1、考研数学三（概率统计）-试卷 2 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 X 和 Y 为相互独立的连续型随机变量，它们的密度函数分别为 f 1 (x)，f 2 (x)，它们的分布函数分别为 F 1 (x)，F 2 (x)，则( )（分数：2.00）A.f 1 (x)+f 2 (x)为某一随机变量的密度函数B.f 1 (x)f 2 (x)为某一随机变量的密度函数C.F 1 (x)+F 2 (x)为某一随机变量的分布函数D.F 1 (x)F 2 (x)为某
2、一随机变量的分布函数3.设连续型随机变量 X 的密度函数为 f(x)，分布函数为 F(x)如果随机变量 X 与一 X 分布函数相同，则( )（分数：2.00）A.F(x)=F(一 x)B.F(x)=一 F(一 x)C.f(x)=f(一 x)D.f(x)=一 f(一 x)4.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）A.与 b 无关，且随 a 的增加而增加B.与 b 无关，且随 a 的增加而减少C.与 a 无关，且随 b 的增加而增加D.与 a 无关，且随 b 的增加而减少5.设随机变量 XN(， 2 )，则 P(|X 一 |2)( )（分数：2.00）A.与 及 2 都无关B
3、.与 有关，与 2 无关C.与 无关，与 2 有关D.与 及 2 都有关6.设 XN(，4 2 )，yN(，5 2 )，令 p 一 P(X 一 4)，q 一 P(Y+5)，则( )（分数：2.00）A.pqB.pqC.p=qD.p，q 的大小由 的取值确定7.设随机变量 XN(， 2 )，其分布函数为 F(x)，则对任意常数 a，有( )（分数：2.00）A.F(a+)+F(a 一 )=1B.F(+a)+F( 一 a)=1C.F(a)+F(一 a)=1D.F(a)+F( 一 a)=18.设随机变量 XU1，7，则方程 x 2 +2Xx+9=0 有实根的概率为( )（分数：2.00）A.B.C.
4、D.0二、填空题(总题数：12，分数：24.00)9.设随机变量 X 的分布律为 X （分数：2.00）填空项 1:_10.设随机变量 XN(， 2 )，且方程 x 2 +4x+X=0 无实根的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 XB(2，p)，YB(3，p)，且 P(X1)= （分数：2.00）填空项 1:_12.设 XN(2， 2 )，且 P(2X4)=04，则 P(X0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，且 P(X=0)= （分数：2.00）填空项 1:_14.设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，且 E(X 一 1)(X
5、+2)=8，则 = 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= ，若 PX1= （分数：2.00）填空项 1:_16.一工人同时独立制造三个零件，第 k 个零件不合格的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_17.设随机变量 X 的分布律为 X （分数：2.00）填空项 1:_18.设随机变量 XN(0，1)，且 Y=9X 2 ，则 Y 的密度函数为 1（分数：2.00）填空项 1:_19.设随机变量 X 的概率密度函数为 f X (x)= （分数：2.00）填空项 1:_20.设离散型随机变量 X 的分布函数为 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题
6、(总题数：8，分数：20.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_10 件产品有 3 件次品，7 件正品，每次从中任取一件，取后不放回，求下列事件的概率：（分数：8.00）(1).第三次取得次品；（分数：2.00）_(2).第三次才取得次品；（分数：2.00）_(3).已知前两次没有取到次品，第三次取得次品；（分数：2.00）_(4).不超过三次取到次品（分数：2.00）_22.一批产品有 10 个正品 2 个次品，任意抽取两次，每次取一个，抽取后不放回，求第二次抽取次品的概率（分数：2.00）_23.甲、乙、丙厂生产产品所占的比重分别为 60，25，15，次品率分别为 3
7、，5，8，求任取一件产品是次品的概率（分数：2.00）_24.现有三个箱子，第一个箱子有 4 个红球，3 个白球；第二个箱子有 3 个红球，3 个白球；第三个箱子有3 个红球，5 个白球；先取一只箱子，再从中取一只球(1)求取到白球的概率；(2)若取到红球，求红球是从第二个箱子中取出的概率（分数：2.00）_25.设一汽车沿街道行驶，需要经过三个有红绿灯的路口，每个信号灯显示是相互独立的，且红绿灯显示时间相等，以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数，求 X 的分布（分数：2.00）_26.设袋中有 5 个球，其中 3 个新球，2 个旧球，从中任取 3 个球，用 X 表示 3 个球中的
8、新球个数，求 X的分布律与分布函数（分数：2.00）_27.设总体 X 的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）_考研数学三（概率统计）-试卷 2 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 X 和 Y 为相互独立的连续型随机变量，它们的密度函数分别为 f 1 (x)，f 2 (x)，它们的分布函数分别为 F 1 (x)，F 2 (x)，则( )（分数：2.00）A.f 1 (x)+f 2 (x)为某一随机变量的密度函数B.f 1 (x)f 2 (
9、x)为某一随机变量的密度函数C.F 1 (x)+F 2 (x)为某一随机变量的分布函数D.F 1 (x)F 2 (x)为某一随机变量的分布函数 解析：解析：可积函数 f(x)为随机变量的密度函数，则 f(x)0 且 一 + f(x)dx=1，显然(A)不对，取两个服从均匀分布的连续型随机变量的密度函数验证，(B)显然不对，又函数 F(x)为分布函数必须满足：(1)0F(x)1；(2)F(x)单调不减；(3)F(x)右连续；(4)F(一)=0，F(+)=1，显然选择(D)3.设连续型随机变量 X 的密度函数为 f(x)，分布函数为 F(x)如果随机变量 X 与一 X 分布函数相同，则( )（分数
10、：2.00）A.F(x)=F(一 x)B.F(x)=一 F(一 x)C.f(x)=f(一 x) D.f(x)=一 f(一 x)解析：解析：F X (x)=P(Xx)= 一 + f(t)dt， F 一 X (x)=P(一 Xx)=P(X一 x)=1 一 P(X一 x)=1一 一 一 x f(t)dt， 因为 X 与一 X 有相同的分布函数，所以 一 x f(t)dt=一 1 一 一 一 x f(t)dt，两边求导数，得 f(x)=f(一 x)，正确答案为(C)4.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）A.与 b 无关，且随 a 的增加而增加B.与 b 无关，且随 a 的增加
11、而减少C.与 a 无关，且随 b 的增加而增加 D.与 a 无关，且随 b 的增加而减少解析：解析：因为 一 + f(x)dx=1，所以 a + Ae 一 x dx=1，解得 A=e a 由 P(aXa+b)= a a+b f(x)dx= a a+b e a e 一 x dx=一 e a e x | a a+b =1 一 e b ，得 P(aXa+b)与 a 无关，且随 b 的增加而增加，正确答案为(C)5.设随机变量 XN(， 2 )，则 P(|X 一 |2)( )（分数：2.00）A.与 及 2 都无关 B.与 有关，与 2 无关C.与 无关，与 2 有关D.与 及 2 都有关解析：解析：
12、因为 P(|X 一 |2)=P(一 2X 一 2)=6.设 XN(，4 2 )，yN(，5 2 )，令 p 一 P(X 一 4)，q 一 P(Y+5)，则( )（分数：2.00）A.pqB.pqC.p=q D.p，q 的大小由 的取值确定解析：解析：由 p=P(X 一 4)=P(X 一 一 4)= =(一 1)=1 一 (1)，q=P(Y+5)=P(Y 一5)=7.设随机变量 XN(， 2 )，其分布函数为 F(x)，则对任意常数 a，有( )（分数：2.00）A.F(a+)+F(a 一 )=1B.F(+a)+F( 一 a)=1 C.F(a)+F(一 a)=1D.F(a)+F( 一 a)=1解
13、析：解析：因为 XN(， 2 )，所以 F(a+)+F( 一 a)= 8.设随机变量 XU1，7，则方程 x 2 +2Xx+9=0 有实根的概率为( )（分数：2.00）A.B.C. D.0解析：解析：Xf(x)= 方程 x 2 +2Xx+9=0 有实根的充要条件为 =4X 2 一 360 X 2 9P(X 2 9)=1 一 P(X 2 9)=1 一 P(1X3)= 二、填空题(总题数：12，分数：24.00)9.设随机变量 X 的分布律为 X （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 c 一 c 2 +c+ =1 得 c= 10.设随机变量 XN(， 2 )
14、，且方程 x 2 +4x+X=0 无实根的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：因为方程 x 2 +4x+X=0 无实根，所以 16 一 4X0，即 X4由 xN(， 2 )且 P(x4)= 11.设 XB(2，p)，YB(3，p)，且 P(X1)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 P(X1)= =1 一 P(X=0)=1 一(1 一 p) 2 得 p= P(Y1)=1 一(1 一 p) 3 =1 一 12.设 XN(2， 2 )，且 P(2X4)=04，则 P(X0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_
15、（正确答案：正确答案：01）解析：解析：13.设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，且 P(X=0)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1 一 e 一 2 ）解析：解析：X 的分布律为 P(X=k)= 14.设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，且 E(X 一 1)(X+2)=8，则 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由随机变量 X 服从参数为 的指数分布，得 E(X)= 于是 E(X 2 )=D(X)+E(X) 2 = 而 E(X 一 1)(X+2)=E(X 2 )+E(X)一 2= 一 2=8，解得 = 15.设随机变
16、量 X 的密度函数为 f(x)= ，若 PX1= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：PX1= 1 a f(x)dx= 16.一工人同时独立制造三个零件，第 k 个零件不合格的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 A k =第 k 个零件不合格(k=1，2，3)， 17.设随机变量 X 的分布律为 X （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：Y 的可能取值为 2，3，6， P(Y=6)=P(X=一 2)+P(X=2)= 则 Y 的分布律为18.设随机变量 XN(0，1)，且 Y=9
17、X 2 ，则 Y 的密度函数为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：F Y (y)=P(Yy)=P(9X 2 y) 当 y0 时，F Y (y)=0； 当 y0 时，F Y (y)=P(Yy)=P(9X 2 y)= 所以随机变量 y 的密度函数为 f Y (y)= 19.设随机变量 X 的概率密度函数为 f X (x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：20.设离散型随机变量 X 的分布函数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：X 的分布律为 Y 的可能取值为 1，2，10，P(
18、Y=1)=P(X=0)= ，P(y=2)=P(X=1)=，P(Y=10)=P(X=3)= ，于是 Y 的分布函数为三、解答题(总题数：8，分数：20.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：10 件产品有 3 件次品，7 件正品，每次从中任取一件，取后不放回，求下列事件的概率：（分数：8.00）(1).第三次取得次品；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A i =第 i 次取到次品)(i=1，2，3) P(A 3 )= )解析：(2).第三次才取得次品；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(3).已知前两次没有取到次品，第三次取得次品；（分数
19、：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(4).不超过三次取到次品（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P(A 1 +A 2 +A 3 )=1 一 P(A 1 +A 2 +A 3 )=1 一 )解析：22.一批产品有 10 个正品 2 个次品，任意抽取两次，每次取一个，抽取后不放回，求第二次抽取次品的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A 1 =第一次抽取正品，A 2 =第一次抽取次品，B=第二次抽取次品，P(A 1 )= ，P(A 2 )= P(B|A 1 )= ，P(B|A 2 )= ，由全概率公式得 P(B)=P(A 1 )P(B|A 1 )+P(A 2 )P(B
20、|A 2 )= )解析：23.甲、乙、丙厂生产产品所占的比重分别为 60，25，15，次品率分别为 3，5，8，求任取一件产品是次品的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A 1 =抽取到甲厂产品，A 2 =抽取到乙厂产品，A 3 =抽取到丙厂产品，B=抽取到次品，P(A 1 )=06，P(A 2 )=025，P(A 3 )=015， P(B|A 1 )=003，P(B|A 2 )=005，P(B|A 3 )=008， 由全概率公式得 P(B)= )解析：24.现有三个箱子，第一个箱子有 4 个红球，3 个白球；第二个箱子有 3 个红球，3 个白球；第三个箱子有3 个红球，5 个白
21、球；先取一只箱子，再从中取一只球(1)求取到白球的概率；(2)若取到红球，求红球是从第二个箱子中取出的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A i =取到的是第 i 只箱子)(i=1，2，3)，B=取到白球 (1)P(B)=P(A 1 )P(B|A 1 )+P(A 2 )P(B|A 2 )+P(A 3 )P(B|A 3 ) )解析：25.设一汽车沿街道行驶，需要经过三个有红绿灯的路口，每个信号灯显示是相互独立的，且红绿灯显示时间相等，以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数，求 X 的分布（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X i = (i=1，2，3)，则 X 的可
22、能取值为 0，1，2，3 P(X=0)=P(X 1 =1)= ， P(X=1)=P(X 1 =0，X 2 =1)= P(X=2)=P(X 1 =0，X 2 =0，X 3 =1)= P(X=3)=P(X 1 =0，X 2 =0，X 3 =0)= 所以 X 的分布律为 X )解析：26.设袋中有 5 个球，其中 3 个新球，2 个旧球，从中任取 3 个球，用 X 表示 3 个球中的新球个数，求 X的分布律与分布函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 的可能取值为 1，2，3， 所以 X 的分布律为 X ，分布函数为 Fx(x)= )解析：27.设总体 X 的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：L()=f(x 1 )f(x 2 )f(x n )= 得参数 的极大似然估计量为 )解析：
