1、考研数学二（微分方程）-试卷 3 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.微分方程 y“+2y“+y=sh x 的一个特解应具有形式(其中 a，b 为常数) ( )（分数：2.00）A.ash xB.ach xC.ax 2 e 一 x +be xD.axe 一 x +be x3.设 f(x)连续，且满足 f(x)= 0 2x f( （分数：2.00）A.e x ln 2B.e x ln 2C.e x +ln 2D.e 2x +ln 24.设 f(x)，f“
2、(x)为已知的连续函数，则方程 y“+f“(x)y=f(x)f“(x)的通解是 ( )（分数：2.00）A.y=f(x)+Ce 一 f(x)B.y=f(x)+1+Ce 一 f(x)C.y=f(x)一 C+Ce 一 f(x)D.y=f(x)一 1+Ce 一 f(x)5.方程 y (4) 一 2y“一 3y=e 一 3x 一 2e 一 x +x 的特解形式(其中 a，b，c，d 为常数)是 ( )（分数：2.00）A.axe 一 3x +bxe 一 x +cx 3B.ae 一 3x +bxe 一 x +cx+dC.ae 一 3x +bxe 一 x +cx 3 +dx 2D.axe 一 3x +be
3、 一 x +cx 3 +dx6.已知 y 1 =xe x +e 2x 和 y 2 =xe x +e 一 x 是二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解，则此方程为 ( )（分数：2.00）A.y“一 2y“+y=e 2xB.y“y“一 2y=xe xC.y“一 y“一 2y=e x 一 2xe xD.y“一 y=e 2x7.微分方程 y“一 y=e x +1 的特解应具有形式(其中 a，b 为常数) ( )（分数：2.00）A.ae x +bB.axe x +bC.ae x +bxD.axe x +bx二、填空题(总题数：8，分数：16.00)8.微分方程 y“= （分数：2.00）填空项 1:_
4、9.微分方程 y“一 2y“=x x +e 2x +1 的待定系数法确定的特解形式(不必求出系数)是 1（分数：2.00）填空项 1:_10.特征根为 r 1 =0，r 2,3 = （分数：2.00）填空项 1:_11.满足 f“(x)+xf“(一 x)=x 的函数 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.已知 0 1 f(tx)dt= （分数：2.00）填空项 1:_13.微分方程 xdyydx=ydy 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_14.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_15.以 y=7e 3x +2x 为一个特解的三阶常系数齐次线性微分方程是 1（分数：
5、2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：14，分数：28.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.求(y 3 一 3xy 2 一 3x 2 y)dx+(3xy 2 一 3x 2 yx 3 +y 2 )dy=0 的通解（分数：2.00）_18.求微分方程 y“(3y“ 2 x)=y“满足初值条件 y(1)=y“(1)一 1 的特解（分数：2.00）_19.求微分方程 （分数：2.00）_20.求微分方程 y“+2y“+2y=2e 一 x cos 2 （分数：2.00）_21.求 y“一 y=e |x| 的通解（分数：2.00）_22.设函数 f(u
6、)有连续的一阶导数，f(2)=1，且函数 z= 满足 （分数：2.00）_23.设 z=z(u，v)具有二阶连续偏导数，且 z=z(x 一 2y，x+3y)满足 （分数：2.00）_24.利用变换 y=f(e x )求微分方程 y“一(2e x +1)y“+e 2x y=e 3x 的通解（分数：2.00）_25.求二阶常系数线性微分方程 y“+y“=2x+1 的通解，其中 为常数（分数：2.00）_26.(1)用 x=e t 化简微分方程 （分数：2.00）_27.设 L 是一条平面曲线，其上任意一点 P(x，y)(x0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在 y 轴上的截距，且 L 经过点(
7、（分数：2.00）_28.设函数 y(x)(x0)二阶可导且 y“(x)0，y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一点 P(x，y)作该曲线的切线及到 z 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S 1 ，区间0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S 2 ，并设 2S 1 S 2 恒为 1，求此曲线 y=y(x)的方程（分数：2.00）_29.位于上半平面向上凹的曲线 y=y(z)在点(0，1)处的切线斜率为 0，在点(2，2)处的切线斜率为 1邑知曲线上任一点处的曲率半径与 （分数：2.00）_考研数学二（微分方程）-试卷 3 答案解析(总分：58.00，做题时间
8、：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.微分方程 y“+2y“+y=sh x 的一个特解应具有形式(其中 a，b 为常数) ( )（分数：2.00）A.ash xB.ach xC.ax 2 e 一 x +be x D.axe 一 x +be x解析：解析：特征方程为 r 2 +2r+1=0，r=一 1 为二重特征根，而 f(x)=sh x= 3.设 f(x)连续，且满足 f(x)= 0 2x f( （分数：2.00）A.e x ln 2B.e x ln 2 C.e x +ln 2D.e
9、2x +ln 2解析：解析：原方程求导得 f“(x)=2f(x)，即 4.设 f(x)，f“(x)为已知的连续函数，则方程 y“+f“(x)y=f(x)f“(x)的通解是 ( )（分数：2.00）A.y=f(x)+Ce 一 f(x)B.y=f(x)+1+Ce 一 f(x)C.y=f(x)一 C+Ce 一 f(x)D.y=f(x)一 1+Ce 一 f(x) 解析：解析：由一阶线性方程的通解公式得 y=e 一f“(x)dx C+f(x)y“(x)e 一 f“(x)dx =e 一 f“x) C+f(x)de f(x) =Ce 一 f(x) +f(x)一 1(其中 C 为任意常数)5.方程 y (4)
10、 一 2y“一 3y=e 一 3x 一 2e 一 x +x 的特解形式(其中 a，b，c，d 为常数)是 ( )（分数：2.00）A.axe 一 3x +bxe 一 x +cx 3B.ae 一 3x +bxe 一 x +cx+dC.ae 一 3x +bxe 一 x +cx 3 +dx 2 D.axe 一 3x +be 一 x +cx 3 +dx解析：解析：特征方程 r 2 (r 2 一 2r 一 3)=0，特征根为 r 1 =3，r 2 =一 1，r 3 =r 4 =0，对 f 1 =e 一3x ， 1 =一 3 非特征根，y 1 * =ae 一 3x ；对 f 2 =一 2e 一 x ， 2
11、 =一 1 是特征根，y 2 * =bxe 一 x ；对 f 3 =x， 3 =0 是二重特征根，y 3 * =x 2 (cx+d)，所以特解 y * =y 1 * +y 2 * +y 3 * =ae 一 3x +bxe 一 x +cx 3 +dx 2 6.已知 y 1 =xe x +e 2x 和 y 2 =xe x +e 一 x 是二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解，则此方程为 ( )（分数：2.00）A.y“一 2y“+y=e 2xB.y“y“一 2y=xe xC.y“一 y“一 2y=e x 一 2xe x D.y“一 y=e 2x解析：解析：非齐次线性方程两解之差必为对应齐次方程之解
12、，由 y 1 一 y 2 =e 2x 一 e 一 x 及解的结构定理知对应齐次方程通解为 y=C 1 e 2x +C 2 e 一 x ，故特征根 r 1 =2，r 2 =一 1对应齐次线性方程为 y“一 y“一 2y=0 再由特解 y * =xe x 知非齐次项 f(x)=y * “一 y * “一 2y * =e x 一 2xe x ， 于是所求方程为 y“一 y“一 2y=e x 一 2xe x 7.微分方程 y“一 y=e x +1 的特解应具有形式(其中 a，b 为常数) ( )（分数：2.00）A.ae x +bB.axe x +b C.ae x +bxD.axe x +bx解析：解
13、析：根据非齐次方程 y“一 y=e x +1 可得出对应的齐次方程 y“一 y=0，特征根为 1 =一 1， 2 =1，非齐次部分分成两部分 f 1 (x)=e x ，f 2 (x)=1，可知 y“一 y=e x +1 的特解可设为 axe x +b二、填空题(总题数：8，分数：16.00)8.微分方程 y“= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=xln(x+ ）解析：解析：9.微分方程 y“一 2y“=x x +e 2x +1 的待定系数法确定的特解形式(不必求出系数)是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y * =x(Ax 2 +Bx+C)+
14、Dxe 2x）解析：解析：特征方程为 r 2 一 2r=0，特征根为 r 1 =0，r 2 =2 对 f 1 =x 2 +1， 1 =0 是特征根，所以 y 1 * =x(Ax 2 +Bx+C) 对 f 2 =e 2x ， 2 =2 也是特征根，故有 y 2 * =Dxe 2x 从而 y * 如上10.特征根为 r 1 =0，r 2,3 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y“一 y“+*y“=0）解析：解析：特征方程为11.满足 f“(x)+xf“(一 x)=x 的函数 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：在原方程中以
15、(一 x)代替 x 得 f“(一 x)一 xf“(x)=一 x，与原方程联立消去 f“(一 x)项得f“(x)+x 2 f“(x)=x+x 2 ，所以 f“(x)= ， 积分得 f(x)= 12.已知 0 1 f(tx)dt= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：Cx+2，其中 C 为任意常数）解析：解析：将所给方程两边同乘以 x，得13.微分方程 xdyydx=ydy 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：14.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 x 5 +C 2 x 3 +C 3 x
16、 2 +C 4 x+C 5 ，C 1 ，C 2 ，C 3 ，C 4 ，C 5 为任意常数）解析：解析：令 u=15.以 y=7e 3x +2x 为一个特解的三阶常系数齐次线性微分方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y“一 3y“=0）解析：解析：由特解 y=7e 3x +2x 知特征根为 r 1 =3，r 2 =r 3 =0(二重根)特征方程为 r 3 3r 2 =0，相应齐次线性方程即 y“一 3y“=0三、解答题(总题数：14，分数：28.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.求(y 3 一 3xy 2 一
17、3x 2 y)dx+(3xy 2 一 3x 2 yx 3 +y 2 )dy=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将原给方程通过观察分项组合 (y 3 一 3xy 2 一 3x 2 y)dx+(3xy 2 一 3x 2 yx 3 +y 2 )dy =(y 3 dx+3xy 2 dy)一 3xy(ydx+xdy)一(3x 2 ydx+x 3 dy)+y 2 dy =0， 即 )解析：18.求微分方程 y“(3y“ 2 x)=y“满足初值条件 y(1)=y“(1)一 1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 化为 3p 2 dp 一(xdp+pdx)=0 这是关于 p 与
18、 x 的全微分方程，解之得 p 3 一 xp=C 1 以初值条件：x=1 时，p=1 代入，得 11=C 1 ， 即 C 1 =0从而得 p 3 一 xp=0 分解成 p=0 及 p 2 =x，即 )解析：19.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.求微分方程 y“+2y“+2y=2e 一 x cos 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：应先用三角公式将自由项写成 e 一 x +e 一 x cos x， 然后再用叠加原理用待定系数法求特解 对应的齐次方程的通解为 Y=(C 1 cos x+C 2 sin x)e 一 x 为求原方程的一个特解，将自由项分
19、成两项：e 一 x ，e 一 x xcos x，分别考虑 y“+2y“+2y=e 一 x ， 与 y“+2y“+2y=e 一 x cos x 对于式，令 y 1 * =Ae 一 x ， 代入可求得 A=1，从而得 y 1 * =e 一 x 对于式，令 y 2 * =xe 一 x (Bcosx+Csin x)， 代入可求得 B=0，C= 由叠加原理，得原方程的通解为 y=Y+y 1 * +y 2 * =e 一 x (C 1 cos x+C 2 sin x)+e 一 x + )解析：21.求 y“一 y=e |x| 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：自由项带绝对值，为分段函数，所以应
20、将该方程按区间(一，0)0，+)分成两个方程，分别求解由于 y“=y+e |x| 在 x=0 处具有二阶连续导数，所以求出解之后，在 x=0 处拼接成二阶导数连续，便得原方程的通解 当 x0 时，方程为 y“一 y=e x ， 求得通解 y=C 1 e x +C 2 e 一 x + xe x 当 x0 时，方程为 y“一 y=e 一 x ， 求得通解 y=C 3 e x +C 4 e 一 x 一 xe 一 x 因为原方程的解 y(x)在 x=0 处连续且 y“(x)也连续，据此，有 )解析：22.设函数 f(u)有连续的一阶导数，f(2)=1，且函数 z= 满足 （分数：2.00）_正确答案：
21、(正确答案： 初值条件是 u=2 时 f=1微分方程的解应该是 u 的连续函数，由于初值条件给在 u=2 处，所以 f 的连续区间应是包含 u=2 在内的一个开区间 解式得通解 )解析：23.设 z=z(u，v)具有二阶连续偏导数，且 z=z(x 一 2y，x+3y)满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：以 z=z(u，u)，u=x 一 2y，v=x+3y 代入式，得到 z(u，v)应满足的微分方程，也许这个方程能用常微分方程的办法解之 )解析：24.利用变换 y=f(e x )求微分方程 y“一(2e x +1)y“+e 2x y=e 3x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正
22、确答案：令 t=e x ，则 y=f(t)，y“=f“(t)e x =tf“(t)， y“=tf“(t)“ x =e x f“(t)+tf“(t)e x =tf“(t)+t 2 f“(t)， 代入方程得 t 2 f“(t)+tf“(t)一(2t+1)tf“(t)+t 2 f(t)=t 3 ，即 f“(t)一 2f“(t)+f(t)=t 解得 f(t)=(C 1 +C 2 t)e t +t+2，所以 y“=(2e x +1)y“+e 2x y=e 3x 的通解为 y=(C 1 +C 2 e x ) )解析：25.求二阶常系数线性微分方程 y“+y“=2x+1 的通解，其中 为常数（分数：2.00
23、）_正确答案：(正确答案：对应齐次方程 y“+y“=0 的特征方程 r 2 +r=0 的特征根为 r=0 或 r=一 当 0 时，y“+y“=0 的通解为 y=C 1 +C 2 e 一 x 设原方程的特解形式为 y * =x(Ax+B)，代入原方程，比较同次幂项的系数，解得 )解析：26.(1)用 x=e t 化简微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.设 L 是一条平面曲线，其上任意一点 P(x，y)(x0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在 y 轴上的截距，且 L 经过点( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设曲线 L 过点 P(x，y)的切线方
24、程为 Yy=y“(Xx)令 X=0，则得该切线在y 轴上的截距为 y 一 xy“ )解析：28.设函数 y(x)(x0)二阶可导且 y“(x)0，y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一点 P(x，y)作该曲线的切线及到 z 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S 1 ，区间0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S 2 ，并设 2S 1 S 2 恒为 1，求此曲线 y=y(x)的方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 y=y(x)上点 P(x，y)处的切线方程为 Y 一 y=y“(x)(Xx)，它与 x 轴的交点为 N(x 一 ，0)由于 y“(x)0，y(0)=1，从而 y(x)0，于是 )解析：29.位于上半平面向上凹的曲线 y=y(z)在点(0，1)处的切线斜率为 0，在点(2，2)处的切线斜率为 1邑知曲线上任一点处的曲率半径与 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知，有 y(0)=1，y“(0)=0，y(2)=2，y“(2)=1 )解析：
