1、考研数学三（常微分方程与差分方程）-试卷 5及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 y=y(x)为微分方程 2xydx+(x 2 1)dy=0满足初始条件 y(0)=1的解，则 （分数：2.00）A.一 ln3B.ln3C.D.3.微分方程 y“一 y“一 6y=(x+1)e 一 2x 的特解形式为( )（分数：2.00）A.(ax+b)e 一 2xB.ax2e 一 2xC.(ax 2 +bx)e 一 2xD.x 2 (ax+b)e 一 2x4.微分方程
2、 y“一 4y=x+2的通解为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：11，分数：22.00)5.微分方程 y“+ytanx=cosx的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_6.设函数 (u)可导且 (0)=1，二元函数 z=(x+y)e xy 满足 （分数：2.00）填空项 1:_7.连续函数 f(x)满足 f(x)=3 0 x f(x一 t)dt+2，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_8.设 y=y(x)可导，y(0)=2，令y=y(x+x)一 y(x)，且y= （分数：2.00）填空项 1:_9.的通解为 1 （分数：2.00）填空项 1:_10
3、.微分方程 xy“一 yln(xy)一 1=0的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_11.微分方程 y 2 dx+(x 2 一 xy)dy=0的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设连续函数 f(x)满足 f(x)= 0 2x （分数：2.00）填空项 1:_13.微分方程(2x+3)y“=4y“的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_14.yy“=1+y “2 满足初始条件 y(0)=1，y“(0)=0 的解为 1（分数：2.00）填空项 1:_15.微分方程 y“+4y=4x一 8的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)
4、16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.求微分方程 xy“+(1一 x)y=e 2x (x0)满足 （分数：2.00）_18.求微分方程 xy“= （分数：2.00）_19.求微分方程 xy“+2y“=e x 的通解（分数：2.00）_20.设 x0 时，f(x)可导，且满足：f(x)=1+ （分数：2.00）_21.求微分方程(y+ （分数：2.00）_22.求微分方程(y 一 x 3 )dx一 2xdy=0的通解（分数：2.00）_23.求微分方程 y 2 dx+(2xy+y 2 )dy=0的通解（分数：2.00）_24.求微分方程 cosy （分数：
5、2.00）_25.求微分方程 （分数：2.00）_26.求微分方程 x 2 y“+xy=y 2 满足初始条件 y(1)=1的特解（分数：2.00）_27.求微分方程 （分数：2.00）_28.求微分方程 （分数：2.00）_29.设 y=e x 为微分方程 xy“+P(x)y=x的解，求此微分方程满足初始条件 y(ln2)=0的特解（分数：2.00）_30.设 f(x)一 e x 一 0 x (x一 t)f(t)dt，其中 f(x)连续，求 f(x)（分数：2.00）_31.求微分方程 ry“+3y“=0的通解（分数：2.00）_考研数学三（常微分方程与差分方程）-试卷 5答案解析(总分：62
6、.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 y=y(x)为微分方程 2xydx+(x 2 1)dy=0满足初始条件 y(0)=1的解，则 （分数：2.00）A.一 ln3B.ln3C.D. 解析：解析：由 2xydx+(x 2 1)dy=0得 =0，积分得 ln(x 2 一 1)+lny=lnC，从而 y= 由y(0)=1得 C=一 1，于是 y= 故 3.微分方程 y“一 y“一 6y=(x+1)e 一 2x 的特解形式为( )（分数：2.00）A.(ax+b)e 一 2
7、xB.ax2e 一 2xC.(ax 2 +bx)e 一 2x D.x 2 (ax+b)e 一 2x解析：解析：因为原方程的特征方程的特征值为 1 =一 2， 2 =3，而一 2为其中一个特征值，所以原方程的特解形式为 x(ax+b)e 一 2x ，选(C)4.微分方程 y“一 4y=x+2的通解为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：微分方程 y“一 4y=0的特征方程为 2 一 4=0，特征值为一 2，2，则方程 y“一 4y=0的通解为 C 1 e 一 2x +C 2 e 2x ，显然方程 y“一 4y=x+2有特解 二、填空题(总题数：11，分数：22.00)5.微分方
8、程 y“+ytanx=cosx的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(x+C)cosx）解析：解析：通解为 y=cosxe tanrdx dx+Ce 一tanxdx =(x+C)cosx6.设函数 (u)可导且 (0)=1，二元函数 z=(x+y)e xy 满足 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 x+y=u，则 =“(u)e xy +x(u)e xy ， =2“(u)e xy +u(u)e xy ， 由 =0得 2“(u)+u(u)=0 或 “(u)+ =0 解得 (u)= 再由 (0)=1 得 C=1，故 (u)= 7.
9、连续函数 f(x)满足 f(x)=3 0 x f(x一 t)dt+2，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2e 3x ）解析：解析：由 0 x f(x一 t)dt 8.设 y=y(x)可导，y(0)=2，令y=y(x+x)一 y(x)，且y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由y= =0，解得 y= ，再由 y(0)=2，得 C=2，所以 y=9.的通解为 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由 一 2x一 y 2 ，则 x一(y 2 ，e 一 2dy dy+C)e 一一 2d
10、y =(y 2 e 2y dy+C)e 2y = 10.微分方程 xy“一 yln(xy)一 1=0的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：Cx）解析：解析：令 xy=u，y+xy“= 代入原方程得 =0，分离变量得11.微分方程 y 2 dx+(x 2 一 xy)dy=0的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 代入原方程得 两边积分得 u一 lnu一 Inx一 lnC=0，解得 y=12.设连续函数 f(x)满足 f(x)= 0 2x （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2e 2x 一 e x ）
11、解析：解析： 0 2x f( )dt=2 0 x f(t)dt，则 f(x)= 0 2x f( 13.微分方程(2x+3)y“=4y“的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：令 y“=p，则 ，两边积分得 lnp=1n(2x+3) 2 +lnC 1 ，或 y“=C 1 (2x+3) 2 ，于是 y= 14.yy“=1+y “2 满足初始条件 y(0)=1，y“(0)=0 的解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x）解析：解析：令 y“=p，则 解得 ln(l+p 2 )=1ny 2 +lnC 1 ， 则 1+p 2 =C 1
12、 y 2 ，由 y(0)=1，y“(0)=0 得 y“= +C 2 =x，由 y(0)=1得 C 2 =0，所以特解为 15.微分方程 y“+4y=4x一 8的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：C 1 cos2x+C 2 sin2x+x一 2）解析：解析：微分方程两个特征值为 1 =一 2i， 2 =2i，则微分方程的通解为 y=C 1 cos2x+C 2 sin2x+x一 2三、解答题(总题数：16，分数：32.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.求微分方程 xy“+(1一 x)y=e 2x (x0)满足
13、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程化为 通解为 由 =1得 C=一 1，故特解为 y= )解析：18.求微分方程 xy“= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 原方程化为 变量分离得 )解析：19.求微分方程 xy“+2y“=e x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：xy“+2y“=e x 两边乘以 x得 x 2 y“+2xy“=xe x ，即(x 2 y“)“=xe x ，积分得 x 2 y“=(x一 1)e x +C 1 ，即 y“= 再积分得原方程通解为 )解析：20.设 x0 时，f(x)可导，且满足：f(x)=1+ （分数：2.00）_正确答案：(
14、正确答案：由 f(x)=1+ 1 x f(t)dt得 xf(x)=x+ 1 x f(t)dt，两边对 x求导得 f(x)+xf“(x)=1+f(x)，解得 f“(x)= )解析：21.求微分方程(y+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 令 则原方程化为 ，积分得 即 将初始条件 y(1)=0代入得 C=1 由 即满足初始条件的特解为 )解析：22.求微分方程(y 一 x 3 )dx一 2xdy=0的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(y 一 x 3 )dx一 2xdy=0，得 即原方程的通解为 )解析：23.求微分方程 y 2 dx+(2xy+y 2 )dy=0的通解
15、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 y 2 dx+(2xy+y 2 )dy=0得 令 )解析：24.求微分方程 cosy （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 一 cosxsin 2 y=siny， 令 u=siny，则 一 u=cosu 2 ，令 u 一 1 =z，则 +z=一 cosx， 解得 z=(一 cosx)e dx dx+Ce 一dx =一e x cosxdx+Ce 一 x )解析：25.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 =x 2 +y 2 ，得 =x 2 +y 2 ，令 z=y 2 ，则 =2x 解得 )解析：26.求微分方程 x 2 y
16、“+xy=y 2 满足初始条件 y(1)=1的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 x 2 y“+xy=y 2 得 两边积分得 因为 y(1)=1，所以 C=一 1，再把u= =Cx 2 得原方程的特解为 y= )解析：27.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x+y=u，则 一 1，于是有 变量分离得 )解析：29.设 y=e x 为微分方程 xy“+P(x)y=x的解，求此微分方程满足初始条件 y(ln2)=0的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把 y=e x 代入微分方程
17、xy“+P(x)y=x，得 P(x)=xe 一 x 一 x，原方程化为 y“+(e 一 x 一 1)y=1，则 y= 将 y(ln2)=0代入 y= +e x 中得 C= ，故特解为 y= )解析：30.设 f(x)一 e x 一 0 x (x一 t)f(t)dt，其中 f(x)连续，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x)=e x 一 0 x (x一 t)f(t)dt，得 f(x)=e x 一 x 0 x f(t)dt+ 0 x tf(t)dt， 两边对 x求导，得 f“(x)=e x 一 f(t)dt，两边再对 x求导得 f“(x)+f(x)=e x ，其通解为 f(x)=C 1 cosx+C 2 sinx+ e x 在 f(x)=e x 0 x (x一 t)f(t)dt中，令 x=0得 f(0)=1，在 f(x)=e x 0 x f(t)dt中，令 x=0得 f(0)=1，于是有 C 1 = ，C 2 = ，故 f(x)= (cos+sinx)+ )解析：31.求微分方程 ry“+3y“=0的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 y“=p，则 解得 )解析：
