【考研类试卷】考研数学二(微分方程)-试卷3及答案解析.doc

上传人:刘芸 文档编号:1396266 上传时间:2019-12-04 格式:DOC 页数:8 大小:125.50KB
下载 相关 举报
【考研类试卷】考研数学二(微分方程)-试卷3及答案解析.doc_第1页
第1页 / 共8页
【考研类试卷】考研数学二(微分方程)-试卷3及答案解析.doc_第2页
第2页 / 共8页
【考研类试卷】考研数学二(微分方程)-试卷3及答案解析.doc_第3页
第3页 / 共8页
【考研类试卷】考研数学二(微分方程)-试卷3及答案解析.doc_第4页
第4页 / 共8页
【考研类试卷】考研数学二(微分方程)-试卷3及答案解析.doc_第5页
第5页 / 共8页
点击查看更多>>
资源描述

1、考研数学二(微分方程)-试卷 3 及答案解析(总分:58.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:7,分数:14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.微分方程 y“+2y“+y=sh x 的一个特解应具有形式(其中 a,b 为常数) ( )(分数:2.00)A.ash xB.ach xC.ax 2 e 一 x +be xD.axe 一 x +be x3.设 f(x)连续,且满足 f(x)= 0 2x f( (分数:2.00)A.e x ln 2B.e x ln 2C.e x +ln 2D.e 2x +ln 24.设 f(x),f“

2、(x)为已知的连续函数,则方程 y“+f“(x)y=f(x)f“(x)的通解是 ( )(分数:2.00)A.y=f(x)+Ce 一 f(x)B.y=f(x)+1+Ce 一 f(x)C.y=f(x)一 C+Ce 一 f(x)D.y=f(x)一 1+Ce 一 f(x)5.方程 y (4) 一 2y“一 3y=e 一 3x 一 2e 一 x +x 的特解形式(其中 a,b,c,d 为常数)是 ( )(分数:2.00)A.axe 一 3x +bxe 一 x +cx 3B.ae 一 3x +bxe 一 x +cx+dC.ae 一 3x +bxe 一 x +cx 3 +dx 2D.axe 一 3x +be

3、 一 x +cx 3 +dx6.已知 y 1 =xe x +e 2x 和 y 2 =xe x +e 一 x 是二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解,则此方程为 ( )(分数:2.00)A.y“一 2y“+y=e 2xB.y“y“一 2y=xe xC.y“一 y“一 2y=e x 一 2xe xD.y“一 y=e 2x7.微分方程 y“一 y=e x +1 的特解应具有形式(其中 a,b 为常数) ( )(分数:2.00)A.ae x +bB.axe x +bC.ae x +bxD.axe x +bx二、填空题(总题数:8,分数:16.00)8.微分方程 y“= (分数:2.00)填空项 1:_

4、9.微分方程 y“一 2y“=x x +e 2x +1 的待定系数法确定的特解形式(不必求出系数)是 1(分数:2.00)填空项 1:_10.特征根为 r 1 =0,r 2,3 = (分数:2.00)填空项 1:_11.满足 f“(x)+xf“(一 x)=x 的函数 f(x)= 1(分数:2.00)填空项 1:_12.已知 0 1 f(tx)dt= (分数:2.00)填空项 1:_13.微分方程 xdyydx=ydy 的通解是 1(分数:2.00)填空项 1:_14.微分方程 (分数:2.00)填空项 1:_15.以 y=7e 3x +2x 为一个特解的三阶常系数齐次线性微分方程是 1(分数:

5、2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:14,分数:28.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_17.求(y 3 一 3xy 2 一 3x 2 y)dx+(3xy 2 一 3x 2 yx 3 +y 2 )dy=0 的通解(分数:2.00)_18.求微分方程 y“(3y“ 2 x)=y“满足初值条件 y(1)=y“(1)一 1 的特解(分数:2.00)_19.求微分方程 (分数:2.00)_20.求微分方程 y“+2y“+2y=2e 一 x cos 2 (分数:2.00)_21.求 y“一 y=e |x| 的通解(分数:2.00)_22.设函数 f(u

6、)有连续的一阶导数,f(2)=1,且函数 z= 满足 (分数:2.00)_23.设 z=z(u,v)具有二阶连续偏导数,且 z=z(x 一 2y,x+3y)满足 (分数:2.00)_24.利用变换 y=f(e x )求微分方程 y“一(2e x +1)y“+e 2x y=e 3x 的通解(分数:2.00)_25.求二阶常系数线性微分方程 y“+y“=2x+1 的通解,其中 为常数(分数:2.00)_26.(1)用 x=e t 化简微分方程 (分数:2.00)_27.设 L 是一条平面曲线,其上任意一点 P(x,y)(x0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在 y 轴上的截距,且 L 经过点(

7、(分数:2.00)_28.设函数 y(x)(x0)二阶可导且 y“(x)0,y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一点 P(x,y)作该曲线的切线及到 z 轴的垂线,上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S 1 ,区间0,x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S 2 ,并设 2S 1 S 2 恒为 1,求此曲线 y=y(x)的方程(分数:2.00)_29.位于上半平面向上凹的曲线 y=y(z)在点(0,1)处的切线斜率为 0,在点(2,2)处的切线斜率为 1邑知曲线上任一点处的曲率半径与 (分数:2.00)_考研数学二(微分方程)-试卷 3 答案解析(总分:58.00,做题时间

8、:90 分钟)一、选择题(总题数:7,分数:14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.微分方程 y“+2y“+y=sh x 的一个特解应具有形式(其中 a,b 为常数) ( )(分数:2.00)A.ash xB.ach xC.ax 2 e 一 x +be x D.axe 一 x +be x解析:解析:特征方程为 r 2 +2r+1=0,r=一 1 为二重特征根,而 f(x)=sh x= 3.设 f(x)连续,且满足 f(x)= 0 2x f( (分数:2.00)A.e x ln 2B.e x ln 2 C.e x +ln 2D.e

9、2x +ln 2解析:解析:原方程求导得 f“(x)=2f(x),即 4.设 f(x),f“(x)为已知的连续函数,则方程 y“+f“(x)y=f(x)f“(x)的通解是 ( )(分数:2.00)A.y=f(x)+Ce 一 f(x)B.y=f(x)+1+Ce 一 f(x)C.y=f(x)一 C+Ce 一 f(x)D.y=f(x)一 1+Ce 一 f(x) 解析:解析:由一阶线性方程的通解公式得 y=e 一f“(x)dx C+f(x)y“(x)e 一 f“(x)dx =e 一 f“x) C+f(x)de f(x) =Ce 一 f(x) +f(x)一 1(其中 C 为任意常数)5.方程 y (4)

10、 一 2y“一 3y=e 一 3x 一 2e 一 x +x 的特解形式(其中 a,b,c,d 为常数)是 ( )(分数:2.00)A.axe 一 3x +bxe 一 x +cx 3B.ae 一 3x +bxe 一 x +cx+dC.ae 一 3x +bxe 一 x +cx 3 +dx 2 D.axe 一 3x +be 一 x +cx 3 +dx解析:解析:特征方程 r 2 (r 2 一 2r 一 3)=0,特征根为 r 1 =3,r 2 =一 1,r 3 =r 4 =0,对 f 1 =e 一3x , 1 =一 3 非特征根,y 1 * =ae 一 3x ;对 f 2 =一 2e 一 x , 2

11、 =一 1 是特征根,y 2 * =bxe 一 x ;对 f 3 =x, 3 =0 是二重特征根,y 3 * =x 2 (cx+d),所以特解 y * =y 1 * +y 2 * +y 3 * =ae 一 3x +bxe 一 x +cx 3 +dx 2 6.已知 y 1 =xe x +e 2x 和 y 2 =xe x +e 一 x 是二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解,则此方程为 ( )(分数:2.00)A.y“一 2y“+y=e 2xB.y“y“一 2y=xe xC.y“一 y“一 2y=e x 一 2xe x D.y“一 y=e 2x解析:解析:非齐次线性方程两解之差必为对应齐次方程之解

12、,由 y 1 一 y 2 =e 2x 一 e 一 x 及解的结构定理知对应齐次方程通解为 y=C 1 e 2x +C 2 e 一 x ,故特征根 r 1 =2,r 2 =一 1对应齐次线性方程为 y“一 y“一 2y=0 再由特解 y * =xe x 知非齐次项 f(x)=y * “一 y * “一 2y * =e x 一 2xe x , 于是所求方程为 y“一 y“一 2y=e x 一 2xe x 7.微分方程 y“一 y=e x +1 的特解应具有形式(其中 a,b 为常数) ( )(分数:2.00)A.ae x +bB.axe x +b C.ae x +bxD.axe x +bx解析:解

13、析:根据非齐次方程 y“一 y=e x +1 可得出对应的齐次方程 y“一 y=0,特征根为 1 =一 1, 2 =1,非齐次部分分成两部分 f 1 (x)=e x ,f 2 (x)=1,可知 y“一 y=e x +1 的特解可设为 axe x +b二、填空题(总题数:8,分数:16.00)8.微分方程 y“= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:y=xln(x+ )解析:解析:9.微分方程 y“一 2y“=x x +e 2x +1 的待定系数法确定的特解形式(不必求出系数)是 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:y * =x(Ax 2 +Bx+C)+

14、Dxe 2x)解析:解析:特征方程为 r 2 一 2r=0,特征根为 r 1 =0,r 2 =2 对 f 1 =x 2 +1, 1 =0 是特征根,所以 y 1 * =x(Ax 2 +Bx+C) 对 f 2 =e 2x , 2 =2 也是特征根,故有 y 2 * =Dxe 2x 从而 y * 如上10.特征根为 r 1 =0,r 2,3 = (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:y“一 y“+*y“=0)解析:解析:特征方程为11.满足 f“(x)+xf“(一 x)=x 的函数 f(x)= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:在原方程中以

15、(一 x)代替 x 得 f“(一 x)一 xf“(x)=一 x,与原方程联立消去 f“(一 x)项得f“(x)+x 2 f“(x)=x+x 2 ,所以 f“(x)= , 积分得 f(x)= 12.已知 0 1 f(tx)dt= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:Cx+2,其中 C 为任意常数)解析:解析:将所给方程两边同乘以 x,得13.微分方程 xdyydx=ydy 的通解是 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:14.微分方程 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:y=C 1 x 5 +C 2 x 3 +C 3 x

16、 2 +C 4 x+C 5 ,C 1 ,C 2 ,C 3 ,C 4 ,C 5 为任意常数)解析:解析:令 u=15.以 y=7e 3x +2x 为一个特解的三阶常系数齐次线性微分方程是 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:y“一 3y“=0)解析:解析:由特解 y=7e 3x +2x 知特征根为 r 1 =3,r 2 =r 3 =0(二重根)特征方程为 r 3 3r 2 =0,相应齐次线性方程即 y“一 3y“=0三、解答题(总题数:14,分数:28.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:17.求(y 3 一 3xy 2 一

17、3x 2 y)dx+(3xy 2 一 3x 2 yx 3 +y 2 )dy=0 的通解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:将原给方程通过观察分项组合 (y 3 一 3xy 2 一 3x 2 y)dx+(3xy 2 一 3x 2 yx 3 +y 2 )dy =(y 3 dx+3xy 2 dy)一 3xy(ydx+xdy)一(3x 2 ydx+x 3 dy)+y 2 dy =0, 即 )解析:18.求微分方程 y“(3y“ 2 x)=y“满足初值条件 y(1)=y“(1)一 1 的特解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 化为 3p 2 dp 一(xdp+pdx)=0 这是关于 p 与

18、 x 的全微分方程,解之得 p 3 一 xp=C 1 以初值条件:x=1 时,p=1 代入,得 11=C 1 , 即 C 1 =0从而得 p 3 一 xp=0 分解成 p=0 及 p 2 =x,即 )解析:19.求微分方程 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:20.求微分方程 y“+2y“+2y=2e 一 x cos 2 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:应先用三角公式将自由项写成 e 一 x +e 一 x cos x, 然后再用叠加原理用待定系数法求特解 对应的齐次方程的通解为 Y=(C 1 cos x+C 2 sin x)e 一 x 为求原方程的一个特解,将自由项分

19、成两项:e 一 x ,e 一 x xcos x,分别考虑 y“+2y“+2y=e 一 x , 与 y“+2y“+2y=e 一 x cos x 对于式,令 y 1 * =Ae 一 x , 代入可求得 A=1,从而得 y 1 * =e 一 x 对于式,令 y 2 * =xe 一 x (Bcosx+Csin x), 代入可求得 B=0,C= 由叠加原理,得原方程的通解为 y=Y+y 1 * +y 2 * =e 一 x (C 1 cos x+C 2 sin x)+e 一 x + )解析:21.求 y“一 y=e |x| 的通解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:自由项带绝对值,为分段函数,所以应

20、将该方程按区间(一,0)0,+)分成两个方程,分别求解由于 y“=y+e |x| 在 x=0 处具有二阶连续导数,所以求出解之后,在 x=0 处拼接成二阶导数连续,便得原方程的通解 当 x0 时,方程为 y“一 y=e x , 求得通解 y=C 1 e x +C 2 e 一 x + xe x 当 x0 时,方程为 y“一 y=e 一 x , 求得通解 y=C 3 e x +C 4 e 一 x 一 xe 一 x 因为原方程的解 y(x)在 x=0 处连续且 y“(x)也连续,据此,有 )解析:22.设函数 f(u)有连续的一阶导数,f(2)=1,且函数 z= 满足 (分数:2.00)_正确答案:

21、(正确答案: 初值条件是 u=2 时 f=1微分方程的解应该是 u 的连续函数,由于初值条件给在 u=2 处,所以 f 的连续区间应是包含 u=2 在内的一个开区间 解式得通解 )解析:23.设 z=z(u,v)具有二阶连续偏导数,且 z=z(x 一 2y,x+3y)满足 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:以 z=z(u,u),u=x 一 2y,v=x+3y 代入式,得到 z(u,v)应满足的微分方程,也许这个方程能用常微分方程的办法解之 )解析:24.利用变换 y=f(e x )求微分方程 y“一(2e x +1)y“+e 2x y=e 3x 的通解(分数:2.00)_正确答案:(正

22、确答案:令 t=e x ,则 y=f(t),y“=f“(t)e x =tf“(t), y“=tf“(t)“ x =e x f“(t)+tf“(t)e x =tf“(t)+t 2 f“(t), 代入方程得 t 2 f“(t)+tf“(t)一(2t+1)tf“(t)+t 2 f(t)=t 3 ,即 f“(t)一 2f“(t)+f(t)=t 解得 f(t)=(C 1 +C 2 t)e t +t+2,所以 y“=(2e x +1)y“+e 2x y=e 3x 的通解为 y=(C 1 +C 2 e x ) )解析:25.求二阶常系数线性微分方程 y“+y“=2x+1 的通解,其中 为常数(分数:2.00

23、)_正确答案:(正确答案:对应齐次方程 y“+y“=0 的特征方程 r 2 +r=0 的特征根为 r=0 或 r=一 当 0 时,y“+y“=0 的通解为 y=C 1 +C 2 e 一 x 设原方程的特解形式为 y * =x(Ax+B),代入原方程,比较同次幂项的系数,解得 )解析:26.(1)用 x=e t 化简微分方程 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:27.设 L 是一条平面曲线,其上任意一点 P(x,y)(x0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在 y 轴上的截距,且 L 经过点( (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)设曲线 L 过点 P(x,y)的切线方

24、程为 Yy=y“(Xx)令 X=0,则得该切线在y 轴上的截距为 y 一 xy“ )解析:28.设函数 y(x)(x0)二阶可导且 y“(x)0,y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一点 P(x,y)作该曲线的切线及到 z 轴的垂线,上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S 1 ,区间0,x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S 2 ,并设 2S 1 S 2 恒为 1,求此曲线 y=y(x)的方程(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:曲线 y=y(x)上点 P(x,y)处的切线方程为 Y 一 y=y“(x)(Xx),它与 x 轴的交点为 N(x 一 ,0)由于 y“(x)0,y(0)=1,从而 y(x)0,于是 )解析:29.位于上半平面向上凹的曲线 y=y(z)在点(0,1)处的切线斜率为 0,在点(2,2)处的切线斜率为 1邑知曲线上任一点处的曲率半径与 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由已知,有 y(0)=1,y“(0)=0,y(2)=2,y“(2)=1 )解析:

展开阅读全文
相关资源
猜你喜欢
相关搜索
资源标签

当前位置:首页 > 考试资料 > 大学考试

copyright@ 2008-2019 麦多课文库(www.mydoc123.com)网站版权所有
备案/许可证编号:苏ICP备17064731号-1