1、考研数学三（一元函数积分学）-试卷 11 及答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 (x)在a，b上连续，且 (x)0，则函数 y= a b xt(t)dt 的图形在(a，b)内( )（分数：2.00）A.为凸B.为凹C.有拐点D.有间断点3. （分数：2.00）A.F(x)为 f(x)的一个原函数B.F(x)在(，+)上可微，但不是 f(x)的原函数C.F(x)在(，+)上不连续D.F(x)在(，+)上连续，但不是 f(x)的原函数4.设 （分数：2.
2、00）A.f(x)不连续且不可微，F(x)可微，且为 f(x)的原函数B.f(x)不连续，不存在原函数，因而 F(x)不是 f(x)的原函数C.f(x)和 F(x)均为可微函数，且 F(x)为 f(x)的一个原函数D.f(x)连续，且 F(x)=f(x)5.设 F(x)= x x+2 e sint sintdt,则 F(x) ( )（分数：2.00）A.为正常数B.为负常数C.恒为零D.不为常数6.设 f(x)是以 l 为周期的周期函数，则 a+kl a+(k+1)l f(x)dx 之值 ( )（分数：2.00）A.仅与 a 有关B.仅与 a 无关C.与 a 及 k 都无关D.与 a 及 k
3、都有关二、填空题(总题数：11，分数：22.00)7.设 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 （分数：2.00）填空项 1:_9. （分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(x)有一个原函数 （分数：2.00）填空项 1:_11. （分数：2.00）填空项 1:_12. （分数：2.00）填空项 1:_13. 0 tsintdt= 1（分数：2.00）填空项 1:_14. （分数：2.00）填空项 1:_15.设 f(sin 2 x)=cos2x+tan 2 x(0x1)，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设 y=y(x)，若 （分数：2.00）填空项 1:_17
4、.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_19.设函数 f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0，1)内大于零，并且满足 xf(x)=f(x)+ （分数：2.00）_20.设函数 y(x)(x0)二阶可导且 y(x)0，y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一点 P(x，y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S 1 ，区间0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S 2 ，并设 2S 1 S 2 恒为 1，求此曲
5、线 y=y(x)的方程（分数：2.00）_21.设 f(x)在(，+)内连续，以 T 为周期，证明： (1) a a+T f(x)dx= 0 T f(x)dx(a 为任意实数)；(2) 0 x f(t)dt 以 T 为周期 0 T f(x)dx=0； (3)f(x)dx(即 f(x)的全体原函数)周期为 T （分数：2.00）_22.计算不定积分 （分数：2.00）_23.计算不定积分 （分数：2.00）_24.求定积分的值 （分数：2.00）_25.设常数 0a1，求 （分数：2.00）_26.已知 （分数：2.00）_27.设 a，b 均为常数，a2，a0，求 a，b 为何值时，使 （分数
6、：2.00）_28.直线 y=x 将椭圆 x 2 +3y 2 =6y 分为两块，设小块面积为 A，大块面积为 B，求 （分数：2.00）_29.设 f(x)= ，求曲线 y=f(x)与直线 y= （分数：2.00）_30.设 g(x)= （分数：2.00）_31.设函数 f(x)在0，1上连续，(0，1)内可导，且 3 （分数：2.00）_32.设 f(x)，g(x)在a，b上连续证明：至少存在一点 (a，b)，使得 f() b g(x)dx=g() a f(x)dx（分数：2.00）_33.设 f(x)在区间0，1上连续，在(0，1)内可导，且满足 f(1)=3 （分数：2.00）_34.设
7、函数 f(x)有连续导数，F(x)= 0 x f(t)f(2at)dt证明： F(2a)2F(a)=f 2 (a)f(0)f(2a)（分数：2.00）_考研数学三（一元函数积分学）-试卷 11 答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 (x)在a，b上连续，且 (x)0，则函数 y= a b xt(t)dt 的图形在(a，b)内( )（分数：2.00）A.为凸B.为凹 C.有拐点D.有间断点解析：解析：先将 (x)利用xt的分段性分解变形，有 (x)
8、= a x (xt)(t)dt+ x b (tx)(t)dt=x a x (t)dt a x t(t)dt+ x b t(t)dtx x b (t)dt 因为 (t)在a，b上连续，所以 (x)可导，因而答案不可能是(D)其余三个选项，只需求出 (x)，讨论 (x)在(a，b)内的符号即可因 (x)= a x (t)dt x b (t)dt， (x)=2(x)0，xa，b，故 y=(x)在(a，b)内的图形为凹应选(B)3. （分数：2.00）A.F(x)为 f(x)的一个原函数B.F(x)在(，+)上可微，但不是 f(x)的原函数C.F(x)在(，+)上不连续D.F(x)在(，+)上连续，但
9、不是 f(x)的原函数 解析：解析：请看通常的解法： 求积分并用连续性确定积分常数，可得 4.设 （分数：2.00）A.f(x)不连续且不可微，F(x)可微，且为 f(x)的原函数 B.f(x)不连续，不存在原函数，因而 F(x)不是 f(x)的原函数C.f(x)和 F(x)均为可微函数，且 F(x)为 f(x)的一个原函数D.f(x)连续，且 F(x)=f(x)解析：解析：可以验证x=0 为 f(x)的第二类间断点，因为 不存在，故 x=0 为 f(x)的振荡间断点，可能存在原函数 通过计算5.设 F(x)= x x+2 e sint sintdt,则 F(x) ( )（分数：2.00）A.
10、为正常数 B.为负常数C.恒为零D.不为常数解析：解析：因 e sinx sinx 是以 2 为周期的周期函数，所以 x x+2 e sint sintdt= 0 2 e sint sintdt 6.设 f(x)是以 l 为周期的周期函数，则 a+kl a+(k+1)l f(x)dx 之值 ( )（分数：2.00）A.仅与 a 有关B.仅与 a 无关C.与 a 及 k 都无关 D.与 a 及 k 都有关解析：解析：因为 f(x)是以 l 为周期的周期函数，所以 a+kl a+(k+1)l f(x)dx= kl (k+1)l f(x)dx= 0 l f(x)dx 故此积分与 a 及 k 都无关二
11、、填空题(总题数：11，分数：22.00)7.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析： 8.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 1 e xf(x)dx= 1 e xdf(x)=xf(x) 1 e 1 e f(x)dx 由于 是 f(x)的原函数，所以 f(x)= 所以 9. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1n 3）解析：解析：因 是奇函数， =0所以 原积分= 10.设 f(x)有一个原函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 2 +2+6）解析：解析：因 是 f(x)
12、的原函数，f(x)= 所以11. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2arctan ）解析：解析： =2arctant+C=2arctan12. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：13. 0 tsintdt= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：）解析：解析： 0 tsintdt= 0 td(cost)=tcost 0 + 0 costdt=14. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2(e 2 +1)）解析：解析：15.设 f(sin 2 x)=cos2x+tan 2 x(0x1)，则 f(
13、x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln(1x)x 2 +C，其中 C 为任意常数）解析：解析：f(sin 2 x)=12sin 2 x+ (0x1)， 所以 f(x)=12x+ =2x+ 因此 f(x)=(2x+ 16.设 y=y(x)，若 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e x ）解析：解析：由已知得 ，由不定积分定义有 所以ydx=y=y=y，即 17.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：xf(x 2 )）解析：解析：三、解答题(总题数：17，分数：34.00)18.解答题解答应写出文字说明、
14、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：19.设函数 f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0，1)内大于零，并且满足 xf(x)=f(x)+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设，当 x0 时， 据此并由 f(x)在点 x=0 处的连续性，得 f(x)= x 2 +Cx，x0，1 又由已知条件 2= 0 1 ，即 C=4a因此， f(x)= ax 2 +(4a)x 旋转体的体积为 V(a)= 0 1 f(x) 2 dx=( )，令 V(a)=( )=0，得a=5又 V(A)= )解析：20.设函数 y(x)(x0)二阶可导且 y(x)0，y(0)=1过曲线 y=y(x)上
15、任意一点 P(x，y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S 1 ，区间0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S 2 ，并设 2S 1 S 2 恒为 1，求此曲线 y=y(x)的方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 y=y(x)上点 P(x，y)处的切线方程为 Yy=y(Xx) 它与 x 轴的交点为(x ，0)由于 y(x)0，y(0)=1，从而 y(x)0，于是 S 1 = 又 S 2 = 0 x y(t)dt，由条件 2S 1 S 2 =1 知 0 x y(t)dt=1 两边对 x 求导并化简得 yy=(y) 2 令p=y
16、，则上述方程可化为 yp =p 2 ， 从而 ，解得 p=C 1 y，即 = C 1 y于是 y= )解析：21.设 f(x)在(，+)内连续，以 T 为周期，证明： (1) a a+T f(x)dx= 0 T f(x)dx(a 为任意实数)；(2) 0 x f(t)dt 以 T 为周期 0 T f(x)dx=0； (3)f(x)dx(即 f(x)的全体原函数)周期为 T （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) a a+T f(x)dx=f(a+T)f(a)=0 故 a a+T f(x)dx= a a+T f(x)dx a=0 = 0 T f(x)dx (2) 0 x f(t)dt
17、以 T 为周期 0 x+T f(t)dt 0 x f(t)dt= x x+T f(t)dt )解析：22.计算不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 ，右边通分后不难解得： 于是 )解析：23.计算不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.求定积分的值 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)= ，对于任意的 0x ，有 )解析：25.设常数 0a1，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 对后者作积分变换 x=t，得 ，所以 )解析：26.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 I(a)= 0 + dx，a0 上式两
18、边对 a 求导得 I(a)= 0 + dx= 0 + dx 令 y=2ax，则 dy=2adx，所以 I(a)= 0 + ，上式积分可得 I(a)= a+C 由于 I(0)=0，所以 C=0，令 a=1，得到 I(1)= 0 + )解析：27.设 a，b 均为常数，a2，a0，求 a，b 为何值时，使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 若 ba0，上述极限不存在，所以要使原等式成立，必须 a=b，那么 所以 )解析：28.直线 y=x 将椭圆 x 2 +3y 2 =6y 分为两块，设小块面积为 A，大块面积为 B，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：直线与椭圆的交点为(0，
19、0)， ，则 令 y1=sint，则 )解析：29.设 f(x)= ，求曲线 y=f(x)与直线 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求 f(x)的表达式，注意到函数 e x 在 x+与 x的极限，可知 当 x0 时，y=f(x)与 y= 的交点横坐标为 x=1，且显然 0x1 时 ，所以所求旋转体体积 其中，令 x=tant 得， )解析：30.设 g(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然，g(0)=1，而当 x0 时由“1 ”型极限得 g(x)= ，x0，其中， =x 2 ，则不论 x 是否为零都有 g(x)= ，f(x)= 0 x dt (1)因令 t=u
20、 有 =f(x)，故 f(x)为奇函数因 故 y=f(x)有两条水平渐近线 y= (2)由所考虑的平面图形的对称性及分部积分法得所求的面积为 其中，由洛必达法则得 ，而 )解析：31.设函数 f(x)在0，1上连续，(0，1)内可导，且 3 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由积分中值定理知，在 上存在一点 c 1 ，使 f(x)dx= f(c 1 )，从而有 f(c 1 )=f(0)，故 f(x)在区间0，c 1 上满足罗尔定理条件，因此在(0，c 1 )内存在一点 c，使 f(c)=0，c(0，c 1 ) )解析：32.设 f(x)，g(x)在a，b上连续证明：至少存在一点 (a，
21、b)，使得 f() b g(x)dx=g() a f(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 G(x)=f(x) x b g(t)dtg(x) a x f(t)dt，则 G(x)的原函数为 F(x)= a x f(t)dt x b g(t)dt+C，其中 C 为任意常数， 因为 f(x)，g(x)在a，b上连续，所以 F(x)：(1)在a，b上连续；(2)在(a，b)内可导；(3)F(a)=F(b)=C，即 F(x)在a，b上满足罗尔定理，所以，至少存在一个 (a，b)，使得 F()=0，即 f() b g(x)dx=g() a f(x)dx)解析：33.设 f(x)在区间0，1
22、上连续，在(0，1)内可导，且满足 f(1)=3 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由积分中值定理，得 f(1)=e f( 1 )， 1 令 F(x)= f(x)，则 F(x)在 1 ，1上连续，在( 1 ，1)内可导，且 F(1)=f(1)= f( 1 )=F( 1 ) 由罗尔定理，在( 1 ，1)内至少有一点 ，使得 F()= f()2f()=0， 于是f()=2f()，( 1 ，1) )解析：34.设函数 f(x)有连续导数，F(x)= 0 x f(t)f(2at)dt证明： F(2a)2F(a)=f 2 (a)f(0)f(2a)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F(2a)2F(a)= 0 2a f(t)f(2at)dt2 0 a f(t)f(2at)dt = a 2a f(t)f(2at)dt 0 a f(t)f(2at)dt， 其中 a 2a f(t)f(2at)dt=f 2 (a)f(0)f(2a)+ a 2a f(2at)f(t)dt，所以 F(2a)2F(a)=f 2 (a)f(0)f(2a)+ a 2a f(2at)f(t)dt 0 a f(t)f(2at)dt， 又 a 2a f(2at)f(t)dt )解析：
