1、考研数学三（参数估计）-试卷 1 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.假设总体 X 的方差 DX 存在，X 1 ，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，其样本均值和样本方差分别为 ，S 2 ，则 EX 2 的矩估计量是 （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X 的一个简单随机样本，DX= 2 ， 是样本均值，则下列估计量的期望为 2 的是 （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 X 1 ，X 2 ，X n
2、 是取自总体 X 的简单随机样本，记层 X=，DX= 2 ， ，DS0，则 （分数：2.00）A.B.C.D.5.设 是从总体 X 中取出的简单随机样本 X 1 ，X n 的样本均值，则 （分数：2.00）A.XN(， 2 )B.X 服从参数为 的指数分布C.PX=m=(1-) m-1 ，m=1，2，D.X 服从0，上均匀分布二、填空题(总题数：8，分数：16.00)6.设 XN(， 2 )，其中 和 2 (0)均为未知参数从总体 X 中抽取样本 X 1 ，X 2 ，X n ，样本均值为 ，则未知参数 和 2 的矩估计量分别为 （分数：2.00）填空项 1:_7.设 X 1 ，X 2 ，X n
3、 是来自总体 X 的简单随机样本，已知总体 X 的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_8.已知总体 X 服从参数为 的泊松分布，X 1 ，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，其均值为 （分数：2.00）填空项 1:_9.已知总体 X 服从正态分布 N(， 2 )，X 1 ，X 2N 是来自总体 X 容量为 2n 的简单随机样本，当 2 未知时，Y= （分数：2.00）填空项 1:_10.已知总体 X 服从参数为 p(0p1)的几何分布：PX=x=(1-p) x-1 p(x=1，2，)，X 1 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，则未知参数 p 的矩估计量为 1；最大似然估计量
4、为 2.（分数：2.00）填空项 1:_11.设总体 X 的概率密度为 其中 01 是未知参数，c 是常数X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，则 c= 1； 的矩估计量 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X 的简单随机样本， （分数：2.00）填空项 1:_13.设总体 X 服从(a，b)上的均匀分布，X 1 ，X 2 ，X n 是取自 X 的简单随机样本，则未知参数a，b 的矩估计量为 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：
5、2.00）_15.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，已知总体 X 服从参数为 (0)的指数分布试求总体 X 的数学期望 E(X)的矩估计量和最大似然估计量（分数：2.00）_16.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，已知总体 X 的概率密度为 （分数：2.00）_17.设总体 XN(0， 2 )，参数 0 未知，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X 的简单随机样本(n1)，令估计量 ()求 （分数：2.00）_18.已知总体 X 是离散型随机变量，X 可能取值为 0，1，2，且 PX=2=(1-) 2 ，EX=2(1-)( 为未知
6、参数)()试求 X 的概率分布；()对 X 抽取容量为 10 的样本，其中 5 个取 1，3 个取 2，2 个取 0，求 的矩估计值、最大似然估计值（分数：2.00）_19.已知总体 X 的概率密度 f(x)= (0)，X 1 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，Y=X 2 ()求 Y 的期望 EY(记 EY 为 b)； ()求 的矩估计量 （分数：2.00）_20.设总体 XN(， 2 )， 2 未知，而 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的样本 ()求使得 （分数：2.00）_21.设总体 X 在区间0，上服从均匀分布，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X 的简单随机
7、样本， ()求 的矩估计量和最大似然估计量； ()求常数 a，b，使 （分数：2.00）_22.设总体 X 的概率分布为 （分数：2.00）_23.设总体 X 的概率密度为 f(x；，)= （分数：2.00）_24.已知总体 X 服从瑞利分布，其密度函数为 X 1 ，X n 为取自总体 X 的简单随机样本，求 的矩估计量 （分数：2.00）_25.接连不断地、独立地对同一目标射击，直到命中为止，假定共进行 n(n1)轮这样的射击，各轮射击次数相应为 k 1 ，k 2 ，k n ，试求命中率 p 的最大似然估计值和矩估计值（分数：2.00）_26.设 X 服从a，b上的均匀分布，X 1 ，X n
8、 为简单随机样本，求 a，b 的最大似然估计量（分数：2.00）_27.已知总体 X 的密度函数为 （分数：2.00）_28.设总体 X 服从韦布尔分布，密度函数为 （分数：2.00）_29.设某种电子器件的寿命(以小时计)T 服从指数分布，概率密度为 f(t)= （分数：2.00）_30.谩有一批同型号产品，其次品率记为 p现有五位检验员分别从中随机抽取 n 件产品。检测后的次品数分别为 1，2，2，3，2()若已知 p=25，求 n 的矩估计值 ；()若已知 n=100，求 p 的极大似然估计值 （分数：2.00）_考研数学三（参数估计）-试卷 1 答案解析(总分：60.00，做题时间：9
9、0 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.假设总体 X 的方差 DX 存在，X 1 ，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，其样本均值和样本方差分别为 ，S 2 ，则 EX 2 的矩估计量是 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：按定义，EX 2 的矩估计量是 ，由于 所以 3.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X 的一个简单随机样本，DX= 2 ， 是样本均值，则下列估计量的期望为 2 的是 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：4.设 X 1 ，X 2 ，X
10、 n 是取自总体 X 的简单随机样本，记层 X=，DX= 2 ， ，DS0，则 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：从上题知 ES 2 = 2 ，应选(B)进一步分析 5.设 是从总体 X 中取出的简单随机样本 X 1 ，X n 的样本均值，则 （分数：2.00）A.XN(， 2 )B.X 服从参数为 的指数分布C.PX=m=(1-) m-1 ，m=1，2， D.X 服从0，上均匀分布解析：解析：若 XN(， 2 )，则 EX=， 的矩估计为 ，应选(A)若 X 服从参数为 的指数分布，则 EX= ，对于选项(C)X 服从参数为 的几何分布，EX= 二、填空题(总题数：8，分数：1
11、6.00)6.设 XN(， 2 )，其中 和 2 (0)均为未知参数从总体 X 中抽取样本 X 1 ，X 2 ，X n ，样本均值为 ，则未知参数 和 2 的矩估计量分别为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由于待估计参数有 2 个：， 2 ，故考虑一阶、二阶矩由于 E(X)=， E(X 2 )=D(X)+E(X) 2 = 2 + 2 ， 令 7.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，已知总体 X 的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：似然函数为8.已知总体 X 服从参数为 的泊松分
12、布，X 1 ，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，其均值为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：直接由 +(2-3a)ES 2 =a+(2-3a)=(2-2a)=，解得 a= 9.已知总体 X 服从正态分布 N(， 2 )，X 1 ，X 2N 是来自总体 X 容量为 2n 的简单随机样本，当 2 未知时，Y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：通过 EY= 2 求得 C，为此需先求得 X 2i -X 2i-1 分布由于 X i N(， 2 )，且相互独立，故 X 2i -X 2i-1 N(0，2 2 )，E(X 2i
13、 -X 2i-1 ) 2 =D(X 2i -X 2i-1 )+E(X 2i -X 2i-1 ) 2 =2 2 10.已知总体 X 服从参数为 p(0p1)的几何分布：PX=x=(1-p) x-1 p(x=1，2，)，X 1 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，则未知参数 p 的矩估计量为 1；最大似然估计量为 2.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由几何分布的期望公式即得 则由上式解得 p 的矩估计量 又样本 X 1 ，X n 的似然函数 11.设总体 X 的概率密度为 其中 01 是未知参数，c 是常数X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的
14、简单随机样本，则 c= 1； 的矩估计量 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由12.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X 的简单随机样本， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：样本方差 S 2 = 由 ES 2 = 2 可得 a= 13.设总体 X 服从(a，b)上的均匀分布，X 1 ，X 2 ，X n 是取自 X 的简单随机样本，则未知参数a，b 的矩估计量为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：17，分数：34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证
15、明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：15.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，已知总体 X 服从参数为 (0)的指数分布试求总体 X 的数学期望 E(X)的矩估计量和最大似然估计量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设知，总体 X 的概率密度为 而 E(X)= 进行矩估计和最大似然估计 首先求矩估计量 ：只有一个参数用总体矩等于样本矩来解总体一阶矩为 E(X)，样本一阶矩为 再求最大似然估计量 ：似然函数为 根据最大似然估计的不变性可知，E(X)的最大似然估计量 由上可知 )解析：16.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本
16、，已知总体 X 的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() 又样本的二阶矩为 ()似然函数 )解析：解析：待估计参数只有 ，但总体 X 的一阶原点矩 E(X)= ，故考虑总体 X 的二阶原点矩 E(X 2 )= 17.设总体 XN(0， 2 )，参数 0 未知，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X 的简单随机样本(n1)，令估计量 ()求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由于 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立且与总体 X 同分布，故 ()根据抽样分布有关结论知 再由 2 分布随机变量的方差公式有：Y- 2 (n)，则 DY=2n )解析：18.已知总体
17、 X 是离散型随机变量，X 可能取值为 0，1，2，且 PX=2=(1-) 2 ，EX=2(1-)( 为未知参数)()试求 X 的概率分布；()对 X 抽取容量为 10 的样本，其中 5 个取 1，3 个取 2，2 个取 0，求 的矩估计值、最大似然估计值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()设 X 的概率分布为 PX=0=p 0 ，PX=1=p 1 ，PX=2=p 2 ，由题设知 p 2 =(1-) 2 ，又 EX=2(1-)=0p 0 +1p 1 +2p 2 =p 1 +2p 2 =p 1 +2(1-) 2 ，解得 p 1 =2(1-)-2(1-) 2 =2(1-)，而 p 0 +
18、p 1 +p 2 =1，所以 p 0 =1-p 1 -p 2 = 2 ，X 的概率分布为 ()应用定义求矩估计值、最大似然估计值令 =EX=2(1-)，解得 =1- ，于是 的矩估计量 ，将样本值代人得 的矩估计值为 又样本值的似然函数 )解析：19.已知总体 X 的概率密度 f(x)= (0)，X 1 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，Y=X 2 ()求 Y 的期望 EY(记 EY 为 b)； ()求 的矩估计量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()直接应用公式 Eg(X)= 计算 ()令 =EX，其中 样本 X 1 ，X n 的似然函数为 ()由于 是 的单调连续函数，有
19、单值反函数，根据最大似然估计的不变性得 b 的最大似然估计为 )解析：20.设总体 XN(， 2 )， 2 未知，而 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的样本 ()求使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：已知 ， 的最大似然估计值分别为 其中，F 为 X 的分布函数 由最大似然估计的不变性，得 a 的最大似然估计为 ()PX2= ，由最大似然估计的不变性，知PX2的最大似然估计为 )解析：21.设总体 X 在区间0，上服从均匀分布，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体 X 的简单随机样本， ()求 的矩估计量和最大似然估计量； ()求常数 a，b，使 （分数：2.00）_
20、正确答案：(正确答案：直接应用定义求解 ()依题意总体 X 的密度函数、分布函数分别为 令=EX= ，解得 =2，于是 的矩估计量为 又样本 X 1 ，X n 的似然函数为 L()为 的单调减函数，且 0x i ，即 要取大于 x i 的一切值，因此 的最小取值为max(x 1 ，x n )， 的最大似然估计量 ()由于 为求得 b，必须求 X (n) 的分布函数 F (n) (x)及密度函数 f (n) (x)，由 X (n) =max(X 1 ，X n )得 )解析：22.设总体 X 的概率分布为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：矩估计 最大似然估计：似然函数 )解析：解析：由题
21、设知，E(X)=p， ，不难求出矩估计对最大似然估计，关键是写出似然函数由于 x i 取自总体 X，故 x i 不是取 0 就是取 1因此，X i 的分布可表示成 ，似然函数为 23.设总体 X 的概率密度为 f(x；，)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x；，)0 和 ，得到 0，0 且 +=1于是 ()求最大似然估计值 由于在给定的 8 个样本值中，属(-1，0)的有 5 个，属0，1)的有 3 个，故似然函数为 )解析：24.已知总体 X 服从瑞利分布，其密度函数为 X 1 ，X n 为取自总体 X 的简单随机样本，求 的矩估计量 （分数：2.00）_正确答案：(正确
22、答案：记 EX=，DX= 2 ，则 )解析：25.接连不断地、独立地对同一目标射击，直到命中为止，假定共进行 n(n1)轮这样的射击，各轮射击次数相应为 k 1 ，k 2 ，k n ，试求命中率 p 的最大似然估计值和矩估计值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：依题意，总体 X 服从参数为 p 的几何分布，即 PX=k=P(1-p) k-1 ，k=1，2，由于样本(k 1 ，k 2 ，k n )的似然函数 L 为 L(k 1 ，k 2 ，k n ；p)=PX 1 =k 1 ，X 2 =k 2 ，X n =k n )解析：26.设 X 服从a，b上的均匀分布，X 1 ，X n 为简单随机样
23、本，求 a，b 的最大似然估计量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 X 的样本观测值为 x 1 ，x n ，则似然函数 显然 ，且 b-a 越小 L 值越大，但是bx i ，i=1，n=bmax(x i ，x n )，同理ax i ，i=1，n=arain(x i ，x n )，所以只有当 b=maxx i ，a=minx i 时，L 才达到最大值，故 a，b 的最大似然估计值分别为 ，从而可知其最大似然估计量分别是 )解析：27.已知总体 X 的密度函数为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因此 与 的矩估计量分别为 )解析：28.设总体 X 服从韦布尔分布，密度函数为
24、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 x 1 ，x 2 ，x n 是样本 X 1 ，X n 的观测值，当 x i 0(i=1，2，n)时其似然函数为 )解析：29.设某种电子器件的寿命(以小时计)T 服从指数分布，概率密度为 f(t)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：考虑事件 A：“试验直至时间 T 0 为止，有 k 只器件失效，而有 n-k 只未失效”的概率记 T 的分布函数为 F(t)，即有 一只器件在 t=0 时投入试验，则在时间 T 0 以前失效的概率为 PTT 0 =F(T 0 )= ；而在时间 T 0 未失效的概率为 PTT 0 =1-F(T 0 )= 由于各只器件的试验结果是相互独立的，因此事件 A 的概率为 这就是所求的似然函数取对数得 )解析：30.谩有一批同型号产品，其次品率记为 p现有五位检验员分别从中随机抽取 n 件产品。检测后的次品数分别为 1，2，2，3，2()若已知 p=25，求 n 的矩估计值 ；()若已知 n=100，求 p 的极大似然估计值 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 X 为 n 件产品中的次品数，则 XB(n，p) )解析：
