1、考研数学三（概率统计）-试卷 28 及答案解析(总分：82.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)，且 f(x)为偶函数，X 的分布函数为 F(x)，则对任意实数 a，有( )（分数：2.00）A.F(-a)=1 一 0 a f(x)B.F(-a)= C.F(-a)=F(a)D.F(一 a)=2F(a)-13.设随机变量 X，Y 的分布函数分别为 F 1 (x)，F 2 (x)，为使得 F(x)=aF 1 (x)+bF 2 (x)为某一随
2、机变量的分布函数，则有( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，则下列函数中可作为某随机变量的分布函数的是( )（分数：2.00）A.F(x 2 )B.F(一 x)C.1 一 F(x)D.F(2x 一 1)5.设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，则随机变量 Y=min(X，2)的分布函数( )（分数：2.00）A.是阶梯函数B.恰有一个间断点C.至少有两个间断点D.是连续函数6.设随机变量 X，Y 相互独立，它们的分布函数为 F X (x)，F Y (y)，则 Z=min(X，Y)的分布函数为( )（分数：2.00）A.F Z (z)=max
3、Fx(z)，Fy(z)B.F Z (z)=minFx(z)，Fy(z)C.F Z (z)=1 一1 一 F X (z)1 一 F Y (z)D.F Z (z)=F Y (z)7.设随机变量 X，Y 相互独立，它们的分布函数为 Fx(x)，Fy(y)，则 Z=maxX，Y的分布函数为( )（分数：2.00）A.F Z (z)=maxF X (z)，F Y (2)B.F Z (z)=F X (z)F Y (z)C.F Z (z)=msx(F X (z)，F Y (z)D.F Z (z)=F X Y(z)8.设随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从参数为 的指数分布，则下列随机变量中服从参数为 2
4、的指数分布的是( )（分数：2.00）A.X+YB.XYC.max(X，Y)D.min(X，Y)9.设随机变量 X 和 Y 都服从正态分布，则( )（分数：2.00）A.X+Y 一定服从正态分布B.(X，Y)一定服从二维正态分布C.X 与 Y 不相关，则 X，Y 相互独立D.若 X 与 Y 相互独立，则 XY 服从正态分布10.若(X，Y)服从二维正态分布，则X，Y 一定相互独立；若 XY =0，则 X，Y 一定相互独立；X和 Y 都服从一维正态分布；X，Y 的任一线性组合服从一维正态分布，上述几种说法中正确的是( )（分数：2.00）A.B.C.D.11.设随机变量 X，Y 都是正态变量，且
5、 X，Y 不相关，则( )（分数：2.00）A.X，Y 一定相互独立B.(X，Y)一定服从二维正态分布C.X，Y 不一定相互独立D.X+Y 服从一维正态分布12.设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN （分数：2.00）A.X-YB.X+YC.X-2YD.Y-2X二、填空题(总题数：9，分数：18.00)13.设一次试验成功的概率为 p，进行 100 次独立重复试验，当 p= 1 时，成功次数的标准差最大，其最大值为 2（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_14.设每次试验成功的概率为 p= （分数：2.00）填空项 1:_15.设随机变量 X 的概率密度为 f X (x)= （分数：
6、2.00）填空项 1:_16.设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(0，4)，Y 的分布律为 Y （分数：2.00）填空项 1:_17.设(X，Y)的联合分布函数为 F(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_18.设 X，Y 相互独立且都服从(0，2)上的均匀分布，令 Z=min(X，Y)，则 P(0Z1)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_19.设随机变量 X 和 y 相互独立，且分布函数为 F X (x)= （分数：2.00）填空项 1:_20.设随机变量(X，Y)的联合密度为 f(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_21.设 X，Y 为两个随机变量，且 P(X0，Y0
7、)= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：20，分数：40.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_23.有甲、乙两个口袋，两袋中都有 3 个白球 2 个黑球，现从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取4 个球，设 4 个球中的黑球数用 X 表示，求 X 的分布律（分数：2.00）_24.设一设备在时间长度为 t 的时间内发生故障的次数 N(t)P(t) (1)求相继两次故障之间时间间隔T 的概率分布； (2)求设备在无故障工作 8 小时下，再无故障工作 8 小时的概率（分数：2.00）_25.设一电路由三个电子元件串联而成，且三个元件工作
8、状态相互独立，每个元件的无故障工作时间服从参数为 的指数分布，设电路正常工作的时间为 T，求 T 的分布函数（分数：2.00）_26.设随机变量 X 满足X1，且 P(X=一 1)= （分数：2.00）_27.设 x 的密度函数为 f X (x)= （分数：2.00）_28.设随机变量 X 的概率密度为 f X (x)= （分数：2.00）_29.设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，证明：Y=1 一 e -2X 在区间(0，1)上服从均匀分布（分数：2.00）_30.设 Y （分数：2.00）_31.设随机变量 XE()，令 Y= （分数：2.00）_32.设随机变量 X 1 ，X 2
9、 ，X 3 ，X 4 独立同分布，且 X i （分数：2.00）_33.设随机变量 X，Y 独立同分布，且 P(X=i)= （分数：2.00）_34.设随机变量 X 与 Y 相互独立，下表列出二维随机变量(X，Y)的联合分布律及关于 X 和 Y 的边缘分布律的部分数值，试将其余的数值填入表中空白处 （分数：2.00）_35.设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y)= （分数：2.00）_36.设随机变量(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y)= （分数：2.00）_37.设随机变量 XN(， 2 )，YU-，且 X，Y 相互独立，令 Z=X+Y，求 f Z (z)（分数：2.00
10、）_38.设随机变量 XU(0，1)，在 X=x(0x1)下，YU(0，x) (1)求 X，Y 的联合密度函数； (2)求 Y的边缘密度函数（分数：2.00）_39.设随机变量 X，Y 相互独立，且 X （分数：2.00）_40.设随机变量 X，Y 相互独立，且 XP(1)，YP(2)，求 Pmax(X，Y)0)及 Pmin(X，Y)0（分数：2.00）_41.设随机变量 X，Y 相互独立，且 X （分数：2.00）_考研数学三（概率统计）-试卷 28 答案解析(总分：82.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项
11、符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)，且 f(x)为偶函数，X 的分布函数为 F(x)，则对任意实数 a，有( )（分数：2.00）A.F(-a)=1 一 0 a f(x)B.F(-a)= C.F(-a)=F(a)D.F(一 a)=2F(a)-1解析：解析：3.设随机变量 X，Y 的分布函数分别为 F 1 (x)，F 2 (x)，为使得 F(x)=aF 1 (x)+bF 2 (x)为某一随机变量的分布函数，则有( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：根据性质 F(+)=1，得正确答案为 D4.设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，
12、则下列函数中可作为某随机变量的分布函数的是( )（分数：2.00）A.F(x 2 )B.F(一 x)C.1 一 F(x)D.F(2x 一 1) 解析：解析：函数 (x)可作为某一随机变量的分布函数的充分必要条件是： (1)0(x)1；(2)(x)单调不减； (3)(x)右连续；(4)(一)=0，(+)=1 显然只有 F(2x 一 1)满足条件，选 D5.设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布，则随机变量 Y=min(X，2)的分布函数( )（分数：2.00）A.是阶梯函数B.恰有一个间断点 C.至少有两个间断点D.是连续函数解析：解析：F Y (y)=P(Yy)=Pmin(X，2)y)=1
13、 一 Pmin(X，2)y) =1-P(Xy，2y)=1-P(Xy)P(2y) 当 y2 时，F Y (y)=1；当 y2 时，F Y (y)=1-P(Xy)=P(Xy)=F X (y)， 6.设随机变量 X，Y 相互独立，它们的分布函数为 F X (x)，F Y (y)，则 Z=min(X，Y)的分布函数为( )（分数：2.00）A.F Z (z)=maxFx(z)，Fy(z)B.F Z (z)=minFx(z)，Fy(z)C.F Z (z)=1 一1 一 F X (z)1 一 F Y (z) D.F Z (z)=F Y (z)解析：解析：F Z (z)=P(Zz)=Pmin(X，Y)x=1
14、 一 Pmin(X，Y)z =1 一 P(Xz，Yz)=1 一P(Xz)P(yz) =1 一1 一 P(Xz)1P(Yz)=1 一1 一 F X (z)1 一 F Y (z)，选 C7.设随机变量 X，Y 相互独立，它们的分布函数为 Fx(x)，Fy(y)，则 Z=maxX，Y的分布函数为( )（分数：2.00）A.F Z (z)=maxF X (z)，F Y (2)B.F Z (z)=F X (z)F Y (z) C.F Z (z)=msx(F X (z)，F Y (z)D.F Z (z)=F X Y(z)解析：解析：F X (z)=P(Zz)=Pmax(X，Y)z)=P(Xz，Yz) =P
15、(Xz)P(Yz)=F X (z)F Y (z)，选B8.设随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从参数为 的指数分布，则下列随机变量中服从参数为 2 的指数分布的是( )（分数：2.00）A.X+YB.XYC.max(X，Y)D.min(X，Y) 解析：解析：9.设随机变量 X 和 Y 都服从正态分布，则( )（分数：2.00）A.X+Y 一定服从正态分布B.(X，Y)一定服从二维正态分布C.X 与 Y 不相关，则 X，Y 相互独立D.若 X 与 Y 相互独立，则 XY 服从正态分布 解析：解析：若 X，Y 独立且都服从正态分布，则 X，Y 的任意线性组合也服从正态分布，选 D10.若(X，Y
16、)服从二维正态分布，则X，Y 一定相互独立；若 XY =0，则 X，Y 一定相互独立；X和 Y 都服从一维正态分布；X，Y 的任一线性组合服从一维正态分布，上述几种说法中正确的是( )（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因为(X，Y)服从二维正态分布，所以 X，Y 都服从一维正态分布，aX+bY 服从一维正态分布，且 X，Y 独立与不相关等价，所以选 B11.设随机变量 X，Y 都是正态变量，且 X，Y 不相关，则( )（分数：2.00）A.X，Y 一定相互独立B.(X，Y)一定服从二维正态分布C.X，Y 不一定相互独立 D.X+Y 服从一维正态分布解析：解析：只有当(X，Y)服从
17、二维正态分布时，X，Y 独立才与 X，Y 不相关等价，由 X，Y 仅仅是正态变量且不相关不能推出 X，Y 相互独立，A 不对；若 X，Y 都服从正态分布且相互独立，则(X，Y)服从二维正态分布，但 X，Y 不一定相互独立，B 不对；当 X，Y 相互独立时才能推出 X+Y 服从一维正态分布，D 不对，故选 C12.设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN （分数：2.00）A.X-YB.X+Y C.X-2YD.Y-2X解析：解析：Z=yXN(1，1)，因为 XYN(-1，1)，X+YN(1，1)， X-2YN二、填空题(总题数：9，分数：18.00)13.设一次试验成功的概率为 p，进行 100
18、次独立重复试验，当 p= 1 时，成功次数的标准差最大，其最大值为 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）填空项 1:_ （正确答案：5）解析：解析：设成功的次数为 X，则 XB(100，p)，14.设每次试验成功的概率为 p= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：15.设随机变量 X 的概率密度为 f X (x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：F Y (y)=P(Yy)=P(X 2 y) 当 y0 时，F Y (y)=0； 16.设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(0，4)，Y 的分布
19、律为 Y （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：046587）解析：解析：P(X+2Y4) =P(Y=1)P(X42YY=1)+P(Y=2)P(X42YY=2) +P(Y=3)P(X4 一2YY=3)17.设(X，Y)的联合分布函数为 F(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e -2 +e -3 一 e -5）解析：解析：由 F X (x)=F(x，+)= 18.设 X，Y 相互独立且都服从(0，2)上的均匀分布，令 Z=min(X，Y)，则 P(0Z1)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 X，Y
20、 在(0，2)上服从均匀分布得 因为 X，Y 相互独立，所以 F Z (z)=P(Zz)=1一 P(Z2)=1 一 Pmin(X，Y)z=1 一 P(Xz，Yz) =1 一 P(Xz)P(Yz)=1 一1 一 P(Xz)1 一P(Yz) =1 一1 一 F X (z)1F Y (z) 于是 P(0Z1)=F Z (1)一 F Z (0)= 19.设随机变量 X 和 y 相互独立，且分布函数为 F X (x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：F U (u)=P(Uu)=P(X+Yu)，当 U0 时，F U (u)=0； 当 0u1 时，F U (u)=P
21、(Uu)=P(X+Yu)=P(X=0，Yu) 20.设随机变量(X，Y)的联合密度为 f(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：P(X5Y3)=21.设 X，Y 为两个随机变量，且 P(X0，Y0)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令X0)=A，(Y0)=B，则有 P(AB)= ，故 Pmax(X，Y)0)=1 一 Pmax(X，Y)0)=1一 P(X0，Y0) =三、解答题(总题数：20，分数：40.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：23.有甲、乙两个口袋
22、，两袋中都有 3 个白球 2 个黑球，现从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取4 个球，设 4 个球中的黑球数用 X 表示，求 X 的分布律（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A=从甲袋中取出黑球，X 的可能取值为 0，1，2，3，令X=i)=B i (i=0，1，2，3)，则 )解析：24.设一设备在时间长度为 t 的时间内发生故障的次数 N(t)P(t) (1)求相继两次故障之间时间间隔T 的概率分布； (2)求设备在无故障工作 8 小时下，再无故障工作 8 小时的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)T 的概率分布函数为 F(t)=P(Tt)， 当 t0 时，F
23、(t)=0； 当 t0 时，F(t)=P(Tt)=1-P(Tt)=1-P(N0)=1-e -t ， )解析：25.设一电路由三个电子元件串联而成，且三个元件工作状态相互独立，每个元件的无故障工作时间服从参数为 的指数分布，设电路正常工作的时间为 T，求 T 的分布函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设三个元件正常工作的时间为 T i (i=1，2，3)，T 1 ，T 2 ，T 3 相互独立且其分布函数都是 当 t0 时，令 A=T 1 t，B=T 2 t，C=T 3 t，且 A，B，C 独立， 则 F T (t)=P(Tt)=P(A+B+C) P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P
24、(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)， P(A)=P(B)=P(C)=1-e -t ， F T (t)=3(1-e -t )-3(1-e -t ) 2 +(1-e -t ) 3 ， 于是 )解析：26.设随机变量 X 满足X1，且 P(X=一 1)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)当 x一 1 时，F(x)=0； )解析：27.设 x 的密度函数为 f X (x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.设随机变量 X 的概率密度为 f X (x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F Y (y)=P(Yy)=P(e X y)
25、， 当 y1 时，X0，F Y (y)=0； 当 y1 时，X0，F Y (y)=P(e X y)=P(Xlny)= - lny f X (x)dx= 0 lny e -x lny ， )解析：29.设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，证明：Y=1 一 e -2X 在区间(0，1)上服从均匀分布（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X 服从参数为 2 的指数分布，所以其分布函数为 F X (x)= ， y 的分布函数为 F Y (y)=P(Yy)=P(1 一 e -2X y)， 当 y0 时，F Y (y)=P(X0)=0； 当 y1 时，F Y (y)=P(一X+)=1；
26、)解析：30.设 Y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由E 一 A= =( 一 1)( 一 2)(Y)=0 得矩阵 A 的特征值为 1 =1， 2 =2， 3 =Y 当 y1，2 时，矩阵 A 一定可以对角化； 当 Y=1 时，A= ，=1 为二重特征值， 因为 r(EA)=2，所以 A 不可对角化； 当 Y=2 时，A= ，=2 为二重特征值， 因为 r(2E一 A)=1，所以 A 可对角化，故 A 可对角化的概率为 P(Y1，2)+P(Y=2)=P(Y=0)+P(Y=2)+P(Y=3)= )解析：31.设随机变量 XE()，令 Y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P(
27、X+Y=0)=P(Y=一 X)=P(X1)=P(X1)+P(X一 1) =P(X1)=1 一 P(X1)=1一 F X (1)=e - F Y (y)=P(Yy)P(yy，X1)+P(Yy，X1) =P(XY，X1)+P(一Xy，X1)+P(一 Xy，X一 1) =P(Xy，0X1)+P(X一 y，X1) 当 y一 1 时，F Y (y)=P(X一 y)=e y ； 当一 1y0 时，F Y (y)=P(X1)=e - ； 当 0y1 时，F Y (y)=P(Xy)+P(X1)=1一 e -y +e - ； 当 y1 时，F Y (y)=P(0X1)+P(X1)=1， 故 )解析：32.设随机
28、变量 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 独立同分布，且 X i （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X= =X 1 X 4 一 X 2 X 3 ，令 U=X 1 X 4 ，V=X 2 X 3 ，且 U，V 独立同分布 P(U=1)=P(X 1 =1，X 4 =1)=016，P(U=0)=084，X 的可能取值为一 1，0，1 P(X=一 1)=P(U=0，V=1)=P(U=0)P(V=1)=084016=0134 4， P(X=1)=P(U=1，V=0)=P(U=1)P(V=0)=016084=0134 4， P(X=0)=1201344=07312，于是 X )解析：33.设随机变
29、量 X，Y 独立同分布，且 P(X=i)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由于 X，Y 相互独立，所以 )解析：34.设随机变量 X 与 Y 相互独立，下表列出二维随机变量(X，Y)的联合分布律及关于 X 和 Y 的边缘分布律的部分数值，试将其余的数值填入表中空白处 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：35.设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)f X (x)= - + f(x，y)dy 当 X0 时，f X (x)=0； 当 x0 时，f X (x)= - + f(x，y)dy= 0 + 2
30、e -(x+2y) dy=e -x 0 + e -2y d(2y)=e -x ， 则 f X (x)= f Y (y)= - + f(x，y)dx， 当 y0 时，f Y (y)=0； 当 y0 时，f Y (y)= 0 + 2e -(x+2y) dx=2e -2y 0 + e -x dx=2e -2y ， 则 f Y (y)= (2)因为 f(x，y)=f X (x)f Y (y)，所以随机变量 X，Y 相互独立 )解析：36.设随机变量(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：37.设随机变量 XN(， 2 )，YU-，且 X，Y 相互
31、独立，令 Z=X+Y，求 f Z (z)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 XN(， 2 )，YU-，所以 X，Y 的密度函数为 )解析：38.设随机变量 XU(0，1)，在 X=x(0x1)下，YU(0，x) (1)求 X，Y 的联合密度函数； (2)求 Y的边缘密度函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：39.设随机变量 X，Y 相互独立，且 X （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 k 1 ( 1 + 2 )+k 2 ( 2 +X 3 )+k 3 Y 1 =0，整理得 (k 1 +Yk 3 ) 1 +(k 1 +k 2 ) 2 +Xk 2 3 =0 因
32、为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以有 ， 又 1 + 2 ， 2 +X 3 ，Y 1 线性相关的充分必要条件是上述方程组有非零解，即 =0，从而 XY=0， 即 1 + 2 ， 2 +X 3 ，Y 1 线性相关的充分必要条件是 XY=0 注意到 X，Y 相互独立，所以 1 + 2 ， 2 +X 3 ，Y 1 线性相关的概率为 )解析：40.设随机变量 X，Y 相互独立，且 XP(1)，YP(2)，求 Pmax(X，Y)0)及 Pmin(X，Y)0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Pmax(X，Y)0)=1 一 Pmax(X，Y)=0=1 一 P(X=0，Y=0) =1 一 P(X=
33、0)P(Y=0)=1一 e -1 e -2 =1 一 e -3 Prain(X，Y)0)=1 一 Pmin(X，Y)=0， 令 A=X=0)，B=Y=0)，则min(X，Y)=0)=A+B， 于是 Pmin(X，Y)=0)=P(A+B)=P(A)+P(B)一 P(AB) =e -1 +e -2 一 e -1 e -2 =e -1 +e -2 一 e -3 ， 故 Pmin(X，Y)0)=1 一 e -1 一 e -2 +e -3 )解析：41.设随机变量 X，Y 相互独立，且 X （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F U (U)=P(Uu)=P(X+2Yu) =P(X=1)P(X+2YuX=1)+P(X=2)P(X+2YuX=2) )解析：
