微分方程答案

1、设非齐次线性微分方程 y “ +P(x)y=Q(x)有两个不同的解 y 1 (x)，y 2 (x)，C 为任意常数，则该方程的通解是（分数：2.00）A.Cy 1 (x)一 y 2 (x)B.y 1 (x)+Cy 1 (x)一 y 2 (x)C.Cy 1 (x)+y 2 (x)D.y 1 (x)+Cy 1 (x)+y 2 (x)3.设 y 1 ，y 2 是一阶线性非齐次微分方程 y“+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数 ， 使 y 1 +y 2 是该方程的解，y 1 一 y 2 是该方程对应的齐次方程的解，则（分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：9，分数：18.00)4.差分方程 y t+1 y t =t2 t 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_5.设函数 f(t)在0，+)上连续，且满足方程 （分数：2.00）填空项 1:_6.差分方程 2y t+1 +10y t 一 5t=0的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_。

2、设 y=y(x)为微分方程 2xydx+(x 2 1)dy=0满足初始条件 y(0)=1的解，则 （分数：2.00）A.一 ln3B.ln3C.D.3.微分方程 y“一 y“一 6y=(x+1)e 一 2x 的特解形式为( )（分数：2.00）A.(ax+b)e 一 2xB.ax2e 一 2xC.(ax 2 +bx)e 一 2xD.x 2 (ax+b)e 一 2x4.微分方程 y“一 4y=x+2的通解为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：11，分数：22.00)5.微分方程 y“+ytanx=cosx的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_6.设函数 (u)可导且 (0)=1，二元函数 z=(x+y)e xy 满足 （分数：2.00）填空项 1:_7.连续函数 f(x)满足 f(x)=3 0 x f(x一 t)dt+2，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_8.设 y=y(x)可导，y(0)=2，令y=y(x+x)一 。

3、程 y“+y“+y= 的一个特解应具有形式(其中 a，b 为常数) ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 y=f(x)是微分方程 y“一 2y+4y=0 的一个解，若 f(x 0 )0，且 f“(x 0 )=0，则函数 f(x)在点 x 0 ( )（分数：2.00）A.取得极大值B.取得极小值C.某个邻域内单调增加D.某个邻域内单调减少4.微分方程 y“+2y+y=sh x 的一个特解应具有形式(其中 a，b 为常数) ( )（分数：2.00）A.ash xB.ach xC.ax 2 e -x +be xD.axe -x +be x5.设 f(x)连续，且满足 （分数：2.00）A.e x ln 2B.e 2x ln 2C.e x +ln 2D.e 2x +ln 26.设 f(x)，f“(x)为已知的连续函数，则方程 y+f“(x)y=f(x)f“(x)的通解是 ( )（分数：2.00）A.y=f(x)+Ce -f(x)B.y=f(x)+1+Ce -f(x)C.y=f(x)一 C+Ce -f(x)D.y=f(x)一 1+Ce -f(x)7.方程 y (4) 一 。

4、程 y“+2y“+y=sh x 的一个特解应具有形式(其中 a，b 为常数) ( )（分数：2.00）A.ash xB.ach xC.ax 2 e 一 x +be xD.axe 一 x +be x3.设 f(x)连续，且满足 f(x)= 0 2x f( （分数：2.00）A.e x ln 2B.e x ln 2C.e x +ln 2D.e 2x +ln 24.设 f(x)，f“(x)为已知的连续函数，则方程 y“+f“(x)y=f(x)f“(x)的通解是 ( )（分数：2.00）A.y=f(x)+Ce 一 f(x)B.y=f(x)+1+Ce 一 f(x)C.y=f(x)一 C+Ce 一 f(x)D.y=f(x)一 1+Ce 一 f(x)5.方程 y (4) 一 2y“一 3y=e 一 3x 一 2e 一 x +x 的特解形式(其中 a，b，c，d 为常数)是 ( )（分数：2.00）A.axe 一 3x +bxe 一 x +cx 3B.ae 一 3x +bxe 一 x +cx+dC.ae 一 3x +bxe 一 x +cx 3 +dx 2D.axe 一 3x +be 一 x +cx。

5、ooting(试射法)2.差分法,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,3,6.1 常微分方程及求解概述 （Ordinary Differential Equations, ODE),6.1.1 基本概念描述自由落体的ODE:,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,4, 只有一个自变量的微分方程为 ODE,否则称为偏微分方程 PDE。
方程中未知函数导数的最高阶数称为方程的阶。
（6-4）是二阶的 方程中关于未知函数及其各阶导数均是一次的，则称为线性微分方程。
,和（6-1）都是线性二阶ODE。
(6-2),(6-3)是(6-1)的初始条件。
亦称定解条件。
(6-1)(6-2)叫做初值问题。
,6.1.1,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,5,6.1.1,（6-1），（6-3）叫做边值问题。
在没有给定解条件时。
方程一般有一族解曲线 y(x,c) 。
如：, 对任意的n阶ODE，如果能写成：,则称该方程为显式的。
方程（6-4）是显式的。
而下面方程是隐式的。
,浙江大学研究生学位课程,实用数值计算方法,6, 对于高阶显式方程。
通过。

6、程 y“一 6y“+8y=e x +e 2x 的一个特解应具有形式(其中 a，b 为常数) ( )（分数：2.00）A.ax x +be 2xB.ax x +bxe 2xC.axe x +be 2xD.axe x +bxe 2x3.微分方程 y“+2y“+2y=e 一 x sin x 的特解形式为 ( )（分数：2.00）A.e 一 x (Acos x+Bsin x)B.e 一 x (Acos x+Bxsin x)C.xe 一 x (Acos x+Bsin x)D.e 一 x (Axcos x+Bsin x)4.微分方程 y“+ =0 的通解是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.微分方程 y“一 4y“+4y=x 2 +8e 2x 的一个特解应具有形式(其中 a，b，c，d 为常数)( )（分数：2.00）A.ax 2 +bx+ce 2xB.ax 2 +bx+c+dx 2 e 2xC.ax 2 +bx+cxe 2xD.ax 2 +(bx 2 +cx)e 2x6.微分方程 y“+y“+y= 的一个特解应具有形式(其中 a，b 为常数)( ) （分数：2.00）A.B.C.D.。

7、方程 y“sinx=ylny满足定解条件 =e的特解是 （分数：2.00）A.B.C.D.3.若 C，C 1 ，C 2 ，C 3 是任意常数，则以下函数中可以看作某个二阶微分方程的通解的是（分数：2.00）A.y=C 1 x 2 +C 2 x+C 3 B.x 2 +y 2 =CC.yIn(C 1 x)+ln(C 1 sinx)D.y=C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x4.设 C 1 和 C 2 是两个任意常数，则函数 y=e x (C 1 cos2x+C 2 sin2x)+sinx是二阶常系数线性微分方程( )的通解（分数：2.00）A.y“-2y“+5y=4cosx-2sinxB.y“-2y“+5y=4sinx-2cosxC.y“-5y“+2y=4cosx-2sinxD.y“-5y“+2y=4sinx-2cosx二、填空题(总题数：1，分数：2.00)5.当x0 时 是比x 较高阶的无穷小量，函数 y(x)在任意点 x处的增量y= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：24，分数：48.00)。

8、2.微分方程 y6y+8y=e x +e 2x 的一个特解应具有形式(其中 a，b 为常数) ( )（分数：2.00）A.ae x +be 2xB.ae x +bxe 2xC.axe x +be 2xD.axe x +bxe 2x3.微分方程 y+2y+2y=e x sinx 的特解形式为 ( )（分数：2.00）A.e x (Acosx+Bsinx)B.e x (Acosx+Bsinx)C.xe x (Acosx+Bsinx)D.e x (Axcosx+Bsinx)4.微分方程 y+ =0 的通解是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.微分方程 y4y+4y=x 2 +8e 2x 的一个特解应具有形式(a，b，c，d 为常数) ( )（分数：2.00）A.ax 2 +bx+ce 2xB.ax 2 +bx+c+dx 2 e 2xC.ax 2 +bx+cx e 2xD.ax 2 +(bx 2 +cx)e 2x6.微分方程 y+y+y= 的一个特解应具有形式(其中 a，b 为常数) ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.微分方程 。

9、设函数 y 1 (x)，y 2 (x)，y 3 (x)线性无关，而且都是非齐次线性方程(62)的解，C 1 ，C 2 为任意常数，则该非齐次方程的通解是（分数：2.00）A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3 B.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(C 1 +C 2 )y 3 C.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(1-C 1 -C 2 )y 3 D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1-C 1 -C 2 )y 3 3.已知 sin 2 x，cos 2 x是方程 y“+P(x)y“+Q(x)y=0的解，C 1 ，C 2 为任意常数，则该方程的通解不是（分数：2.00）A.C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 xB.C 1 +C 2 cos2xC.C 1 sin 2 2x+C 2 tan 2 xD.C 1 +C 2 cos 2 x二、填空题(总题数：1，分数：2.00)4.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：25，分数：50.00)5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（分。

10、程。
微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶 微分方程的解：找出这样的函数，把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式。
这个函数就叫做微分方程的解。
微分方程的通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。
初始条件：设微分方程中的未知函数为 ，如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的条件是 时， 或写成 其中 都是给定的值；如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的条件是其中 和 都是给定的值，上述这种条件叫做初始条件。
确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的特解。
求微分方程 满足初始条件 的特解是这样一个问题，叫做一阶微分方程的初值问题，记作微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线。
,14.2 几种常用微分方程类型,1.可分离变量的微分方程 一般的，如果一个一阶微分方程能写成 的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含 的函数和 ，另一端只含 的函数。

11、圆柱于墙角，初时角速度0，由于摩擦阻力，使转动减速，摩擦因数 fs 求：使圆柱停止转动所需的时间。
,解：,应用刚体定轴转动的微分方程,考虑质心运动定理,C,解得,代入（1）式,得,积分,未知量,例6：齿轮传动装置，开始时角速度分别为01，02，重分别为P1，P2，求耦合后的1值。
,解:,左轮:,右轮:,运动学关系:,方程右端化简相等:,实验法测试转动惯量,1.扭转振动法,已知：标准盘的J标，求测试盘的 J。
,2.落体观测法,为测试不均质材料的鼓轮转动惯量，可以在一侧悬桂一个重物，当t=0时系统静止不动，然后测试重物下落h高度的t值，求:鼓轮的转动惯量。
,动量矩定理:,运动学关系：,自由落体时有：,则：,21-4 刚体平面运动的微分方程,刚体平面运动的微分方程,C,例7：均匀圆盘沿斜坡滚下，已知盘重P，半径 r, 求：下滚时盘质心的加速度与摩擦力。
,解:,有:,得:,例8：杆OA长l，重P。
可绕过O点的水平轴转动，A端铰接一半径为R、重为Q的均质圆盘，初瞬时OA杆处于水平位置，系统静止。
略去各处摩擦，求OA杆转到任意位置（用角表示）时的角速度及角加速度a。
,解。

12、动力，相互的关系为,其中 为待定函数，对于固定的时刻 上面的函数简 记为,现来探讨函数 的具体表达式，引入记号,分别表示每个劳动力的产值和投资。
有如下的假设： 随着 的增加而增加，但增长速度递减。
从而可以假设 为,函数 满足上面的要求，常数 可看成是 技术的作用。
将上面的形式代入到中，即：,由式知函数 有如下的性质：,式的具体意义是：产值是资金和劳动力的递增函数， 但增长率逐渐下降（即加速度为负数）.（见前图）,记 表示单位资金创造的产值（又称为对,资金的边际产值）； 表示单位劳动力能创造,的产值（又称为对劳动力的边际产值）. 则从式得到,的具体意义是： 是资金在产值中占有的份额， 是劳动力在产值中占有的份额。
所以 的大小直接反映 了资金、劳动力二者对于创造产值的轻重关系。
,式是经济学中著名的Cobb-Douglas生产函数，更 一般的形式是,2.资金与劳动力的最佳分配,本段根据式讨论，如何分配资金与劳动力，使生产 创造的效益达到最大。
,假定资金来自贷款，利率为 每个劳动力都。

13、第三节 一阶线性微分方程,难点与重点：一阶线性微分方程的概念；用公式或常数变易法解方程。
,定义：,可以推出，方程（1）的通解公式为,注：其中每个积分均只写一个原函数。
,主要内容：一、解的性质二、解的求法重点与难点： 二阶常系数线性齐次微分方程的概念； 特征根法求解； 函数的线性相关与线性无关。
,第四节 二阶常系数线性齐次微分方程,一、解的性质,定义1：,定义2：,二、解的求法,根据特征根的三种不同情况，可以推出微分方 程（1）的通解如下（这种方法叫做特征根法）,主要内容： 一、解的结构 二、解的求法 基本要求：熟知解的结构。
掌握 的两种不同情形的微分方程的解法。
,第五节 二阶常系数线性非齐次微分方程,一、解的结构,定义,微分方程（1）的通解具有如下结构：,二、解的求法,。

14、建模,根据建模目的和问题分析作出简化假设,按照内在规律或用类比法建立微分方程,5.1 传染病模型,问题,描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮到来的时刻,预防传染病蔓延的手段,按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型,已感染人数 (病人) i(t),每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为,模型1,假设,若有效接触的是病人，则不能使病人数增加,建模,?,模型2,区分已感染者(病人)和未感染者(健康人),假设,1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为,2）每个病人每天有效接触人数为, 且使接触的健康人致病,建模, 日 接触率,SI 模型,模型2,tm传染病高潮到来时刻, (日接触率) tm,病人可以治愈！,?,t=tm, di/dt 最大,模型3,传染病无免疫性病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染,增加假设,SIS 模型,3）病人每天治愈的比例为, 日治愈率,建模, 日接触率,1/ 感染期, 一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。
,模型3,接触数 =1 阈值,感染期内有效接。

15、解 可以运用 matlab 进行求解 .求微分方程（组）的解析解命令 : dsolve(方程 1, 方程 2,方程 n, 初始条件 , 自变量 ) 记号 : 在表达微分方程时，用字母 D 表示求微分， D2、 D3 等表示求高阶微分 .任何 D 后所跟的字母为因变量，自变量可以指定或由系统规则选定为确省 。
（ 2）数值解（近似解） 数值解求法：（详见数值计算方法） 用差商代替导数 使用数值积分 使用泰勒公式 用 Matlab 软件求常微分方程的数值解 4. 微分方程模型 （ 1） 微分方程建模 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 根据建模目的和问题分析作出简化假设 按照内在规律或用类比法建立微分方程 （ 2）微分方程模型 （详见 ppt） 传染病模型 经济增长模型 正规战与游击战 人口预测和控制 烟雾的扩散与消失 5. 稳定性分析 。

16、 the United States of America, 1979.,2. Curtis F.Gerald and Patrick O., Applied Numerical Analysis, Person Education,Inc., 2004.,3. Eugenia Kalnay, Atmospheric Modeling, Data Assimilation and Predictability,the press Syndicate of the University of Cambridge,2003.,4. Arieh Iserles, A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations,Cambridge University Press,1996.,5. 李荣华，冯国忱. 微分方程数值解. 北京：人民教育出版社，1980.,6. 徐长发，李红. 实用偏微分方程数值解法. 华中科技大学出版社，2003.,7. 沈桐立，田永祥等. 数值天气预报. 北京：气象出版社，2007.,3,数值。

17、子,1、可降阶的高阶微分方程的解法,型,解法,接连积分n次，得通解,型,特点,解法,代入原方程, 得,型,特点,解法,代入原方程, 得,2、线性微分方程解的结构,（1） 二阶齐次方程解的结构:,（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:,非齐方程的任两解之差是相应齐方程的解,非齐通解 = 齐通解 + 非齐特解,3、二阶常系数齐次线性方程解法,n阶常系数线性微分方程,二阶常系数齐次线性方程,二阶常系数非齐次线性方程,解法,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.,特征方程为,推广： 阶常系数齐次线性方程解法,特征方程为,4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法,二阶常系数非齐次线性方程,解法 待定系数法.,二、典型例题,例1,解,代入方程，得,故方程的通解为,例2,解,特征方程,特征根,对应的齐次方程的通解为,设原方程的特解为,原方程的一个特解为,故原方程的通解为,解得,所以原方程满足初始条件的特解为,例3,设二阶非齐次线性方程的三个特解为,求其通解,解,由解的结构知非齐方程的任二解之差是相应齐方程的解,故,是齐方程的两个解,齐通解,且线性无关,非齐通解,例4,设。

18、采用微分关系式来描述该系统即建立微 分方程模型 。
我们以一个例子来说明建立微分方程模 型的基本步骤。
,例1 某人的食量是10467（焦/天），其中5038 （焦/天）用于基本的新陈代谢（即自动消耗）。
在健身训练中，他所消耗的热量大约是69 （焦/公斤天）乘以他的体重（公斤）。
假设 以脂肪形式贮藏的热量100%地有效，而1公斤脂 肪含热量41868（焦）。
试研究此人的体重随时间变化的规律。
,模型分析 在问题中并未出现“变化率”、“导数”这样的关键 词，但要寻找的是体重（记为W）关于时间t的 函数。
如果我们把体重W看作是时间t的连续可 微函数，我们就能找到一个含有 的微分方程。
,模型假设 1.以W(t)表示t时刻某人的体重，并设一天开始时 人的体重为W 2体重的变化是一个渐变的过程。
因此可认为 W(t)是关于连续t而且充分光滑的。
3体重的变化等于输入与输出之差，其中输入 是指扣除了基本新陈代谢之后的净食量吸收； 输出就是进行健身训练时的消耗。
,模型建立 问题中所涉及的时间仅仅是“每天”，由此， 对于“每天”体重的变化=输入-输出。
由于考 。

19、位置的相对变化。
如水的流动，烟雾的扩散，公路上车流的涌动等。
,微分方程解决的主要问题：(1)描述对象特征随时间(空间)的演变过程(2)分析对象特征的变化规律(3)预报对象特征的未来性态(4)研究控制对象特征的手段,微分方程模型包括两个部分：方程和定解条件。
由于微分方程的求解需要借助微分的逆运算积分，而积分出现任意常数，因此方程的解不唯一，需要附加条件将所求的解唯一确定下来。
这样的条件称为定解条件。
,常微分方程的定解条件：对一个m阶常微分方程，需要积分m次才能将解函数求出，因此需要m个定解条件。
方程组的定解条件个数是每个方程定解条件个数之和。
定解问题分为初值问题和边值问题。
初值问题的定解条件在同一个点上，而边值问题的定解条件在不同点上。
,导数的意义：瞬时变化率 在实际上我们遇到的描述变化的词有速率(物理)增长率(经济，生物，人口等)衰变(原子反应)边际的(经济),瞬时变化率的描述：绝对增加率：单位时间增加的量。
相对增加率：单位时间增加的百分比。
变化率= 增加率-减少率,由于是瞬时的，其量的关系只有在很短的时间间隔中才能够利用静态的方法分析。
(微元法),微分方程的建模方法：(1)利。