1、考研数学三（概率统计）-试卷 9 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.对事件 A，B，已知 0P(A)1，P(B)0，P(B|A)=P(B| （分数：2.00）A.P(A|B)=P(B.P(AIB)P(C.P(AB)=P(A)P(B)D.P(AB)P(A)P(B)3.设随机变量 X 和 Y 相互独立，其概率分布为 （分数：2.00）A.X=YB.PX=Y=0C.D.PX=Y=1二、填空题(总题数：8，分数：16.00)4.对事件 A，B，已知 （分数：2
2、.00）填空项 1:_5.对事件 A、B，已知 =08，P(B)=03，则 P(A)= 1，P(AB)= 2， （分数：2.00）填空项 1:_6.设两两独立的三事件 A，B，C 满足条件： （分数：2.00）填空项 1:_7.设在 3 次独立试验中，事件 A 出现的概率均相等且 A 至少出现一次的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_8.设甲、乙两人独立地射击同一目标，其命中率分别为 06 和 05则已命中的目标是被甲射中的概率为 1。（分数：2.00）填空项 1:_9.设 （分数：2.00）填空项 1:_10.连续型随机变量取任何给定实数值的概率都等于 1。（分数：2.00）填空项 1:
3、_11.设随机变最 X 的分希函数为 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：21，分数：44.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_13.从 6 双不同的手套中任取 4 只，求(1)恰有一双配对的概率；(2)至少有 2 只可配成一双的概率。（分数：2.00）_14.某城市共有 N 辆汽车，车牌号码从 1 到 N。有一人将他所遇到的该城市的 n 辆汽车的车牌号码(可能有重复的号码)全部抄下来，假设每辆汽车被遇到的机会相同，求抄到的最大号码正好是 k(1kN)的概率。（分数：2.00）_15.一袋中装有 N 一 1 只黑球及 1 只白球，每次从袋中随机地取出一球
4、，并换人一只黑球，这样继续下去、问第 k 次取出的是黑球的概率是多少?（分数：2.00）_16.将 n 个同样的盒子和 n 只同样的小球分别编号为 1，2，n。把这 n 只小球随机地投入 n 个盒子中，每个盒子中投入一只小球。问至少有一只小球的编号与盒子的编号相同的概率是多少?（分数：2.00）_17.在线段 AB 上，有一点 C 介于 A，B 之间，线段 AC 长为 a，线段 CB 长为 b，且 ab。在线段 AC 上任取一点 X，在线段 CB 上任取一点 Y，求长度为 AX，XY，YB 线段可构成三角形的概率。（分数：2.00）_18.对目标进行三次独立炮击。第一次命中率为 04，第二次命
5、中率为 05，第三次命中率为 07目标中一弹而被击毁的概率为 02，中两弹被击毁的概率为 06，中三弹被击毁的概率为 08(1)求目标被击毁的概率；(2)已知目标被击毁，求目标中两弹的概率。（分数：2.00）_19.在随机地抛掷两枚均匀骰子的独立重复试验中，求两枚骰子点数和为 5 的结果出现在它们的点数和为7 的结果之前的概率。（分数：2.00）_20.乒乓球比赛采用 5 局 3 胜制，甲、乙两人在比赛中，各局甲胜的概率为 06，且前 2 局皆为甲胜。求甲最终赢得比赛胜利的概率。（分数：2.00）_21.设袋中有 7 红 6 白 13 个球，现从中随机取 5 个球，分(1)不放回；(2)放回两
6、种情形下，写出这 5 个球为 3 红 2 白的概率(写出计算式即可)。（分数：2.00）_22.乒乓球盒中有 15 个球，其中有 9 只新球和 6 只旧球。第一次比赛时任取 3 只使用，用后放回(新球使用一次就成旧球)。第二次比赛时也任取 3 只球，求此 3 只球均为新球的概率(写出计算式即可)。（分数：2.00）_23.3 架飞机(其中有 1 架长机和 2 槊僚机)去执行轰炸任务，途中要过一个敌方的高炮阵地。各机通过高炮阵地的概率均为 08，通过后轰炸成功的概率均为 03，各机间相互独立，但只有长机通过高炮阵地才有可能轰炸成功。求最终轰炸成功的概率。（分数：2.00）_24.已知随机变是 X
7、 的概率分布为 PX=1=02，P(X 一 2)=03，PX=3)=05试写出其分布函数 F(x)。（分数：2.00）_25.设随机变量 X 在区闻(1，2)上服从均匀分布，试求随机变量 y=e 2X 的概率密度 f(y)。（分数：2.00）_26.设随机变量 X 的分布函数为 （分数：2.00）_27.设随机变量 X 在2，5上服从均匀分布，现在对 X 进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于 3的概率。（分数：2.00）_一电子仪器由两个部件构成，以 X 和 Y 分别表示两个部件的寿命(单位：千小时)，已知 X 和 Y 的联合分布函数为： （分数：4.00）(1).问 X 和 Y 是否独
8、立?（分数：2.00）_(2).求两个部件的寿命都超过 100 小时的概率。（分数：2.00）_28.对某地抽样调查的结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布，平均成绩为 72 分，96 分以上的占考生总数的 23，试求考生的外语成绩在 60 分至 84 分之间的概率。 （分数：2.00）_29.一辆汽车沿一街道行驶，要过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红、绿两种信号显示的时间相等。以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求 X 的概率分布。（分数：2.00）_30.设测量误差 XN(0，10 2 )。试求在 100 次独立重
9、复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于196 的概率 a，并用泊松分布求出口的近似值(要求小数点后取两位有效数字)。 （分数：2.00）_设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：4.00）(1).求 X 的概率密度 fx(x)；（分数：2.00）_(2).求 PX+Y1。（分数：2.00）_考研数学三（概率统计）-试卷 9 答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.对事件 A，B，已知 0P(A)1，P(B)0，P(B|A)=P(B| （分数：2.
10、00）A.P(A|B)=P(B.P(AIB)P(C.P(AB)=P(A)P(B) D.P(AB)P(A)P(B)解析：解析：由 P(B|A)=3.设随机变量 X 和 Y 相互独立，其概率分布为 （分数：2.00）A.X=YB.PX=Y=0C. D.PX=Y=1解析：解析：二、填空题(总题数：8，分数：16.00)4.对事件 A，B，已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：5.对事件 A、B，已知 =08，P(B)=03，则 P(A)= 1，P(AB)= 2， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：045；02；045；025；01；09）
11、解析：解析：6.设两两独立的三事件 A，B，C 满足条件： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x）解析：解析：7.设在 3 次独立试验中，事件 A 出现的概率均相等且 A 至少出现一次的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 1 次试验中 A 出现的概率为 p，则 =PA 至少出现 1 次=1 一 PA 出现 0 次)=1 一 C 3 0 p 0 (1 一 P) 3-0 =1 一(1 一 p 3 )，故 p= 8.设甲、乙两人独立地射击同一目标，其命中率分别为 06 和 05则已命中的目标是被甲射中的概率为 1。（分数：2.00
12、）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：记 A=甲击中目标，B=乙击中目标，C=目标被击中，则 P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)一P(AB)=06+050605=08，所求概率为 P(A|C)= ，P(AC)=P(A)=06，故 P(A|C)=9.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： =1 一P(A)+P(B)+P(C)一 P(AB)一 P(AC)一 P(BC)+P(ABC) 0P(ABC)P(AB)=0，可得 P(ABC)=0)故应填10.连续型随机变量取任何给定实数值的概率都等于 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答
13、案：正确答案：0）解析：解析：这是连续型随机变量的一个结论。11.设随机变最 X 的分希函数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：F(x)为一阶梯状函数，则 X 可能取的值为 F(x)的跳跃点：一 1，1，3 P(X=一 1)=F(一 1)一 F(一 10)=04 P(X=1)=F(1)一 F(1 一 0)=0804=04 P(X=3)=F(3)一 F(3 一 0)=108=02三、解答题(总题数：21，分数：44.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：13.从 6 双不同的手套中任取 4 只，求(1)恰有一双配对的概率；(2)
14、至少有 2 只可配成一双的概率。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 分子的思路：从 6 双手套中任取一双(即题目要求的配对的一双)有 C 6 1 种取法；剩下的 2 只必取自于 2 双中，从剩下的 5 双中取 2 双，有 C 5 2 种取法；设这两双是 A 一 a 与 B一 b，然后从 A 一 a 中任取 1(有 C 2 1 种取法)，从 B 一 b 中任取 1(也有 C 2 1 种取法)，根据乘法原则相乘即可。分子也可是 C 5 1 (C 10 2 一 5)，关于 C 6 1 解释同上，然后从剩下的 10 只手套中任取 2 只(有 C 10 2 种取法)，再减去这 2 只为同一双的
15、5 种可能(因题目为“恰一双配对”)。 )解析：14.某城市共有 N 辆汽车，车牌号码从 1 到 N。有一人将他所遇到的该城市的 n 辆汽车的车牌号码(可能有重复的号码)全部抄下来，假设每辆汽车被遇到的机会相同，求抄到的最大号码正好是 k(1kN)的概率。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.一袋中装有 N 一 1 只黑球及 1 只白球，每次从袋中随机地取出一球，并换人一只黑球，这样继续下去、问第 k 次取出的是黑球的概率是多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.将 n 个同样的盒子和 n 只同样的小球分别编号为 1，2，n。把这 n 只小球随机地投
16、入 n 个盒子中，每个盒子中投入一只小球。问至少有一只小球的编号与盒子的编号相同的概率是多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.在线段 AB 上，有一点 C 介于 A，B 之间，线段 AC 长为 a，线段 CB 长为 b，且 ab。在线段 AC 上任取一点 X，在线段 CB 上任取一点 Y，求长度为 AX，XY，YB 线段可构成三角形的概率。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 1 建立坐标系(提示：定长为 a+b 的线段 AB 分成 3 段时，3 段长能构成三角形等价于各段长小于总长的一半即 ，请思考) 3 段长为 x、yx 及 a+b 一 y(x、y 分别
17、为点 X、Y 的坐标)，而(x，y)可能取的值为图 2 中的矩形，现要求 ，与矩形相交为图 2 中阴影部分 G，矩形面积(即 的测度)为 ab，而 G 的面积(测度)为 )解析：18.对目标进行三次独立炮击。第一次命中率为 04，第二次命中率为 05，第三次命中率为 07目标中一弹而被击毁的概率为 02，中两弹被击毁的概率为 06，中三弹被击毁的概率为 08(1)求目标被击毁的概率；(2)已知目标被击毁，求目标中两弹的概率。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)记 A i =第 i 次射击时击中目标)(i=1，2，3)，B=目标被击毁，则 )解析：19.在随机地抛掷两枚均匀骰子的独立
18、重复试验中，求两枚骰子点数和为 5 的结果出现在它们的点数和为7 的结果之前的概率。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.乒乓球比赛采用 5 局 3 胜制，甲、乙两人在比赛中，各局甲胜的概率为 06，且前 2 局皆为甲胜。求甲最终赢得比赛胜利的概率。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 A i =第 i 局甲胜，i=3，4，5所求概率为 P(A 3 A 4 A 5 )= )解析：21.设袋中有 7 红 6 白 13 个球，现从中随机取 5 个球，分(1)不放回；(2)放回两种情形下，写出这 5 个球为 3 红 2 白的概率(写出计算式即可)。（分数：2.00）_正确
19、答案：(正确答案： 相当于做了 5 次独立重复试验，每次只有 2 个结果：摸红球 )解析：22.乒乓球盒中有 15 个球，其中有 9 只新球和 6 只旧球。第一次比赛时任取 3 只使用，用后放回(新球使用一次就成旧球)。第二次比赛时也任取 3 只球，求此 3 只球均为新球的概率(写出计算式即可)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 A i =第 1 次取的 3 只球中有 i 只新球)，B=第 2 次取的 3 只球均为新球)，则P(A i )= )解析：23.3 架飞机(其中有 1 架长机和 2 槊僚机)去执行轰炸任务，途中要过一个敌方的高炮阵地。各机通过高炮阵地的概率均为 08，通过
20、后轰炸成功的概率均为 03，各机间相互独立，但只有长机通过高炮阵地才有可能轰炸成功。求最终轰炸成功的概率。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设长机为 A，另 2 架僚机分别为 B、C，记 A 1 =A 通过高炮阵地)，B 1 =B 通过高炮阵地)，C 1 =C 通过高炮阵地，A 2 =A 轰炸成功，D=最终轰炸成功，由题意 ，得 )解析：24.已知随机变是 X 的概率分布为 PX=1=02，P(X 一 2)=03，PX=3)=05试写出其分布函数 F(x)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F(X)=PXx。 当 x1 时，F(x)=0 当 1x2 时，F(z)一 PXl一 0
21、2 当2x3 时，F(x)=PX=1)+PX=2)=02+03=05 当 x3 时，F(x)=PX=1)+PX=2)+PX=3)=02+03+05=1 故 )解析：25.设随机变量 X 在区闻(1，2)上服从均匀分布，试求随机变量 y=e 2X 的概率密度 f(y)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 的概率密度为： 而 Y 的分布函数 F Y (y)=Pyy)=Pe 2X y)。 由 X的取值范围，可见 当 Y0 时，F Y (y)=0，f(y)=F“ Y (y)=0； 故得 )解析：26.设随机变量 X 的分布函数为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1； )解析：解析：
22、27.设随机变量 X 在2，5上服从均匀分布，现在对 X 进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于 3的概率。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意，X 的概率密度为： )解析：一电子仪器由两个部件构成，以 X 和 Y 分别表示两个部件的寿命(单位：千小时)，已知 X 和 Y 的联合分布函数为： （分数：4.00）(1).问 X 和 Y 是否独立?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：关于 X 的边缘分布函数为 同理，关于 Y 的边缘分布函数为 故当x0，y0 时， F X (x)Fy(y)=(1 一 e -05x )(1 一 e -05y ) =1 一 e -05x 一 e
23、-05y 一 e -05(x+y) =F(x，y) 而当 x0 或 y0 时，F X (x)F y (y)=0=F(x，y) 故 )解析：(2).求两个部件的寿命都超过 100 小时的概率。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 与 Y 独立，故 P(X100，Y100)=P(X100)P(Y100)=1 一 F X (100)1一 F Y (100) =e -05100 e -05100 e -100)解析：28.对某地抽样调查的结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布，平均成绩为 72 分，96 分以上的占考生总数的 23，试求考生的外语成绩在 60 分至 84 分之间的概
24、率。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设该地考生的外语成绩为 X，由题意， )解析：29.一辆汽车沿一街道行驶，要过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红、绿两种信号显示的时间相等。以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求 X 的概率分布。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意，X 可能取的值为 0，1，2，3 )解析：30.设测量误差 XN(0，10 2 )。试求在 100 次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于196 的概率 a，并用泊松分布求出口的近似值(要求小数点后取两位有效数字)。 （分数：2.00
25、）_正确答案：(正确答案：设在 100 次测量中，有 Y 次的测量误差的绝对值大于 196，则 YB(100，p)。 其中 =1 一(196)一 (一 196)=22(196)=220975=005 故 =1 一 C 100 0 005 0 095 100 一 C 100 1 005 1 095 99 一 C 100 2 005 2 095 98 用泊松分布逼近时，=100005=5 )解析：设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：4.00）(1).求 X 的概率密度 fx(x)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f X (x)= - + f(x，y)dy 当 x0 时，f(x，y)=0，f X (x)=0 当 x0 时，F X (x)= r + e -y dy=e -y 故 )解析：(2).求 PX+Y1。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P(X+Y1) )解析：
