1、考研数学三（概率统计）-试卷 25 及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：12.00)1.设随机变量 X 服从标准正态分布 N(0，1)，则 E(Xe 2X )= 1。（分数：2.00）填空项 1:_2.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(1，0；1，1；0)，则 P(XYY0= 1。（分数：2.00）填空项 1:_3.设随机变量 X 服从(一 a，s)上的均匀分布(a0)，且已知 P(X1)= （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_4.随机变量 X 的密度为： （分数：2.00）填空项 1:_5.设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且
2、XN(4，5)，YN(一 2，9)，ZN(2，2)，则 P0X+YZ3= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_6.对随机变量 X，Y，Z，已知 EX=EY=1，EZ=一 1，DX=DY=1，DZ=4， (X,Y) =0， (X,Y) = ， (Y,Z) = （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_二、解答题(总题数：16，分数：40.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设随机变量 X 与 Y 的概率分布分别为 （分数：6.00）(1).求二维随机变量(X，Y)的概率分布；（分数：2.00）_(2).求 Z=XY 的概率分布；（分数：2.00）_(3)
3、.求 X 与 Y 的相关系数 XY。（分数：2.00）_设二维离散型随机变量(X，Y)的概率分布为 （分数：4.00）(1).求 PX=2Y；（分数：2.00）_(2).求 cov(X-Y，Y)（分数：2.00）_设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从参数为 1 的指数分布。记 U=maxX，Y，V=minX，Y。（分数：4.00）(1).求 V 的概率密度 f Y ()；（分数：2.00）_(2).求 E(U+V)。（分数：2.00）_设随机变量 X 的概率分布为 PX=1=PX=2= （分数：4.00）(1).求 Y 的分布函数 F Y (y)；（分数：2.00）_(2).求 EY。（
4、分数：2.00）_8.设随机变量 X，y 的概率分布相同，X 的概率分布为 且 X 与 Y 的相关系数 （分数：2.00）_9.设随机变量 X 的概率密度为 （分数：2.00）_10.设随机变量 X 的密度为 （分数：2.00）_11.已知随机变量 X 与 Y 独立，且 X 服从2，4上的均匀分布 YN(2，16)。求 cov(2X+XY，(Y 一 1) 2 )。（分数：2.00）_12.随机变量 X 可能取的值为一 1，0，1且知 EX=01，EX 2 =09，求 X 的分布列。（分数：2.00）_13.在ABC 中任取一点 P，而ABC 与ABP 的面积分别记为 S 与 S 1 。若已知
5、S 1 =12，求 ES 1 。（分数：2.00）_14.袋中装有黑白两种颜色的球，黑球与白球个数之比为 3：2现从此袋中有放回地摸球，每次摸 1 个。记 X 为直至摸到黑、白两种颜色都出现为止所需要摸的次数，求 E(X)。（分数：2.00）_15.已知线段 AB=4，CD=1，现分别独立地在 AB 上任取点 A 1 ，在 CD 上任取点 C 1 ，作一个以 AA 1 为底、OC 1 为高的三角形，设此三角形的面积为 S，求 P(S1)和 D(S)。（分数：2.00）_16.设随机变量 X 在区间(一 1，1)上服从均匀分布，Y=X 2 ，求(X，Y)的协方差矩阵和相关系数。（分数：2.00）
6、_17.现有 K 个人在某大楼的一层进入电梯，该楼共 n+1 层。电梯在任一层时若无人下电梯则电梯不停(以后均无人再入电梯)。现已知每个人在任何一层(当然不包括第一层)下电梯是等可能的且相互独立，求电梯停止次数的平均值。（分数：2.00）_18.设某种元件的寿命为随机变量且服从指数分布。这种元件可用两种方法制得，所得元件的平均寿命分别为 100 和 150(小时)，而成本分别为 C 和 2C 元。如果制造的元件寿命不超过 200 小时，则须进行加工，费用为 100 元。为使平均费用较低，问 C 取何值时，用第 2 种方法较好?（分数：2.00）_考研数学三（概率统计）-试卷 25 答案解析(总
7、分：52.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：6，分数：12.00)1.设随机变量 X 服从标准正态分布 N(0，1)，则 E(Xe 2X )= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2e 2）解析：解析：2.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(1，0；1，1；0)，则 P(XYY0= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题意可知 XN(1，1)，yN(0，1)，且 X 与 Y 独立。可得 X 一 1N(0，1)，于是 P(y0)= P(XYY0)=PY(X 一 1)0=PY0，X 一 10)+Py0，X 一 1
8、0)3.设随机变量 X 服从(一 a，s)上的均匀分布(a0)，且已知 P(X1)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：解析：X 的概率密度为：4.随机变量 X 的密度为： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：这是指数分布，可知 =A=一 B，而 6=EX=5.设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 XN(4，5)，YN(一 2，9)，ZN(2，2)，则 P0X+YZ3= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：02734）解析：解析：E(X+YZ)=EX+EY 一 EZ=4
9、22=0，D(X+YZ)=DX+DY+DZ=5+9+2=16X+YZN(0，16)，故 P0X+YZ3)=P06.对随机变量 X，Y，Z，已知 EX=EY=1，EZ=一 1，DX=DY=1，DZ=4， (X,Y) =0， (X,Y) = ， (Y,Z) = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）填空项 1:_ （正确答案：*）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：解析：二、解答题(总题数：16，分数：40.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设随机变量 X 与 Y 的概率分布分别为 （分数：6.00）(1).求二维随机变量(X，Y)的概率分布；
10、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 P(X 2 =Y 2 )=1，可得： P(X=0，Y=一 1)=P(X=1，Y=0)=P(X=0，Y=1)=0 由联合分布律、边缘分布律之间的关系，可得(X，Y)的联合(含边缘)分布列如表所示。 )解析：(2).求 Z=XY 的概率分布；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(X，Y)的联合分布列易知 Z=XY 可能取的值为一 1，0，1，易得： )解析：(3).求 X 与 Y 的相关系数 XY。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(X，Y)的分布(及 X，Y 的分布)，易知： )解析：设二维离散型随机变量(X，Y)的概率分布为 （分
11、数：4.00）(1).求 PX=2Y；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：PX=2Y)=PX=0，Y=0)+PX=2，Y=1= )解析：(2).求 cov(X-Y，Y)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(X，Y)的分布可得 X，Y 及 XY 的分布分别为： )解析：设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从参数为 1 的指数分布。记 U=maxX，Y，V=minX，Y。（分数：4.00）(1).求 V 的概率密度 f Y ()；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意，可得 X，Y 的概率密度为 )解析：(2).求 E(U+V)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案
12、：设 U 的分布函数为 F U (u)，U 的概率密度为 F U (u) 则 )解析：设随机变量 X 的概率分布为 PX=1=PX=2= （分数：4.00）(1).求 Y 的分布函数 F Y (y)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F Y (y)=P(Yy)=P(Yy|X=1)P(X=1)+P(Yy|X=2)P(X=2) 由题意可得： )解析：(2).求 EY。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由()得 Y 的概率密度为 )解析：8.设随机变量 X，y 的概率分布相同，X 的概率分布为 且 X 与 Y 的相关系数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：9.设随机
13、变量 X 的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：10.设随机变量 X 的密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：11.已知随机变量 X 与 Y 独立，且 X 服从2，4上的均匀分布 YN(2，16)。求 cov(2X+XY，(Y 一 1) 2 )。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：cov(2X+XY，(y 一 1) 2 )=cov(2X+XY，Y 2 一 2Y+1)=cov(XY，Y 2 一 2Y)=cov(XY，Y 2 )一 2coy(XY，Y)=E(XY 2 )一 E(XY)E(Y 2 )一 2E(XY 2 )一 E(XY)EY 3
14、=EXEY 2 一 EXEYEY 2 一 2EEXE(Y 2 )一 EX(EY) 2 ， 本题中 EX=3，EY=2，E(Y 2 )=DY+(EY) 2 =16+2 2 =20， 所以Y=4+2，注意 E=0，E( 2 )一 D+(E) 2 一 1，E( 3 )= - + x 3 )解析：12.随机变量 X 可能取的值为一 1，0，1且知 EX=01，EX 2 =09，求 X 的分布列。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意，X 的分布列可设为： )解析：13.在ABC 中任取一点 P，而ABC 与ABP 的面积分别记为 S 与 S 1 。若已知 S 1 =12，求 ES 1 。（分
15、数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图建立坐标系，设 AB 长为 r，ABC 高为 h，C 点坐标为(u，h)。设ABC 所围区域为 G，则 G 的面积 S= =12 又设 P 点坐标为(X，Y)，则随机变量(X，Y)在 G 上服从均匀分布，其概率密度为 )解析：14.袋中装有黑白两种颜色的球，黑球与白球个数之比为 3：2现从此袋中有放回地摸球，每次摸 1 个。记 X 为直至摸到黑、白两种颜色都出现为止所需要摸的次数，求 E(X)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.已知线段 AB=4，CD=1，现分别独立地在 AB 上任取点 A 1 ，在 CD 上任取点 C 1 ，
16、作一个以 AA 1 为底、OC 1 为高的三角形，设此三角形的面积为 S，求 P(S1)和 D(S)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 AA 1 长度为 X，CC 1 长度为 Y，则知 X 与 Y 为二相互独立的随机变量，分别服从区间0，4和0，1上的均匀分布，(X，Y)的概率密度为 )解析：16.设随机变量 X 在区间(一 1，1)上服从均匀分布，Y=X 2 ，求(X，Y)的协方差矩阵和相关系数。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 的概率密度为： )解析：17.现有 K 个人在某大楼的一层进入电梯，该楼共 n+1 层。电梯在任一层时若无人下电梯则电梯不停(以后均无人再入
17、电梯)。现已知每个人在任何一层(当然不包括第一层)下电梯是等可能的且相互独立，求电梯停止次数的平均值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设某种元件的寿命为随机变量且服从指数分布。这种元件可用两种方法制得，所得元件的平均寿命分别为 100 和 150(小时)，而成本分别为 C 和 2C 元。如果制造的元件寿命不超过 200 小时，则须进行加工，费用为 100 元。为使平均费用较低，问 C 取何值时，用第 2 种方法较好?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记用第一、第二种方法制得的元件的寿命分别为 X,Y，费用分别为 、，则知X、Y 的概率密度分别为： E =(C+100)P(X200)+CP(X200)=C+100P(X200)，E =(2C+100)P(Y200)+2CP(Y200)=2C+100P(Y200)，于是 E 一 E =C+100P(Y200)一 P(X200)=C+ )解析：
