1、考研数学三（一元函数微分学）-试卷 15 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设函数 f(x)在|x| 内有定义且|f(x)|x 2 ，则 f(x)在 x=0 处( )（分数：2.00）A.不连续B.连续但不可微C.可微且 f(0)=0D.可微但 f“(0)03.设 y=y(x)由 x 一 1 x+y e 一 t2 dt=0 确定，则 y“(0)等于( )（分数：2.00）A.2e 2B.2e 一 2C.e 2 一 1D.e 2 一 14.设函数 f(
2、x)= （分数：2.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导但导数不连续D.导数连续5.设 f(x)在 x=0 的邻域内有定义，且 f(0)=0，则 f(x)在 x=0 处可导的充分必要条件是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 f(x)=|x 3 1|g(x)，其中 g(x)连续，则 g(1)=0 是 f(x)在 x=1 处可导的( )（分数：2.00）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.非充分非必要条件7.设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，若 （分数：2.00）A.不可导B.可导但 f“(0)0C.取极大值D.取极小值二、填空题(总题数：4，分数：8.00)8.x
3、 y 一 y x ，则 y “ = 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设 f(x)为偶函数，且 f“(一 1)=2，则 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(x)在 x=2 处可导，且 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_11.设 f(x)=1n(2x 2 一 x 一 1)，则 f (n) (x)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：38.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_13.设 y= （分数：2.00）_14.设 y= （分数：2.00）_15.由方程 sinxy+ln(y 一 x)=x 确定函数 y=y(x
4、)，求 （分数：2.00）_16.求 （分数：2.00）_17.设 f(x)= （分数：2.00）_18.证明曲线 （分数：2.00）_19.设 f(x)= （分数：2.00）_20.设函数 f(x)在区间0，3上连续，在(0，3)内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1证明：存在(0，3)，使得 f“()=0（分数：2.00）_21.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)f(b)0，f(a) （分数：2.00）_22.设 ba0，证明： （分数：2.00）_23.证明不等式：xarctanx （分数：2.00）_24.证明：当 0x1 时，e 一 2x
5、 （分数：2.00）_25.设 f(x)= （分数：2.00）_26.设 f(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，证明：存在 (1，2)，使得 f“()一 f()=f(2)一2f(1)（分数：2.00）_27.当 0x 时，证明： （分数：2.00）_28.证明：当 x0 时， （分数：2.00）_设 f(x)在0，3上连续，在(0，3)内二阶可导，且 2f(0)= 0 2 f(t)dt=f(2)+f(3)证明：（分数：4.00）(1). 1 ， 2 (0，3)，使得 f“( 1 )=f“( 2 )=0（分数：2.00）_(2).存在 (0，3)，使得 f“()一 2 f“()=0（分数：
6、2.00）_29.设 f(x)在a，b上二阶可导且 f“(x)0，证明：f(x)在(a，b)内为凹函数，（分数：2.00）_考研数学三（一元函数微分学）-试卷 15 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设函数 f(x)在|x| 内有定义且|f(x)|x 2 ，则 f(x)在 x=0 处( )（分数：2.00）A.不连续B.连续但不可微C.可微且 f(0)=0 D.可微但 f“(0)0解析：解析：3.设 y=y(x)由 x 一 1 x+y e 一 t
7、2 dt=0 确定，则 y“(0)等于( )（分数：2.00）A.2e 2 B.2e 一 2C.e 2 一 1D.e 2 一 1解析：解析：(A)2e 2 (B)2e 一 2 (C)e 2 一 1(D)e 一 2 一 1 当 x=0 时，由 =0 得 y=1， 4.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导但导数不连续D.导数连续 解析：解析：因为 =f(0)=0，所以 f(x)在 x=0 处连续； 由 =0，得 f(x)在 x=0 处可导，且f“(0)=0； 当 x0 时，f“(x)=3x 2 sin 当 x0 时，f“(x)=2x，因为 5.设 f(x)在 x
8、=0 的邻域内有定义，且 f(0)=0，则 f(x)在 x=0 处可导的充分必要条件是( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：设 f(x)= =0，而 f(x)在 x=0 处不可导，(A)不对； 即 存在只能保证 f(x)在x=0 处右可导，故(B)不对； 因为 于是 存在不能保证 f(x)在 x=0 处可导，故(D)不对；6.设 f(x)=|x 3 1|g(x)，其中 g(x)连续，则 g(1)=0 是 f(x)在 x=1 处可导的( )（分数：2.00）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件 D.非充分非必要条件解析：解析：设 g(1)=0，f“(1)= (x 2 +x+
9、1)g(x)=0， f“+(1)= (x 2 +x+1)g(x)=0， 因为 f“ 一 (1)=f“ + (1)=0，所以 f(x)在 x=1 处可导 设 f(x)在 x=1 处可导， f“ 一 (1)= (x 2 +x+1)g(x)=一 3g(1)， f“ + (1)= 7.设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，若 （分数：2.00）A.不可导B.可导但 f“(0)0C.取极大值D.取极小值 解析：解析：由 =2 得 f(0)=0，由极限保号性，存在 0，当 0|x| 时，二、填空题(总题数：4，分数：8.00)8.x y 一 y x ，则 y “ = 1（分数：2.00）填空项 1:_
10、（正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 x y 一 y x ，得 ylnx=xlny，两边求导数得 y“lnx+ 解得 y“= 9.设 f(x)为偶函数，且 f“(一 1)=2，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 8）解析：解析：因为 f(x)为偶函数，所以 f“(x)为奇函数，于是 f“(1)=一 2，10.设 f(x)在 x=2 处可导，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）填空项 1:_ （正确答案：8）解析：解析：因为 再由 f(x)在 x=2 处的连续性得 f(2)=0由11.设 f(x)=1n(2x 2 一 x 一 1)，则
11、f (n) (x)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(一 1) n 一 1 (n 一 1)！ ）解析：解析：f(x)=1n2x+1)(x 一 1=1n(2x+1)+ln(x 一 1)，f“(x)= f (n) (x)= =(一 1) n 一 1 (n 一 1)！ 三、解答题(总题数：19，分数：38.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：13.设 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.设 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.由方程 sinxy+ln(y 一 x)=x 确定函数 y=y
12、(x)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 x=0 代入 sinxy+ln(y 一 x)=x 得 y=1， 对 sinxy+ln(y 一 x)=x 两边关于 x 求导得 将 x=0，y=1 代入得 )解析：16.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 0|f(x)|=|x| =0=f(0)，故 f(x)在 x=0 处连续， )解析：18.证明曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对 两边关于 x 求导得 切线方程为 Y 一 y= 令 Y=0 得 X=x+ 则X+Y=x+ )解析：19.
13、设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x)在 x=0 处连续，得 b=0 由 f(x)在 x=0 处可导，得 a=2， 所以)解析：20.设函数 f(x)在区间0，3上连续，在(0，3)内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1证明：存在(0，3)，使得 f“()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在0，3上连续，所以 f(x)在0，2上连续，故 f(x)在0，2取到最大值 M 和最小值 m，显然 3mf(0)+f(1)+f(2)3M，即 m1M，由介值定理，存在 c0，2，使得f(c)=1 因为 f(x)在c，3上连续，在(
14、c，3)内可导，且 f(c)=f(3)=1，根据罗尔定理，存在(c，3) )解析：21.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)f(b)0，f(a) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不妨设 f(a)0，f(b)0， 0，令(P(x)=e 一 x f(x)，则 “(x)=e 一 x f“(x)一 f(x) 因为 (a)0， 0，(b)0，所以存在 1 ， 2 ， 使得 ( 1 )=( 2 )=0，由罗尔定理，存在 ( 1 ， 2 ) )解析：22.设 ba0，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 等价于 b(lnb 一 lna)b 一 a，令 1 (x
15、)=x(lnx 一 lna)一(x 一 a)， 1 (a)=0，“ 1 (x)=1nx 一 lna0(xa) 由 得 1 (x)0(xa)，而 ba，所以 1 (b)0，从而 ln ，同理可证 )解析：23.证明不等式：xarctanx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=xarctanx 一 (1+x 2 )，f(0)=0令 f“(x)= +arctanx 一 =arctanx=0，得 x=0，因为 f“(x)= 0，所以 x=0 为 f(x)的极小值点，也为最小值点，而f(0)=0，故对一切的 x，有 f(x)0，即 xarctanx )解析：24.证明：当 0x1 时
16、，e 一 2x （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：e 一 2x 等价于一 2xln(1 一 x)一 ln(1+x)， 令 f(x)=1n(1+x)一 ln(1一 x)一 2x，则 f(0)=0， f“(x)= 0(0x1)， 由 得 f(x)0(0x1)，故当 0x1时，e 一 2x )解析：25.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f“(x)= 0，所以 f(x)在(一，+)上单调增加 因为 f“(x)= ，当 x0 时，f“(x)0；当 x0 时，f“(x)0，则 y=f(x)在(一，0)的图形是凹的，y=f(x)在(0，+)内是凸的，(0，0)为 y=
17、f(x)的拐点 因为 f(一 x)=一 f(x)，所以 f(x)为奇函数 由 )解析：26.设 f(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，证明：存在 (1，2)，使得 f“()一 f()=f(2)一2f(1)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 则 (x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 (1)=(2)=f(2)一 f(1)，由罗尔定理，存在 (1，2)，使得 “()=0， 而 “(x)= )解析：解析：由 xf“(x)一 f(x)=f(2)一 2f(1)得 从而 =0，辅助函数为 (x)=27.当 0x 时，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=x
18、一 sinx，f(0)=0， f“(x)=1 一 cosx0(0x )， 由 得f(x)0(0x )， 即当 0x 时，sinxx； 令 g(x)=sinx 一 由 g“(x)=一sinx0(0x )得 g(x)在(0， )内为凸函数， 由 得 g(x)0(0x )，即当0x sinx， 故当 0x )解析：28.证明：当 x0 时， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (t)=1n(x+t)，由拉格朗日中值定理得 )解析：设 f(x)在0，3上连续，在(0，3)内二阶可导，且 2f(0)= 0 2 f(t)dt=f(2)+f(3)证明：（分数：4.00）(1). 1 ， 2 (0，
19、3)，使得 f“( 1 )=f“( 2 )=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)= 0 1 f(t)dt，F“(x)=f(x)， 0 2 f(t)dt=F(2)一 F(0)=F“(f)(2 一 0)=2f(c)，其中 0c2 因为 f(x)在2，3上连续，所以 f(x)在2，3上取到最小值 m 和最大值 M， 由介值定理，存在 x 0 2，3，使得 f(x 0 )= ，即 f(2)+f(3)=2f(x 0 )，于是 f(0)=f(c)=f(x 0 )，由罗尔定理，存在 1 (0，c) (0，3)， 2 (f，x 0 ) )解析：(2).存在 (0，3)，使得 f“()一 2
20、 f“()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=e 一 2x f“(x)，( 1 )=( 2 )=0， 由罗尔定理，存在 ( 1 ， 2 ) )解析：29.设 f(x)在a，b上二阶可导且 f“(x)0，证明：f(x)在(a，b)内为凹函数，（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任意的 x 1 ，x 2 (a，b)且 x 1 x 2 ，取 x 0 = ，由泰勒公式得 f(x)=f(x 0 )+f“(x 0 )(xx 0 )+ (x 一 x 0 )2，其中 介于 x 0 与 x 之间 因为 f“(x)0，所以f(x)f(x 0 )+f“(x 0 )(x 一 x 0 )，“=”成立当且仅当“x=x 0 ”， 从而 两式相加得 f(x 0 ) )解析：
