1、考研数学三（常微分方程与差分方程）-试卷 2及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设非齐次线性微分方程 y “ +P(x)y=Q(x)有两个不同的解 y 1 (x)，y 2 (x)，C 为任意常数，则该方程的通解是（分数：2.00）A.Cy 1 (x)一 y 2 (x)B.y 1 (x)+Cy 1 (x)一 y 2 (x)C.Cy 1 (x)+y 2 (x)D.y 1 (x)+Cy 1 (x)+y 2 (x)3.设 y 1 ，y 2 是一阶线性非齐次微分方
2、程 y“+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数 ， 使 y 1 +y 2 是该方程的解，y 1 一 y 2 是该方程对应的齐次方程的解，则（分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：9，分数：18.00)4.差分方程 y t+1 y t =t2 t 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_5.设函数 f(t)在0，+)上连续，且满足方程 （分数：2.00）填空项 1:_6.差分方程 2y t+1 +10y t 一 5t=0的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_7.某公司每年的工资总额在比上一年增加 20的基础上再追加 2百万元若以 W t 表示第 t年的工资总额(单位：百
3、万元)，则 W t 满足的差分方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_8.微分方程 xy “ +y=0满足初始条件 y(1)=2的特解为 1（分数：2.00）填空项 1:_9.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_10.微分方程 xy “ +y=0满足条件 y(1)=1的解是 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_11.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_12.设函数 y=y(x)是微分方程 y“+y“一 2y=0的解，且在 x=0处 y(x)取得极值 3，则 y(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：20，分数：40.00)13.解答题解答应写出文字说明
4、、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_14.某商品的需求量 x对价格 P的弹性 =一 3p，市场对该商品的最大需求量为 1(万件)，求需求函数（分数：2.00）_15.设某商品的需求量 D和供给量 s，各自对价格 P的函数为 ，s(p)=bp，且 p是时间 t的函数并满足方程 (a、b、k 为正常数)，求： (1)需求量与供给量相等时的均衡价格 P e ； (2)当 t=0，P=1时的价格函数 p(t)； (3) （分数：2.00）_16.求微分方程 y“+5y“+6y=2e -x 的通解（分数：2.00）_17.求微分方程 y“+ycosx=(Inx)e -sinx 的通解（分数：2.0
5、0）_18.求微分方程 （分数：2.00）_19.求连续函数 f(x)，使它满足 （分数：2.00）_20.假设：(1)函数 y=f(x)(0x)满足条件 f(0)=0，和 0f(x)e z 一 1； (2)平行于 y轴的动直线MN与曲线 y=f(x)和 y=e x 一 1分别相交于点 P 1 和 P 2 ； (3)曲线 y=f(x)，直线 MN与 X轴所围封闭图形的面积 S恒等于线段 P 1 P 2 的长度求函数 y=f(x)的表达式（分数：2.00）_21.设函数 y=y(x)满足条件 （分数：2.00）_22.已知连续函数 f(x)满足条件 （分数：2.00）_23.求微分方 （分数：2
6、.00）_24.设函数 f(x)在1，+)上连续，若由曲线 y=f(x)，直线 x=1，x=t(t1)与 x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体体积为 试求 f(x)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件（分数：2.00）_25.设有微分方程 y“一 2y=(x)其中 （分数：2.00）_26.求微分方程 y“一 2y“一 e 2x =0满足条件 y(0)=1，y“(0)=1 的解（分数：2.00）_27.(1)验证函数 满足微分方程 y“+y“+y=e x (2)利用(1)的结果求幂级数 （分数：2.00）_28.设 F(x)=f(x)g(x)，其中函数 f(x)，g(x)在(一
7、，+)内满足以下条件：f “ (x)=g(x)，g “ (x)=f(x)，且 f(0)=0，f(x)+g(x)=2e x (1)求 F(x)所满足的一阶方程； (2)求出 F(x)的表达式（分数：2.00）_29.设曲线 y=f(x)，其中 f(x)是可导函数，且 f(x)0已知曲线 y=f(x)与直线 y=0，x=1 及 x=t(t1)所围成的曲边梯形绕 z轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的 t 倍，求该曲线的方程（分数：2.00）_30.已知函数 f(x)满足方程 f“(x)+f“(x)一 2f(x)=0及 f“(x)+f(x)=2e x (I)求 f(x)的表达式； (II)
8、求曲线 （分数：2.00）_31.设函数 f(u)具有连续导数，z=f(e x cosy)满足 （分数：2.00）_32.设函数 f(x)在定义域 I上的导数大于零若对任意的 x 0 I，曲线 y=f(x)在点(x 0 ，f(x 0 )处的切线与直线 x=x 0 及 x轴所围成区域的面积恒为 4，且 f(0)=2，求 f(x)的表达式（分数：2.00）_考研数学三（常微分方程与差分方程）-试卷 2答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设非齐次线性微分方
9、程 y “ +P(x)y=Q(x)有两个不同的解 y 1 (x)，y 2 (x)，C 为任意常数，则该方程的通解是（分数：2.00）A.Cy 1 (x)一 y 2 (x)B.y 1 (x)+Cy 1 (x)一 y 2 (x) C.Cy 1 (x)+y 2 (x)D.y 1 (x)+Cy 1 (x)+y 2 (x)解析：3.设 y 1 ，y 2 是一阶线性非齐次微分方程 y“+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数 ， 使 y 1 +y 2 是该方程的解，y 1 一 y 2 是该方程对应的齐次方程的解，则（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由于 y 1 +y 2 为方程 y“+p(x
10、)y=q(x)的解，则(y 1 +y 2 )“+p(x)(y 1 +y 2 )=q(x) 即 (y 1 “+p(x)y 1 )+(y 2 “+p(x)y 2 )=q(x) q(x)+q(x)=q(x) +=1 (1)由于 y 1 一 y 2 为方程 y“+p(x)y=0的解，则 (y 1 一 y 2 )“+p(x)(y 1 一 y 2 )=0 (y 1 “+p(x)y 1 )一 (y 2 “+p(x)y 2 )=0 q(x)一 q(x)=0；=0 (2)由(1)式和(2)式解得 二、填空题(总题数：9，分数：18.00)4.差分方程 y t+1 y t =t2 t 的通解为 1（分数：2.00
11、）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y t =C+(t一 2)2 t ）解析：解析：齐次差分方程 y t+1 y t =0的通解为 CC 为任意常数设(at+b)2 t 是差分方程 y t+1 一 y t =t2 t 的一个特解，则 a=1，b=一 2，因此，y t =C+(t一 2)2 t 为所求通解5.设函数 f(t)在0，+)上连续，且满足方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：显然，f(0)=1，由于 ）解析：6.差分方程 2y t+1 +10y t 一 5t=0的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：将原差分方程改
12、写成标准形式：y t+1 +ay t =b 1 t+b 0 7.某公司每年的工资总额在比上一年增加 20的基础上再追加 2百万元若以 W t 表示第 t年的工资总额(单位：百万元)，则 W t 满足的差分方程是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：W t =12W t-1 +2）解析：解析：W t 表示第 t年的工资总额，(单位；百万元)，W t-1 表示第 t年上一年的工资总额，由题设知 W t =12W t-1 +28.微分方程 xy “ +y=0满足初始条件 y(1)=2的特解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：xy=2）解析：解析：本方程
13、是一可分离变量方程，由 xy “ +y=0知，*从而 xy=C，又 y(1)=2，则 C=29.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：10.微分方程 xy “ +y=0满足条件 y(1)=1的解是 y= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：方程 的特征方程为12.设函数 y=y(x)是微分方程 y“+y“一 2y=0的解，且在 x=0处 y(x)取得极值 3，则 y(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确
14、答案：2e x +e -2x）解析：解析：原方程的特征方程为 2 + 一 2=0特征根为 1 =1， 2 =一 2原方程的通解为 y=C 1 e x +C 2 e -2x 三、解答题(总题数：20，分数：40.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：14.某商品的需求量 x对价格 P的弹性 =一 3p，市场对该商品的最大需求量为 1(万件)，求需求函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.设某商品的需求量 D和供给量 s，各自对价格 P的函数为 ，s(p)=bp，且 p是时间 t的函数并满足方程 (a、b、k 为正常数)，求： (
15、1)需求量与供给量相等时的均衡价格 P e ； (2)当 t=0，P=1时的价格函数 p(t)； (3) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)当需求量等于供给量时， )解析：16.求微分方程 y“+5y“+6y=2e -x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程相应的齐次方程的特征方程为 r 2 +5+6=0解得 r 1 =一 2，r 2 =一 3则齐次方程通解为 Y=C 1 e -2x +C 2 e -3x 设齐次方程特解为 y * =Ae -x ，代入原方程得 A=1则原方程通解为y=C 1 e 2x +C 2 e -3x +e -x)解析：17.求微分方程 y
16、“+ycosx=(Inx)e -sinx 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由一阶线性方程求解公式得 )解析：18.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程两边同除以 xy，得 )解析：19.求连续函数 f(x)，使它满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：等式 两边求导得 f“(x)+2f(x)=2x这是一个一阶线性微分方程，由求解公式得 由原方程易知 f(0)=0，由此可得 )解析：20.假设：(1)函数 y=f(x)(0x)满足条件 f(0)=0，和 0f(x)e z 一 1； (2)平行于 y轴的动直线MN与曲线 y=f(x)和 y=e x 一
17、 1分别相交于点 P 1 和 P 2 ； (3)曲线 y=f(x)，直线 MN与 X轴所围封闭图形的面积 S恒等于线段 P 1 P 2 的长度求函数 y=f(x)的表达式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设和图 218 可知 两端求导得 f(x)=e x 一 f“(x)即 f“(x)+f(x)=e 2 由一阶线性方程求解公式得 由 f(0)=0得， 因此，所求函数为 )解析：21.设函数 y=y(x)满足条件 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 r 2 +4r+4=0，解得 r 1 =r 2 =一 2，原方程通解为 y=(C 1 +C 2 x)e -2x 由初始条
18、件得 C 1 =2，C 2 =0，因此，微分方程的特解为 y=2e -2x )解析：22.已知连续函数 f(x)满足条件 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原式两边对 x求导得f“(x)=3f(x)+2e 2x 即 f“(x)一 3f(x)=2e 2x 由一阶线性方程求解公式得 )解析：23.求微分方 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设函数 f(x)在1，+)上连续，若由曲线 y=f(x)，直线 x=1，x=t(t1)与 x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体体积为 试求 f(x)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件（分数：2.00）_正确答案：
19、(正确答案： 两边积分得 )解析：25.设有微分方程 y“一 2y=(x)其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x1 时，有 y“一 2y=2，其通解为 y=(C 1 e 2x 一 1(x1)由 y(0)=0知，C 1 =1，所以 y=e 2x 一 1(x1)当 x1 时，有 y“一 2y=0，其通解为 y=C 2 e 2x (x1) )解析：26.求微分方程 y“一 2y“一 e 2x =0满足条件 y(0)=1，y“(0)=1 的解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：齐次方程 y“一 2y“=0的特征方程为 2 一 2=0，由此得 1 =0， 2 =2对应齐次方程的通解
20、为 设非齐次方程的特解为 y * =Axe 2x 代入原方程得 从而所求解为 )解析：27.(1)验证函数 满足微分方程 y“+y“+y=e x (2)利用(1)的结果求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 所以 y“+y“+y=e x (2)与 y“+y“+y=e x 相应的齐次微分方程为y“+y“+y=0其特征方程为 2 +1=0 特征根为 因此齐次傲分方程的通解为 )解析：28.设 F(x)=f(x)g(x)，其中函数 f(x)，g(x)在(一，+)内满足以下条件：f “ (x)=g(x)，g “ (x)=f(x)，且 f(0)=0，f(x)+g(x)=2e x
21、(1)求 F(x)所满足的一阶方程； (2)求出 F(x)的表达式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由 F “ (x)=f “ (x)g(x)+f(x)g “ (x)=g 2 (x)+f 2 (x)=f(x)+g(x) 2 一2f(x)g(x)=4e 2x 一 2F(x)则 F(x)所满足的一阶方程为 F “ (x)+2F(x)=4e 2x (2)方程 F “ (x)+2F(x)=4e 2x 是一个一阶线性方程，由求解公式得 )解析：29.设曲线 y=f(x)，其中 f(x)是可导函数，且 f(x)0已知曲线 y=f(x)与直线 y=0，x=1 及 x=t(t1)所围成的曲边梯形
22、绕 z轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的 t 倍，求该曲线的方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.已知函数 f(x)满足方程 f“(x)+f“(x)一 2f(x)=0及 f“(x)+f(x)=2e x (I)求 f(x)的表达式； (II)求曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.设函数 f(u)具有连续导数，z=f(e x cosy)满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 excosy=u，则 )解析：32.设函数 f(x)在定义域 I上的导数大于零若对任意的 x 0 I，曲线 y=f(x)在点(x 0 ，f(x 0 )处的切线与直线 x=x 0 及 x轴所围成区域的面积恒为 4，且 f(0)=2，求 f(x)的表达式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 y=f(x)在点(x 0 ，f(x 0 )处的切线方程为 yf(x 0 )=f“(x 0 )(xx 0 ) 则所求曲线方程为 )解析：
