1、考研数学三（常微分方程与差分方程）-试卷 3及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.方程 y“sinx=ylny满足定解条件 =e的特解是 （分数：2.00）A.B.C.D.3.若 C，C 1 ，C 2 ，C 3 是任意常数，则以下函数中可以看作某个二阶微分方程的通解的是（分数：2.00）A.y=C 1 x 2 +C 2 x+C 3 B.x 2 +y 2 =CC.yIn(C 1 x)+ln(C 1 sinx)D.y=C 1 sin 2 x+C 2 cos 2
2、 x4.设 C 1 和 C 2 是两个任意常数，则函数 y=e x (C 1 cos2x+C 2 sin2x)+sinx是二阶常系数线性微分方程( )的通解（分数：2.00）A.y“-2y“+5y=4cosx-2sinxB.y“-2y“+5y=4sinx-2cosxC.y“-5y“+2y=4cosx-2sinxD.y“-5y“+2y=4sinx-2cosx二、填空题(总题数：1，分数：2.00)5.当x0 时 是比x 较高阶的无穷小量，函数 y(x)在任意点 x处的增量y= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：24，分数：48.00)6.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算
3、步骤。（分数：2.00）_7.设函数 f(x)在0，+)上可导，f(0)=0，且其反函数为 g(x)若 （分数：2.00）_8.已知 xy“+p(x)y=x有解 y=e x ，求方程满足 y x=ln2 =0的解（分数：2.00）_9.已知方程 （分数：2.00）_10.设 f(x)在0，+)上连续，且满足方程 （分数：2.00）_11.设 f(x)是以 为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程 y“+ky=f(x)存在唯一的以 为周期的特解，并求此特解，其中 k为常数（分数：2.00）_12.求下列一阶常系数线性差分方程的通解： ()4y t+1 +16y t =20； ()2y t+1 +
4、10y t -5t=0； ()y t+1 -2y t =2 t ； ()y t+1 -y t = （分数：2.00）_13.求下列方程满足给定条件的特解： ()y t+1 -y t =2 t ，y 0 =3； ()y t+1 +4y t = （分数：2.00）_14.已知方程 y“+p(x)y“+g(x)y=0，求证： (I)若 p(x)+xq(x)0，则 y=x是方程的一个特解； ()若 m 2 +mp(x)+1(x)0，则 y=e mx 是方程的一个特解（分数：2.00）_15.求下列微分方程的通解： ()(x-2)dy=y+2(x-2) 3 dx； ()(1+y 2 )dx=(arcta
5、ny-x)dy； ()y“+2y=sinx； ()e y y“- =x 2 () ()(x 2 -3y 2 )x+(3x 2 -y 2 ) =0； （分数：2.00）_16.求下列差分方程的通解： ()y t+1 -y t =e t ，其中 ， 为常数，且 0； ()y t+1 +2y t = （分数：2.00）_17.求方程 y“+2my“+n 2 y=0满足初始条件 y(0)=a，y“(0)=b 的特解，其中 mn0，a，b 为常数，并求 （分数：2.00）_18.设一曲线过点(e，1)，且在此曲线上任意一点 M(x，y)处的法线斜率为 （分数：2.00）_19.设 y=y(x)在0，+)
6、内可导，且在 处的增量y=y(x+x)-y(x)满足 （分数：2.00）_20.设函数 y(x)连续，且满足 （分数：2.00）_21.设函数 f(x)连续，且 （分数：2.00）_22.设函数 f(x)可微，且满足 f(x)-1= （分数：2.00）_23.设二阶常系数线性微分方程 y“+y“+y=e x 的一个特解为 y=e 2x +(1+x)e x ，试确定常数，并求该方程的通解（分数：2.00）_24.求 y t+1 -y t =2t(t-1)(t-2)的通解（分数：2.00）_25.设 p(x)在(a，b)连续，p(x)dx 表示 p(x)的某个原函数，C 为任意常数，证明：y=Ce
7、 -p(x)dx 是方程y“+P(x)y=0的所有解（分数：2.00）_26.设有微分方程 y“-2y=(x)，其中 (x)= （分数：2.00）_27.设函数 f(x)连续，且满足 （分数：2.00）_28.设 f(x，g(x)满足 f“(x)=g(x)，g“(x)=2e x -f(x)，且 f(0)=0，g(0)=2，求 （分数：2.00）_29.已知微分方程 y“+(x+e 2y )(y“) 3 =0 ()若把 y看成自变量，x 看成函数，则方程化成什么形式? ()求此方程的解（分数：2.00）_考研数学三（常微分方程与差分方程）-试卷 3答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟
8、)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.方程 y“sinx=ylny满足定解条件 =e的特解是 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：方程 y“sinx=ylny是可分离变量的微分方程，分离变量得 即所求特解为3.若 C，C 1 ，C 2 ，C 3 是任意常数，则以下函数中可以看作某个二阶微分方程的通解的是（分数：2.00）A.y=C 1 x 2 +C 2 x+C 3 B.x 2 +y 2 =CC.yIn(C 1 x)+ln(C 1 sinx)D.y=C 1 sin 2 x+C 2 cos
9、2 x 解析：解析：在所给的选项(A)，(B)，(C)中 y包含的任意常数都不是两个，因而它们都不能看成某个二阶微分方程的通解，故应选(D)4.设 C 1 和 C 2 是两个任意常数，则函数 y=e x (C 1 cos2x+C 2 sin2x)+sinx是二阶常系数线性微分方程( )的通解（分数：2.00）A.y“-2y“+5y=4cosx-2sinxB.y“-2y“+5y=4sinx-2cosx C.y“-5y“+2y=4cosx-2sinxD.y“-5y“+2y=4sinx-2cosx解析：解析：由二阶常系数线性微分方程通解的结构知，e x cos2x与 e x sin2x是二阶常系数齐
10、次线性微分方程 y“+ay“+by=0两个线性无关的特解从而特征方程 2 +a+b=0 的两个特征根应分别是 1 =1+2i， 2 =1-2i，由此可得 2 +a+b=(-1-2i)(-1+2i)=(-1) 2 -(2i) 2 = 2 -2+1+4= 2 -2+5，即 a=-2，b=5 由二阶常系数线性微分方程通解的结构又知 sinx应是非齐次方程 y“-2y“+5y=f(x)的一个特解， 故 f(x)=(sinx)“-2(sinx)“+5sinx=4sinx-2cosx 综合即得所求方程为y“-2y“+5y=4sinx-2cosx应选(B)二、填空题(总题数：1，分数：2.00)5.当x0
11、时 是比x 较高阶的无穷小量，函数 y(x)在任意点 x处的增量y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：首先尝试从y 的表达式直接求 y(1)为此，设 x 0 =0，x=1，于是y=y(x 0 +x)-y(x 0 )=y(1)-y(0)=y(1)-，代入y 的表达式即得 y(1)- =+ y(1)=2+ 由于仅仅知道当x0 时 是比x 较高阶的无穷小，而不知道 的具体表达式，因而从上式无法求出 y(1) 由此可见，为了求出 y(1)必须去掉y 的表达式中包含的 利用函数的增量y 与其微分 dy的关系可知，函数y(x)在任意点 x处的微分 这是一个可分离变量
12、方程，它满足初始条件 y x=0 = 的特解正是本题中的函数 y(x)，解出 y(x)即可得到 y(1) 三、解答题(总题数：24，分数：48.00)6.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：7.设函数 f(x)在0，+)上可导，f(0)=0，且其反函数为 g(x)若 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将题设等式两边对 z求导，得 gf(x)f“(x)+f(x)=xe x 由于 gf(x)=x，于是，当 x0 时有 又 f(x)在 x=0处右连续且 f(0)=0，于是由 )解析：8.已知 xy“+p(x)y=x有解 y=e x ，求方程满足 y x=l
13、n2 =0的解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把已知解代入方程，得x+p(x)e x =x，由此可确定方程的待定系数 p(x)=x(e -x -1)，于是原方程就是 y“+(e -x -1)y=1与它对应的齐次线性微分方程 y“+(e -x v-1)y=0的通解是 y= ；把这个通解加上非齐次方程的已知特解 y=e x 即得原方程的通解利用初始条件 y x=ln2 =0可确定常数 )解析：解析：首先把已知解代入方程，即可确定方程的待定系数 p(x)；其次，把得到的系数 p(x)代入原方程，并求对应的齐次线性微分方程的通解；再把非齐次微分方程的已知特解 y=e x 与之相加，即得原方程
14、的通解由此求满足给定初始条件的特解就容易了9.已知方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 ，分离变量并利用已知的通解即得 )解析：解析：方程可以看成齐次方程，令10.设 f(x)在0，+)上连续，且满足方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先把右端的二重积分化为定积分设 x=rcos，y=rsin，引入极坐标(r，)，于是，在极坐标系(r，)中积分区域 x 2 +y 2 4t 2 可表为 02，0r2t，面积元dxdy=rdrd， 从而未知函数 f(t)满足积分方程 f(t)= ，令 t=0得 f(0)=1；用变上限定积分求导公式得 由此可知 f(t)是一阶线性微分方程
15、 满足初始条件 y(0)=1的特解解出可得 )解析：11.设 f(x)是以 为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程 y“+ky=f(x)存在唯一的以 为周期的特解，并求此特解，其中 k为常数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于此线性微分方程的通解可表示为 ，而为了使其以 为周期，就应该对任何 x满足恒等式 )解析：解析：本题是求该方程满足某种要求的特解为此，我们先求通解，然后用确定常数 C的办法来得到具有周期性的那个特解12.求下列一阶常系数线性差分方程的通解： ()4y t+1 +16y t =20； ()2y t+1 +10y t -5t=0； ()y t+1 -2y t =2
16、 t ； ()y t+1 -y t = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()方程可化简为 y t+1 +4y t =5由于 a=4，可得对应齐次方程的通解为 C(-4) t ，自由项 f(t)=5是零次多项式，由于 a+10，应设非齐次方程的特解 y* 1 =B，B 待定代入方程可得B =1于是，方程的通解为 y t =1+C(-4) t ()类似于()，可化简方程为 y t+1 +5y t = ，对应齐次方程的通解 为 C(-5) t ，非齐次方程的特解应具有形式 y* t =A+Bt，代人原方程可得 A= 于是，原方程的通解为 ()由于 a=-2，f(t)=2 t ，因此可设特解
17、具有形式 y* t =At2 t ，代入方程可确定 A= 显然对应齐次方程的通解为 C2 t ，故原方程的通解为 ()由于其特解应具有形式 代入原方程可得 B 0 =-2，B 1 = ，因此原方程的通解为 )解析：13.求下列方程满足给定条件的特解： ()y t+1 -y t =2 t ，y 0 =3； ()y t+1 +4y t = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由于 y t+1 -y t =2 t 的特解为 2 t ，因此原方程的通解为 y t =2 t +C代入定解条件，则知所求之解为 y t =2 t +2 ()如上题第()小题，非齐次方程的特解应具有形式 ，计算可得
18、A=4，B=1，即其通解为 代入定解条件，即知所求之解为 )解析：14.已知方程 y“+p(x)y“+g(x)y=0，求证： (I)若 p(x)+xq(x)0，则 y=x是方程的一个特解； ()若 m 2 +mp(x)+1(x)0，则 y=e mx 是方程的一个特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()用 y=x代入方程则有 p(x)+xq(x)0，可见当 p(x)+xq(x)0 时 y=x是方程y“+p(x)y“+g(x)y=0的一个特解 ()用 y=e mx 代入方程则有 y“+p(x)y“+g(x)y=m 2 +p(x)m+g(x)e mx 0 故当 m 2 +p(x)m+q(x
19、)0 时 y=e mx 是方程 y“+p(x)y“+q(x)y=0的一个特解.)解析：15.求下列微分方程的通解： ()(x-2)dy=y+2(x-2) 3 dx； ()(1+y 2 )dx=(arctany-x)dy； ()y“+2y=sinx； ()e y y“- =x 2 () ()(x 2 -3y 2 )x+(3x 2 -y 2 ) =0； （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()原方程可改写为 ，这是一阶线性微分方程，用积分因子 =2(x-2)，两边求积分即得通解 即 y=C(x-2)+(x-2) 3 ，其中 C是任意常数 两边求积分即得通解 即 x=Ce -arctany +
20、arctany-1，其中 C是任意常数 ()题设方程为齐次微分方程，方程可改写成 这是一个变量可分离型方程，其通解为 y(e u +u)=C所以原微分方程的通解为 +x=C ()因为 y“cosy=(siny)“，令 u=siny，则原微分方程化为 u“+u=x 这是关于未知函数 u(x)的一个一阶线性非齐次微分方程，其通解为 u=e -x (C+xe x dx)=Ce -x +x-1 所以原微分方程的通解为 siny=Ce -x +x-1 ()当 y0 时，将原方程变为如下形式： 所以原方程是一个全微分方程，其通解为 ()对应的特征方程为 2 +9=(-3i)(+3i)=0 特征根为 1 =
21、3i， 2 =-3i，由方程的非齐次项 6cos3x可知，应设非齐次方程的特解具有形式 y * =x(Acos3x+Bsin3x)计算可得 )解析：16.求下列差分方程的通解： ()y t+1 -y t =e t ，其中 ， 为常数，且 0； ()y t+1 +2y t = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()方程的通解可设为 y t =Ca t +y* t ，当 e 时，可设 y* t =Ae t ，代入方程可确定 A= ；当 =e 时可设 y* t =Ate t ，代入方程可确定 A=e - ，故方程的通解为 ()设方程的通解为 ，于是 )解析：17.求方程 y“+2my“+n
22、2 y=0满足初始条件 y(0)=a，y“(0)=b 的特解，其中 mn0，a，b 为常数，并求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 +2m+n 2 =(+m) 2 +n 2 -m 2 =0，特征根为 计算可得 )解析：18.设一曲线过点(e，1)，且在此曲线上任意一点 M(x，y)处的法线斜率为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设知，过曲线上任意点 M(x，y)处的切线斜率为 由一阶线性微分方程的通解公式，可得 由曲线过点(e，1)可确定常数 ，故所求曲线方程为 )解析：19.设 y=y(x)在0，+)内可导，且在 处的增量y=y(x+x)-y(x)满足
23、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设等式可得 从而 y=y(x)是如下一阶线性微分方程初值问题的特解：注意方程可改写成 ，两边积分得 )解析：20.设函数 y(x)连续，且满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 y(x)连续可知 可导，从而 y(x)可导将方程两端对 x求导，得一阶线性微分方程 y(x)-2y“(x)=2x 解之可得通解 y(x)= 在原方程两端令 x=1又有-2y(1)= )解析：21.设函数 f(x)连续，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 由 f(x)连续可见以上方程中各项均可导将方程两端对 x求导即得在上式中令 x=0可得 f(0)
24、=0，由上式还可见 f(x)可导，于是将它两端对 x求导，又得 f“(x)=2cos2x+f(x) 故求 y=f(x)等价于求解初值问题 的特解解之可得 )解析：22.设函数 f(x)可微，且满足 f(x)-1= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程两边对 x求导，得 由一阶线性微分方程的通解公式，有 )解析：23.设二阶常系数线性微分方程 y“+y“+y=e x 的一个特解为 y=e 2x +(1+x)e x ，试确定常数，并求该方程的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 y=e 2x +(1+x)e x 代入方程可得 (4+2+)e 2x +(3+2+-)e x +
25、(1+)xe x =0， 因 e 2x ，e x 与 xe x 线性无关(证明见评注)，故 )解析：24.求 y t+1 -y t =2t(t-1)(t-2)的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原差分方程对应的齐次差分方程是 y t+1 -y t =0，其通解为 y t =C，非齐次差分方程的通解可设为 y t =C+t+t 2 +t 3 +t 4 ，代入方程可得 y t+1 -y t =+(2+3+4)t+(3+6)t 2 +4t 3 2t(t-1)(t-2)， 比较系数，可得方程组 )解析：25.设 p(x)在(a，b)连续，p(x)dx 表示 p(x)的某个原函数，C 为任意
26、常数，证明：y=Ce -p(x)dx 是方程y“+P(x)y=0的所有解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为对任意常数 C，y=Ce -p(x)dx 是原方程的解，又设 y是原方程的任意一个解，则 ye p(x)dx “=e p(x)dx y“+p(x)y=0， 即存在常数 C，使得 ye p(x)dx =C，故 y=Ce -p(x)dx .)解析：26.设有微分方程 y“-2y=(x)，其中 (x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是一个一阶线性非齐次微分方程，由于其自由项为分段函数，所以应分段求解，并且为保持其连续性，还应将其粘合在一起 当 x1 时，方程 y“-2
27、y=2的两边同乘 e -2x 得(ye -2x )“=2e -2x ，积分得通解 y=C 1 e 2x -1； 而当 x1 时，方程 y“-2y=0的通解为 y=C 2 e 2x 为保持其在x=1处的连续性，应使 C 1 e 2 -1=C 2 e 2 ，即 C 2 =C 1 -e -2 ，这说明方程的通解为 再根据初始条件，即得 C 1 =1，即所求特解为 y= )解析：27.设函数 f(x)连续，且满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在积分中作换元 ，代入方程，可得 )解析：28.设 f(x，g(x)满足 f“(x)=g(x)，g“(x)=2e x -f(x)，且 f(0)=0，
28、g(0)=2，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f“(x)=g(x)可得 f“(x)=g“(x)，结合 g“(x)=2e x -f(x)可得 f(x)满足微分方程 f“(x)=2e x -f(x)，即 y“=2e x -y 它对应的齐次方程为 y“+y=0，特征方程为 2 +1=0，特征根为 1 =i， 2 =-i因此 y“+y=0的通解为 y=C 1 cosx+C 2 sinx 在 y“+y=2e x 中，由于 =1不是其齐次方程的特征根，因此它有形如 y=ae x 的特解，将 y=ae x 代入方程 y“+y=2e x 中可得a=1因此 y“+y=2e x 的通解为 y=C
29、 1 cosx+C 2 sinx+e x 由 f(0)=0，g(0)=2，可知 f(x)是 y“+y=2e x 的满足初值条件 y(0)=0，y“(0)=2 的特解将初值条件代入通解中得 C 1 =-1，C 2 =1因此 f(x)=-cosx+sinx+e x 由于 注意到，f(0)=0，f“(x)=g(x)，因此 )解析：解析：由 f“(x)=g(x)两边求导可得 f“(x)=g“(x)，再由 g“(x)=2e x -f(x)可得 f(x)所满足的微分方程29.已知微分方程 y“+(x+e 2y )(y“) 3 =0 ()若把 y看成自变量，x 看成函数，则方程化成什么形式? ()求此方程的解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 代入方程得 x“-x=e 2y ()特征方程 r 2 -1=0的两个根为 r 1 =1，r 2 =-1由于在非齐次项 e ay ，中 a=2不是特征根，故可设非齐次方程的特解为 x * =Ae 2y ，代人方程得 )解析：
