【考研类试卷】考研数学三(常微分方程与差分方程)-试卷4及答案解析.doc

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1、考研数学三(常微分方程与差分方程)-试卷 4及答案解析(总分:58.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:3,分数:6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设函数 y 1 (x),y 2 (x),y 3 (x)线性无关,而且都是非齐次线性方程(62)的解,C 1 ,C 2 为任意常数,则该非齐次方程的通解是(分数:2.00)A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3 B.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(C 1 +C 2 )y 3 C.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(1-C 1 -C 2 )y 3 D.C 1 y

2、1 +C 2 y 2 +(1-C 1 -C 2 )y 3 3.已知 sin 2 x,cos 2 x是方程 y“+P(x)y“+Q(x)y=0的解,C 1 ,C 2 为任意常数,则该方程的通解不是(分数:2.00)A.C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 xB.C 1 +C 2 cos2xC.C 1 sin 2 2x+C 2 tan 2 xD.C 1 +C 2 cos 2 x二、填空题(总题数:1,分数:2.00)4.微分方程 (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:25,分数:50.00)5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_6.求微分方程 x

3、(y 2 -1)dx+y(x 2 -1)dy=0的通解(分数:2.00)_7.求微分方程(x-4)y 4 dx-x 3 (y 2 -3)dy=0的通解(分数:2.00)_8.求微分方程 (分数:2.00)_9.求微分方程 ydx+(xy+x-e y )dy=0的通解(分数:2.00)_10.设 f(t)连续并满足 f(t)=cos2t+ (分数:2.00)_11.设 f(x)连续且 f(x)0,并满足 f(x)= (分数:2.00)_12.求下列微分方程的通解:()y“-3y“=2-6x; ()y“+y=2cosx;()y“+4y“+5y=40cos3x(分数:2.00)_13.求微分方程 y

4、“+2y“-3y=e x +x的通解(分数:2.00)_14.设某商品的需求量 D和供给量 S各自对价格 P的函数为 D(P)= ,S(P)=bP,且 P是时间 t的函数,并满足方程 =kD(P)-S(P),其中 a,b,k 为正的常数求:()需求量与供给量相等时的均衡价格 P e ; ()当 t=0,P=1 时的价格函数 P(t); () (分数:2.00)_15.设()函数 f(x)在0,+)上连续,且满足 f(0)=0及 0f(x)e x -1; ()平行于 y轴的动直线MN与曲线 y=f(x)和 y=e x -1分别交于点 P 2 和 P 1 ; ()由曲线 y=f(x)与直线 MN及

5、 x轴围成的平面图形的面积 S恒等于线段 P 1 P 2 之长 求函数 f(x)的表达式(分数:2.00)_16.求 y t =te t +2t 2 -1的一阶差分(分数:2.00)_17.求差分方程 y t+1 +7y t =16满足 y 0 =5的特解(分数:2.00)_18.求下列微分方程的通解或特解: (分数:2.00)_19.求微分方程 (分数:2.00)_20.求下列微分方程的通解: () (分数:2.00)_21.给出满足下列条件的微分方程: (I)方程有通解 y=(C 1 +C 2 x+x -1 )e -x ; ()方程为二阶常系数非齐次线性方程,并有两个特解 (分数:2.00

6、)_22.求下列二阶常系数齐次线性微分方程的通解:()2y“+y“-y=0; ()y“+8y“+16y=0; ()y“-2y“+3y=0(分数:2.00)_23.求 y“-7y“+12y=x满足初始条件 y(0)= (分数:2.00)_24.求 y“+a 2 y=8cosbx的通解,其中 a0,b0 为常数.(分数:2.00)_25.求 y“+4y“+4y=e ax 的通解,其中 a为常数.(分数:2.00)_26.求 y“+y=x 3 -x+2的通解(分数:2.00)_27.求微分方程 y“+4y“+5y=8cosx的当 x-时为有界函数的特解(分数:2.00)_28.设 f(x)=sinx

7、+ (分数:2.00)_29.设当 x0 时 f(x)有一阶连续导数,且满足 (分数:2.00)_考研数学三(常微分方程与差分方程)-试卷 4答案解析(总分:58.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:3,分数:6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设函数 y 1 (x),y 2 (x),y 3 (x)线性无关,而且都是非齐次线性方程(62)的解,C 1 ,C 2 为任意常数,则该非齐次方程的通解是(分数:2.00)A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3 B.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(C 1 +C 2

8、 )y 3 C.C 1 y 1 +C 2 y 2 -(1-C 1 -C 2 )y 3 D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1-C 1 -C 2 )y 3 解析:解析:对于选项(D)来说,其表达式可改写为 y 3 +C 1 (y 1 -y 3 )+C 2 (y 2 -y 3 ), 而且 y 3 是非齐次方程(62)的一个特解,y 1 -y 3 与 y 2 -y 3 是(64)的两个线性无关的解,由通解的结构可知它就是(62)的通解故应选(D)3.已知 sin 2 x,cos 2 x是方程 y“+P(x)y“+Q(x)y=0的解,C 1 ,C 2 为任意常数,则该方程的通解不是(分数:2.0

9、0)A.C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 xB.C 1 +C 2 cos2xC.C 1 sin 2 2x+C 2 tan 2 x D.C 1 +C 2 cos 2 x解析:解析:容易验证 sin 2 x与 cos 2 x是线性无关的两个函数,从而依题设 sin 2 x,cos 2 x为该方程的两个线性无关的解,故 C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x为方程的通解而(B),(D)中的解析式均可由 C 1 sin 2 x+C 2 cos 2 x恒等变换得到,因此,由排除法,仅 C 1 sin 2 2x+C 2 tan 2 x不能构成该方程的通解事实上,sin 2 2x,tan

10、2 x都未必是方程的解,故选(C)二、填空题(总题数:1,分数:2.00)4.微分方程 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:将原方程改写成 ,然后令 y=ux,则 y“=u+xu“代入后将会发现该变形计算量较大于是可转换思维方式,将原方程改写成 分离变量,然后积分得三、解答题(总题数:25,分数:50.00)5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:6.求微分方程 x(y 2 -1)dx+y(x 2 -1)dy=0的通解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:用(x 2 -1)(y 2 -1)除方程的两端,则原方程化为 )

11、解析:7.求微分方程(x-4)y 4 dx-x 3 (y 2 -3)dy=0的通解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:这是一个变量可分离型方程,当 xy0 时,原方程等价于 )解析:8.求微分方程 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 则原方程可化为 这是一个一阶线性微分方程,解得 所以原微分方程的通解为 )解析:9.求微分方程 ydx+(xy+x-e y )dy=0的通解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:将 y看成自变量,z 看成是 y的函数,则原方程是关于未知函数 x=x(y)的一阶线性微分方程,化为标准形式得 此方程的通解为 )解析:10.设 f(t)连续并满足

12、f(t)=cos2t+ (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因 f(t)连续,故 f(s)sinsds可导,从而 f(t)可导于是,将题设等式两边求导可得 )解析:11.设 f(x)连续且 f(x)0,并满足 f(x)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 ,上式两边求导得 f“(x)=f(x),解得 f(x)=Ce x 由题设令 x=0可得f(0)=2a,所以 C=2a,从而 f(x)=2ae x 再代入 )解析:12.求下列微分方程的通解:()y“-3y“=2-6x; ()y“+y=2cosx;()y“+4y“+5y=40cos3x(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:

13、()先求对应齐次微分方程的通解,因其特征方程为 2 -3=(-3)=0,故通解为 y(x)=C 1 +C 2 e 3x 再求非齐次微分方程的特解,由于其自由项为一次多项式,而且 0是特征方程的单根,所以特解应具形式 y * (x)=x(Ax+B),代入原方程,得 y * (x)“-3y * (x)“=2A-3(2Ax+B)=-6Ax+2A-3B=2-6x 比较方程两端的系数,得 )解析:13.求微分方程 y“+2y“-3y=e x +x的通解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:相应的齐次方程为 y“+2y“-3y=0,特征方程为 2 +2-3=0,特征根为 1 =1, 2 =-3,齐次方

14、程的通解为 C 1 e x +C 2 e -3x 为求得原方程的特解,分别考虑下列两个非齐次微分方程的特解: y“+2y“-3y=e x 和 y“+2y“-3y=x 对于第一个方程,=1 是特征根,故设特解 y* 1 (x)=Axe x ,将 y* 1 (x)=Ae x (x+1), y“* 1 (x)=Ae x (x+2) 代入原方程,比较系数可得 A= 对于第二个方程,非齐次项 f(x)=x,0 不是特征根,故设特解 y* 2 (x)=Bx+C,将 y“* 2 (x)=B, y“* 2 =0 代入原方程,比较系数可得 B= 利用解的叠加原理即得微分方程的通解为 )解析:14.设某商品的需求

15、量 D和供给量 S各自对价格 P的函数为 D(P)= ,S(P)=bP,且 P是时间 t的函数,并满足方程 =kD(P)-S(P),其中 a,b,k 为正的常数求:()需求量与供给量相等时的均衡价格 P e ; ()当 t=0,P=1 时的价格函数 P(t); () (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()令 D(P)=S(P),即 ()把 D(P)和 S(P)的表达式代入方程,得 令 t=0,P=1,可确定常数 C=a-b, 将其代回并解出 P,于是 () )解析:解析:在方程中代入 D(P)和 S(P)即得 15.设()函数 f(x)在0,+)上连续,且满足 f(0)=0及 0f(x

16、)e x -1; ()平行于 y轴的动直线MN与曲线 y=f(x)和 y=e x -1分别交于点 P 2 和 P 1 ; ()由曲线 y=f(x)与直线 MN及 x轴围成的平面图形的面积 S恒等于线段 P 1 P 2 之长 求函数 f(x)的表达式(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:如图 61,设动直线 MN上各点的横坐标为 x,由题设知 于是,函数 f(x)满足方程 =e x -1-f(x) 由 f(x)及 e x 连续知变上限定积分 可导,从而 f(x)可导将上述方程两端对 x求导,得 f(x)=e x -f“(x), 又因 f(0)=0,于是 f(x)是一阶线性方程 y“+y=e

17、x 满足初始条件 y(0)=0的特解解之即得 )解析:16.求 y t =te t +2t 2 -1的一阶差分(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:根据差分的性质有 y t =(te t )+2(t 2 )-(1)=tA(e t )+e t+1 (t)+2(2t+1) =e t t(e-1)+e+4t+2 也可以直接计算差 y t+1 -y t )解析:17.求差分方程 y t+1 +7y t =16满足 y 0 =5的特解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由于 f(t)=16,a=7,利用表中给出的特解形式,应设 y* t =B代入方程可得B=2,于是,方程的通解为 y t =2

18、+C(-7) t 再由初始条件 y 0 =5,即得 2+C=5,C=3,因此满足条件 y 0 =5的特解为 y t =2+3.(-7) t )解析:18.求下列微分方程的通解或特解: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()属变量可分离的方程,它可以改写为 =sin(lnx)+cos(lnx)+adx 两端求积分,由于sin(lnx)x=xsin(lnx)-xcos(lnx) =xsin(lnx)-cos(lnx)dx, 所以lny=xsin(lnx)+ax+lnC,即其通解为 y=Ce xsin(lnx)+ax ,其中 C是任意常数 ()属齐次微分方程令y=xu,当 x0 时,原方程可

19、化为 两端求积分,则得 arcsinu=lnx+C,即其通解为 arcsin =lnx+C 当 x0 时,上面的方程变为 =-lnx+C 所得的通解公式也可以统一为y=xsin(lnx+C)此处还需注意,在上面作除法的过程中丢掉了两个特解 u=1,即 y=x ()属齐次微分方程,它可改写为 ()由初始条件 y(1)=0知可在 x0 上求解,即解方程 分离变量并求积分,可得 )解析:19.求微分方程 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:方程变形为 ,令 y 2 =z,得 再令 z=ux,有 代入方程得 )解析:20.求下列微分方程的通解: () (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(

20、)这是一个典型的一阶线性非齐次微分方程,利用求解公式,可得其通解为 ()本题虽然是一阶线性微分方程,但不是用标准形式给出的为采用积分因子法求解,可先把它化为标准形式,以便得到系数 p(x)求解过程如下: 首先把方程化为标准形式 ,用 x 2 同乘标准形式方程的两端,得(x 2 y)“=xsinx,积分可得通解 ()若将方程改写为 ,则此方程不是线性方程但是,若将方程改写为 则此方程为以 y为自变量,x 为未知函数的一阶线性方程利用求解公式可得 即方程的通解为 x=y 4 +Cy 2 ,其中 C为任意常数 ()将题设方程变形为线性微分方程的标准形式,可得 这是以 z为未知函数的一阶线性微分方程,

21、利用求解公式可得 )解析:21.给出满足下列条件的微分方程: (I)方程有通解 y=(C 1 +C 2 x+x -1 )e -x ; ()方程为二阶常系数非齐次线性方程,并有两个特解 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()通解变形为 e x y=C 1 +C 2 x+x -1 ,求导得 e x (y“+y)=C 2 -x -2 , 再求导得方程 e x (y“+2y“+y)= ()由题设,根据方程解的结构知,方程的通解为 y=C 1 cos2x+C 2 sin2x- 从而知原方程的特征方程有两个共轭复根2i,且 xsin2x为其特解进而知原方程为 y“+4y=f(x) 为确定 f(x)

22、,将 代入得 )解析:解析:由已知解求原方程,首先要从解的结构确定所求方程的基本类型和特征从本题题设观察,所求方程均为二阶常系数线性微分方程在此基础上,或者直接对通解二次求导消去两个任意常数,从而得到方程;或者利用解的结构和性质与方程解的关系推导出方程22.求下列二阶常系数齐次线性微分方程的通解:()2y“+y“-y=0; ()y“+8y“+16y=0; ()y“-2y“+3y=0(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()特征方程为 2 2 +-1=0,特征根为 1 =-1, 2 = ,所以方程的通解为 其中 C 1 与 C 2 是两个任意常数 ()特征方程为 2 +8+16=0,特征根为

23、 1 = 2 =-4,所以方程的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e -4x ,其中 C 1 与 C 2 是两个任意常数 ()特征方程为 2 -2+3=0,特征根为 ,所以方程的通解为 )解析:23.求 y“-7y“+12y=x满足初始条件 y(0)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:对应齐次微分方程的特征方程为 2 -7+12=0,它有两个互异的实根 1 =3与 2 =4,所以其通解为 y(x)=C 1 e 3x +C 2 e 4x ,其中 C 1 与 C 2 是两个任意常数 由于 0不是特征根,所以非齐次微分方程的特解应具有形式 y*(x)=Ax+B代人方程可得 A= )解析:

24、24.求 y“+a 2 y=8cosbx的通解,其中 a0,b0 为常数.(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由于对应齐次微分方程的特征根为ai,所以其通解为 y(x)=C 1 cosx+C 2 sinax求原非齐次微分方程的特解,需分两种情况讨论: 当 ab 时,特解的形式应为Acosbx+Bsinbx,将其代入原方程可得 所以通解为 y(x)= +C 1 cosax+C 2 sinax,其中 C 1 与 C 2 是两个任意常数 当 a=b时,特解的形式应为 Axcosax+Bxsinax,代入原方程可得 所以原方程的通解为 y(x)= )解析:25.求 y“+4y“+4y=e ax

25、的通解,其中 a为常数.(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:特征方程是 2 +4+4=0,它有相等二实根 1 = 2 =-2,所以其对应齐次微分方程的通解为 y(x)=(C 1 +C 2 x)e -2x 非齐次微分方程的特解的形式与口是不是特征根有关 若a-2,则应设特解为 y * (x)=Ae ax ,其中 A是待定系数代入方程可得 所以,当 a-2 时通解为 y(x)=(C 1 +C 2 x)e -2x + ,其中 C 1 与 C 2 是两个任意常数 若 a=-2,由于它是重特征根,则应设特解为 y * =Ax 2 e -2x ,其中 A是待定系数代入方程可得 A(2-8x+4x 2

26、 )+4(2x-2x 2 )+4x 2 e -2x =e -2x ,即 2Ae -2x =e -2x 于是可得出 A= )解析:26.求 y“+y=x 3 -x+2的通解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:方程的自由项是三次多项式 f(x)=x 3 -x+2,方程的特征根满足 2 +1=0,从而是共轭复根 1 =i和 2 =-i所以,对应齐次微分方程的通解是 y(x)=C 1 cosx+C 2 sinx,而非齐次微分方程的特解可取为 y * (x)=Ax 3 +Bx 2 +Cx+D,代入方程可得待定常数 A,B,C,D 应满足 Ax 3 +Bx 2 +(6A+C)x+2B+D=x 3 -

27、x+2, 由此可确定 A=1,B=0,C=-7,D=2所以原方程的通解为 y(x)=C 1 cosx+C 2 sinx+x 3 -7x+2,其中 C 1 与 C 2 是两个任意常数)解析:27.求微分方程 y“+4y“+5y=8cosx的当 x-时为有界函数的特解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:题设方程对应的特征方程为 r 2 +4r+5=0, 特征根为 r=-2i, 从而对应齐次方程 y“+4y“+5y=0的通解为 y(x)=e -2x (C 1 cosx+C 2 sinx) 由非齐次项 8cosx知i 不是特征根,故可设原方程的一个特解为 y * =Acosx+Bsinx将 y

28、* 代入原方程比较系数得 A=B=1,因此 y * =cosx+sinx于是,原方程的通解为 y=e -2x (C 1 cosx+C 2 sinx)+cosx+sinx 当 x-时,e -2x +,所以要使 y有界,只有 C 1 =C 2 =0故所求的特解为 y=cosx+sinx)解析:28.设 f(x)=sinx+ (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 u=x-t,则 ,故原方程整理后为 两边对 x求导,得 e -x f“(x)-e -x f(x)=e -x cosx-e -x sinx+e -x f(x) 化简得一阶线性微分方程 f“(x)-2f(x)=cosc-sinx (*) 由一阶线性微分方程的通解公式知方程(*)的通解为 f(x)=Ce 2x +e 2x e -2x (cosx-sinx)dx 分部积分两次可得 e -2x (cosx-sinx)dx= (3sinx-cosx)+C 1 ,其中 C 1 是任意常数 故原微分方程的通解为 )解析:29.设当 x0 时 f(x)有一阶连续导数,且满足 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:在原方程中,令 x=0,得 f(0)=-1将原方程化为 上式两边对 x求导得)解析:

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