1、考研数学三（常微分方程与差分方程）-试卷 4及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设函数 y 1 (x)，y 2 (x)，y 3 (x)线性无关，而且都是非齐次线性方程(62)的解，C 1 ，C 2 为任意常数，则该非齐次方程的通解是（分数：2.00）A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3 B.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(C 1 +C 2 )y 3 C.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(1-C 1 -C 2 )y 3 D.C 1 y
2、1 +C 2 y 2 +(1-C 1 -C 2 )y 3 3.已知 sin 2 x，cos 2 x是方程 y“+P(x)y“+Q(x)y=0的解，C 1 ，C 2 为任意常数，则该方程的通解不是（分数：2.00）A.C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 xB.C 1 +C 2 cos2xC.C 1 sin 2 2x+C 2 tan 2 xD.C 1 +C 2 cos 2 x二、填空题(总题数：1，分数：2.00)4.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：25，分数：50.00)5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_6.求微分方程 x
3、(y 2 -1)dx+y(x 2 -1)dy=0的通解（分数：2.00）_7.求微分方程(x-4)y 4 dx-x 3 (y 2 -3)dy=0的通解（分数：2.00）_8.求微分方程 （分数：2.00）_9.求微分方程 ydx+(xy+x-e y )dy=0的通解（分数：2.00）_10.设 f(t)连续并满足 f(t)=cos2t+ （分数：2.00）_11.设 f(x)连续且 f(x)0，并满足 f(x)= （分数：2.00）_12.求下列微分方程的通解：()y“-3y“=2-6x； ()y“+y=2cosx；()y“+4y“+5y=40cos3x（分数：2.00）_13.求微分方程 y
4、“+2y“-3y=e x +x的通解（分数：2.00）_14.设某商品的需求量 D和供给量 S各自对价格 P的函数为 D(P)= ，S(P)=bP，且 P是时间 t的函数，并满足方程 =kD(P)-S(P)，其中 a，b，k 为正的常数求：()需求量与供给量相等时的均衡价格 P e ； ()当 t=0，P=1 时的价格函数 P(t)； () （分数：2.00）_15.设()函数 f(x)在0，+)上连续，且满足 f(0)=0及 0f(x)e x -1； ()平行于 y轴的动直线MN与曲线 y=f(x)和 y=e x -1分别交于点 P 2 和 P 1 ； ()由曲线 y=f(x)与直线 MN及
5、 x轴围成的平面图形的面积 S恒等于线段 P 1 P 2 之长 求函数 f(x)的表达式（分数：2.00）_16.求 y t =te t +2t 2 -1的一阶差分（分数：2.00）_17.求差分方程 y t+1 +7y t =16满足 y 0 =5的特解（分数：2.00）_18.求下列微分方程的通解或特解： （分数：2.00）_19.求微分方程 （分数：2.00）_20.求下列微分方程的通解： () （分数：2.00）_21.给出满足下列条件的微分方程： (I)方程有通解 y=(C 1 +C 2 x+x -1 )e -x ； ()方程为二阶常系数非齐次线性方程，并有两个特解 （分数：2.00
6、）_22.求下列二阶常系数齐次线性微分方程的通解：()2y“+y“-y=0； ()y“+8y“+16y=0； ()y“-2y“+3y=0（分数：2.00）_23.求 y“-7y“+12y=x满足初始条件 y(0)= （分数：2.00）_24.求 y“+a 2 y=8cosbx的通解，其中 a0，b0 为常数.（分数：2.00）_25.求 y“+4y“+4y=e ax 的通解，其中 a为常数.（分数：2.00）_26.求 y“+y=x 3 -x+2的通解（分数：2.00）_27.求微分方程 y“+4y“+5y=8cosx的当 x-时为有界函数的特解（分数：2.00）_28.设 f(x)=sinx
7、+ （分数：2.00）_29.设当 x0 时 f(x)有一阶连续导数，且满足 （分数：2.00）_考研数学三（常微分方程与差分方程）-试卷 4答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设函数 y 1 (x)，y 2 (x)，y 3 (x)线性无关，而且都是非齐次线性方程(62)的解，C 1 ，C 2 为任意常数，则该非齐次方程的通解是（分数：2.00）A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3 B.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(C 1 +C 2
8、 )y 3 C.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(1-C 1 -C 2 )y 3 D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1-C 1 -C 2 )y 3 解析：解析：对于选项(D)来说，其表达式可改写为 y 3 +C 1 (y 1 -y 3 )+C 2 (y 2 -y 3 )， 而且 y 3 是非齐次方程(62)的一个特解，y 1 -y 3 与 y 2 -y 3 是(64)的两个线性无关的解，由通解的结构可知它就是(62)的通解故应选(D)3.已知 sin 2 x，cos 2 x是方程 y“+P(x)y“+Q(x)y=0的解，C 1 ，C 2 为任意常数，则该方程的通解不是（分数：2.0
9、0）A.C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 xB.C 1 +C 2 cos2xC.C 1 sin 2 2x+C 2 tan 2 x D.C 1 +C 2 cos 2 x解析：解析：容易验证 sin 2 x与 cos 2 x是线性无关的两个函数，从而依题设 sin 2 x，cos 2 x为该方程的两个线性无关的解，故 C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x为方程的通解而(B)，(D)中的解析式均可由 C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x恒等变换得到，因此，由排除法，仅 C 1 sin 2 2x+C 2 tan 2 x不能构成该方程的通解事实上，sin 2 2x，tan
10、2 x都未必是方程的解，故选(C)二、填空题(总题数：1，分数：2.00)4.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：将原方程改写成 ，然后令 y=ux，则 y“=u+xu“代入后将会发现该变形计算量较大于是可转换思维方式，将原方程改写成 分离变量，然后积分得三、解答题(总题数：25，分数：50.00)5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：6.求微分方程 x(y 2 -1)dx+y(x 2 -1)dy=0的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用(x 2 -1)(y 2 -1)除方程的两端，则原方程化为 )
11、解析：7.求微分方程(x-4)y 4 dx-x 3 (y 2 -3)dy=0的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是一个变量可分离型方程，当 xy0 时，原方程等价于 )解析：8.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 则原方程可化为 这是一个一阶线性微分方程，解得 所以原微分方程的通解为 )解析：9.求微分方程 ydx+(xy+x-e y )dy=0的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 y看成自变量，z 看成是 y的函数，则原方程是关于未知函数 x=x(y)的一阶线性微分方程，化为标准形式得 此方程的通解为 )解析：10.设 f(t)连续并满足
12、f(t)=cos2t+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 f(t)连续，故 f(s)sinsds可导，从而 f(t)可导于是，将题设等式两边求导可得 )解析：11.设 f(x)连续且 f(x)0，并满足 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ，上式两边求导得 f“(x)=f(x)，解得 f(x)=Ce x 由题设令 x=0可得f(0)=2a，所以 C=2a，从而 f(x)=2ae x 再代入 )解析：12.求下列微分方程的通解：()y“-3y“=2-6x； ()y“+y=2cosx；()y“+4y“+5y=40cos3x（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
13、()先求对应齐次微分方程的通解，因其特征方程为 2 -3=(-3)=0，故通解为 y(x)=C 1 +C 2 e 3x 再求非齐次微分方程的特解，由于其自由项为一次多项式，而且 0是特征方程的单根，所以特解应具形式 y * (x)=x(Ax+B)，代入原方程，得 y * (x)“-3y * (x)“=2A-3(2Ax+B)=-6Ax+2A-3B=2-6x 比较方程两端的系数，得 )解析：13.求微分方程 y“+2y“-3y=e x +x的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：相应的齐次方程为 y“+2y“-3y=0，特征方程为 2 +2-3=0，特征根为 1 =1， 2 =-3，齐次方
14、程的通解为 C 1 e x +C 2 e -3x 为求得原方程的特解，分别考虑下列两个非齐次微分方程的特解： y“+2y“-3y=e x 和 y“+2y“-3y=x 对于第一个方程，=1 是特征根，故设特解 y* 1 (x)=Axe x ，将 y* 1 (x)=Ae x (x+1)， y“* 1 (x)=Ae x (x+2) 代入原方程，比较系数可得 A= 对于第二个方程，非齐次项 f(x)=x，0 不是特征根，故设特解 y* 2 (x)=Bx+C，将 y“* 2 (x)=B， y“* 2 =0 代入原方程，比较系数可得 B= 利用解的叠加原理即得微分方程的通解为 )解析：14.设某商品的需求
15、量 D和供给量 S各自对价格 P的函数为 D(P)= ，S(P)=bP，且 P是时间 t的函数，并满足方程 =kD(P)-S(P)，其中 a，b，k 为正的常数求：()需求量与供给量相等时的均衡价格 P e ； ()当 t=0，P=1 时的价格函数 P(t)； () （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()令 D(P)=S(P)，即 ()把 D(P)和 S(P)的表达式代入方程，得 令 t=0，P=1，可确定常数 C=a-b， 将其代回并解出 P，于是 () )解析：解析：在方程中代入 D(P)和 S(P)即得 15.设()函数 f(x)在0，+)上连续，且满足 f(0)=0及 0f(x
16、)e x -1； ()平行于 y轴的动直线MN与曲线 y=f(x)和 y=e x -1分别交于点 P 2 和 P 1 ； ()由曲线 y=f(x)与直线 MN及 x轴围成的平面图形的面积 S恒等于线段 P 1 P 2 之长 求函数 f(x)的表达式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 61，设动直线 MN上各点的横坐标为 x，由题设知 于是，函数 f(x)满足方程 =e x -1-f(x) 由 f(x)及 e x 连续知变上限定积分 可导，从而 f(x)可导将上述方程两端对 x求导，得 f(x)=e x -f“(x)， 又因 f(0)=0，于是 f(x)是一阶线性方程 y“+y=e
17、x 满足初始条件 y(0)=0的特解解之即得 )解析：16.求 y t =te t +2t 2 -1的一阶差分（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据差分的性质有 y t =(te t )+2(t 2 )-(1)=tA(e t )+e t+1 (t)+2(2t+1) =e t t(e-1)+e+4t+2 也可以直接计算差 y t+1 -y t )解析：17.求差分方程 y t+1 +7y t =16满足 y 0 =5的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 f(t)=16，a=7，利用表中给出的特解形式，应设 y* t =B代入方程可得B=2，于是，方程的通解为 y t =2
18、+C(-7) t 再由初始条件 y 0 =5，即得 2+C=5，C=3，因此满足条件 y 0 =5的特解为 y t =2+3.(-7) t )解析：18.求下列微分方程的通解或特解： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()属变量可分离的方程，它可以改写为 =sin(lnx)+cos(lnx)+adx 两端求积分，由于sin(lnx)x=xsin(lnx)-xcos(lnx) =xsin(lnx)-cos(lnx)dx， 所以lny=xsin(lnx)+ax+lnC，即其通解为 y=Ce xsin(lnx)+ax ，其中 C是任意常数 ()属齐次微分方程令y=xu，当 x0 时，原方程可
19、化为 两端求积分，则得 arcsinu=lnx+C，即其通解为 arcsin =lnx+C 当 x0 时，上面的方程变为 =-lnx+C 所得的通解公式也可以统一为y=xsin(lnx+C)此处还需注意，在上面作除法的过程中丢掉了两个特解 u=1，即 y=x ()属齐次微分方程，它可改写为 ()由初始条件 y(1)=0知可在 x0 上求解，即解方程 分离变量并求积分，可得 )解析：19.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程变形为 ，令 y 2 =z，得 再令 z=ux，有 代入方程得 )解析：20.求下列微分方程的通解： () （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(
20、)这是一个典型的一阶线性非齐次微分方程，利用求解公式，可得其通解为 ()本题虽然是一阶线性微分方程，但不是用标准形式给出的为采用积分因子法求解，可先把它化为标准形式，以便得到系数 p(x)求解过程如下： 首先把方程化为标准形式 ，用 x 2 同乘标准形式方程的两端，得(x 2 y)“=xsinx，积分可得通解 ()若将方程改写为 ，则此方程不是线性方程但是，若将方程改写为 则此方程为以 y为自变量，x 为未知函数的一阶线性方程利用求解公式可得 即方程的通解为 x=y 4 +Cy 2 ，其中 C为任意常数 ()将题设方程变形为线性微分方程的标准形式，可得 这是以 z为未知函数的一阶线性微分方程，
21、利用求解公式可得 )解析：21.给出满足下列条件的微分方程： (I)方程有通解 y=(C 1 +C 2 x+x -1 )e -x ； ()方程为二阶常系数非齐次线性方程，并有两个特解 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()通解变形为 e x y=C 1 +C 2 x+x -1 ，求导得 e x (y“+y)=C 2 -x -2 ， 再求导得方程 e x (y“+2y“+y)= ()由题设，根据方程解的结构知，方程的通解为 y=C 1 cos2x+C 2 sin2x- 从而知原方程的特征方程有两个共轭复根2i，且 xsin2x为其特解进而知原方程为 y“+4y=f(x) 为确定 f(x)
22、，将 代入得 )解析：解析：由已知解求原方程，首先要从解的结构确定所求方程的基本类型和特征从本题题设观察，所求方程均为二阶常系数线性微分方程在此基础上，或者直接对通解二次求导消去两个任意常数，从而得到方程；或者利用解的结构和性质与方程解的关系推导出方程22.求下列二阶常系数齐次线性微分方程的通解：()2y“+y“-y=0； ()y“+8y“+16y=0； ()y“-2y“+3y=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()特征方程为 2 2 +-1=0，特征根为 1 =-1， 2 = ，所以方程的通解为 其中 C 1 与 C 2 是两个任意常数 ()特征方程为 2 +8+16=0，特征根为
23、 1 = 2 =-4，所以方程的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e -4x ，其中 C 1 与 C 2 是两个任意常数 ()特征方程为 2 -2+3=0，特征根为 ，所以方程的通解为 )解析：23.求 y“-7y“+12y=x满足初始条件 y(0)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对应齐次微分方程的特征方程为 2 -7+12=0，它有两个互异的实根 1 =3与 2 =4，所以其通解为 y(x)=C 1 e 3x +C 2 e 4x ，其中 C 1 与 C 2 是两个任意常数 由于 0不是特征根，所以非齐次微分方程的特解应具有形式 y*(x)=Ax+B代人方程可得 A= )解析：
24、24.求 y“+a 2 y=8cosbx的通解，其中 a0，b0 为常数.（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于对应齐次微分方程的特征根为ai，所以其通解为 y(x)=C 1 cosx+C 2 sinax求原非齐次微分方程的特解，需分两种情况讨论： 当 ab 时，特解的形式应为Acosbx+Bsinbx，将其代入原方程可得 所以通解为 y(x)= +C 1 cosax+C 2 sinax，其中 C 1 与 C 2 是两个任意常数 当 a=b时，特解的形式应为 Axcosax+Bxsinax，代入原方程可得 所以原方程的通解为 y(x)= )解析：25.求 y“+4y“+4y=e ax
25、的通解，其中 a为常数.（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程是 2 +4+4=0，它有相等二实根 1 = 2 =-2，所以其对应齐次微分方程的通解为 y(x)=(C 1 +C 2 x)e -2x 非齐次微分方程的特解的形式与口是不是特征根有关 若a-2，则应设特解为 y * (x)=Ae ax ，其中 A是待定系数代入方程可得 所以，当 a-2 时通解为 y(x)=(C 1 +C 2 x)e -2x + ，其中 C 1 与 C 2 是两个任意常数 若 a=-2，由于它是重特征根，则应设特解为 y * =Ax 2 e -2x ，其中 A是待定系数代入方程可得 A(2-8x+4x 2
26、 )+4(2x-2x 2 )+4x 2 e -2x =e -2x ，即 2Ae -2x =e -2x 于是可得出 A= )解析：26.求 y“+y=x 3 -x+2的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程的自由项是三次多项式 f(x)=x 3 -x+2，方程的特征根满足 2 +1=0，从而是共轭复根 1 =i和 2 =-i所以，对应齐次微分方程的通解是 y(x)=C 1 cosx+C 2 sinx，而非齐次微分方程的特解可取为 y * (x)=Ax 3 +Bx 2 +Cx+D，代入方程可得待定常数 A，B，C，D 应满足 Ax 3 +Bx 2 +(6A+C)x+2B+D=x 3 -
27、x+2， 由此可确定 A=1，B=0，C=-7，D=2所以原方程的通解为 y(x)=C 1 cosx+C 2 sinx+x 3 -7x+2，其中 C 1 与 C 2 是两个任意常数)解析：27.求微分方程 y“+4y“+5y=8cosx的当 x-时为有界函数的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：题设方程对应的特征方程为 r 2 +4r+5=0， 特征根为 r=-2i， 从而对应齐次方程 y“+4y“+5y=0的通解为 y(x)=e -2x (C 1 cosx+C 2 sinx) 由非齐次项 8cosx知i 不是特征根，故可设原方程的一个特解为 y * =Acosx+Bsinx将 y
28、* 代入原方程比较系数得 A=B=1，因此 y * =cosx+sinx于是，原方程的通解为 y=e -2x (C 1 cosx+C 2 sinx)+cosx+sinx 当 x-时，e -2x +，所以要使 y有界，只有 C 1 =C 2 =0故所求的特解为 y=cosx+sinx)解析：28.设 f(x)=sinx+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 u=x-t，则 ，故原方程整理后为 两边对 x求导，得 e -x f“(x)-e -x f(x)=e -x cosx-e -x sinx+e -x f(x) 化简得一阶线性微分方程 f“(x)-2f(x)=cosc-sinx (*) 由一阶线性微分方程的通解公式知方程(*)的通解为 f(x)=Ce 2x +e 2x e -2x (cosx-sinx)dx 分部积分两次可得 e -2x (cosx-sinx)dx= (3sinx-cosx)+C 1 ，其中 C 1 是任意常数 故原微分方程的通解为 )解析：29.设当 x0 时 f(x)有一阶连续导数，且满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在原方程中，令 x=0，得 f(0)=-1将原方程化为 上式两边对 x求导得)解析：
