1、考研数学二（微分方程）-试卷 4 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.微分方程 y“一 6y“+8y=e x +e 2x 的一个特解应具有形式(其中 a，b 为常数) ( )（分数：2.00）A.ax x +be 2xB.ax x +bxe 2xC.axe x +be 2xD.axe x +bxe 2x3.微分方程 y“+2y“+2y=e 一 x sin x 的特解形式为 ( )（分数：2.00）A.e 一 x (Acos x+Bsin x)B.e 一
2、 x (Acos x+Bxsin x)C.xe 一 x (Acos x+Bsin x)D.e 一 x (Axcos x+Bsin x)4.微分方程 y“+ =0 的通解是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.微分方程 y“一 4y“+4y=x 2 +8e 2x 的一个特解应具有形式(其中 a，b，c，d 为常数)( )（分数：2.00）A.ax 2 +bx+ce 2xB.ax 2 +bx+c+dx 2 e 2xC.ax 2 +bx+cxe 2xD.ax 2 +(bx 2 +cx)e 2x6.微分方程 y“+y“+y= 的一个特解应具有形式(其中 a，b 为常数)( ) （分数：2.0
3、0）A.B.C.D.二、填空题(总题数：9，分数：18.00)7.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_8.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_9.微分方程的通解 1 包含了所有的解（分数：2.00）填空项 1:_10.微分方程(y 2 +1)dx=y(y 一 2x)dy 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设一阶非齐次线性微分方程 y“+p(x)y=Q(x)有两个线性无关的解 y 1 ，y 2 ，若 y 1 +y 2 也是该方程的解，则应有 += 1（分数：2.00）填空项 1:_12.微分方程 y“一 7y“=(x 一 1) 2 的待定系数法确定的特解形式(系数的值
4、不必求出)是 1。（分数：2.00）填空项 1:_13.以 y=cos 2x+sin 2x 为一个特解的二阶常系数齐次线性微分方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_14.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_15.微分方程(1 一 x x )yxy“=0 满足初值条件 y(1)=1 的特解是 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：30.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.求微分方程 y“+2y“+y=xe x 的通解（分数：2.00）_18.求微分方程 y“+4y“+4y=e 一 2x 的通解（分数：2.00）
5、_19.求微分方程 y“+2y“一 3y=e 一 3x 的通解（分数：2.00）_20.求微分方程 y“+5y“+6y=2e 一 x 的通解（分数：2.00）_21.求微分方程(3x x +2xy 一 y x )dx+(x 2 一 2xy)dy=0 的通解（分数：2.00）_22.设 y(x)是方程 y (4) 一 y“=0 的解，且当 x0 时，y(x)是 x 的 3 阶无穷小，求 y(x)（分数：2.00）_23.求一个以 y 1 =te t ，y 2 =sin 2t 为其两个特解的四阶常系数齐次线性微分方程，并求其通解（分数：2.00）_24.一链条悬挂在一钉子上，启动时一端离开钉子 8
6、 m，另一端离开钉子 12 m，试分别在以下两种情况下求链条滑离钉子所需要的时间： (1)不计钉子对链条的摩擦力； (2)若摩擦力为常力且其大小等于 2 m 长的链条所受到的重力（分数：2.00）_25.从一艘破裂的油轮中渗漏出来的油，在海面上逐渐扩散形成油层设在扩散的过程中，其形状一直是一个厚度均匀的圆柱体，其体积也始终保持不变已知其厚度 h 的减少率与 h 3 成正比，试证明：其半径r 的增加率与 r 3 成反比（分数：2.00）_26.汽艇以 27(kmh)的速度，在静止的海面上行驶，现在突然关闭其动力系统，它就在静止的海面上作直线滑行设已知水对汽艇运动的阻力与汽艇运动的速度成正比，并已
7、知在关闭其动力后 20(s)汽艇的速度降为了 108(kmh)试问它最多能滑行多远?（分数：2.00）_27.求解 y“=e 2y +e y ，且 y(0)=0，y“(0)=2（分数：2.00）_28.求方程 （分数：2.00）_29.求微分方程(y+ （分数：2.00）_30.求方程 2x （分数：2.00）_考研数学二（微分方程）-试卷 4 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.微分方程 y“一 6y“+8y=e x +e 2x 的一个特解应具有
8、形式(其中 a，b 为常数) ( )（分数：2.00）A.ax x +be 2xB.ax x +bxe 2x C.axe x +be 2xD.axe x +bxe 2x解析：解析：由原方程对应齐次方程的特征方程 r 2 一 6r+8=0 得特征根 r 1 =2，r 2 =4又 f 1 (x)=e x ，=1 非特征根，对应特解为 y 1 * =ae x ；f 2 (x)=e 2x ，=2 为特征单根，对应特解为 y 2 * =bxe 2x 故原方程特解的形式为 ae x +bxe 2x ，即选(B)3.微分方程 y“+2y“+2y=e 一 x sin x 的特解形式为 ( )（分数：2.00）
9、A.e 一 x (Acos x+Bsin x)B.e 一 x (Acos x+Bxsin x)C.xe 一 x (Acos x+Bsin x) D.e 一 x (Axcos x+Bsin x)解析：解析：特征方程 r 2 +2r+2=0 即(r+1) 2 =一 1，特征根为 r 1,2 =一 1i，而 iw=一 1i 是特征根，特解 y * =xe 一 x (Acos x+Bsin x)4.微分方程 y“+ =0 的通解是 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：原方程写成 yy“+ +e 3x dx=0积分得 2e 3x 一 5.微分方程 y“一 4y“+4y=x 2 +8e
10、 2x 的一个特解应具有形式(其中 a，b，c，d 为常数)( )（分数：2.00）A.ax 2 +bx+ce 2xB.ax 2 +bx+c+dx 2 e 2x C.ax 2 +bx+cxe 2xD.ax 2 +(bx 2 +cx)e 2x解析：解析：对应特征方程为 r 2 一 4r+4=0，特征根是 r 1,2 =2而 f 1 =x 2 ， 1 =0 非特征根，故 y 1 * =ax 2 +bx+c又 f 2 =8e 2x ， 2 =2 是二重特征根，所以 y 2 * =dx 2 e 2x y 1 * 与 y 2 * 合起来就是特解，选(B)6.微分方程 y“+y“+y= 的一个特解应具有形
11、式(其中 a，b 为常数)( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：特征方程 r 2 +r+1=0，特征根为 r 1,2 = 二、填空题(总题数：9，分数：18.00)7.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 e 3x +C 2 e 2x ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数）解析：解析：原方程是二阶常系数线性齐次微分方程其特征方程为 r 2 一 5r+6=0，即(r 一 3)(r 一 2)=0解出特征根 r 1 =3，r 2 =2，即得上述通解8.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=(C 1 +C 2 x
12、)e x +1，其中 C 1 ，C 2 为任意常数）解析：解析：原方程为二阶常系数线性非齐次微分方程其通解为 y=y 齐 +y * ，其中 y 齐 是对应齐次方程的通解，y * 是非齐次方程的一个特解 因原方程对应齐次方程的特征方程为 r 2 一 2r+1=0，即(r一 1) 2 =0，特征根为 r 1，2 =1故 y 齐 =(C 1 +C 2 x)e x ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数又据观察，显然 y * =1 与 y 齐 合并即得原方程通解9.微分方程的通解 1 包含了所有的解（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：不一定）解析：解析：例如方程(y 2 一 1)dx
13、=(x 一 1)ydy，经分离变量有 10.微分方程(y 2 +1)dx=y(y 一 2x)dy 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：11.设一阶非齐次线性微分方程 y“+p(x)y=Q(x)有两个线性无关的解 y 1 ，y 2 ，若 y 1 +y 2 也是该方程的解，则应有 += 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由 y“ 1 +P(x)y 1 =Q(x)及 y“ 2 +P(x)y 2 =Q(x)得 (y 1 +y 2 )“+P(x)( 1 +y 2 )=(+)Q(x) 又因 y 1 +y 2 满足原方程
14、，故应有(+)Q(x)=Q(x)，即 +=112.微分方程 y“一 7y“=(x 一 1) 2 的待定系数法确定的特解形式(系数的值不必求出)是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y * =x(Ax 2 +Bx+C)）解析：解析：原方程对应齐次方程的特征方程为 r 2 7r=0，特征根为 r 1 =7，r 2 =0而 f(x)=x 2 一2x+1，=0 是特征根，所以特解如上所答13.以 y=cos 2x+sin 2x 为一个特解的二阶常系数齐次线性微分方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y“+4y=0）解析：解析：由特解 y=cos 2
15、x+sin 2x 知特征根为 r 1,2 =2i，特征方程是 r 2 +4=0，其对应方程即y“+4y=014.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 +C 2 +C 3 x 2 +C 4 e 一 3x ，其中 C 1 ，C 2 ，C 3 ，C 4 为任意常数）解析：解析：特征方程 r 4 +3r 3 =0，即 r 3 (r+3)=0故通解如上15.微分方程(1 一 x x )yxy“=0 满足初值条件 y(1)=1 的特解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=*）解析：解析：三、解答题(总题数：15，分数：30.00)16.解
16、答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.求微分方程 y“+2y“+y=xe x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程 r 2 +2r+1=0 的两个根为 r 2 =r 2 =一 1 对应齐次方程之通解为 Y=(C 1 +C 2 x)e 一 x 设所求方程的特解为 y * =(ax+b)e x ，则 y * “=(x+a+b)e x ， y * “=一(ax+2a+b)e x ， )解析：18.求微分方程 y“+4y“+4y=e 一 2x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程 r 2 +4r+4=0 的根为 r 1 =r
17、 2 =一 2对应齐次方程的通解为 Y=(C 1 +C 2 x)e 一 2x 设原方程的特解 y * =Ax 2 e 一 2x ，代入原方程得 A= 因此，原方程的通解为 y=Y+y * =(C 1 +C 2 x)e 一 2x + )解析：19.求微分方程 y“+2y“一 3y=e 一 3x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对应的齐次方程的通解为 =C 2 e x +C 2 e 一 3x 原方程的一个特解为 y * =Axe 一 3x ，代入原方程，得 )解析：20.求微分方程 y“+5y“+6y=2e 一 x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：所给微分方程的特征
18、方程为 r 2 +5r+6=(r+2)(r+3)=0， 特征根为 r 1 =一 2，r 2 =一 3于是，对应齐次微分方程的通解为 )解析：21.求微分方程(3x x +2xy 一 y x )dx+(x 2 一 2xy)dy=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程化为 3x 2 dx+(2xyy 2 )dx+(x 2 一 2xy)dy=0，即 d(x 3 )+d(x 2 yxy 2 )=0， 故通解为 x 3 +x 2 yxy 2 =C，其中 C 为任意常数)解析：22.设 y(x)是方程 y (4) 一 y“=0 的解，且当 x0 时，y(x)是 x 的 3 阶无穷小，求
19、 y(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式 y(x)=y(0)+y“(0)x+ y“(0)x 3 +o(x 3 ) (x0) 当 x0 时，y(x)与 x 2 同阶，即有 y(0)=0，y“(0)=0，y“(0)=0，y“(0)=C，其中 C 为非零常数由这些初值条件，现将方程 y (4) 一 y“=0 两边积分得 0 x y (4) (t)dt 0 x y“(t)dt=0， 即 y“(x)一 Cy“(x)=0，两边再积分得 y“(x)一 y(x)=Cx 易知，它有特解 y * =一 Cx，因此它的通解是 y=C 1 e x +C 2 e 一 x 一Cx 由初值 y(0)=
20、0，y“(0)=0 得 C 1 +C 2 =0，C 1 一 C 2 =C，即 C 1 = 因此最后得 y= )解析：23.求一个以 y 1 =te t ，y 2 =sin 2t 为其两个特解的四阶常系数齐次线性微分方程，并求其通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 y 1 =te t 可知 y 3 =e t 为其解，由 y 2 =sin 2t 可得 y 4 =cos 2t 也是其解，故所求方程对应的特征方程的根 1 = 3 =1， 2 =2i， 4 =一 2i其特征方程为 ( 一 1) 2 ( 2 +4)=0，即 4 一 2 3 +5 2 一 8+4=0 故所求的微分方程为 y (4
21、) 一 2y“+5y“一 8y“+4y=0，其通解为 y=(C 1 +C 2 t)e t +C 3 cos 2t+C 1 sin 2t，其中 C 1 ，C 2 ，C 4 ，C 4 为任意常数)解析：24.一链条悬挂在一钉子上，启动时一端离开钉子 8 m，另一端离开钉子 12 m，试分别在以下两种情况下求链条滑离钉子所需要的时间： (1)不计钉子对链条的摩擦力； (2)若摩擦力为常力且其大小等于 2 m 长的链条所受到的重力（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)在时刻 t 时，链条下滑路程为 x(t)m，以 表示链条的长度密度，由牛顿第二定律 F=ma，得 20 (x+2)及初值条件
22、x(0)=0，x“(0)=0，解方程得 )解析：25.从一艘破裂的油轮中渗漏出来的油，在海面上逐渐扩散形成油层设在扩散的过程中，其形状一直是一个厚度均匀的圆柱体，其体积也始终保持不变已知其厚度 h 的减少率与 h 3 成正比，试证明：其半径r 的增加率与 r 3 成反比（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把 V=rh 看作隐式方程，两边同时对 t 求导 )解析：26.汽艇以 27(kmh)的速度，在静止的海面上行驶，现在突然关闭其动力系统，它就在静止的海面上作直线滑行设已知水对汽艇运动的阻力与汽艇运动的速度成正比，并已知在关闭其动力后 20(s)汽艇的速度降为了 108(kmh)试问它最
23、多能滑行多远?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设汽艇的质量为 m kg，关闭动力后 t s，汽艇滑行了 x m，根据牛顿第二运动定律，有 )解析：27.求解 y“=e 2y +e y ，且 y(0)=0，y“(0)=2（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： p 2 =e 2y +2e y +C， 即 y“ 2 =e 2y +2e y +C 又 y(0)=0，y“(0)=2，有C=1，所以 y“ 2 =e 2y +2e y +1=(e y +1) 2 ， y“=e y +1(y“(0)=20)， )解析：28.求方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是变量可分离方程当 y 2 1 时，分离变量得 这就是在条件 y 2 1下的通解此外，易见 y=1 及 y=一 1 也是原方程的解，但它们并不包含在式之中 )解析：29.求微分方程(y+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 y=ux，原方程化为 其中 C0 为任意常数将初值条件 y(1)=0 代入式得 C=1，但由于 C0，故得相应的特解为 y= )解析：30.求方程 2x （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
