1、考研数学三(概率统计)-试卷 9 及答案解析(总分:66.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:3,分数:6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.对事件 A,B,已知 0P(A)1,P(B)0,P(B|A)=P(B| (分数:2.00)A.P(A|B)=P(B.P(AIB)P(C.P(AB)=P(A)P(B)D.P(AB)P(A)P(B)3.设随机变量 X 和 Y 相互独立,其概率分布为 (分数:2.00)A.X=YB.PX=Y=0C.D.PX=Y=1二、填空题(总题数:8,分数:16.00)4.对事件 A,B,已知 (分数:2
2、.00)填空项 1:_5.对事件 A、B,已知 =08,P(B)=03,则 P(A)= 1,P(AB)= 2, (分数:2.00)填空项 1:_6.设两两独立的三事件 A,B,C 满足条件: (分数:2.00)填空项 1:_7.设在 3 次独立试验中,事件 A 出现的概率均相等且 A 至少出现一次的概率为 (分数:2.00)填空项 1:_8.设甲、乙两人独立地射击同一目标,其命中率分别为 06 和 05则已命中的目标是被甲射中的概率为 1。(分数:2.00)填空项 1:_9.设 (分数:2.00)填空项 1:_10.连续型随机变量取任何给定实数值的概率都等于 1。(分数:2.00)填空项 1:
3、_11.设随机变最 X 的分希函数为 (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:21,分数:44.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_13.从 6 双不同的手套中任取 4 只,求(1)恰有一双配对的概率;(2)至少有 2 只可配成一双的概率。(分数:2.00)_14.某城市共有 N 辆汽车,车牌号码从 1 到 N。有一人将他所遇到的该城市的 n 辆汽车的车牌号码(可能有重复的号码)全部抄下来,假设每辆汽车被遇到的机会相同,求抄到的最大号码正好是 k(1kN)的概率。(分数:2.00)_15.一袋中装有 N 一 1 只黑球及 1 只白球,每次从袋中随机地取出一球
4、,并换人一只黑球,这样继续下去、问第 k 次取出的是黑球的概率是多少?(分数:2.00)_16.将 n 个同样的盒子和 n 只同样的小球分别编号为 1,2,n。把这 n 只小球随机地投入 n 个盒子中,每个盒子中投入一只小球。问至少有一只小球的编号与盒子的编号相同的概率是多少?(分数:2.00)_17.在线段 AB 上,有一点 C 介于 A,B 之间,线段 AC 长为 a,线段 CB 长为 b,且 ab。在线段 AC 上任取一点 X,在线段 CB 上任取一点 Y,求长度为 AX,XY,YB 线段可构成三角形的概率。(分数:2.00)_18.对目标进行三次独立炮击。第一次命中率为 04,第二次命
5、中率为 05,第三次命中率为 07目标中一弹而被击毁的概率为 02,中两弹被击毁的概率为 06,中三弹被击毁的概率为 08(1)求目标被击毁的概率;(2)已知目标被击毁,求目标中两弹的概率。(分数:2.00)_19.在随机地抛掷两枚均匀骰子的独立重复试验中,求两枚骰子点数和为 5 的结果出现在它们的点数和为7 的结果之前的概率。(分数:2.00)_20.乒乓球比赛采用 5 局 3 胜制,甲、乙两人在比赛中,各局甲胜的概率为 06,且前 2 局皆为甲胜。求甲最终赢得比赛胜利的概率。(分数:2.00)_21.设袋中有 7 红 6 白 13 个球,现从中随机取 5 个球,分(1)不放回;(2)放回两
6、种情形下,写出这 5 个球为 3 红 2 白的概率(写出计算式即可)。(分数:2.00)_22.乒乓球盒中有 15 个球,其中有 9 只新球和 6 只旧球。第一次比赛时任取 3 只使用,用后放回(新球使用一次就成旧球)。第二次比赛时也任取 3 只球,求此 3 只球均为新球的概率(写出计算式即可)。(分数:2.00)_23.3 架飞机(其中有 1 架长机和 2 槊僚机)去执行轰炸任务,途中要过一个敌方的高炮阵地。各机通过高炮阵地的概率均为 08,通过后轰炸成功的概率均为 03,各机间相互独立,但只有长机通过高炮阵地才有可能轰炸成功。求最终轰炸成功的概率。(分数:2.00)_24.已知随机变是 X
7、 的概率分布为 PX=1=02,P(X 一 2)=03,PX=3)=05试写出其分布函数 F(x)。(分数:2.00)_25.设随机变量 X 在区闻(1,2)上服从均匀分布,试求随机变量 y=e 2X 的概率密度 f(y)。(分数:2.00)_26.设随机变量 X 的分布函数为 (分数:2.00)_27.设随机变量 X 在2,5上服从均匀分布,现在对 X 进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于 3的概率。(分数:2.00)_一电子仪器由两个部件构成,以 X 和 Y 分别表示两个部件的寿命(单位:千小时),已知 X 和 Y 的联合分布函数为: (分数:4.00)(1).问 X 和 Y 是否独
8、立?(分数:2.00)_(2).求两个部件的寿命都超过 100 小时的概率。(分数:2.00)_28.对某地抽样调查的结果表明,考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布,平均成绩为 72 分,96 分以上的占考生总数的 23,试求考生的外语成绩在 60 分至 84 分之间的概率。 (分数:2.00)_29.一辆汽车沿一街道行驶,要过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红、绿两种信号显示的时间相等。以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,求 X 的概率分布。(分数:2.00)_30.设测量误差 XN(0,10 2 )。试求在 100 次独立重
9、复测量中,至少有三次测量误差的绝对值大于196 的概率 a,并用泊松分布求出口的近似值(要求小数点后取两位有效数字)。 (分数:2.00)_设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 (分数:4.00)(1).求 X 的概率密度 fx(x);(分数:2.00)_(2).求 PX+Y1。(分数:2.00)_考研数学三(概率统计)-试卷 9 答案解析(总分:66.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:3,分数:6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.对事件 A,B,已知 0P(A)1,P(B)0,P(B|A)=P(B| (分数:2.
10、00)A.P(A|B)=P(B.P(AIB)P(C.P(AB)=P(A)P(B) D.P(AB)P(A)P(B)解析:解析:由 P(B|A)=3.设随机变量 X 和 Y 相互独立,其概率分布为 (分数:2.00)A.X=YB.PX=Y=0C. D.PX=Y=1解析:解析:二、填空题(总题数:8,分数:16.00)4.对事件 A,B,已知 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:5.对事件 A、B,已知 =08,P(B)=03,则 P(A)= 1,P(AB)= 2, (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:045;02;045;025;01;09)
11、解析:解析:6.设两两独立的三事件 A,B,C 满足条件: (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:x)解析:解析:7.设在 3 次独立试验中,事件 A 出现的概率均相等且 A 至少出现一次的概率为 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:设 1 次试验中 A 出现的概率为 p,则 =PA 至少出现 1 次=1 一 PA 出现 0 次)=1 一 C 3 0 p 0 (1 一 P) 3-0 =1 一(1 一 p 3 ),故 p= 8.设甲、乙两人独立地射击同一目标,其命中率分别为 06 和 05则已命中的目标是被甲射中的概率为 1。(分数:2.00
12、)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:记 A=甲击中目标,B=乙击中目标,C=目标被击中,则 P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)一P(AB)=06+050605=08,所求概率为 P(A|C)= ,P(AC)=P(A)=06,故 P(A|C)=9.设 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析: =1 一P(A)+P(B)+P(C)一 P(AB)一 P(AC)一 P(BC)+P(ABC) 0P(ABC)P(AB)=0,可得 P(ABC)=0)故应填10.连续型随机变量取任何给定实数值的概率都等于 1。(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答
13、案:正确答案:0)解析:解析:这是连续型随机变量的一个结论。11.设随机变最 X 的分希函数为 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:F(x)为一阶梯状函数,则 X 可能取的值为 F(x)的跳跃点:一 1,1,3 P(X=一 1)=F(一 1)一 F(一 10)=04 P(X=1)=F(1)一 F(1 一 0)=0804=04 P(X=3)=F(3)一 F(3 一 0)=108=02三、解答题(总题数:21,分数:44.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析:13.从 6 双不同的手套中任取 4 只,求(1)恰有一双配对的概率;(2)
14、至少有 2 只可配成一双的概率。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 分子的思路:从 6 双手套中任取一双(即题目要求的配对的一双)有 C 6 1 种取法;剩下的 2 只必取自于 2 双中,从剩下的 5 双中取 2 双,有 C 5 2 种取法;设这两双是 A 一 a 与 B一 b,然后从 A 一 a 中任取 1(有 C 2 1 种取法),从 B 一 b 中任取 1(也有 C 2 1 种取法),根据乘法原则相乘即可。分子也可是 C 5 1 (C 10 2 一 5),关于 C 6 1 解释同上,然后从剩下的 10 只手套中任取 2 只(有 C 10 2 种取法),再减去这 2 只为同一双的
15、5 种可能(因题目为“恰一双配对”)。 )解析:14.某城市共有 N 辆汽车,车牌号码从 1 到 N。有一人将他所遇到的该城市的 n 辆汽车的车牌号码(可能有重复的号码)全部抄下来,假设每辆汽车被遇到的机会相同,求抄到的最大号码正好是 k(1kN)的概率。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:15.一袋中装有 N 一 1 只黑球及 1 只白球,每次从袋中随机地取出一球,并换人一只黑球,这样继续下去、问第 k 次取出的是黑球的概率是多少?(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:16.将 n 个同样的盒子和 n 只同样的小球分别编号为 1,2,n。把这 n 只小球随机地投
16、入 n 个盒子中,每个盒子中投入一只小球。问至少有一只小球的编号与盒子的编号相同的概率是多少?(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:17.在线段 AB 上,有一点 C 介于 A,B 之间,线段 AC 长为 a,线段 CB 长为 b,且 ab。在线段 AC 上任取一点 X,在线段 CB 上任取一点 Y,求长度为 AX,XY,YB 线段可构成三角形的概率。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:如图 1 建立坐标系(提示:定长为 a+b 的线段 AB 分成 3 段时,3 段长能构成三角形等价于各段长小于总长的一半即 ,请思考) 3 段长为 x、yx 及 a+b 一 y(x、y 分别
17、为点 X、Y 的坐标),而(x,y)可能取的值为图 2 中的矩形,现要求 ,与矩形相交为图 2 中阴影部分 G,矩形面积(即 的测度)为 ab,而 G 的面积(测度)为 )解析:18.对目标进行三次独立炮击。第一次命中率为 04,第二次命中率为 05,第三次命中率为 07目标中一弹而被击毁的概率为 02,中两弹被击毁的概率为 06,中三弹被击毁的概率为 08(1)求目标被击毁的概率;(2)已知目标被击毁,求目标中两弹的概率。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)记 A i =第 i 次射击时击中目标)(i=1,2,3),B=目标被击毁,则 )解析:19.在随机地抛掷两枚均匀骰子的独立
18、重复试验中,求两枚骰子点数和为 5 的结果出现在它们的点数和为7 的结果之前的概率。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:20.乒乓球比赛采用 5 局 3 胜制,甲、乙两人在比赛中,各局甲胜的概率为 06,且前 2 局皆为甲胜。求甲最终赢得比赛胜利的概率。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:记 A i =第 i 局甲胜,i=3,4,5所求概率为 P(A 3 A 4 A 5 )= )解析:21.设袋中有 7 红 6 白 13 个球,现从中随机取 5 个球,分(1)不放回;(2)放回两种情形下,写出这 5 个球为 3 红 2 白的概率(写出计算式即可)。(分数:2.00)_正确
19、答案:(正确答案: 相当于做了 5 次独立重复试验,每次只有 2 个结果:摸红球 )解析:22.乒乓球盒中有 15 个球,其中有 9 只新球和 6 只旧球。第一次比赛时任取 3 只使用,用后放回(新球使用一次就成旧球)。第二次比赛时也任取 3 只球,求此 3 只球均为新球的概率(写出计算式即可)。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:记 A i =第 1 次取的 3 只球中有 i 只新球),B=第 2 次取的 3 只球均为新球),则P(A i )= )解析:23.3 架飞机(其中有 1 架长机和 2 槊僚机)去执行轰炸任务,途中要过一个敌方的高炮阵地。各机通过高炮阵地的概率均为 08,通过
20、后轰炸成功的概率均为 03,各机间相互独立,但只有长机通过高炮阵地才有可能轰炸成功。求最终轰炸成功的概率。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设长机为 A,另 2 架僚机分别为 B、C,记 A 1 =A 通过高炮阵地),B 1 =B 通过高炮阵地),C 1 =C 通过高炮阵地,A 2 =A 轰炸成功,D=最终轰炸成功,由题意 ,得 )解析:24.已知随机变是 X 的概率分布为 PX=1=02,P(X 一 2)=03,PX=3)=05试写出其分布函数 F(x)。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:F(X)=PXx。 当 x1 时,F(x)=0 当 1x2 时,F(z)一 PXl一 0
21、2 当2x3 时,F(x)=PX=1)+PX=2)=02+03=05 当 x3 时,F(x)=PX=1)+PX=2)+PX=3)=02+03+05=1 故 )解析:25.设随机变量 X 在区闻(1,2)上服从均匀分布,试求随机变量 y=e 2X 的概率密度 f(y)。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:X 的概率密度为: 而 Y 的分布函数 F Y (y)=Pyy)=Pe 2X y)。 由 X的取值范围,可见 当 Y0 时,F Y (y)=0,f(y)=F“ Y (y)=0; 故得 )解析:26.设随机变量 X 的分布函数为 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:1; )解析:解析:
22、27.设随机变量 X 在2,5上服从均匀分布,现在对 X 进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于 3的概率。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由题意,X 的概率密度为: )解析:一电子仪器由两个部件构成,以 X 和 Y 分别表示两个部件的寿命(单位:千小时),已知 X 和 Y 的联合分布函数为: (分数:4.00)(1).问 X 和 Y 是否独立?(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:关于 X 的边缘分布函数为 同理,关于 Y 的边缘分布函数为 故当x0,y0 时, F X (x)Fy(y)=(1 一 e -05x )(1 一 e -05y ) =1 一 e -05x 一 e
23、-05y 一 e -05(x+y) =F(x,y) 而当 x0 或 y0 时,F X (x)F y (y)=0=F(x,y) 故 )解析:(2).求两个部件的寿命都超过 100 小时的概率。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:X 与 Y 独立,故 P(X100,Y100)=P(X100)P(Y100)=1 一 F X (100)1一 F Y (100) =e -05100 e -05100 e -100)解析:28.对某地抽样调查的结果表明,考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布,平均成绩为 72 分,96 分以上的占考生总数的 23,试求考生的外语成绩在 60 分至 84 分之间的概
24、率。 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设该地考生的外语成绩为 X,由题意, )解析:29.一辆汽车沿一街道行驶,要过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红、绿两种信号显示的时间相等。以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,求 X 的概率分布。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由题意,X 可能取的值为 0,1,2,3 )解析:30.设测量误差 XN(0,10 2 )。试求在 100 次独立重复测量中,至少有三次测量误差的绝对值大于196 的概率 a,并用泊松分布求出口的近似值(要求小数点后取两位有效数字)。 (分数:2.00
25、)_正确答案:(正确答案:设在 100 次测量中,有 Y 次的测量误差的绝对值大于 196,则 YB(100,p)。 其中 =1 一(196)一 (一 196)=22(196)=220975=005 故 =1 一 C 100 0 005 0 095 100 一 C 100 1 005 1 095 99 一 C 100 2 005 2 095 98 用泊松分布逼近时,=100005=5 )解析:设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 (分数:4.00)(1).求 X 的概率密度 fx(x);(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:f X (x)= - + f(x,y)dy 当 x0 时,f(x,y)=0,f X (x)=0 当 x0 时,F X (x)= r + e -y dy=e -y 故 )解析:(2).求 PX+Y1。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:P(X+Y1) )解析: