1、考研数学三（一元函数积分学）-试卷 9 及答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.若x表示不超过 x 的最大整数，则积分 0 4 xdx 的值为 ( )（分数：2.00）A.0B.2C.4D.63.函数 f(x)= （分数：2.00）A.B.1C.0D.4.设 f(x)连续，则在下列变上限积分中，必为偶函数的是 ( )（分数：2.00）A. 0 x tf(t)+f(t)dtB. 0 x tf(t)f(t)dtC. 0 x f(t 2 )dtD. 0 x f
2、2 (t)dt5.设函数 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0则方程 （分数：2.00）A.0 个B.1 个C.2 个D.无穷多个6.设 f(x)连续，f(0)=1，f(0)=2下列曲线与曲线 y=f(x)必有公共切线的是( )（分数：2.00）A.y= 0 x f(t)dtB.y=1+ 0 x f(t)dtC.y= 0 2x f(t)dtD.y=1+ 0 2x f(t)dt二、填空题(总题数：11，分数：22.00)7.定积分 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 f(x)连续，f(0)=1，则曲线 0 x f(x)dx 在(0，0)处的切线方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_9.
3、设 （分数：2.00）填空项 1:_10. （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(x)为连续函数，且 F(x)= （分数：2.00）填空项 1:_12. 0 + xe x dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.设曲线 y=f(x)与 y= 在原点处有相同切线，则 （分数：2.00）填空项 1:_15.(a 为常数，n 为自然数) （分数：2.00）填空项 1:_16.设 f(x)是连续函数，且 （分数：2.00）填空项 1:_17.设 f(3x+1)= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：
4、34.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_19.计算 I n = 1 1 (x 2 1) n dx（分数：2.00）_20.计算 0 1 x x dx（分数：2.00）_21.(1)若 f(x)= （分数：2.00）_22.计算 （分数：2.00）_23.已知 （分数：2.00）_24.求不定积分 （分数：2.00）_25.求不定积分(arcsinx) 2 dx（分数：2.00）_26.设函数 f(x)连续，且 0 x tf(2xt)dt= （分数：2.00）_27.设 f(x)具有二阶导数，且 f(x)0又设 u(t)在区间0，a(或a，0)上连续证
5、明：（分数：2.00）_28.设在区间e，e 2 上，数 p，q 满足条件 px+qlnx，求使得积分 （分数：2.00）_29.设 f(x)是在区间1，+)上单调减少且非负的连续函数， 证明：(1) 存在；(2)反常积分 1 f(x)dx 与无穷级数 （分数：2.00）_30.设 xOy 平面上有正方形 D=(x，y)0x1，0y1及直线 l：x+y=t(t0)若 S(t)表示正方形D 位于直线 l 左下方部分的面积，试求 0 x S(t)dt(x0)（分数：2.00）_31.设 f(x)在0，+)上连续，0ab，且 收敛，其中常数 A0证明： （分数：2.00）_32.求曲线 y= （分数
6、：2.00）_33.设 D 是由曲线 y=sinx+1 与三条直线 x=0，x=，y=0 所围成的曲边梯形，求 D 绕 x 轴旋转一周所围成的旋转体的体积（分数：2.00）_34.如图 13-1 所示，设曲线方程为 y=x 2 + ，梯形 OABC 的面积为 D，曲边梯形 OABC 的面积为 D 1 ，点 A 的坐标为(a，0)，a0证明 （分数：2.00）_考研数学三（一元函数积分学）-试卷 9 答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.若x表示不超过
7、 x 的最大整数，则积分 0 4 xdx 的值为 ( )（分数：2.00）A.0B.2C.4D.6 解析：解析： 3.函数 f(x)= （分数：2.00）A. B.1C.0D.解析：解析： 得唯一驻点 x= (0，+)又 知 f(x)在 x= 处取最小值4.设 f(x)连续，则在下列变上限积分中，必为偶函数的是 ( )（分数：2.00）A. 0 x tf(t)+f(t)dt B. 0 x tf(t)f(t)dtC. 0 x f(t 2 )dtD. 0 x f 2 (t)dt解析：解析：奇函数的原函数是偶函数(请读者自己证之但要注意，偶函数 f(x)的原函数只有 0 x f(t)dt 为奇函数，
8、因为其它原函数与此原函数只差一个常数，而奇函数加上一个非零常数后就不再是奇函数了)，选项(A)中被积函数为奇函数，选项(B)，(C)中被积函数都是偶函数，选项(D)中虽不能确定为偶函数，但为非负函数，故变上限积分必不是偶函数应选(A)5.设函数 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0则方程 （分数：2.00）A.0 个B.1 个 C.2 个D.无穷多个解析：解析：令 F(x)= a x f(t)dt+ b x ，则 F(x)在a，b上连续，而且 F(a)= b a dt0，F(b)= a b f(t)dt0， 故 F(x)在(a，b)内有根 又 F(x)=f(x)+ 6.设 f(x)连续，f(
9、0)=1，f(0)=2下列曲线与曲线 y=f(x)必有公共切线的是( )（分数：2.00）A.y= 0 x f(t)dtB.y=1+ 0 x f(t)dtC.y= 0 2x f(t)dtD.y=1+ 0 2x f(t)dt 解析：解析：曲线 y=f(x)在横坐标 x=0 对应的点(0，1)处切线为 y=1+2x选项(D)中函数记为y=F(x)由 F(0)=1，F(0)=2f(0)=2，知曲线 y=F(x)在横坐标 x=0 对应点处切线方程也为 y=1+2x故应选(D)二、填空题(总题数：11，分数：22.00)7.定积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：
10、x 2 sinx 是奇函数，故在 上的定积分值为 0 原积分= 8.设 f(x)连续，f(0)=1，则曲线 0 x f(x)dx 在(0，0)处的切线方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=x）解析：解析：曲线在(0，0)处切线斜率 k=y x=0 = 0 x f(t)dt x=0 =f(0)=1所以曲线在(0，0)处，切线方程为 y=x9.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：作定积分换元 x+1=t， 原积分= 1 1 f(t)dt= 1 0 (t+1)dt+ 0 1 t 2 dt= 10. （分数：2.00）填空项 1:
11、_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：被积函数 x 3 11.设 f(x)为连续函数，且 F(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由变限积分求导公式 f(t)dt=f(x)(x)f(x)(x) 可知，12. 0 + xe x dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：原积分= 0 + xde x =xe x 0 + + 0 + 0 + e x dx= 0 + e x dx=e x 0 + =113.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：sin 2 0 x f(u)du
12、）解析：解析： 0 x sin 2 0 l f(u)dudt 是形如 0 x (t)dt 形式的变上限积分，由 0 x (t)dt=(x)知， 14.设曲线 y=f(x)与 y= 在原点处有相同切线，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：由已知条件知 f(0)0，f(0)= =1，故得15.(a 为常数，n 为自然数) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：显然 dt 积分难以积出考虑积分中值定理， ，其中 x 介于 x 与 x+a 之间所以 16.设 f(x)是连续函数，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：
13、正确答案：*）解析：解析：要从变上限积分得到被积函数，可以对变限积分求导等式两边对 x 求导得 f(x 3 1).3x 2 =1，f(x 3 1)= 令 x=2，即得 f(7)= 17.设 f(3x+1)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：14*12）解析：解析：令 3x+1=t，x= 可知 f(t)= 所以三、解答题(总题数：17，分数：34.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：19.计算 I n = 1 1 (x 2 1) n dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由分部积分可得 I n =x(x 2 1) n
14、 1 1 2n 1 1 x 2 (x 2 1) n1 dx =2n 1 1 (x 2 1) n dx2n 1 1 (x 2 1) n1 dx=2nI n 2nI n1 ， 故 I n = I n1 递推得 )解析：20.计算 0 1 x x dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 =1，所以 x=0 不是瑕点 由 x x =e xlnx = ，可得 这里用到了 )解析：21.(1)若 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 所以 )解析：22.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 k 值不同，故分情况讨论： 当 k1 时，原式= ，即积分收敛
15、； 当 k=1时，原式= =+，即积分发散； 当 k1 时，原式= )解析：23.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)当 a0，1 时， (2)当 =1 时， (3)当 =1 时， (4)当 =0 时， I()= 0 sinxdx=2 综上， 故 3 2 I()d= )解析：24.求不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.求不定积分(arcsinx) 2 dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(arcsinx) 2 dx=x(arcsinx) 2 =x(arcsinx) 2 +2arcsinxd =x(arcsinx) 2 +2 )解析：2
16、6.设函数 f(x)连续，且 0 x tf(2xt)dt= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 u=2xt，则 t=2xu，dt=du 当 t=0 时，u=2x；当 t=x 时，u=x故 0 x tf(2xt)dt= 2x x (2xu)f(u)du=2x x 2x f(u)du x 2x uf(u)du， 由已知得 2x x 2x f(u)du x 2x uf(u)du= arctanx 2 ,两边对 x 求导，得 2 x 2x f(u)du+2x2f(2x)f(x)2xf(2x).2xf(x)= ， 即 2 x 2x f(u)du= +xf(x) 令 x=1，得 2 1 2 f(
17、u)du= 故 1 2 f(x)dx= )解析：27.设 f(x)具有二阶导数，且 f(x)0又设 u(t)在区间0，a(或a，0)上连续证明：（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式 f(x)=f(x 0 )+f(x 0 )(xx 0 )+ f()(xx 0 ) 2 f(x 0 )+f(x 0 )(xx 0 )， 介于 x 与 x 0 之间 以 x=u(t)代入并两边对 t 从 0 到 a 积分，其中暂设 a0，于是有 0 a fu(t)dtaf(x 0 )+f(x 0 ) 0 a u(t)dtx 0 a 取 x 0 = 0 a u(t)dt，于是得 0 a fu(t)dtaf
18、即有 若 a0，则有 0 a fu(t)dtaf(x 0 )+f(x 0 ) 0 a u(t)dtx 0 a 仍取 x 0 = 0 a u(t)dt，有 0 a fu(t)dtf(x 0 )= )解析：28.设在区间e，e 2 上，数 p，q 满足条件 px+qlnx，求使得积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：要使 I(p，q)= (px+qlnx)dx 最小，直线 y=px+q 应与曲线 y=lnx 相切，从而可得到 p，q 的关系，消去一个参数通过积分求出 I(p)后再用微分方法求 I(p)的极值点 P 0 ，然后再求出 q 的值或将 p，q 都表示成另一个参数 t 的函数形式
19、，求出 I(t)的极值点后，再求出 p，q 的值 设直线 y=px+q 与曲线 y=lnx 相切于点(t，lnt)，则有 于是 I(p，q)=I(t)= +lnt1lnx)dx= (e 4 e 2 )+(1nt1)(e 2 e)e 2 令 I(t)= (e 4 e 2 )+ (e 2 e)=0，得唯一驻点 t= ，I(t)0，所以，t= 为极小值点，即最小值点此时，p 0 = ，q 0 =ln )解析：29.设 f(x)是在区间1，+)上单调减少且非负的连续函数， 证明：(1) 存在；(2)反常积分 1 f(x)dx 与无穷级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由 f(x)单调
20、减少，故当 kxk+1 时， f(k+1)f(x)f(k) 两边从 k 到k+1 积分，得 k k+1 f(k+1)dx k k+1 f(x)dx k k+1 f(k)dx， 即 f(k+1) k k+1 f(x)dxf(k) 即a n 有下界又 a n+1 a n =f(n+1) n n+1 f(x)dx0，即数列a n 单调减少，所以 存在 (2)由于 f(x)非负，所以 1 x f(t)dt 为 x 的单调增加函数当 nxn+1时， 1 n f(t)dt 1 x f(t)dt 1 n+1 f(t)dt， 所以 1 + f(x)dx 收敛 f(x)dx 存在 由(1)知 存在，所以 f(k
21、)存在 f(x)dx 存在 从而推知 1 + f(x)dx )解析：30.设 xOy 平面上有正方形 D=(x，y)0x1，0y1及直线 l：x+y=t(t0)若 S(t)表示正方形D 位于直线 l 左下方部分的面积，试求 0 x S(t)dt(x0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设知 S(t)= 所以， 当 0x1 时， 0 x S(t)dt = 0 x 当1x2 时， 0 x S(t)dt= 0 1 S(t)dt+ 1 x S(t)dt= 当 x2 时， 0 x S(t)dt= 0 2 S(t)dt+ 2 x S(t)dt=x1 因此 0 x S(t)dt= )解析：31.
22、设 f(x)在0，+)上连续，0ab，且 收敛，其中常数 A0证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：32.求曲线 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 y= ，所以 y= 在点(t， )处的切线 l 方程为 y (xt)， 即 y= 所围面积 S(t)= 令 S(t)= =0，得 t=1 又 S(1)0，故t=1 时，S 取最小值，此时 l 的方程为 y= )解析：33.设 D 是由曲线 y=sinx+1 与三条直线 x=0，x=，y=0 所围成的曲边梯形，求 D 绕 x 轴旋转一周所围成的旋转体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：V= 0 (sinx+1) 2 dx= 0 ( +2sinx+1)dx= )解析：34.如图 13-1 所示，设曲线方程为 y=x 2 + ，梯形 OABC 的面积为 D，曲边梯形 OABC 的面积为 D 1 ，点 A 的坐标为(a，0)，a0证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
