方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_8.曲线 y=lnx 上与直线 x+y=1 垂直的切线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设某商品的需求量 Q 与价格 P 的函数关系为 Q=aP b ，其中 a 和 b 是常数，且 a0，则该商品需求对价格的弹性 （分数：2.00）填空项 1:_10.设某商品的需求量 Q 与价格 P 的函数关系为 Q=100-5P若商品的需求弹性的绝对值大于 1，则该商品价格 P 的取值范围是 1（分数：2.00）填空项 1:_二、解答题(总题数：17，分数：34.00)11.解答题解
3、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_12.计算下列各题： （分数：2.00）_13.计算下列各题： ()由方程 x y =y x 确定 x=x(y)，求 ()方程 y -x e y =1 确定 y=y(x)，求 y“ ()设 2x-tan(x-y)= （分数：2.00）_14.设函数 f(x)有反函数 g(x)，且 f9a)=3，f“(a)=1，f“(a)=2，求 g“(3)（分数：2.00）_15.设 f(x)在 x=0 点的某邻域内可导，且当 x0 时 f(x)0，已知 f(0)=0，f“(0)= ，求极限（分数：2.00）_16.设 f(x)= （分数：2.00）_
4、17.设 f(x)= （分数：2.00）_18.求函数 y= （分数：2.00）_19.已知 f(x)=ax 3 +x 2 +2 在 x=0 和 x=-1 处取得极值，求 f(x)的单调区间、极值点和拐点（分数：2.00）_20.设 f(x)的定义域为1，+)，f(x)在1，+)可积，并且满足方程 （分数：2.00）_21.求 a 的范围，使函数 f(x)=x 3 +3ax 2 -ax1 既无极大值又无极小值（分数：2.00）_22.设 f(x)= （分数：2.00）_23.设 f(x)= (I)求 f“(x)； ()证明：x=0 是 f(x)的极大值点； ()令 ，考察 f“(x n )是正
5、的还是负的，n 为非零整数； ()证明：对 （分数：2.00）_24.设 y=f(x)= （分数：2.00）_25.求曲线 （分数：2.00）_26.求函数 F(x)= （分数：2.00）_27.证明：aretanx= （分数：2.00）_考研数学三（一元函数微分学）-试卷 6 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：10，分数：20.00)1.设 f(x)有任意阶导数且 f“(x)=f 3 (x)，则 f (n) (x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(2n-1)!f 2n+1 (x)）解析：解析：用归纳法由 f“(x)=f 3 (
6、x=1.f 3 (x)求导得 f“(x)=1.3f 2 (x)f“(x)=1.3f 5 (x)，再求导又得 f“(x)=13.5f 4 (x)f“(x)=1.3.5f 7 (x)，由此可猜想 f (n) (x)=1.3(2n-1)f 2n+1 (x)=(2n-1)!f 2n+1 (x)(n=1，2，3，) 设 n=k 上述公式成立，则有 f (k+1) (x)=f (k) (x)“=(2k-1)!f 2k+1 (z)“ =(2k-1)!(2k+1)f 2k (x)f“(x)=(2k+1)!f 2k+3 (x)， 由上述讨论可知当 n=1，2，3，时 f (n) (x)=(2n-1)!f 2n+
7、1 (x)成立2.设 y=arctanx，则 y (4) (0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：因 y=arctanx 是奇函数，且 y 具有任何阶连续导数，从而 y“，y“是偶函数，y“，y (4) 是奇函数，故 y (4) (0)=03.f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析：由 f(x)的定义可知，当 x0 时 f“(x)=2xlnx+x 2 . =x(2lnx+1)，又 =0，即 f“(0)=0从而 这表明 f(x)有三个驻点 列表讨论 f(x)的单调性如下： 即
8、x=0 是 f(x)的极大值点， 4.设 f(x)=xe x ，则 f (n) (x)在点 x= 1 处取极小值 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-(n+1)，-e -(n+1)）解析：解析：由归纳法可求得 f (n) (x)=(n+x)e x ，由 f (n+1) (x)=(n+1+x)e x =0 得 f (n) (x) 的驻点 x 0 =-(n+1)因为 5.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=0）解析：解析：函数 的定义域是(-，+)，因而无铅直渐近线又因 故曲线6.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：
9、正确答案：*）解析：解析：本题中曲线分布在右半平面 x0 上，因 ，故该曲线无垂直渐近线又7.曲线(x-1) 3 =y 2 上点(5，8)处的切线方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=8+3(x-5)）解析：解析：由隐函数求导法，将方程(x-1) 3 =y 2 两边对 x 求导，得 3(x-1) 2 =2yy“ 令 x=5，y=8即得 y“(5)=3故曲线(x-1) 3 =y 2 在点(5，8)处的切线方程是 y=8+3(x-5) 8.曲线 y=lnx 上与直线 x+y=1 垂直的切线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=x-1）
10、解析：解析：与直线 x+y=1 垂直的直线族为 y=x+c，其中 c 是任意常数，又因 y=lnx 上点(x 0 ，y 0 )=(x 0 ，lnx 0 )(x 0 0)处的切线方程是 ，从而，切线与 x+y=1 垂直的充分必要条件是 9.设某商品的需求量 Q 与价格 P 的函数关系为 Q=aP b ，其中 a 和 b 是常数，且 a0，则该商品需求对价格的弹性 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：b）解析：解析：10.设某商品的需求量 Q 与价格 P 的函数关系为 Q=100-5P若商品的需求弹性的绝对值大于 1，则该商品价格 P 的取值范围是 1（分数：2.00）填空项
11、1:_ （正确答案：正确答案：10P20）解析：解析：由 Q=100-5P0 P0，20二、解答题(总题数：17，分数：34.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：12.计算下列各题： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()用复合函数求导法则与导数的四则运算法则可得 ()用对数求导法因 ，两边对 x 求导数得 () dy=d(e xsinx )=e xsinx d(xsinx)=e xsinx sinxdx+xd(sinx)=e xsinx (sinxdx+xcosxdx)=e xsinx (sinx+xcosx)dx () )解析：13.
12、计算下列各题： ()由方程 x y =y x 确定 x=x(y)，求 ()方程 y -x e y =1 确定 y=y(x)，求 y“ ()设 2x-tan(x-y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因 x y =y x ylnx=xlny，其中 x=x(y)，将恒等式两边对 y 求导数得 ()因 y -x e y =1 y=xlny将恒等式两边对 x 求导数，得 将恒等式两边对 x 求导数，得 )解析：14.设函数 f(x)有反函数 g(x)，且 f9a)=3，f“(a)=1，f“(a)=2，求 g“(3)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 y=f(x)应注意到，g(
13、x)为 f(x)的反函数，已经改变了变量记号，为了利用反函数导数公式，必须将 g(x)改写为 g(y) 由反函数求导公式有 f“(x)g“(y)=1，将该等式两边关于 x 求导得 f“(x)g“(y)+f“(x)g“(y)y“ x =0， 或 f“(x)g“(y)+f“(x) 2 g“(y)=0 注意到 g“(3)= )解析：15.设 f(x)在 x=0 点的某邻域内可导，且当 x0 时 f(x)0，已知 f(0)=0，f“(0)= ，求极限（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：所求极限为 1 型，设法利用重要极限，并与导数 f“(0)的定义相联系由于 因此，由复合函数的极限运算性质，只需
14、考虑极限 由于 f(0)=0，f“(0)= 存在，故上述极限可利用极限的乘法运算求得，即有 )解析：16.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：为使 f“(0)存在，需 f(x)，f“(x)在 x=0 处连续由 f(x)的连续性，有 由 f“(x)在 x=0 处的连续性，有 从而可得 b=1 欲使 f“(0)存在，需 f“ - (0)=f“ + (0)又 )解析：17.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 f(0)=f(0+0)=9arctanx+2b(x-1) 3 x=0 =-2b， 故当-2b=2a，即a=-b 时，f(x)在 x=0 处连续
15、当 a=-b 时有 )解析：18.求函数 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：函数 y= 的定义域是(-，1)(1，+)，且函数无奇偶性、对称性与周期性，又 从而函数的一、二阶导数的零点分别是 x=0 与 x= 列表讨论函数的单调性与函数图形的凹凸性如下： 故函数的单调减少区间为(-，0(1，+)；单调增加区间为0，1)；极小值点为 x=0函数图形的凸区间为 )解析：19.已知 f(x)=ax 3 +x 2 +2 在 x=0 和 x=-1 处取得极值，求 f(x)的单调区间、极值点和拐点（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f“(x)=3ax 2 +2x，f“(0)=0，f“(
16、-1)=3a-2=0，从而 a= ，于是 f“(x)=2x 2 +2x，f“(x)=4x+2令 f“(x)=0，得 x= 列表讨论函数的单调性与函数图形的凹凸性如下： 由此可知，f(x)在(-，-1)(0，+)内单调增加，在(-1，0)内单调减少；极大值 f(-1)= )解析：20.设 f(x)的定义域为1，+)，f(x)在1，+)可积，并且满足方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先确定 f(x)的表达式，由题设 f(x)在1，+)可积，于是可设 ，代入即得 )解析：21.求 a 的范围，使函数 f(x)=x 3 +3ax 2 -ax1 既无极大值又无极小值（分数：2.00）_正
17、确答案：(正确答案：f“(x)=3x 2 +6ax-a， 当 =36a 2 +12a0 时，f(x)无驻点，即 f(x)无极值点 当 =36a 2 +12a=0，即 a= 或 f“(x)=3x 2 ，此时所对应的函数分别为 f(x)= 或 f(x)=x 3 +c 2 ，由此可知其无极值点 当 0 时，f(x)有两个驻点，且为极值点 所以当 )解析：22.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f“(x)=0 的点及 f“(x)不存在的点都可能是极值点，为此先求 f“(x) 当 x0 时，f“(x)=(x 2x )“=(e 2xlnx )“=e 2xlnx (2lnx+2)=2
18、x 2x (lnx+1)； 当 x0 时，f“(x)=(x+2)“=1又 所以 f(x)在点 x=0 处不连续，从而不可导，于是 令 f“(x)=0，得驻点 x= 是可能的极值点 在点 x= 为 f(x)的极小值点，极小值为 在点 x=0 处：由于当 x0 时 f“(x)=10，所以 f(x)单调增加，从而 f(x)f(0)=2；而当 0x ，存在 0，当 0x 时f(x)-1 )解析：23.设 f(x)= (I)求 f“(x)； ()证明：x=0 是 f(x)的极大值点； ()令 ，考察 f“(x n )是正的还是负的，n 为非零整数； ()证明：对 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案
19、：()当 x0 时按求导法则得 当 x=0 时按导数定义得 ()由于 f(x)-f(0)= (x0)，即 f(x)f(0)，于是由极值的定义可知 x=0 是 f(x)的极大值点 ()对 负奇数且n充分大时 x n (-，0)，f“(x n )0 f(x)在(-，0)不单调上升；当 n 为正偶数且 n 充分大时 x n (0，)，f“(x n )0 )解析：24.设 y=f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 =0，而 f(0)=0，所以 f(x)在 x=0 处右连续又 x0 时 f(x)为初等函数，所以连续因此 f(x)在0，+)上连续 因为 x0 时 f“(x)= ，令
20、f“(x)=0，解得驻点为x=e因 故当 0xe 时，f“(x)0；当 xe 时 f“(x)0，所以 f(x)在(0，e)上严格增加，在(e，+)上严格减少 由上述 f(x)的单调性得 f(e)= 为极大值，无极小值由于 )解析：25.求曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设渐近线方程为 y=kx+b，则 令 t= ，并应用洛必达法则即得 因此，渐近线方程为 )解析：26.求函数 F(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因当 0x1 时， F“(x)=1-x+(1-x)=2(1-x)0， )解析：27.证明：aretanx= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：引入函数 f(x)=arctanx-arcsin ，则 f(x)在(-，+)上具有连续导数，且 f(0)=0，又 从而当 x(-，+)时 f(x)=f(0)=0，即 )解析：
