1、考研数学三（一元函数微分学）-试卷 17 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)在 x=0 的邻域内有定义，f(0)=1，且 （分数：2.00）A.可导，且 f“(0)=0B.可导，且 f“(0)=一 1C.可导，且 f“(0)=2D.不可导3.设 f(x)具有二阶连续可导，且 （分数：2.00）A.x=1 为 f(x)的极大点B.x=1 为 f(x)的极小点C.(1，f(1)是曲线 y=f(x)的拐点D.x=1 不是 f(x)的极值点，(1
2、，f(1)也不是 y=f(x)的拐点4.设函数 f(x)在0，a上连续，在(0，a)内二阶可导，且 f(0)=0，f“(x)0，则 （分数：2.00）A.单调增加B.单调减少C.恒等于零D.非单调函数5.f(x)在(一，+)内二阶可导，f“(x)0， （分数：2.00）A.单调增加且大于零B.单调增加且小于零C.单调减少且大于零D.单调减少且小于零6.设 f“(x 0 )=f“(x 0 )=0，f(x 0 )0，则下列正确的是( )（分数：2.00）A.f“(x 0 )是 f“(x)的极大值B.f(x 0 )是 f(x)的极大值C.f(x 0 )是 f(x)的极小值D.(x 0 ，f(x 0
3、)是 y 一 f(x)的拐点7.设 f(x)在0，+)上连续，在(0，+)内可导，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：10.00)8.f(sinx)=cos 2 x+3x+2，则 f“(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_9.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(x)为奇函数，且 f“(1)=2，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 y=x arctanr + （分数：2.00）填空项 1:_12.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或
4、演算步骤。_14.设 f(x)=g(a+bx)一 g(a 一 bx)，其中 g“(a)存在，求 f“(0)（分数：2.00）_15.设 y=1n(2+3 一 x )，求 dy| x=0 （分数：2.00）_16.设由 e 一 y +x(y 一 x)=1+x 确定 y=y(x)，求 y“(0)（分数：2.00）_17.设 f(x)= 0 1 |x 一 y| （分数：2.00）_18.设 f(x)连续，f(0)=0，f“(0)=1，求 （分数：2.00）_19.设 dt= 0 x cos(x 一 t) 2 dt 确定 y 为 x 的函数，求 （分数：2.00）_20.求常数 a，b 使得 （分数：
5、2.00）_21.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 g“(x)0证明：存在 (a，b)，使得（分数：2.00）_22.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，连接点 A(a，f(a)，B(b，f(b)的直线与曲线 y=f(x)交于点 C(c，f(c)(其中 afb)证明：存在 (a，b)，使得 f“()=0（分数：2.00）_23.设函数 f(x)，g(x)在a，+)上二阶可导，且满足条件 f(a)=g(a)，f“(a)=g“(a)，f“(x)g“(x)(xa)证明：当 xa 时，f(x)g(x)（分数：2.00）_24.证明：当 0x1 时，(1+x)
6、ln 2 (1+x)x 2 （分数：2.00）_25.证明方程 （分数：2.00）_设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：（分数：4.00）(1).存在 (a，b)，使得 f“()=2f()（分数：2.00）_(2).存在 (a，b)，使得 nf“()+f()=0（分数：2.00）_26.证明：当 x0 时，arctanx+ （分数：2.00）_27.求曲线 y= （分数：2.00）_28.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：存在 (a，b)，使得f“()+f()g“()=0（分数：2.00）_
7、考研数学三（一元函数微分学）-试卷 17 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)在 x=0 的邻域内有定义，f(0)=1，且 （分数：2.00）A.可导，且 f“(0)=0B.可导，且 f“(0)=一 1 C.可导，且 f“(0)=2D.不可导解析：解析：3.设 f(x)具有二阶连续可导，且 （分数：2.00）A.x=1 为 f(x)的极大点B.x=1 为 f(x)的极小点C.(1，f(1)是曲线 y=f(x)的拐点 D.x=1 不是 f
8、(x)的极值点，(1，f(1)也不是 y=f(x)的拐点解析：4.设函数 f(x)在0，a上连续，在(0，a)内二阶可导，且 f(0)=0，f“(x)0，则 （分数：2.00）A.单调增加B.单调减少 C.恒等于零D.非单调函数解析：解析： 令 h(x)=xf“(x)一 f(x)，h(0)=0，h“(x)=xf“(x)00xa)， 由 得 h(x)0(0xa)， 于是5.f(x)在(一，+)内二阶可导，f“(x)0， （分数：2.00）A.单调增加且大于零B.单调增加且小于零 C.单调减少且大于零D.单调减少且小于零解析：解析：由6.设 f“(x 0 )=f“(x 0 )=0，f(x 0 )0
9、，则下列正确的是( )（分数：2.00）A.f“(x 0 )是 f“(x)的极大值B.f(x 0 )是 f(x)的极大值C.f(x 0 )是 f(x)的极小值D.(x 0 ，f(x 0 )是 y 一 f(x)的拐点 解析：解析：因为 f“(x 0 )0，所以存在 0，当 0|x 一 x 0 时， 7.设 f(x)在0，+)上连续，在(0，+)内可导，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：取 (A)不对；取 f(x)=cosx，显然 =10，(B)不对；取 f(x)=x，显然=1，(C)不对，应选(D)事实上，取 = =A，所以存在 X0，当 xX 时，|f“(x)一 A|，
10、从而 f“(x) 当 xX 时，f(x)一 f(x)=f“()(xX) (xX)(Xx)，从而 f(x)f(X)+ (x 一 X)，两边取极限得二、填空题(总题数：5，分数：10.00)8.f(sinx)=cos 2 x+3x+2，则 f“(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 4x+*）解析：解析：由 f(sinx)=cos2x+3x+2，得 f(sinx)=1 一 2sin 2 x+3x+2，f(x)=1 一 2x 2 +3arcsinx+2，f“(x)=一 4x+ 9.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：10.设
11、 f(x)为奇函数，且 f“(1)=2，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6）解析：解析：因为 f(x)为奇函数，所以 f“(x)为偶函数， 由 f(x 3 )=3x 2 f“(x 3 )得 11.设 y=x arctanr + （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：12.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x+3）解析：解析：三、解答题(总题数：17，分数：34.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：14.设 f(x)=g(a+bx)一 g(a 一 bx)，其中 g“(a)
12、存在，求 f“(0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.设 y=1n(2+3 一 x )，求 dy| x=0 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 故 dy| x=0 = )解析：16.设由 e 一 y +x(y 一 x)=1+x 确定 y=y(x)，求 y“(0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x=0 时，y=0 对 e 一 y +x(y 一 x)=1+x 两边关于 x 求导得一 e 一 y y“+y 一x+x(y“一 1)一 1，将 x=0，y=0 代入得 y“(0)=一 1； 对一 e 一 y y“+y 一 x+x(y“一 1)=1 两边关于 x
13、求导，得 e 一 y (y“) 2 一 e 一 y y“+2(y“一 1)+xy“=0，将 x=0，y=0，y“(0)=一 1 代入，得 y“(0)=一 3)解析：17.设 f(x)= 0 1 |x 一 y| （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设 f(x)连续，f(0)=0，f“(0)=1，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 一 a a f(x+a)dx 一 一 a a f(x 一 a)dx= 一 a a f(x+a)d(x+a)一 一 a a f(x一 a)d(x 一 a) = 0 2a f(x)dx 一 一 2a 0 f(x)dx= 0 2a f(x)d
14、x+ 0 一 2a f(x)dx， 又由 ln(1+a)=a一 +o(a 2 )得 a 一 ln(1+a) 于是 )解析：19.设 dt= 0 x cos(x 一 t) 2 dt 确定 y 为 x 的函数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 x cos(x 一 t) 2 dt cosu 2 (一 du)= 0 x cost 2 dt， 等式 = 0 x cost 2 dt 两边对 x 求导，得 =cosx 2 ， 于是 )解析：20.求常数 a，b 使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在 x=0 处可导，所以 f(x)在 x=0 处连续，从而有 f(0
15、+0)=2a=f(0)=f(0一 0)=3b， 由 f(x)在 x=0 处可导，则 3+2a=10+6b，解得 )解析：21.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 g“(x)0证明：存在 (a，b)，使得（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)一 f(x)g(x)，则 F(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 F(a)=F(b)=f(a)g(b)，由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 F“()=0，而 F“(x)=f“(x)g(b)+f(a)g“(x)一 f“(x)g(x)一 f(x)g“(x)，所以 )解析：解析
16、：这是含端点和含 的项的问题，且端点与含 的项不可分离，具体构造辅助函数如下：把结论中的 换成 x 得22.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，连接点 A(a，f(a)，B(b，f(b)的直线与曲线 y=f(x)交于点 C(c，f(c)(其中 afb)证明：存在 (a，b)，使得 f“()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由微分中值定理，存在 1 (a，c)， 2 (c，b)，使得 因为点A，B，C 共线，所以 f“( 1 )=f“( 2 )， 又因为 f(x)二阶可导，所以再由罗尔定理，存在 ( 1 ， 2 ) )解析：23.设函数 f(x)，g(x)在a，+)上
17、二阶可导，且满足条件 f(a)=g(a)，f“(a)=g“(a)，f“(x)g“(x)(xa)证明：当 xa 时，f(x)g(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=f(x)一 g(x)，显然 (a)=“(a)=0，“(x)0(xa) 由 得“(x)0(xa)； 再由 )解析：24.证明：当 0x1 时，(1+x)ln 2 (1+x)x 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=x 2 一(l+x)ln 2 (1+x)，f(0)=0； f“(x)=2x 一 ln 2 (1+x)一 2ln(1+x)，f“(0)=0； f“(x)=2 一 0(0x1)， 由 得
18、 f“(x)0(0x1)； 再由 )解析：25.证明方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 得 x=e，因为 f(e)= 所以 f(e)= 0 为 f(x)的最大值，又因为 f(x)= )解析：设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：（分数：4.00）(1).存在 (a，b)，使得 f“()=2f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=e 一 x2 f(x)，因为 f(a)=f(b)=0，所以 (a)=(b)=0， 由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 “()=0， 而 (x)=e 一 x2 f“(x)一 2xf(x)且
19、e 一 x2 0，故 f“()=2f()解析：(2).存在 (a，b)，使得 nf“()+f()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=xf(x)，因为 f(a)=f(b)=0，所以(a)=(b)=0， 由罗尔定理，存在(a，b)，使得 “()=0， 而 “(x)=xf“(x)+f(x)，故 f“()+f()=0)解析：26.证明：当 x0 时，arctanx+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f（x）=arctanx+ 因为 f“（x）= 0（x0），所以 f（x）在（0，+）内单调递减，又因为 )解析：27.求曲线 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得曲线 )解析：28.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：存在 (a，b)，使得f“()+f()g“()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)= )解析：
