1、考研数学三（概率统计）-试卷 6 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设随机变量 X 和 Y 都服从标准正态分布，则（分数：2.00）A.X+Y 服从正态分布B.X 2 +Y 2 服从 2 分布C.X 2 和 Y 2 都服从 2 分布D.X 2 Y 2 服从 F 分布3.设总体 X 服从参数为 (0)的泊松分布，X 1 ，X 2 ，X n (n2)为来自该总体的简单随机样本。则对于统计量 （分数：2.00）A.ET 1 ET 2 ，DT 1 DT 2B
2、.ET 1 ET 2 ，DT 1 DT 2C.ET 1 ET 1 ，DT 1 DT 2D.ET 1 ET 2 ，DT 1 DT 24.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 为来自总体 N(1， 2 )(0)的简单随机样本，则统计量 （分数：2.00）A.N(0，1)B.t(1)C. 2 (1)D.F(1，1)5.设 X 1 ，X 2 ，X 3 为来自正态总体 N(0， 2 )的简单随机样本，则统计量 （分数：2.00）A.F(1，1)B.F(2，1)C.t(1)D.t(2)6.设总体 XB(m，)，X 1 ，X 2 ，X n 为来自该总体的简单随机样本， 为样本均值，则 （分数：2.00）
3、A.(m1)n(1 一 )B.m(n 一 1)(1 一 )C.(m 一 1)(n 一 1)(1 一 0)D.nm(1 一 )7.设 n 个随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 独立同分布，DX 1 = 2 ， （分数：2.00）A.S 是 的无偏估计量B.S 是 的最大似然估计量C.S 是 的相合估计量(即一致估计量)D.S 与8.设一批零件的长度服从正态分布 N(， 2 )，其中 ， 2 均未知。现从中随机抽取 16 个零件，测得样本均值 =20(cm)，样本标准差 s=1(cm)，则 的置信度为 090 的置信区间是 （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：11，分数：22.
4、00)9.设总体 XN(0，2 2 )，而 X 1 ，X 2 ，X 15 是来自总体 X 的简单随机样本，则随机变量 （分数：2.00）填空项 1:_10.设总体 X 服从参数为 2 的指数分布，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，则当 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自二项分布总体 B(n，p)的简单随机样本， （分数：2.00）填空项 1:_12.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 N( 2 ， 2 )(0)的简单随机样本。记统计量 T= （分数：2.00）填空项 1:_13.设总体 X 的概率密度为 其中 是未知参
5、数，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本。若 （分数：2.00）填空项 1:_14.设总体 XN(， 2 )，从 X 中抽得容量为 16 的简单样本，S 2 为样本方差，则 D(S 2 )= 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.设 XF(n，n)且 P(|X|A)=03，则 （分数：2.00）填空项 1:_16.设总体 XN(， 2 )，从中抽得简单样本 X 1 ，X 2 ，X n ，记 则 Y 1 1，Y 2 2(写出分布，若有参数请注出)且 （分数：2.00）填空项 1:_17.设总体 X 的方差为 1，根据来自 X 的容量为 100 的简单随机样本，测得样本均
6、值为 5则 X 的数学期望的置信度近似等于 095 的置信区间为 1。（分数：2.00）填空项 1:_18.设由来自正态总体 XN(，09 2 )容量为 9 的简单随机样本，得样本均值 （分数：2.00）填空项 1:_19.设总体 X 的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：26.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_21.设总体 X 服从正态分布 N( 1 ， 2 )，总体 y 服从正态分布 N( 2 ， 2 )X 1 ，X 2 ，X n 和 Y 1 ，Y 2 ，Y n 分别是来自总体 X 和 Y 的简单随机样本，
7、则 （分数：2.00）_22.设总体 X 具有概率密度： 从此总体中抽得简单样本 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，求 （分数：2.00）_23.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X n 为取自 X 的简单样本，记 （分数：2.00）_24.设总体 XN(72，100)，为使样本均值大于 70 的概率不小于 095，样本容量 n 至少应取多大?(1645)=095)（分数：2.00）_25.从一正态总体中抽取容量为 10 的样本，设样本均值与总体均值之差的绝对值在 4 以上的概率为002，求总体的标准差(233)=099)（分数：2.00）_26.设总体 XN(， 2 )，从 X 中抽
8、得样本 X 1 ，X n ，X n+1 ，记 （分数：2.00）_27.设 k 个总体 N( i ， 2 )(i=1，K)相互独立，从第 i 个总体中抽得简单样本： （分数：2.00）_28.设从一总体中抽得样本观测值为：5，3，4，5，6，2，5，3试写出其样本经验分布函数 F * (x)。（分数：2.00）_29.从总体 XN(0， 2 )中抽得简单样本 X 1 ，X n+m ，求 （分数：2.00）_30.设总体 X 的概率密度为 （分数：2.00）_31.设 050，125，080，200 是来自总体 X 的简单随机样本值。已知 Y=lnX 服从正态分布 N(，1)。(1)求 X 的数
9、学期望 EX(记 EX 为 b)；(2)求 的置信度为 095 的置信区间；(3)利用上述结果求 6 的置信度为 095 的置信区间。（分数：2.00）_32.设随机变量 X 的分布函数为其中参数 0，1，设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本。 ()当 =1 时，求未知参数 的矩估计量； ()当 =1 时，求未知参数 的最大似然估计量； ()当 =2 时，求未知参数 的最大似然估计量。（分数：2.00）_考研数学三（概率统计）-试卷 6 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有
10、一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设随机变量 X 和 Y 都服从标准正态分布，则（分数：2.00）A.X+Y 服从正态分布B.X 2 +Y 2 服从 2 分布C.X 2 和 Y 2 都服从 2 分布 D.X 2 Y 2 服从 F 分布解析：解析：XN(0，1)，YN(0，1)X 2 2 (1)，Y 2 2 (1)，故选(C)。3.设总体 X 服从参数为 (0)的泊松分布，X 1 ，X 2 ，X n (n2)为来自该总体的简单随机样本。则对于统计量 （分数：2.00）A.ET 1 ET 2 ，DT 1 DT 2B.ET 1 ET 2 ，DT 1 DT 2C.ET 1 ET 1
11、，DT 1 DT 2D.ET 1 ET 2 ，DT 1 DT 2 解析：解析：由题意知 X 1 ，X 2 ，X n 独立同分布，EX i =DX i =，i=1，2，n。故： 4.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 为来自总体 N(1， 2 )(0)的简单随机样本，则统计量 （分数：2.00）A.N(0，1)B.t(1) C. 2 (1)D.F(1，1)解析：解析：由题意得：E(X 1 X 2 )=EX 1 EX 2 2=11=0，D(X 1 一 X 2 )=DX 1 +DX 2 = 2 + 2 =2 2 ， X 1 X 2 N(0，2 2 ) 同理，E(X 3 +E 4 )=EX 3
12、+EX 4 =1+1=2，D(X 3 +X 4 )=DX 3 +DX 4 =2 2 ， X 3 +X 4 N(2，2 2 ) 又X 1 X 2 与 X 3 +X 4 独立，故 5.设 X 1 ，X 2 ，X 3 为来自正态总体 N(0， 2 )的简单随机样本，则统计量 （分数：2.00）A.F(1，1)B.F(2，1)C.t(1) D.t(2)解析：解析：由题意可知：X 1 一 X 2 N(0，2 2 )， 且 X 3 与 X 1 一 X 2 独立，故 6.设总体 XB(m，)，X 1 ，X 2 ，X n 为来自该总体的简单随机样本， 为样本均值，则 （分数：2.00）A.(m1)n(1 一
13、)B.m(n 一 1)(1 一 ) C.(m 一 1)(n 一 1)(1 一 0)D.nm(1 一 )解析：解析： E(X i 2 )=DX i +(EX i ) 2 =m(1 一 )+m 2 2 。 7.设 n 个随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 独立同分布，DX 1 = 2 ， （分数：2.00）A.S 是 的无偏估计量B.S 是 的最大似然估计量C.S 是 的相合估计量(即一致估计量) D.S 与解析：解析：设 EX 1 = 由大数定律及依概率收敛 的性质，以及相合估计的定义，知 n时， 8.设一批零件的长度服从正态分布 N(， 2 )，其中 ， 2 均未知。现从中随机抽取 16 个
14、零件，测得样本均值 =20(cm)，样本标准差 s=1(cm)，则 的置信度为 090 的置信区间是 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由题意，总体(零件长度)XN(， 2 )， 2 均未知，从 X 中抽得的样本(即抽得的 16 个零件长度)为 X 1 ，X n ，这里 n=16而 本题中， =20，S=1，n=16，1 一=090，代入即得 的置信度为 09 的置信区间为：(20 一 t 005 (161) 二、填空题(总题数：11，分数：22.00)9.设总体 XN(0，2 2 )，而 X 1 ，X 2 ，X 15 是来自总体 X 的简单随机样本，则随机变量 （分数：2.00
15、）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：F；(10，5)）解析：解析：由题意知 X i N(0，2 2 )， N(0，1)，i=1，2，15且都相互独立。则由 2 分布的构成知： 且二者独立。 故由 F 分布的构成得： 10.设总体 X 服从参数为 2 的指数分布，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，则当 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题意，X 1 ，X 2 ，X n 独立且均服从参数为 2 的指数分布，因此有 E(X i ) 2 =DX i +(EX i ) 2 = ，i=1，2，n。并且 X 1 2 ，X 2 2 ，X n
16、 2 是独立同分布的，故由辛钦大数定律知： 11.设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自二项分布总体 B(n，p)的简单随机样本， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：np 2）解析：解析：设总体为 X，则知 XB(n，p)，且 EX=np，DX=np(1 一 p)。12.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 N( 2 ， 2 )(0)的简单随机样本。记统计量 T= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 2 + 2）解析：解析：由题意知 EX i =，DX i = 2 ， EX i 2 =DX i +(EX i ) 2 = 2 + 2 ，i=1，2
17、，n。 13.设总体 X 的概率密度为 其中 是未知参数，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本。若 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题意得：14.设总体 XN(， 2 )，从 X 中抽得容量为 16 的简单样本，S 2 为样本方差，则 D(S 2 )= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：15.设 XF(n，n)且 P(|X|A)=03，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由 03=P(XA)，A=F 03 (n，n)， ）解析：16.设总体 XN(， 2 )，从中抽得简单
18、样本 X 1 ，X 2 ，X n ，记 则 Y 1 1，Y 2 2(写出分布，若有参数请注出)且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 2 (n)； 2 (n-1)；D）解析：解析：17.设总体 X 的方差为 1，根据来自 X 的容量为 100 的简单随机样本，测得样本均值为 5则 X 的数学期望的置信度近似等于 095 的置信区间为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(4804，5196)）解析：解析：设样本为 X 1 ，X 2 ，X n ，EX=，DX= 2 ， 由中心极限定理知，当 n 充分大时有： 18.设由来自正态总体 XN(，09 2
19、)容量为 9 的简单随机样本，得样本均值 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(4412，5588)）解析：解析：由题意知19.设总体 X 的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：13，分数：26.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：21.设总体 X 服从正态分布 N( 1 ， 2 )，总体 y 服从正态分布 N( 2 ， 2 )X 1 ，X 2 ，X n 和 Y 1 ，Y 2 ，Y n 分别是来自总体 X 和 Y 的简单随机样本，则 （分数：2.00）_正确答
20、案：(正确答案： 2)解析：解析：22.设总体 X 具有概率密度： 从此总体中抽得简单样本 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：T 的分布函数为 F T (t)=P(Tt)= =P(X 1 t，X 4 t)=P(X 1 t) 4 )解析：23.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X n 为取自 X 的简单样本，记 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设总体 XN(72，100)，为使样本均值大于 70 的概率不小于 095，样本容量 n 至少应取多大?(1645)=095)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析
21、：25.从一正态总体中抽取容量为 10 的样本，设样本均值与总体均值之差的绝对值在 4 以上的概率为002，求总体的标准差(233)=099)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.设总体 XN(， 2 )，从 X 中抽得样本 X 1 ，X n ，X n+1 ，记 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.设 k 个总体 N( i ， 2 )(i=1，K)相互独立，从第 i 个总体中抽得简单样本： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.设从一总体中抽得样本观测值为：5，3，4，5，6，2，5，3试写出其样本经验分布函数 F * (x)。（分
22、数：2.00）_正确答案：(正确答案：重排为 2，3，3，。4，5，5，5，6n=8，则 )解析：29.从总体 XN(0， 2 )中抽得简单样本 X 1 ，X n+m ，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.设总体 X 的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：似然函数为 )解析：31.设 050，125，080，200 是来自总体 X 的简单随机样本值。已知 Y=lnX 服从正态分布 N(，1)。(1)求 X 的数学期望 EX(记 EX 为 b)；(2)求 的置信度为 095 的置信区间；(3)利用上述结果求 6 的置信度为 095 的置信区间。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (2)取自总体 Y 的样本值为：y 1 =In05，y 2 =ln125，y 3 =ln08，y 4 =In2，则 的置信度为 1 的置信区间为： )解析：32.设随机变量 X 的分布函数为其中参数 0，1，设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X 的简单随机样本。 ()当 =1 时，求未知参数 的矩估计量； ()当 =1 时，求未知参数 的最大似然估计量； ()当 =2 时，求未知参数 的最大似然估计量。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：总体 X 的概率密度为： )解析：
