1、考研数学二（微分方程）-试卷 2 及答案解析(总分：88.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.微分方程 y“+y“+y= 的一个特解应具有形式(其中 a，b 为常数) ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 y=f(x)是微分方程 y“一 2y+4y=0 的一个解，若 f(x 0 )0，且 f“(x 0 )=0，则函数 f(x)在点 x 0 ( )（分数：2.00）A.取得极大值B.取得极小值C.某个邻域内单调增加D.某个邻域内单调减少4.微分方程 y“+2y+y=
2、sh x 的一个特解应具有形式(其中 a，b 为常数) ( )（分数：2.00）A.ash xB.ach xC.ax 2 e -x +be xD.axe -x +be x5.设 f(x)连续，且满足 （分数：2.00）A.e x ln 2B.e 2x ln 2C.e x +ln 2D.e 2x +ln 26.设 f(x)，f“(x)为已知的连续函数，则方程 y+f“(x)y=f(x)f“(x)的通解是 ( )（分数：2.00）A.y=f(x)+Ce -f(x)B.y=f(x)+1+Ce -f(x)C.y=f(x)一 C+Ce -f(x)D.y=f(x)一 1+Ce -f(x)7.方程 y (4
3、) 一 2y“一 3y“=e -3x 一 2e -x +x 的特解形式(其中 a，b，c，d 为常数)是 ( )（分数：2.00）A.axe -3x +bxe -x +cx 3B.ae -3x +bxe -x +cx+dC.ae -3x +bxe -x +cx 3 +dx 2D.axe -3x +be -x +cx 3 +dx8.已知 y 1 =xe x +e 2x 和 y 2 =xe x +e -x 是二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解，则此方程为 ( )（分数：2.00）A.y“一 2y“+y=e 2xB.y“一 y“一 2y=xe xC.y“一 y“一 2y=e x 一 2xe xD.
4、y“一 y=e 2x9.微分方程 y“一 y=e x +1 的特解应具有形式(其中 a，b 为常数) ( )（分数：2.00）A.ae x +bB.axe x +bC.ae x +bxD.axe x +bx二、填空题(总题数：13，分数：26.00)10.设一阶非齐次线性微分方程 y+p(x)y=Q(x)有两个线性无关的解 y 1 ，y 2 ，若 y 1 +y 2 也是该方程的解，则应有 += 1（分数：2.00）填空项 1:_11.微分方程 y“一 7y=(x 一 1) 2 的待定系数法确定的特解形式(系数的值不必求出)是 1（分数：2.00）填空项 1:_12.以 y=cos 2x+sin
5、 2x 为一个特解的二阶常系数齐次线性微分方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_13.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_14.微分方程(1 一 x 2 )yxy=0 满足初值条件 y(1)=1 的特解是 1（分数：2.00）填空项 1:_15.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_16.微分方程 y“一 2y=x 2 +e 2x +1 的待定系数法确定的特解形式(不必求出系数)是 1（分数：2.00）填空项 1:_17.特征根为 r 1 =0， （分数：2.00）填空项 1:_18.满足 f“(x)+xf(一 x)=x 的函数 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_19
6、.已知 0 1 f(tx)dt= （分数：2.00）填空项 1:_20.微分方程 xdyydx=ydy 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_21.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_22.以 y=7e 3x +2x 为一个特解的三阶常系数齐次线性微分方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：22，分数：44.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_24.求一个以 y 1 =te t ，y 2 =sin 2t 为其两个特解的四阶常系数齐次线性微分方程，并求其通解（分数：2.00）_25.一链条悬挂在一钉子上，启动时一端离开钉
7、子 8 m，另一端离开钉子 12 m，试分别在以下两种情况下求链条滑离钉子所需要的时间： (1)不计钉子对链条的摩擦力； (2)若摩擦力为常力且其大小等于 2 m 长的链条所受到的重力（分数：2.00）_26.从一艘破裂的油轮中渗漏出来的油，在海面上逐渐扩散形成油层设在扩散的过程中，其形状一直是一个厚度均匀的圆柱体，其体积也始终保持不变已知其厚度 h 的减少率与 h 3 成正比，试证明：其半径r 的增加率与 r 3 成反比（分数：2.00）_27.汽艇以 27(kmh)的速度，在静止的海面上行驶，现在突然关闭其动力系统，它就在静止的海面上作直线滑行，设已知水对汽艇运动的阻力与汽艇运动的速度成正
8、比，并已知在关闭其动力后 20(s)汽艇的速度降为了 108(kmh)试问它最多能滑行多远?（分数：2.00）_28.求解 y“=e 2y +e y ，且 y(0)=0，y(0)=2（分数：2.00）_29.求方程 （分数：2.00）_30.求微分方程 （分数：2.00）_31.求方程 （分数：2.00）_32.求(y 3 一 3xy 2 一 3x 2 y)如+(3xy 2 一 3x 2 yx 3 +y 2 )dy=0 的通解（分数：2.00）_33.求微分方程 y“(3y“ 2 一 x)=y满足初值条件 y(1)=y(1)=1 的特解（分数：2.00）_34.求微分方程 （分数：2.00）_
9、35.求微分方程 y“+2y+2y= （分数：2.00）_36.求 y“一 y=e |x| 的通解（分数：2.00）_37.设函数 f(u)有连续的一阶导数，f(2)=1，且函数 满足 （分数：2.00）_38.设 z=z(u，v)具有二阶连续偏导数，且 z=z(x 一 2y，x+3y)满足 （分数：2.00）_39.利用变换 y=f(e x )求微分方程 f“一(2e x +1)y+e 2x y=e 3x 的通解（分数：2.00）_40.求二阶常系数线性微分方程 y“+y“=2x+1 的通解，其中 为常数（分数：2.00）_41.(1)用 x=e t 化简微分方程 （分数：2.00）_42.
10、设 L 是一条平面曲线，其上任意一点 P(x，y)(x0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在 y 轴上的截距，且 L 经过点 （分数：2.00）_43.设函数 y(x)(x0)二阶可导且 y(x)0，y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一点 P(x，y)作该曲线的切线及到 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S 1 ，区间0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S 2 ，并设 2S 1 一 S 2 恒为 1，求此曲线 y=y(x)的方程（分数：2.00）_44.位于上半平面向上凹的曲线 y=y(x)在点(0，1)处的切线斜率为 0，在点(2，2)处的切线斜
11、率为 1已知曲线上任一点处的曲率半径与 （分数：2.00）_考研数学二（微分方程）-试卷 2 答案解析(总分：88.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.微分方程 y“+y“+y= 的一个特解应具有形式(其中 a，b 为常数) ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：特征方程 r 2 +r+1=0，特征根为 i= 是特征根，所以特解的形式为 3.设 y=f(x)是微分方程 y“一 2y+4y=0 的一个解，若 f(x 0 )0，且 f“(x 0 )=0，则
12、函数 f(x)在点 x 0 ( )（分数：2.00）A.取得极大值 B.取得极小值C.某个邻域内单调增加D.某个邻域内单调减少解析：解析：由 f“(x 0 )=0 知 x 0 为驻点，且 f“(x 0 )+4f(x 0 )=0，又因 f(x 0 )0，故 f“(x 0 )=一4f(x 0 )0，所以在 x 0 处函数取极大值4.微分方程 y“+2y+y=sh x 的一个特解应具有形式(其中 a，b 为常数) ( )（分数：2.00）A.ash xB.ach xC.ax 2 e -x +be x D.axe -x +be x解析：解析：特征方程为 r 2 +2r+1=0，r=一 1 为二重特征根
13、，而 f(x)=sh x= 5.设 f(x)连续，且满足 （分数：2.00）A.e x ln 2B.e 2x ln 2 C.e x +ln 2D.e 2x +ln 2解析：解析：原方程求导得 f“(x)=2f(x)， 6.设 f(x)，f“(x)为已知的连续函数，则方程 y+f“(x)y=f(x)f“(x)的通解是 ( )（分数：2.00）A.y=f(x)+Ce -f(x)B.y=f(x)+1+Ce -f(x)C.y=f(x)一 C+Ce -f(x)D.y=f(x)一 1+Ce -f(x) 解析：解析：由一阶线性方程的通解公式得 y=e -f“(x)dx C+f(x)f“(x)e f“(x)d
14、x dx =e -f(x) C+f(x)de f(x) =Ce -f(x) +f(x)一 1(其中 C 为任意常数)7.方程 y (4) 一 2y“一 3y“=e -3x 一 2e -x +x 的特解形式(其中 a，b，c，d 为常数)是 ( )（分数：2.00）A.axe -3x +bxe -x +cx 3B.ae -3x +bxe -x +cx+dC.ae -3x +bxe -x +cx 3 +dx 2 D.axe -3x +be -x +cx 3 +dx解析：解析：特征方程 r 2 (r 2 一 2r 一 3)=0，特征根为 r 1 =3，r 2 =一 1，r 3 =r 4 =0，对 f
15、 1 =e -3x ， 1 =-3 非特征根，y 1 *=ae -3x ；对 f 2 =一 2e -x ， 2 =一 1 是特征根，y 2 *=bxe -x ；对 f 3 =x， 3 =0 是二重特征根，y 3 *=x 2 (cx+d)，所以特解 y*=y 1 *+y 2 *+y 3 *=ae -3x +bxe -x +cx 3 +dx 2 8.已知 y 1 =xe x +e 2x 和 y 2 =xe x +e -x 是二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解，则此方程为 ( )（分数：2.00）A.y“一 2y“+y=e 2xB.y“一 y“一 2y=xe xC.y“一 y“一 2y=e x 一
16、 2xe x D.y“一 y=e 2x解析：解析：非齐次线性方程两解之差必为对应齐次方程之解，由 y 1 一 y 2 =e 2x -e -x 及解的结构定理知对应齐次方程通解为 y=C 1 e 2x +C 2 e -x ，故特征根 r 1 =2，r 2 =一 1对应齐次线性方程为 y“一 y“一 2y=0 再由特解 y*=xe x 知非齐次项 f(x)=y*“一 y*“一 2y*=e x 一 2xe x ， 于是所求方程为 y“一 y“2y=e x 一 2xe x 9.微分方程 y“一 y=e x +1 的特解应具有形式(其中 a，b 为常数) ( )（分数：2.00）A.ae x +bB.a
17、xe x +b C.ae x +bxD.axe x +bx解析：解析：根据非齐次方程 y“一 y=e x +1 可得出对应的齐次方程 y“一 y=0，特征根为 1 =一 1， 2 =1，非齐次部分分成两部分 f 1 (x)=e x ，f 2 (x)=1，可知 y“一 y=e x +1 的特解可设为 axe x +b二、填空题(总题数：13，分数：26.00)10.设一阶非齐次线性微分方程 y+p(x)y=Q(x)有两个线性无关的解 y 1 ，y 2 ，若 y 1 +y 2 也是该方程的解，则应有 += 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由 y 1 “+P
18、(x)y 1 =Q(x)及 y 2 “+P(x)y 2 =Q(x)得(y 1 +y 2 )+P(x)(y 1 +y 2 )=(+)Q(x)又因 y 1 +y 2 满足原方程，故应有(+)Q(x)=Q(x)，即 +=111.微分方程 y“一 7y=(x 一 1) 2 的待定系数法确定的特解形式(系数的值不必求出)是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y*=x(Ax 2 +Bx+C)）解析：解析：原方程对应齐次方程的特征方程为 r 2 7r=0，特征根 r 1 =7，r 2 =0而 f(x)=x 2 一2x+1，=0 是特征根，所以特解如上所答12.以 y=cos 2x+s
19、in 2x 为一个特解的二阶常系数齐次线性微分方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y“+4y=0）解析：解析：由特解 y=cos 2x+sin 2x 知特征根为 r 1,2 =2i，特征方程是 r 2 +4=0，其对应方程即y“+4y=013.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 +C 2 x+C 3 x 2 +C 4 e -3x ，其中 C 1 ，C 2 ，C 3 ，C 4 为任意常数）解析：解析：特征方程 r 4 +3r 3 =0，即 r 3 (r+3)=0故通解如上14.微分方程(1 一 x 2 )yxy=0 满足初值
20、条件 y(1)=1 的特解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：15.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由 y“= 积分一次得 y= 再积分得16.微分方程 y“一 2y=x 2 +e 2x +1 的待定系数法确定的特解形式(不必求出系数)是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y*=x(Ax 2 +Bx+C)+Dxe 2x）解析：解析：特征方程为 r 2 2r=0 特征根 r 1 =0，r 2 =2 对 f 1 =x 2 +1， 1 =0 是特征根，所以y 1 *=x(Ax 2 +B
21、x+C) 对 f 2 =e 2x ， 2 =2 也是特征根，故有 y 2 *=Dxe 2x 从而 y*如上17.特征根为 r 1 =0， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：特征方程为18.满足 f“(x)+xf(一 x)=x 的函数 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：在原方程中以(一 x)代替 x 得 f“(-x)一 xf(x)=一 x，与原方程联立消去 f“(一 x)项得f“(x)+x 2 f“(x)=x+x 2 ，所以 f“(x)= 积分得 f(x)= 19.已知 0 1 f(tx)dt= （分数：2
22、.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：Cx+2，其中 C 为任意常数）解析：解析：将所给方程两边同乘以 x，得 0 1 f(tx)d(tx)= xf(x)+x 令 u=tx，则上式变为 0 x f(u)du= +x两边对 x 求导得 20.微分方程 xdyydx=ydy 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*其中 C 为任意常数）解析：解析：原方程变形为 积分即得通解21.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 x 5 +C 2 x 3 +C 3 x 2 +C 4 x+C 5 ，C 1 ，C 2 ，C 3 ，C 4
23、，C 5 为任意常数）解析：解析： ，则方程降阶为 u 的一阶方程 其通解为 u=Cx，从而22.以 y=7e 3x +2x 为一个特解的三阶常系数齐次线性微分方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y“一 3y“=0）解析：解析：由特解 y=7e 3x +2x 知特征根为 r 1 =3，r 2 =r 3 =0(二重根)特征方程为 r 3 一 3r 2 =0，相应齐次线性方程即 y“一 3y“=0三、解答题(总题数：22，分数：44.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：24.求一个以 y 1 =te t ，y 2 =si
24、n 2t 为其两个特解的四阶常系数齐次线性微分方程，并求其通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 y 1 =te t 可知 y 3 =e t 亦为其解，由 y 2 =sin 2t 可得 y 4 =cos 2t 也是其解，故所求方程对应的特征方程的根 1 = 3 =1， 2 =2i， 4 =一 2i其特征方程为 ( 一 1) 2 ( 2 +4)=0，即 4 一 2 3 +5 2 一 8+4=0故所求的微分方程为 y (4) 一 2y“+5y“一 8y+4y=0，其通解为 y=(C 1 +C 2 t)e t +C 3 cos 2t+C 4 sin 2t，其中 C 1 ，C 2 ，C 4
25、，C 4 为任意常数)解析：25.一链条悬挂在一钉子上，启动时一端离开钉子 8 m，另一端离开钉子 12 m，试分别在以下两种情况下求链条滑离钉子所需要的时间： (1)不计钉子对链条的摩擦力； (2)若摩擦力为常力且其大小等于 2 m 长的链条所受到的重力（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)在时刻 t 时，链条下滑路程为 x(t)(m)，以 表示链条的长度密度，由牛顿第二定律 F=ma，得 =g(12+x)一(8 一 x)，整理得微分方程： 及初值条件 x(0)=0，x(0)=0，解方程得 (2)链条下滑路程 x(t)满足方程： )解析：26.从一艘破裂的油轮中渗漏出来的油，在海面
26、上逐渐扩散形成油层设在扩散的过程中，其形状一直是一个厚度均匀的圆柱体，其体积也始终保持不变已知其厚度 h 的减少率与 h 3 成正比，试证明：其半径r 的增加率与 r 3 成反比（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把 V=r 3 h 看作隐式方程，两边同时对 t 求导，由于 和 V 都是常数，所以有 代入上式， )解析：27.汽艇以 27(kmh)的速度，在静止的海面上行驶，现在突然关闭其动力系统，它就在静止的海面上作直线滑行，设已知水对汽艇运动的阻力与汽艇运动的速度成正比，并已知在关闭其动力后 20(s)汽艇的速度降为了 108(kmh)试问它最多能滑行多远?（分数：2.00）_正确答
27、案：(正确答案：设汽艇的质量为 m(kg)，关闭动力后 t(s)，汽艇滑行了 x(m)，根据牛顿第二运动定律，有 其中 上述方程是二阶常系数线性齐次方程，其通解为 x=C 1 +C 2 e -t 由x(x)=0，x(0)= 可确定出 C 1 = 从而可得方程的特解，即 汽艇的运动方程为 根据条件 ，可确定此特解中的另一个待定常数 对应地有 由于其速度 从理论上说这艘汽艇是永远也不会停下来的，但是由于 )解析：28.求解 y“=e 2y +e y ，且 y(0)=0，y(0)=2（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： p 2 =e 2y +2e y +C， 即 y 2 =e 2y +2e y
28、 +C 又 y(0)=0，y(0)=2，有 C=1，所以 y 2 =e 2y +2e y +1=(e y +1) 2 ， y=e y +1(y(0)=20)， )解析：29.求方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是变量可分离方程当 y 2 1 时，分离变量得 去掉绝对值记号，并将e 2C1 ，记成 C，并解出 y，得 这就是在条件 y 2 1 下的通解此外，易见 y=1 及 y=一 1也是原方程的解，但它们并不包含在式之中 以 y(0)=2 代入式中得 故 C=一 3于是得到满足 y(0)=2 的特解 )解析：30.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：此为齐次微
29、分方程，按解齐次微分方程的方法解之 令 y=ux，原方程化为当 x0 时，上式成为 两边积分得 其中 C0，将任意常数记成 ln C 由上式解得 当 x0，类似地仍可得 其中 C0式与式其实是一样的，故得通解 其中 C0 为任意常数将初值条件 y(1)=0 代入得 C=1，但由于 C0，故得相应的特解为 )解析：31.求方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是一阶线性方程，可以直接套通解公式解之套公式之前，应先化成标准型：由通解公式，得 当 x0 时， 当 x0 时， 合并之，得通解 )解析：32.求(y 3 一 3xy 2 一 3x 2 y)如+(3xy 2 一 3x 2 yx
30、3 +y 2 )dy=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将原给方程通过观察分项组合 (y 3 一 3xy 2 一 3x 2 y)dx+(3xy 2 一 3x 2 y一 x 3 +y 2 )dy =(y 3 dx+3xy 2 dy)一 3xy(ydx+xdy)一(3x 2 ydx+x 3 dy)+y 2 dy =0， 即 )解析：33.求微分方程 y“(3y“ 2 一 x)=y满足初值条件 y(1)=y(1)=1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是不显含 y 型的二阶微分方程 y“=f(x，y)，按典型步骤去做即可 令 ，原方程化为 化为 3p 2 dp 一(
31、xdp+pdx)=0 这是关于 P 与 x 的全微分方程，解之得 p 3 一 xp=C 1 以初值条件：x=1 时，p=1 代入，得 11=C 1 ， C 1 =0从而得 p 3 一 xp=0 分解成 p=0及 p 2 =x，即 )解析：34.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是 y“=f(y，y)型的可降阶二阶方程，按典型步骤去做即可 命 y=P，有 原方程化为 以下进行讨论y0 显然是原方程的一个解以下设 y0，于是式可改写为 (1)当 C 1 0 时，由式得 (2)当 C 1 =0 时，由式得 x+C 2 =一 y -1 ； (3)当 C 1 0时，由式得 )解析：
32、35.求微分方程 y“+2y+2y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：应先用三角公式将自由项写成 e -x +e -x cos x，然后再用叠加原理用待定系数法求特解 对应的齐次方程的通解为 Y=(C 1 cos x+C 2 sin x)e -x 为求原方程的一个特解，将自由项分成两项：e -x ，e -x cos x，分别考虑 y“+2y+2y=e -x ， 与 y“+2y+2y=e -x cos x 对于，令 y 1 *=Ae -x ， 代入可求得 A=1，从而得 y 1 *=e -x 对于，令 y 2 *=xe -x (Bcos x+Csin x)，代入可求得 B=0， 由叠加
33、原理，得原方程的通解为 y=Y+y 1 *+y 2 *=e -x (C 1 cos x+C 2 sin x)+e -x + )解析：36.求 y“一 y=e |x| 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：自由项带绝对值，为分段函数，所以应将该方程按区间(一，0)0，+)分成两个方程，分别求解由于 y“=y+e |x| 在 x=0 处具有二阶连续导数，所以求出解之后，在 x=0 处拼接成二阶导数连续，便得原方程的通解 当 x0 时，方程为 y“y=e x 求得通解 y=C 1 e x +C 2 e -x + 当 x0 时，方程为 y“一 y=e -x ， 求得通解 y=C 3 e x
34、+C 4 e -x - 因为原方程的解 y(x)在 x=0 处连续且 y“(x)也连续，据此，有 )解析：37.设函数 f(u)有连续的一阶导数，f(2)=1，且函数 满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 代入式，注意到 f 中的变元实际是一元 ，所以最终有可能化为含有关于 f(u)的常微分方程 代入题中式，得 f“(u)(1 一 u 2 )+2f(u)=u 一 u 3 ， 其中 且 u0由式有 初值条件是 u=2 时 f=1微分方程的解应该是 u 的连续函数，由于初值条件给在 u=2 处，所以 f 的连续区间应是包含 u=2 在内的一个开区间 解式得通解 再以 f(2)=1代入
35、，得 C=一 3，从而得 )解析：38.设 z=z(u，v)具有二阶连续偏导数，且 z=z(x 一 2y，x+3y)满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：以 z=z(u，v)，u=x 一 2y，v=x+3y 代入式，得到 z(u，v)应满足的微分方程，也许这个方程能用常微分方程的办法解之 代入式，化为 它可以看成一个常微分方程(其中视 v 为常数)，解得 其中 (v)为具有连续导数的 v 的任意函数再由 )解析：39.利用变换 y=f(e x )求微分方程 f“一(2e x +1)y+e 2x y=e 3x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 t=e x ，y=f(t)得 y=f“(t).e x =tf(t)， y“=(tf(t)“ x =e x f(t)+tf“(t).e x =tf(t)+t 2 f“(t)，代入方程得 t 2 f
