1、考研数学三（概率统计）-试卷 20 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自正态总体 XN(， 2 )的简单随机样本，记 则服从 t(n 一 1)分布的随机变量是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 Xt(n)，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.X 2 F(1，n)B.F(1，n)C.X 2 2 (n)D.X 2 2 (n 一 1)4.从正态总体 X，N(0， 2 )中抽取简单随机样本 X 1 ，
2、X 2 ，X n ，则可作为参数 2 的无偏估计量的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：8，分数：16.00)5.设随机变量 X，Y 不相关，XU(一 3，3)，Y 的密度为 f Y (y)= （分数：2.00）填空项 1:_6.将一均匀的骰子连续扔六次，所出现的点数之和为 X，用切比雪夫不等式估计 P(14X28)= 1（分数：2.00）填空项 1:_7.设 X 1 ，X 2 ，X 100 相互独立且在区间一 1，1上同服从均匀分布，则由中心极限定理 （分数：2.00）填空项 1:_8.设总体 X，Y 相互独立且服从 N(0，9)分布，(X 1 ，X 9 )与(Y
3、 1 ，Y 9 )分别为来自总体 X，Y的简单随机样本，则 U= （分数：2.00）填空项 1:_9.设总体 XN(0，8)，YN(0，2 2 )，且 X 1 及(Y 1 ，Y 2 )分别为来自上述两个总体的样本，则 （分数：2.00）填空项 1:_10.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的样本，S 2 = （分数：2.00）填空项 1:_11.设 XN(1， 2 )，YN(2， 2 )为两个相互独立的总体，X 1 ，X 2 ，X m 与 Y 1 ，Y 2 ，Y n 分别为来自两个总体的简单样本，S 1 2 = （分数：2.00）填空项 1:_12.设 XN
4、(， 2 )，其中 2 已知， 为未知参数从总体 X 中抽取容量为 16 的简单随机样本，且 的置信度为 095 的置信区间中的最小长度为 0588，则 2 = 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数：36.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_14.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立且在0，a上服从均匀分布，令 U=maxX 1 ，X 2 ，X n ，求 U 的数学期望与方差（分数：2.00）_15.电信公司将 n 个人的电话资费单寄给 n 个人，但信封上各收信人的地址随机填写，用随机变量 X 表示收到自己电话资费单的人的个数，求
5、 E(X)及 D(X)（分数：2.00）_16.设 X，Y 为随机变量，且 E(x)=1，E(Y)=2，D(x)=4，D(y)=9， XY = （分数：2.00）_17.一电路使用某种电阻一只，另外 35 只备用，若一只损坏，立即使用另一只更换，直到用完所有备用电阻为止，设电阻使用寿命服从参数为 =001 的指数分布，用 X 表示 36 只电阻的使用总寿命，用中心极限定理估计 P(X4200)(1)=08413，(2)=09772)（分数：2.00）_18.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，已知 E(X k )= k (k=1，2，3，4)证明：当 n 充分大时，
6、随机变量 Z n = （分数：2.00）_19.电话公司有 300 台分机，每台分机有 6的时间处于与外线通话状态，设每台分机是否处于通话状态相互独立，用中心极限定理估计至少安装多少条外线才能保证每台分机使用外线不必等候的概率不低于095?（分数：2.00）_20.设 X 1 ，X 9 为来自正态总体 XN(， 2 )的简单随机样本，令 （分数：2.00）_21.设总体 XN(0，1)，(X 1 ，X 2 ，X m ，X m+1 ，X m+n )为来自总体 X 的简单随机样本，求统计量 （分数：2.00）_22.设总体 XN(0， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机
7、样本， S 2 = （分数：2.00）_设 X 1 ，X 2 ，X n (n2)是来自总体 XN(0，1)的简单随机样本，记 Y i =X i 一 （分数：4.00）(1).D(Y i )；（分数：2.00）_(2).Cov(Y 1 ，Y n )（分数：2.00）_23.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的样本，令 （分数：2.00）_24.设总体 X 服从正态分布 N(， 2 )(0)，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，令 （分数：2.00）_25.设总体 X 服从正态分布 N(， 2 )(0)从该总体中抽取简单随机样本 X 1
8、，X 2 ，X 2n (n2)令 求统计量 （分数：2.00）_26.设总体 XN(， 1 2 )，yN(， 2 2 )，且 X，Y 相互独立，来自总体 X，Y 的样本均值为 样本方差为 S 1 2 ，S 2 2 ，记 （分数：2.00）_27.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n+1 为总体 X 的简单随机样本，记 （分数：2.00）_28.设总体 X 的概率分布为 是未知参数用样本值 3，1，3，0，3，1，2，3 求 的矩估计值和最大似然估计值 （分数：2.00）_29.设总体 XF(x，)= （分数：2.00）_考研数学三（概率统计）-试卷 20 答案解析(总分：60.
9、00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自正态总体 XN(， 2 )的简单随机样本，记 则服从 t(n 一 1)分布的随机变量是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：3.设 Xt(n)，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.X 2 F(1，n) B.F(1，n)C.X 2 2 (n)D.X 2 2 (n 一 1)解析：解析：由 Xt(n)，得 X= 其中 UN(0，1)，V 2 (n)，且 U，V 相互独立，于是
10、X 2 = 4.从正态总体 X，N(0， 2 )中抽取简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X n ，则可作为参数 2 的无偏估计量的是( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：因为 二、填空题(总题数：8，分数：16.00)5.设随机变量 X，Y 不相关，XU(一 3，3)，Y 的密度为 f Y (y)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：E(X)=0，D(X)=3，E(Y)=0，D(Y)= ，则 E(X 一 Y)=0，D(X 一 Y)=D(X)+D(Y)一 2Cov(X9Y)= ，所以 P|X 一 Y|3=P|(X 一 Y)一 E(X 一 Y
11、)|31 一6.将一均匀的骰子连续扔六次，所出现的点数之和为 X，用切比雪夫不等式估计 P(14X28)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 X i 为第 i 次的点数(i=1，2，3，4，5，6)，则 X= ，其中 由切比雪夫不等式，有 P(14X28)=P|X 一 E(X)|71 一 7.设 X 1 ，X 2 ，X 100 相互独立且在区间一 1，1上同服从均匀分布，则由中心极限定理 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：08413）解析：解析：8.设总体 X，Y 相互独立且服从 N(0，9)分布，(X 1 ，X 9 )与(Y
12、1 ，Y 9 )分别为来自总体 X，Y的简单随机样本，则 U= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 X 1 +X 2 +X 9 N(0，81)，得 (X 1 +X 2 +X 9 )N(0，1)因为 Y 1 ，Y 9 相互独立且服从 N(0，9)分布，所以(Y 1 /3) 2 +(Y 2 /3) 2 +(Y 9 /3) 2 2 (9)， 即 (Y 1 2 +Y 9 2 ) 2 (9)因此 U= 9.设总体 XN(0，8)，YN(0，2 2 )，且 X 1 及(Y 1 ，Y 2 )分别为来自上述两个总体的样本，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案
13、：正确答案： ）解析：解析：10.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的样本，S 2 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.设 XN(1， 2 )，YN(2， 2 )为两个相互独立的总体，X 1 ，X 2 ，X m 与 Y 1 ，Y 2 ，Y n 分别为来自两个总体的简单样本，S 1 2 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：12.设 XN(， 2 )，其中 2 已知， 为未知参数从总体 X 中抽取容量为 16 的简单随机样本，且 的置信度为 095 的置信区间中的最小长度为 0
14、588，则 2 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：036）解析：解析：在 2 已知的情况下， 的置信区间为 三、解答题(总题数：18，分数：36.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：14.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立且在0，a上服从均匀分布，令 U=maxX 1 ，X 2 ，X n ，求 U 的数学期望与方差（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F U (u)=P(Uu) =Pmax(X 1 ,X 2 ,X n )u =PX 1 u，X 2 u，X n u E(U)= 一 + uf U (u)du= 0 a u
15、E(U 2 )= 一 + u 2 f U (u)du= 0 a u 2 于是 )解析：15.电信公司将 n 个人的电话资费单寄给 n 个人，但信封上各收信人的地址随机填写，用随机变量 X 表示收到自己电话资费单的人的个数，求 E(X)及 D(X)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A i =(第 i 个人收到自己的电话资费单，i=1，2，n，X i = i=1，2，n，则 X=X 1 +X 2 +X n 当 ij 时，P(X i =1，X j =1)=P(A i A j )=P(A i )P(A j |A i )= )解析：16.设 X，Y 为随机变量，且 E(x)=1，E(Y)=2
16、，D(x)=4，D(y)=9， XY = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 U=X+Y，则 E(U)=E(X)+E(Y)=3， D(U)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=4+9+223=7， 于是 P|X+Y 一 3|10=P|U 一 E(U)|10 )解析：17.一电路使用某种电阻一只，另外 35 只备用，若一只损坏，立即使用另一只更换，直到用完所有备用电阻为止，设电阻使用寿命服从参数为 =001 的指数分布，用 X 表示 36 只电阻的使用总寿命，用中心极限定理估计 P(X4200)(1)=08413，(2)=09772)（分数：2.00）_正确答案：(正
17、确答案：设第 i 只电阻使用寿命为 X i ，则 X j E(001)，E(X i )=100D(X i )=100 2 (i=1，2，36) P(X4200)=1 一 P(X4200)=1 一 )解析：18.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，已知 E(X k )= k (k=1，2，3，4)证明：当 n 充分大时，随机变量 Z n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X 1 ，X 2 ，X n 独立同分布，所以 X 1 2 ，X 2 2 ，X n 2 也独立同分布且 E(X i 2 )= 2 ，D(X i 2 )= 4 一 2 2 ，当 n 充分
18、大时，由中心极限定理得 近似服从标准正态分布，故 Z n 近似服从正态分布，两个参数为 = 2 ， 2 = )解析：19.电话公司有 300 台分机，每台分机有 6的时间处于与外线通话状态，设每台分机是否处于通话状态相互独立，用中心极限定理估计至少安装多少条外线才能保证每台分机使用外线不必等候的概率不低于095?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 X i = 令 X 表示需要使用外线的分机数，则 X= E(X)=300006=18，D(X)=30000564=1692 设至少需要安装 n 条外线，由题意及中心极限定理得 解得 )解析：20.设 X 1 ，X 9 为来自正态总体 XN(
19、， 2 )的简单随机样本，令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设总体 XN(0，1)，(X 1 ，X 2 ，X m ，X m+1 ，X m+n )为来自总体 X 的简单随机样本，求统计量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.设总体 XN(0， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本， S 2 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设 X 1 ，X 2 ，X n (n2)是来自总体 XN(0，1)的简单随机样本，记 Y i =X i 一 （分数：4.00）(1).D(Y i )；（分数：2.00）_正确
20、答案：(正确答案： )解析：(2).Cov(Y 1 ，Y n )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X 1 ，X 2 ，X n (n2)相互独立， )解析：23.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的样本，令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X 1 ，X 2 ，X n 独立同分布，所以有 E(X 1 T)=E(X 2 T)=E(X n T) )解析：24.设总体 X 服从正态分布 N(， 2 )(0)，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.设总体 X
21、 服从正态分布 N(， 2 )(0)从该总体中抽取简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X 2n (n2)令 求统计量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 Y i =X i +X n+i (i=1，2，n)，则 Y 1 ，Y 2 ，Y n 为正态总体N(2，2 2 )的简单随机样本， (n 一 1)S 2 ，其中 S 2 为样本 Y 1 ，Y 2 ，Y n 的方差，而 E(S 2 )=2 2 ，所以统计量 U= )解析：26.设总体 XN(， 1 2 )，yN(， 2 2 )，且 X，Y 相互独立，来自总体 X，Y 的样本均值为 样本方差为 S 1 2 ，S 2 2 ，记 （分数：2.0
22、0）_正确答案：(正确答案：由 ，S 1 2 ，S 2 2 相互独立，可知 a，b 与 相互独立，显然a+b=1 )解析：27.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n+1 为总体 X 的简单随机样本，记 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X n+1 N(， 2 )， 且它们相互独立， 相互独立，所以由t 分布的定义，有 )解析：28.设总体 X 的概率分布为 是未知参数用样本值 3，1，3，0，3，1，2，3 求 的矩估计值和最大似然估计值 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E(X)=0 2 +12(1 一 )+2 2 +3(1 一 2)=3 一 4， (3
23、+1+3+0+3+1+2+3)=2，令 E(X)= 得参数 的矩估计值为 L()= 2 2(1 一 ) 2 2 (1 一 2) 4 =4 6 (1 一 ) 2 (1=2) 4 ， LnL()=1n4+6ln+21n(1 一 )+4ln(1 一2)， 令 得参数 的最大似然估计值为 )解析：29.设总体 XF(x，)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)X 为离散型随机变量，其分布律为 ，E(X)=3 一 3 =2，令 3一 3=2 得 的矩估计值为 (2)L(1，1，3，2，1，2，3，3；)=P(X=1)P(X=1)P(X=3)= 2 2 (1 一 2) 3 ， lnL()=5ln+3ln(1 一 2)，令 得 的最大似然估计值为 )解析：
