1、考研数学三（常微分方程与差分方程）-试卷 6 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.微分方程 y6y+8y=e x +e 2x 的一个特解应具有形式(其中 a，b 为常数) ( )（分数：2.00）A.ae x +be 2xB.ae x +bxe 2xC.axe x +be 2xD.axe x +bxe 2x3.微分方程 y+2y+2y=e x sinx 的特解形式为 ( )（分数：2.00）A.e x (Acosx+Bsinx)B.e x (Acosx
2、+Bsinx)C.xe x (Acosx+Bsinx)D.e x (Axcosx+Bsinx)4.微分方程 y+ =0 的通解是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.微分方程 y4y+4y=x 2 +8e 2x 的一个特解应具有形式(a，b，c，d 为常数) ( )（分数：2.00）A.ax 2 +bx+ce 2xB.ax 2 +bx+c+dx 2 e 2xC.ax 2 +bx+cx e 2xD.ax 2 +(bx 2 +cx)e 2x6.微分方程 y+y+y= 的一个特解应具有形式(其中 a，b 为常数) ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.微分方程 y+2y+y=shx
3、 的一个特解应具有形式(其中 a，b 为常数) ( )（分数：2.00）A.ashxB.achxC.ax 2 e x +be xD.axe x +bx x二、填空题(总题数：9，分数：18.00)8.微分方程(6x+y)dx+xdy=0 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_9.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_10.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_11.微分方程的通解 1 包含了所有的解（分数：2.00）填空项 1:_12.微分方程(y 2 +1)dx=y(y2x)dy 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设一阶非齐次线性微分方程 y+p(x)y=Q(x
4、)有两个线性无关的解 y 1 ，y 2 ，若 y 1 +y 2 也是该方程的解，则应有 += 1（分数：2.00）填空项 1:_14.微分方程 y7y=(x1) 2 由待定系数法确定的特解形式(系数的值不必求出)是 1（分数：2.00）填空项 1:_15.以 y=cos2x+sin2x 为一个特解的二阶常系数齐次线性微分方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_16.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：14，分数：28.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_18.求微分方程 y+4y+4y=e 2x 的通解（分数：2.00）_1
5、9.求微分方程 y+2y3y=e 3x 的通解（分数：2.00）_20.求微分方程 y+5y+6y=2e x 的通解（分数：2.00）_21.求微分方程(3x 2 +2xyy 2 )dx+(x 2 2xy)dy=0 的通解（分数：2.00）_22.设 y(x)是方程 y (4) y=0 的解，且当 x0 时，y(x)是 x 的 3 阶无穷小，求 y(x)（分数：2.00）_23.求一个以 y 1 =te t ，y 2 =sin2t 为其两个特解的四阶常系数齐次线性微分方程，并求其通解（分数：2.00）_24.求解 y=e 2y +e y ，且 y(0)=0，y(0)=2（分数：2.00）_25
6、.求方程 （分数：2.00）_26.求微分方程(y+ （分数：2.00）_27.求方程 2x （分数：2.00）_28.求(y 3 3xy 2 3x 2 y)dx+(3xy 2 3x 2 yx 3 +y 2 )dy=0 的通解（分数：2.00）_29.求微分方程 y+2y+2y=2e x （分数：2.00）_30.求 yy=e x 的通解（分数：2.00）_考研数学三（常微分方程与差分方程）-试卷 6 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.微分方程
7、y6y+8y=e x +e 2x 的一个特解应具有形式(其中 a，b 为常数) ( )（分数：2.00）A.ae x +be 2xB.ae x +bxe 2x C.axe x +be 2xD.axe x +bxe 2x解析：解析：由原方程对应齐次方程的特征方程 r 2 6r+8=0 得特征根 r 1 =2，r 2 =4又 f 1 (x)=e x ，=1 非特征根，对应特解为 y 1 * =ae x ；f 2 (x)=e 2x ，=2 为特征单根，对应特解为 y 2 * =bxe 2x 故原方程特解的形式为 ae x +bxe 2x ，选(B)3.微分方程 y+2y+2y=e x sinx 的特
8、解形式为 ( )（分数：2.00）A.e x (Acosx+Bsinx)B.e x (Acosx+Bsinx)C.xe x (Acosx+Bsinx) D.e x (Axcosx+Bsinx)解析：解析：特征方程 r 2 +2r+2=0 即(r+1) 2 =1，特征根为 r 1，2 =1i，而 iw=1i 是特征根，特解 y * =xe x (Acosx+Bsinx)4.微分方程 y+ =0 的通解是 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：原方程写成 yy+ =0，分离变量有 y dy+e 3x dx=0积分得 2e 3x 3 5.微分方程 y4y+4y=x 2 +8e 2x
9、 的一个特解应具有形式(a，b，c，d 为常数) ( )（分数：2.00）A.ax 2 +bx+ce 2xB.ax 2 +bx+c+dx 2 e 2x C.ax 2 +bx+cx e 2xD.ax 2 +(bx 2 +cx)e 2x解析：解析：对应特征方程为 r 2 4r+4=0，特征根是 r 1，2 =2而 f 1 =x 2 ， 1 =0 非特征根，故 y 1 * =ax 2 +bx+c又 f 2 =8e 2x ， 2 =2 是二重特征根，所以 y 2 * =dx 2 e 2x y 1 * 与 y 2 * 合起来就是特解，选(B)6.微分方程 y+y+y= 的一个特解应具有形式(其中 a，b
10、 为常数) ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：特征方程 r 2 +r+1=0，特征根为 r 1，2 = 而 f(x)= ，iw= 是特征根，所以特解的形式为 y * = 7.微分方程 y+2y+y=shx 的一个特解应具有形式(其中 a，b 为常数) ( )（分数：2.00）A.ashxB.achxC.ax 2 e x +be x D.axe x +bx x解析：解析：特征方程为 r 2 +2r+1=0，r=1 为二重特征根，而 f(x)=shx= 二、填空题(总题数：9，分数：18.00)8.微分方程(6x+y)dx+xdy=0 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1
11、:_ （正确答案：正确答案：3x 2 +xy=C，其中 C 为任意常数）解析：解析：原方程兼属一阶线性方程、齐次方程、全微分方程 原方程可写为 6xdx+ydx+xdy=0，有d(3x 2 +xy)=0，积分得通解 3x 2 +xy=C，其中 C 为任意常数9.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 e 3x +C 2 e 2x ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数）解析：解析：原方程是二阶常系数齐次线性微分方程其特征方程为 r 2 5r+6=0，即(r3)(r2)=0解出特征根 r 1 =3，r 2 =2，即得上述通解10.微分方程 （分数：2.00）填
12、空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=(C 1 +C 2 x)e x +1，其中 C 1 ，C 2 为任意常数）解析：解析：原方程为二阶常系数非齐次线性微分方程其通解为 y=y 齐 +y * ，其中 y 齐 是对应齐次方程的通解，y * 是非齐次方程的一个特解 因原方程对应齐次方程的特征方程为 r 2 2r+1=0，即(r1) 2 =0，特征根为 r 1，2 =1故 y 齐 =(C 1 +C 2 x)e x ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数又据观察，显然 y * =1 与 y 齐 合并即得原方程通解11.微分方程的通解 1 包含了所有的解（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确
13、答案：不一定）解析：解析：例如方程(y 2 1)dx=(x1)ydy，经分离变量有 12.微分方程(y 2 +1)dx=y(y2x)dy 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x= ）解析：解析：原方程化为 由通解公式得13.设一阶非齐次线性微分方程 y+p(x)y=Q(x)有两个线性无关的解 y 1 ，y 2 ，若 y 1 +y 2 也是该方程的解，则应有 += 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由 y 1 +P(x)y 1 =Q(x)及 y 2 +P(x)y 2 =Q(x)得 (y 1 +y 2 )+P(x)(y 1 +
14、y 2 )=(+)Q(x) 又因 y 1 +y 2 满足原方程，故应有(+)Q(x)=Q(x)，即 +=114.微分方程 y7y=(x1) 2 由待定系数法确定的特解形式(系数的值不必求出)是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y * =x(Ax 2 +Bx+C)）解析：解析：原方程对应齐次方程的特征方程为 r 2 7r=0，特征根 r 1 =7，r 2 =0而 f(x)=x 2 2x+1，=0 是特征根，所以特解如上所答15.以 y=cos2x+sin2x 为一个特解的二阶常系数齐次线性微分方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y+4y=0
15、）解析：解析：由特解 y=cos2x+sin2x 知特征根为 r 1，2 =2i，特征方程是 r 2 +4=0，其对应方程即y+4y=016.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 +C 2 x+C 3 x 2 +C 4 e 3x ，其中 C 1 ，C 2 ，C 3 ，C 4 为任意常数）解析：解析：特征方程，r 4 +3r 3 =0，即 r 3 (r+3)=0故通解如上三、解答题(总题数：14，分数：28.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.求微分方程 y+4y+4y=e 2x 的通解（分数：2.00
16、）_正确答案：(正确答案：特征方程 r 2 +4r+4=0 的根为 r 1 =r 2 =2对应齐次方程的通解为 Y=(C 1 +C 2 x)e 2x 设原方程的特解 y * =Ax 2 e 2x ，代入原方程得 A= 因此，原方程的通解为 y=Y+y * =(C 1 +C 2 x)e 2x + )解析：19.求微分方程 y+2y3y=e 3x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对应的齐次方程的通解为 =C 1 e x +C 2 e 3x 原方程的一个特解为 y * =Axe 3x ，代入原方程，得 A= ， y * = xe 3x 所求通解为 y=C 1 e x +C 2 e 3
17、x )解析：20.求微分方程 y+5y+6y=2e x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：所给微分方程的特征方程为 r 2 +5r+6=(r+2)(r+3)=0， 特征根为 r 1 =2，r 2 =3于是对应齐次微分方程的通解为 )解析：21.求微分方程(3x 2 +2xyy 2 )dx+(x 2 2xy)dy=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程化为 3x 2 dx+(2xyy 2 )dx+(x 2 2xy)dy=0，即 d(x 3 )+d(x 2 yxy 2 )=0， 故通解为 x 3 +x 2 yxy 2 =C，其中 C 为任意常数)解析：22.设 y
18、(x)是方程 y (4) y=0 的解，且当 x0 时，y(x)是 x 的 3 阶无穷小，求 y(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式 y(x)=y(0)+y(0)x+ y(0)x 2 + y(0)x 3 +o(x 3 ) (x0) 当 x0 时，y(x)与 x 3 同阶=y(0)=0，y(0)=0，y(0)=0，y(0)=C，其中 C 为非零常数由这些初值条件，现将方程 y (4) y=0 两边积分得 0 x y (4) (t)dt 0 x y(t)dt=0， 即 y(x)Cy(x)=0，两边再积分得 y(x)y(x)=Cx 易知，它有特解 y * =Cx，因此它的通解是
19、 y=C 1 e x +C 2 e x Cx 由初值 y(0)=0，y(0)=0 得 C 1 +C 2 =0，C 1 C 2 =C= 因此最后得 y= )解析：23.求一个以 y 1 =te t ，y 2 =sin2t 为其两个特解的四阶常系数齐次线性微分方程，并求其通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 y 1 =te t 可知 y 3 =e t 亦为其解，由 y 2 =sin2t 可得 y 4 =cos2t 也是其解，故所求方程对应的特征方程的根 1 = 3 =1， 2 =2i， 4 =2i其特征方程为 (1) 2 ( 2 +4)=0，即 4 2 3 +5 2 8+4=0 故所求
20、的微分方程为 y (4) 2y+5y8y+4y=0，其通解为 y=(C 1 +C 2 t)e t +C 3 cos2t+C 4 sin2t，其中 C 1 ，C 2 ，C 3 ，C 4 为任意常数)解析：24.求解 y=e 2y +e y ，且 y(0)=0，y(0)=2（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 y=P(y)，则 yy= ，代入方程，有 pp=e 2y +e y ， ， p 2 =e 2y +2e y +C， 即 y 2 =e 2y +2e y +C 又 y(0)=0，y(0)=2，有 C=1，所以 y 2 =e 2y +2e y +1=(e y +1) 2 ， 因此 y=e
21、 y +1(y(0)=20)， 即 dy=dx， 有 )解析：25.求方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是变量可分离方程当 y 2 1 时，分离变量得 =tanxdx， 两边积分，得 去掉绝对值记号，并将 记成 C，并解出 y，得 这就是在条件 y 2 1 下的通解此外，易见 y=1 及 y=1 也是原方程的解，但它们并不包含在式之中 以 y(0)=2 代入式中得2= ，故 C=3于是得到满足 y(0)=2 的特解 y= )解析：26.求微分方程(y+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：此为齐次微分方程，按解齐次微分方程的方法解之 令 y=ux，原方程化为 (ux+ )
22、dx=x(udx+xdu)， 得 x dx=x 2 du 当 x0 时，上式成为 两边积分得 ln(u+*)=lnx+lnC， 其中 C0，将任意常数记成 lnC由上式解得 u= Cx(Cx) 1 ， 即有 y= 当 x0，类似地仍可得 y= 其中 C0式与式其实是一样的，故得通解 y= 其中 C0 为任意常数将初值条件 y(1)=0 代入式得 C=1，但由于 C0，故得相应的特解为 y= )解析：27.求方程 2x （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是一阶线性方程，可以直接套通解公式解之套公式之前，应先化成标准型：由通解公式，得 当 x0 时， 当 x0 时， 合并之，得通解 y=
23、 )解析：28.求(y 3 3xy 2 3x 2 y)dx+(3xy 2 3x 2 yx 3 +y 2 )dy=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将原给方程通过视察分项组合 (y 3 3xy 2 3x 2 y)dx+(3xy 2 3x 2 yx 3 +y 2 )dy =(y 3 dx+3xy 2 dy)3xy(ydx+xdy)(3x 2 ydx+x 3 dy)+y 2 dy =0， 即 d(xy 3 ) d(xy) 2 d(x 3 y)+ d(y 3 )=0， dxy 3 (xy) 2 x 3 y+ y 3 =0， 所以通解为 xy 3 x 2 y 2 x 3 y+ )解析：
24、29.求微分方程 y+2y+2y=2e x （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：应先用三角公式将自由项写成 e x +e x cosx， 然后再用叠加原理用待定系数法求特解 对应的齐次方程的通解为 Y=(C 1 cosx+C 2 sinx)e x 为求原方程的一个特解，将自由项分成两项：e x ，e x cosx，分别考虑 y+2y+2y=e x ， 与 y+2y+2y=e x cosx 对于，令 y 1 * =Ae x ， 代入可求得 A=1，从而得 y 1 * =e x 对于，令 y 2 * =xe x (Bcosx+Csinx)， 代入可求得 B=0，C= 由叠加原理，得原方程的通
25、解为 y=Y+y 1 * +y 2 * =e x (C 1 cosx+C 2 sinx)+e x + )解析：30.求 yy=e x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：自由项带绝对值，为分段函数，所以应将该方程按区间(，0)0，+)分成两个方程，分别求解由于 y=y+e x 在 x=0 处具有二阶连续导数，所以求出解之后，在 x=0 处拼接成二阶导数连续，便得原方程的通解 当 x0 时，方程为 yy=e x ， 求得通解 y=C 1 e x +C 2 e x + xe x 当 x0 时，方程为 yy=e x ， 求得通解 y=C 3 e x +C 4 e x xe x 因为原方程的解 y(x)在 x=0 处连续且 y(x)也连续，据此，有 解得 C 3 =C 1 + ，C 4 =C 2 ，于是得通解： )解析：
